विकृति (भौतिकी): Difference between revisions

Shear strain
Shear strain
सामान्य प्रतीक	γ or ε
Si इकाई	1, or radian
अन्य मात्राओं से ; व्युत्पत्तियां	γ = τ/G

Latest revision as of 11:06, 10 July 2023

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एक पतली सीधी छड़ का संवृत लूप में विरूपण। विरूपण के समय छड़ की लंबाई लगभग अपरिवर्तित रहती है, जो इंगित करती है कि तनाव कम है। इस प्रकार प्रवणता के इस विशेष स्थिति में, रॉड में भौतिक तत्वों के कठोर अनुवाद और घुमाव से जुड़े विस्थापन, तनाव से जुड़े विस्थापन की तुलना में बहुत अधिक होते हैं।

भौतिकी और सातत्य यांत्रिकी में, विरूपण या विकृति मुख्य रूप से किसी पिंड को संदर्भित करते समय उसके विन्यास से वर्तमान विन्यास में होने वाले परिवर्तन को दर्शाता है।^[1] इस प्रकार विरूपण या विकृति ऐसा समूह है, जिसमें किसी भौतिक संरचना के सभी कणों की स्थिति सम्मिलित होती है।

संरचनात्मक भार के कारण विकृति हो सकती है,^[2] जिसके आधार पर किसी आंतरिक गतिविधि (जैसे मांसप्रस्तुती संकुचन), भौतिक बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत चुम्बकीय बल), या तापमान, नमी सामग्री, या रासायनिक प्रतिक्रियाओं आदि में परिवर्तन प्रकट होता हैं।

तनाव किसी भौतिक संरचना में कणों के सापेक्षिक विस्थापन के संदर्भ में विकृति से संबंधित है जो कठोर-भौतिक संरचना गति को बाहर करता है। इस प्रकार किसी तनाव क्षेत्र की अभिव्यक्ति के लिए अलग-अलग समकक्ष विकल्प बनाए जा सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इसे भौतिक संरचना के प्रारंभिक या अंतिम विन्यास के संबंध में परिभाषित किया गया है या नहीं और मीट्रिक तन्यता या इसके दोहरे पर विचार किया गया है या नहीं किया गया हैं।

किसी निरंतर भौतिक संरचना में, लागू होने वाले बलों के कारण या भौतिक संरचना के तापमान क्षेत्र में होने वाले इस प्रकार के कुछ परिवर्तनों के कारण तनाव (भौतिकी) क्षेत्र से विरूपण क्षेत्र उत्पन्न होता है। इस प्रकार तनाव और तनाव के बीच संबंध संवैधानिक समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक तन्यता सामग्री के लिए हुक का नियम इसका मुख्य उदाहरण हैं। इस प्रकार तनाव क्षेत्र हटा दिए जाने के पश्चात जो विकृतियाँ समाप्त हो जाती हैं, उन्हें तन्यतादार विकृति कहा जाता है। इस स्थिति में, सातत्य पूरी तरह से अपने मूल विन्यास को पुनः प्राप्त कर लेता है। इसी प्रकार दूसरी ओर अपरिवर्तनीय विकृतियाँ बनी रहती हैं। इस प्रकार तनाव दूर हो जाने के बाद भी वे सम्मिलित रहते हैं। प्रकार की अपरिवर्तनीय विकृति प्लास्टिक विकृति है, जो भौतिक निकायों में तब होती है जब तनाव निश्चित सीमा मान प्राप्त कर लेता है जिसे तन्यतायुक्त सीमा या उपज (अभियांत्रिकी) के रूप में जाना जाता है, और यह स्लिप (सामग्री विज्ञान), या अव्यवस्था का परिणाम है परमाणु स्तर पर तंत्र. अन्य प्रकार की अपरिवर्तनीय विकृति का मुख्य तन्यतायुक्त विरूपण है, जो विस्को तन्यता विरूपण का अपरिवर्तनीय का भाग है।

तन्यतादार विकृतियों की स्थिति में, विकृत तनाव को तनाव से जोड़ने वाला प्रतिक्रिया कार्य सामग्री की हुक के नियम में तन्यता अभिव्यक्ति होती है।

तनाव

तनाव संदर्भ लंबाई के सापेक्ष भौतिक संरचना में कणों के बीच विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।

किसी पिंड की विकृति को $x = F (X)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $X$ भौतिक संरचना के भौतिक बिंदुओं की संदर्भ स्थिति है। ऐसा माप भौतिक संरचना की कठोर गतियों के कारण होने वाले अनुवाद और घुमाव और इस प्रकार की भौतिक संरचना के आकार में परिवर्तन के बीच अंतर नहीं करता है। जिसके आधार पर विकृति में लंबाई की इकाइयाँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, हम तनाव को परिभाषित कर सकते हैं

{\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},

जहाँ

I

आव्यूह को दर्शाता है, इसलिए उपभेद आयामहीन होते हैं और सामान्यतः दशमलव, प्रतिशत या भागों-प्रति अंकन के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। तनाव मापते हैं कि दी गई विकृति स्थानीय रूप से कठोर-भौतिक संरचना विरूपण से कितनी भिन्न है।^[3] इस प्रकार किसी तनाव को सामान्यतः उसकी तन्यता की मात्रा होती है। इस प्रकार उपभेदों में भौतिक अंतर्दृष्टि यह देखकर प्राप्त की जा सकती है कि किसी दिए गए तनाव को सामान्य और तनावयुक्त घटकों में विघटित किया जा सकता है। इस प्रकार सामग्री रेखा तत्वों या तंतुओं के साथ तन्यता या संपीड़न की मात्रा सामान्य तनाव है, और विकृत भौतिक संरचना के भीतर दूसरे के ऊपर समतल परतों के फिसलने से जुड़ी विकृति की मात्रा तनाव को प्रकट करती है।^[4] इसे बढ़ाने या कम करने, या आयतन परिवर्तन, या कोणीय विरूपण द्वारा लागू किया जा सकता है।^[5]

किसी सातत्य पिंड के सातत्य यांत्रिकी में तनाव की स्थिति को सामग्री रेखाओं या तंतुओं की लंबाई में सभी परिवर्तनों की समग्रता, सामान्य तनाव, जो उस बिंदु से होकर गुजरता है, और इसके बीच के कोण में सभी परिवर्तनों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार इन रेखाओं के जोड़े प्रारंभ में एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, इस प्रकार तनावयुक्त तनाव जिस बिंदु से विकीर्ण होता है। चूंकि तीन परस्पर लंबवत दिशाओं के समूह पर तनाव के सामान्य और तनावयुक्त घटकों को जानना पर्याप्त है।

यदि सामग्री रेखा की लंबाई में वृद्धि होती है, तो सामान्य तनाव को तन्य तनाव कहा जाता है, अन्यथा, यदि सामग्री रेखा की लंबाई में कमी या संपीड़न होता है, तो इसे संपीड़न तनाव कहा जाता है।

तनाव के उपाय

तनाव, या स्थानीय विरूपण की मात्रा के आधार पर, विरूपण के विश्लेषण को तीन विरूपण सिद्धांतों में विभाजित किया गया है:

परिमित तनाव सिद्धांत, जिसे बड़े तनाव सिद्धांत, बड़े विरूपण सिद्धांत भी कहा जाता है, उन विकृतियों से संबंधित है जिनमें घूर्णन और तनाव दोनों विधियों से बड़े होते हैं। इस स्थिति में, कॉन्टिनम यांत्रिकी के अविकसित और विकृत विन्यास अधिक भिन्न हैं और उनके बीच स्पष्ट अंतर करना होगा। यह सामान्यतः इलैस्टोमर , प्लास्टिसिटी (भौतिकी) या प्लास्टिक रूप से विकृत सामग्री और अन्य तरल पदार्थ और जैविक नरम ऊतक की स्थिति में होता है।
अनंतिम तनाव सिद्धांत, जिसे लघु तनाव सिद्धांत, लघु विरूपण सिद्धांत, लघु विस्थापन सिद्धांत, या लघु विस्थापन-ढाल सिद्धांत भी कहा जाता है, जहां तनाव और घूर्णन दोनों कम होते हैं। इस स्थिति में, भौतिक संरचना के अविकसित और विकृत विन्यास को समान माना जा सकता है। इस प्रकार इसके आधार पर इनफिनिटसिमल तनाव सिद्धांत का उपयोग विरूपण के लिए इलास्टिक विरूपण व्यवहार को प्रदर्शित करने वाली सामग्रियों के विरूपण के विश्लेषण में किया जाता है, जैसे कि यांत्रिक और सिविल अभियांत्रिकी के अनुप्रयोगों में पाई जाने वाली सामग्री, जैसे कंक्रीट और स्टील इत्यादि।
बड़े-विस्थापन या बड़े-रोटेशन सिद्धांत, जो कम तनाव अपितु बड़े घूर्णन और विस्थापन को मानता है।

इनमें से प्रत्येक सिद्धांत में तनाव को अलग-अलग तरीके से परिभाषित किया गया है। इसके आधार पर अभियांत्रिकी तनाव यांत्रिक और संरचनात्मक अभियांत्रिकी में उपयोग की जाने वाली सामग्रियों पर लागू होने वाली सबसे साधारण परिभाषा है, जो इस प्रकार बहुत कम विकृतियों के अधीन होती है। दूसरी ओर, कुछ सामग्रियों के लिए, जैसे, इलास्टोमर्स और पॉलिमर, बड़े विरूपण के अधीन, तनाव की अभियांत्रिकी परिभाषा लागू नहीं होती है, उदाहरण के लिए विशिष्ट अभियांत्रिकी तनाव 1% से अधिक,^[6] इस प्रकार तनाव की अन्य अधिक जटिल परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, जैसे स्ट्रेच, लॉगरिदमिक तनाव, ग्रीन तनाव और अलमांसी तनाव इसके प्रमुख उदाहरण हैं।

अभियांत्रिकी तनाव

अभियांत्रिकी तनाव, जिसे कॉची तनाव के रूप में भी जाना जाता है, जिसको भौतिक संरचना के प्रारंभिक आयाम के कुल विरूपण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है जिस पर बल लागू होते हैं। इस प्रकार अभियांत्रिकी सामान्य तनाव या अभियांत्रिकी एक्सटेंशनल तनाव या नाममात्र तनाव के अक्षीय रूप से लोड किए गए सामग्री लाइन तत्व या फाइबर की लंबाई में परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जाता है, यहाँ पर $Δ L$ मूल लंबाई की प्रति इकाई $L$ रेखा तत्व या तंतुओं का अंतर प्रकट करता हैं। जिसके आधार पर यदि भौतिक तंतुओं को खींचा जाता है तो सामान्य तनाव धनात्मक होता है और यदि वे संपीड़ित होते हैं तो ऋणात्मक होता है। इस प्रकार इसे हम इस प्रकार प्रकट कर सकते हैं-

e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}

जहाँ $e$ अभियांत्रिकी सामान्य तनाव है, $L$ फाइबर की मूल लंबाई है और $l$ फाइबर की अंतिम लंबाई है। इस प्रकार तनाव के माप अधिकांशतः प्रति मिलियन भाग या माइक्रोतनाव में व्यक्त किए जाते हैं।

वास्तविक तनावयुक्त तनाव को दो भौतिक रेखा तत्वों के बीच कोण में परिवर्तन (रेडियन में) के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्रारंभ में अपरिवर्तित या प्रारंभिक विन्यास में दूसरे के लंबवत थे। अभियांत्रिकी तनावयुक्त तनाव को उस कोण के स्पर्शरेखा के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह बल अनुप्रयोग के समतल में लंबवत लंबाई से विभाजित अधिकतम विरूपण की लंबाई के बराबर है जो कभी-कभी गणना करना आसान बनाता है।

तन्यता अनुपात

तन्यता अनुपात या विस्तार अनुपात विभेदक रेखा तत्व के विस्तारित या सामान्य तनाव का माप है, जिसे विकृत विन्यास या विकृत विन्यास पर परिभाषित किया जा सकता है। इसे अंतिम लंबाई के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $l$ और प्रारंभिक लंबाई $L$ सामग्री रेखा का.

\lambda ={\frac {l}{L}}

विस्तार अनुपात लगभग अभियांत्रिकी तनाव से संबंधित है

e={\frac {l-L}{L}}=\lambda -1

इस समीकरण का तात्पर्य है कि सामान्य तनाव शून्य है, जिससे कि जब तन्यता के एकीकरण के बराबर हो तो कोई विकृति उत्पन्न नहीं होता हैं।

तन्यता अनुपात का उपयोग उन सामग्रियों के विश्लेषण में किया जाता है, जो इस प्रकार बड़ी विकृतियों को प्रदर्शित करते हैं, जैसे इलास्टोमर्स, जो विफल होने से पहले 3 या 4 के तन्यता अनुपात को बनाए रख सकते हैं। दूसरी ओर, पारंपरिक अभियांत्रिकी सामग्री, जैसे कंक्रीट या स्टील, बहुत कम तन्यता अनुपात में विफल हो जाती हैं।

हेन्की तनाव या सत्य तनाव

लघुगणक तनाव $ε$ , जिसे ट्रू तनाव या हेन्की तनाव भी कहा जाता है।^[7] इसके वृद्धिशील तनाव पर विचार करने पर यह समीकरण प्राप्त होता हैं-

\delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}

इस वृद्धिशील तनाव को एकीकृत करके लघुगणकीय तनाव प्राप्त किया जाता है:

{\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}

जहाँ $e$ अभियांत्रिकी तनाव है। जब तनाव पथ के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए वृद्धि की श्रृंखला में विरूपण होता है तो लॉगरिदमिक तनाव अंतिम तनाव का सही माप प्रदान करता है।^[4]

ग्रीन तनाव

ग्रीन तनाव को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)

यूलर अल्मांसी तनाव

यूलर-अल्मांसी तनाव को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)

सामान्य और तनावयुक्त तनाव

File:2D geometric strain.svg

एक अतिसूक्ष्म भौतिक तत्व का द्वि-आयामी ज्यामितीय विरूपण

उपभेदों को सामान्य या तनावयुक्त के रूप में वर्गीकृत किया गया है। सामान्य विकृति किसी तत्व के चेहरे पर लंबवत होती है, और तनावयुक्त विकृति इसके समानांतर होती है। ये परिभाषाएँ सामान्य तनाव और तनावयुक्त तनाव के अनुरूप हैं।

सामान्य तनाव

किसी समदैशिक सामग्री के लिए जो हुक के नियम का पालन करती है, इस प्रकार सामान्य तनाव सामान्य तनाव का कारण बनेगा। इस प्रकार सामान्य उपभेद विस्तार उत्पन्न करते हैं।

आयामों वाले द्वि-आयामी, अतिसूक्ष्म, आयताकार भौतिक तत्व पर विचार करें $dx \times dy$ , जो विरूपण के बाद समचतुर्भुज का रूप ले लेता है। इस प्रकार विरूपण का वर्णन विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) द्वारा किया गया है $u$ . आसन्न आकृति की ज्यामिति से हमारे पास है

\mathrm {length} (AB)=dx

और

{\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}

बहुत कम विस्थापन ग्रेडियेंट के लिए व्युत्पन्न के वर्ग $u_{y}$ और $u_{x}$ इसका मान नगण्य हैं, इस प्रकार हमें उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं-

\mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx

जिसमें सामान्य तनाव

x

-आयताकार तत्व की दिशा परिभाषित की जाती है

\varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}

इसी प्रकार, सामान्य तनाव

y

- और

z

-दिशाएँ बन जाती हैं

\varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}

तनावयुक्त विकृति

अभियांत्रिकी तनावयुक्त विकृति ( $γ xy$ ) को रेखाओं के बीच कोण में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है, इस प्रकार AC और AB के मान को इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं-

\gamma _{xy}=\alpha +\beta

आकृति की ज्यामिति से, हमारे पास है

{\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}

कम विस्थापन वाले ग्रेडियेंट के लिए हमारे पास है

{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1

कम घुमावों के लिए, अर्ताथ।

α

और

β

हमारे पास ≪ 1 हैं,

tan α \approx α

,

tan β \approx β

. इसलिए,

\alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}

इस प्रकार

\gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}

एक दूसरे में परिवर्तन करने के पश्चात

x

और

y

और

u x

और

u y

, को इस प्रकार दिखाया जा सकता है

$γ xy = γ yx$ .

इसी प्रकार, के लिए $yz$ - और $xz$ -समतल के लिए हमारे पास उक्त समीकरण है-

\gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}

इनफिनिटसिमल तनाव तन्यता के टेंसोरिअल शीयर तनाव घटकों को अभियांत्रिकी तनाव

γ

की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, इसके आधार पर उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं-

{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}

मीट्रिक तन्यता

किसी विस्थापन से जुड़े तनाव क्षेत्र को, किसी भी बिंदु पर, उस बिंदु से गुजरने से पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्रों की गति का प्रतिनिधित्व करने वाले स्पर्शरेखा सदिश की लंबाई में परिवर्तन से परिभाषित किया जाता है। मौरिस फ़्रेचेट, जॉन वॉन न्यूमैन और पास्कल जॉर्डन के कारण मौलिक ज्यामितीय परिणाम बताता है कि, यदि स्पर्शरेखा सदिश की लंबाई मानक (गणित) और समांतर चतुर्भुज नियम के सिद्धांतों को पूरा करती है, तो सदिश की लंबाई होती है द्विघात रूप के मान का वर्गमूल, ध्रुवीकरण सूत्र द्वारा, धनात्मक निश्चित द्विरेखीय मानचित्र के साथ जुड़ा होता है जिसे मीट्रिक तन्यता कहा जाता है।

विरूपण का विवरण

विरूपण सतत पिंड के मीट्रिक गुणों में परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक पिंड प्लेसमेंट में खींचा गया वक्र अंतिम स्थान पर वक्र पर विस्थापित होने पर इसकी लंबाई को परिवर्तित कर देता है। यदि किसी भी वक्र की लंबाई नहीं परिवर्तित होती है, तो यह कहा जाता है कि किसी पिंड में विस्थापन हुआ है।

संदर्भ विन्यास या सातत्य निकाय की प्रारंभिक ज्यामितीय स्थिति की पहचान करना सुविधाजनक है जिससे सभी के विन्यास को संदर्भित किया जाता हैं। इस प्रकार इसके संदर्भ में विन्यास को ऐसा होना आवश्यक नहीं है जिसे निकाय वास्तव में कभी भी ग्रहण करेगा। इस प्रकार अधिकांशतः, विरूपण पर $t = 0$ को संदर्भ विन्यास $κ 0 (B)$ माना जाता है, इस प्रकार वर्तमान समय में विरूपण $t$ वर्तमान विरूपण है.

विरूपण विश्लेषण के लिए, संदर्भ विरूपण को अविकृत विरूपण के रूप में पहचाना जाता है, और वर्तमान समय में इसके विरूपण को विकृत विरूपण के रूप में पहचाना जाता है। इसके अतिरिक्त, विरूपण का विश्लेषण करते समय समय पर विचार नहीं किया जाता है, इस प्रकार विकृत और विकृत विरूपण के बीच विरूपण का क्रम कोई रूचि नहीं रखता है।

अवयव $X i$ स्थिति सदिश का {{math|X}संदर्भ समन्वय प्रणाली के संबंध में संदर्भ विन्यास में कण के } को सामग्री या संदर्भ निर्देशांक कहा जाता है। दूसरी ओर, घटक $x i$ स्थिति सदिश का {{math|x}संदर्भ की स्थानिक समन्वय प्रणाली के संबंध में विकृत विन्यास में कण के } को स्थानिक निर्देशांक कहा जाता है।

सातत्य की विकृति का विश्लेषण करने की दो विधियाँ हैं। विवरण सामग्री या संदर्भात्मक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, जिसे कॉन्टिनम यांत्रिकी कहा जाता है। इस प्रकार विरूपण का दूसरा विवरण स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, इसे सातत्य यांत्रिकी कहा जाता है।

सातत्य भौतिक संरचना के विरूपण के समय इस अर्थ में निरंतरता होती है कि:

किसी भी क्षण संवृत वक्र बनाने वाले भौतिक बिंदु किसी भी बाद के समय में सदैव संवृत वक्र बनाएंगे।
किसी भी क्षण संवृत सतह बनाने वाले भौतिक बिंदु किसी भी बाद के समय में सदैव संवृत सतह का निर्माण करेंगे और संवृत सतह के भीतर का पदार्थ सदैव अंदर ही रहेगा।

एफ़िन विरूपण

एक विकृति को एफ़िन विरूपण कहा जाता है यदि इसे एफ़िन परिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। ऐसा परिवर्तन रैखिक परिवर्तन (जैसे रोटेशन, तनावयुक्त, विस्तार और संपीड़न) और कठोर भौतिक संरचना अनुवाद से बना है। एफ़िन विकृतियों को सजातीय विकृति भी कहा जाता है।^[8] इसलिए एफ़िन विरूपण का रूप होता है

\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)

जहाँ

x

विकृत विन्यास में बिंदु की स्थिति है,

X

संदर्भ विन्यास में स्थिति है,

t

समय-जैसा पैरामीटर है, इस प्रकार

F

रैखिक ट्रांसफार्मर है और

c

अनुवाद है. आव्यूह रूप में, जहां घटक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में होते हैं,

{\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}

उपरोक्त विकृति यदि असंबद्ध या अमानवीय हो जाती है

F = F (X, t)

या

c = c (X, t)

.

कठोर भौतिक संरचना गति

कठोर भौतिक संरचना गति विशेष एफ़िन विरूपण है जिसमें कोई तनावयुक्त, विस्तार या संपीड़न सम्मिलित नहीं है। परिवर्तन आव्यूह $F$ घूर्णन की अनुमति देने के लिए ऑर्थोगोनल आव्यूह है, अपितु कोई प्रतिबिंब (गणित) नहीं है।

एक कठोर भौतिक संरचना की गति का वर्णन किसके द्वारा किया जा सकता है?

\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)

जहाँ

{\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}

आव्यूह रूप में,

{\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}

विस्थापन

File:Displacement of a continuum.svg

चित्र 1. सातत्य पिंड की गति।

सातत्य पिंड के विन्यास में परिवर्तन के परिणामस्वरूप विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) उत्पन्न होता है। इस प्रकार किसी पिंड के विस्थापन के दो घटक होते हैं: कठोर-पिंड विस्थापन और विरूपण इसके प्रकार हैं। इस प्रकार कठोर-पिंड विस्थापन में भौतिक संरचना का आकार या आकार बदले बिना उसका साथ अनुवाद और घूर्णन सम्मिलित होता है। विरूपण का तात्पर्य प्रारंभिक या अविकृत विन्यास से भौतिक संरचना के आकार और/या आकार में परिवर्तन से है, जहाँ पर $κ 0 (B)$ किसी वर्तमान या विकृत विरूपण के लिए $κ t (B)$ (आकृति 1) को प्रदर्शित करते हैं।

यदि सातत्य के विस्थापन के बाद कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन होता है, तो विरूपण हुआ है। दूसरी ओर, यदि सातत्य के विस्थापन के बाद वर्तमान विन्यास में कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन शून्य है, तो कोई विरूपण नहीं होता है और कठोर-पिंड विस्थापन हुआ कहा जाता है।

अविकृत विन्यास और विकृत विन्यास में कण P की स्थिति को जोड़ने वाले सदिश को विस्थापन (सदिश) $u (X, t) = u i e i$ कहा जाता है, इस प्रकार लैग्रेंजियन विवरण में, या $U (x, t) = U J E J$ यूलेरियन विवरण में इसका उपयोग करते हैं।

विस्थापन क्षेत्र भौतिक संरचना के सभी कणों के लिए सभी विस्थापन सदिश का सदिश क्षेत्र है, जो इस प्रकार विकृत विन्यास को अविकृत विन्यास से जोड़ता है। किसी सातत्य पिंड की विकृति या गति का विश्लेषण विस्थापन क्षेत्र के संदर्भ में करना सुविधाजनक है। सामान्यतः विस्थापन क्षेत्र को सामग्री निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जाता है-

\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}

या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में

\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}

जहाँ

α Ji

यूनिट सदिश के साथ सामग्री और स्थानिक समन्वय प्रणालियों के बीच दिशा कोसाइन को क्रमश

E J

और

e i

द्वारा प्रदर्शित करते हैं । इस प्रकार

\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}

और

u i

और

U J

के बीच संबंध इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं-

u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}

जानते हुए भी

\mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}

तब

\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)

विकृत और विकृत विन्यासों के लिए समन्वय प्रणालियों को सुपरइम्पोज़ करना साधारण बात है, जिसके परिणामस्वरूप

b = 0

, और दिशा कोसाइन क्रोनकर डेल्टा बन जाते हैं:

\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}

इस प्रकार, हमारे पास है

\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}

या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में

\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}

विस्थापन प्रवणता तन्यता

सामग्री निर्देशांक के संबंध में विस्थापन सदिश का आंशिक विभेदन सामग्री विस्थापन प्रवणता तन्यता उत्पन्न करता है, इस प्रकार $\nabla X u$ . को हम उक्त समीकरण से स्पष्ट कर सकते हैं:

{\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}

या

{\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}

जहाँ $F$ विरूपण प्रवणता तन्यता है।

इसी प्रकार, स्थानिक निर्देशांक के संबंध में विस्थापन सदिश का आंशिक विभेदन स्थानिक विस्थापन प्रवणता तन्यता उत्पन्न करता है, जहाँ $\nabla x U$ को हम इस प्रकार प्रदर्शित कर सकते हैं,

{\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}

या

{\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}

विकृतियों के उदाहरण

सजातीय (या एफ़िन) विकृतियाँ सामग्रियों के व्यवहार को स्पष्ट करने में उपयोगी होती हैं। इस प्रकार कुछ सजातीय विकृतियाँ हम इस प्रकार देख सकते हैं-

समतल विकृतियाँ भी रुचिकर हैं, विशेषकर प्रायोगिक रूप से संदर्भित की जाती हैं।

समतल विरूपण

समतल विरूपण, जिसे समतल विकृति भी कहा जाता है, जहां इस प्रकार विरूपण संदर्भ विन्यास में किसी तल तक सीमित होता है। यदि विरूपण आधार सदिश द्वारा वर्णित समतल तक सीमित है, जिसके आधार पर इसे $e 1$ , $e 2$ , विरूपण प्रवणता का स्वरूप माना जाता है-

{\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}

आव्यूह रूप में,

{\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

ध्रुवीय अपघटन प्रमेय से, विरूपण प्रवणता, निर्देशांक के परिवर्तन तक, तन्यता और घूर्णन में विघटित हो सकती है। चूँकि इस प्रकार विकृति समतल में स्पष्ट होती है, इसलिए हम लिख सकते हैं^[8]

{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

जहाँ $θ$ घूर्णन का कोण है और $λ 1$ , $λ 2$ परिमित तनाव सिद्धांत हैं।

आइसोकोरिक समतल विरूपण

यदि विरूपण आइसोकोरिक (आयतन संरक्षण) है, तो $det(F) = 1$ को हम इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं-

F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1

वैकल्पिक रूप से,

\lambda _{1}\lambda _{2}=1

सरल तनावयुक्त

एक साधारण तनावयुक्त विरूपण को समद्विबाहु समतल विरूपण के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें दिए गए संदर्भ अभिविन्यास के साथ उक्त रेखा के तत्वों का समूह होता है, जो विरूपण के समय लंबाई और अभिविन्यास को परिवर्तित नहीं करता है।^[8]

अगर $e 1$ निश्चित संदर्भ अभिविन्यास है जिसमें विरूपण के समय रेखा तत्व विकृत नहीं होते हैं, इस प्रकार $λ 1 = 1$ और $F \cdot e 1 = e 1$ के लिए,

F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0

चूँकि विकृति समद्विबाहु है,

F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1

इसे परिभाषित करने के लिए हम इस प्रकार इसे लिख सकते हैं-

\gamma :=F_{12}

फिर, साधारण तनावयुक्त में विरूपण प्रवणता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

{\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

इसके पश्चात,

{\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}

चूंकि

\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}

हम विरूपण प्रवणता को इस प्रकार भी लिख सकते हैं

{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}

यह भी देखें

प्रवणता वाले बलों के कारण बीम (संरचना) या दीवार स्टड जैसे लंबे तत्वों की विकृति को विक्षेपण (अभियांत्रिकी) के रूप में जाना जाता है।
यूलर-बर्नौली किरण सिद्धांत
विरूपण (अभियांत्रिकी)
परिमित तनाव सिद्धांत
अनंतिम तनाव सिद्धांत
मोइरे क्रम
अपरूपण - मापांक
अपरूपण तनाव
तनावयुक्त बल
तनाव (यांत्रिकी)
तनाव के उपाय

संदर्भ

↑ Truesdell, C.; Noll, W. (2004). यांत्रिकी के गैर-रैखिक क्षेत्र सिद्धांत (3rd ed.). Springer. p. 48.
↑ Wu, H.-C. (2005). सातत्य यांत्रिकी और प्लास्टिसिटी. CRC Press. ISBN 1-58488-363-4.
↑ Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Archived from the original (PDF) on 2010-03-31.
↑ ^4.0 ^4.1 Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity: An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3. Archived from the original on 2017-12-22.
↑ "Earth."Encyclopædia Britannica from Encyclopædia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite DVD .[2009].
↑ Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity: An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. p. 41. ISBN 0-7506-8025-3. Archived from the original on 2017-12-22.
↑ Hencky, H. (1928). "Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen". Zeitschrift für technische Physik. 9: 215–220.
↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 Ogden, R. W. (1984). गैर-रैखिक लोचदार विकृतियाँ. Dover.

अग्रिम पठन

Bazant, Zdenek P.; Cedolin, Luigi (2010). Three-Dimensional Continuum Instabilities and Effects of Finite Strain Tensor, chapter 11 in "Stability of Structures", 3rd ed. Singapore, New Jersey, London: World Scientific Publishing. ISBN 978-9814317030.
Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Germany: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Continuum Methods of Physical Modeling. Germany: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
Jirasek, M; Bazant, Z.P. (2002). Inelastic Analysis of Structures. London and New York: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN 0-8493-1138-1.
Macosko, C. W. (1994). Rheology: principles, measurement and applications. VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Continuum Mechanics for Engineers (2nd ed.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
Prager, William (1961). Introduction to Mechanics of Continua. Boston: Ginn and Co. ISBN 0486438090.

[Truesdell-1] Truesdell, C.; Noll, W. (2004). यांत्रिकी के गैर-रैखिक क्षेत्र सिद्धांत (3rd ed.). Springer. p. 48.

[wu-2] Wu, H.-C. (2005). सातत्य यांत्रिकी और प्लास्टिसिटी. CRC Press. ISBN 1-58488-363-4.

[3] Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (PDF) (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Archived from the original (PDF) on 2010-03-31.

[rees-4] 4.0 ^4.1 Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity: An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3. Archived from the original on 2017-12-22.

[5] "Earth."Encyclopædia Britannica from Encyclopædia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite DVD .[2009].

[6] Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity: An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. p. 41. ISBN 0-7506-8025-3. Archived from the original on 2017-12-22.

[7] Hencky, H. (1928). "Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen". Zeitschrift für technische Physik. 9: 215–220.

[Ogden-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Ogden, R. W. (1984). गैर-रैखिक लोचदार विकृतियाँ. Dover.

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विकृति (भौतिकी): Difference between revisions

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Contents

तनाव

तनाव के उपाय

अभियांत्रिकी तनाव

तन्यता अनुपात

हेन्की तनाव या सत्य तनाव

ग्रीन तनाव

यूलर अल्मांसी तनाव

सामान्य और तनावयुक्त तनाव

सामान्य तनाव

तनावयुक्त विकृति

मीट्रिक तन्यता

विरूपण का विवरण

एफ़िन विरूपण

कठोर भौतिक संरचना गति

विस्थापन

विस्थापन प्रवणता तन्यता

विकृतियों के उदाहरण

समतल विरूपण

आइसोकोरिक समतल विरूपण

सरल तनावयुक्त

यह भी देखें

संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Transformation of a body from a reference configuration to a current configuration}}
-{{For|usage in engineering|Deformation (engineering)}}
+{{For|इंजीनियरिंग में उपयोग|विरूपण (इंजीनियरिंग)}}
-[[File:DeformationOfRod plain.svg|upright=1.4|thumb|एक पतली सीधी छड़ का बंद लूप में विरूपण। विरूपण के दौरान छड़ की लंबाई लगभग अपरिवर्तित रहती है, जो इंगित करती है कि तनाव छोटा है। झुकने के इस विशेष मामले में, रॉड में भौतिक तत्वों के कठोर अनुवाद और घुमाव से जुड़े विस्थापन, तनाव से जुड़े विस्थापन की तुलना में बहुत अधिक होते हैं।]]
+[[File:DeformationOfRod plain.svg|upright=1.4|thumb|एक पतली सीधी छड़ का संवृत लूप में विरूपण। विरूपण के समय छड़ की लंबाई लगभग अपरिवर्तित रहती है, जो इंगित करती है कि तनाव कम है। इस प्रकार प्रवणता के इस विशेष स्थिति में, रॉड में भौतिक तत्वों के कठोर अनुवाद और घुमाव से जुड़े विस्थापन, तनाव से जुड़े विस्थापन की तुलना में बहुत अधिक होते हैं।]]
 {{Continuum mechanics |solid}}
-भौतिकी और सातत्य यांत्रिकी में, विरूपण किसी पिंड का ''संदर्भ'' विन्यास से ''वर्तमान'' विन्यास में परिवर्तन है।<ref name=Truesdell>{{cite book|last1=Truesdell |first1=C. |last2=Noll |first2=W. |year=2004 |title=यांत्रिकी के गैर-रैखिक क्षेत्र सिद्धांत|edition=3rd |publisher=Springer |page=48}}</ref> कॉन्फ़िगरेशन एक ऐसा सेट है जिसमें शरीर के सभी कणों की स्थिति शामिल होती है।
+भौतिकी और सातत्य यांत्रिकी में, विरूपण या '''विकृति''' मुख्य रूप से किसी पिंड को ''संदर्भित'' करते समय उसके विन्यास से ''वर्तमान'' विन्यास में होने वाले परिवर्तन को दर्शाता है।<ref name=Truesdell>{{cite book|last1=Truesdell |first1=C. |last2=Noll |first2=W. |year=2004 |title=यांत्रिकी के गैर-रैखिक क्षेत्र सिद्धांत|edition=3rd |publisher=Springer |page=48}}</ref> इस प्रकार विरूपण या विकृति ऐसा समूह है, जिसमें किसी भौतिक संरचना के सभी कणों की स्थिति सम्मिलित होती है।
-[[संरचनात्मक भार]] के कारण विकृति हो सकती है,<ref name=wu>{{cite book|first=H.-C. |last=Wu |title=सातत्य यांत्रिकी और प्लास्टिसिटी|publisher=CRC Press |date=2005 |isbn=1-58488-363-4}}</ref> आंतरिक गतिविधि (जैसे मांसपेशी संकुचन), शारीरिक बल (जैसे [[गुरुत्वाकर्षण]] या [[विद्युत चुम्बकीय बल]]), या तापमान, नमी सामग्री, या रासायनिक प्रतिक्रियाओं आदि में परिवर्तन।
+[[संरचनात्मक भार]] के कारण विकृति हो सकती है,<ref name=wu>{{cite book|first=H.-C. |last=Wu |title=सातत्य यांत्रिकी और प्लास्टिसिटी|publisher=CRC Press |date=2005 |isbn=1-58488-363-4}}</ref> जिसके आधार पर किसी आंतरिक गतिविधि (जैसे मांसप्रस्तुती संकुचन), भौतिक बल (जैसे [[गुरुत्वाकर्षण]] या [[विद्युत चुम्बकीय बल]]), या तापमान, नमी सामग्री, या रासायनिक प्रतिक्रियाओं आदि में परिवर्तन प्रकट होता हैं।
-तनाव शरीर में कणों के ''सापेक्षिक'' विस्थापन के संदर्भ में विकृति से संबंधित है जो कठोर-शरीर गति को बाहर करता है। तनाव क्षेत्र की अभिव्यक्ति के लिए अलग-अलग समकक्ष विकल्प बनाए जा सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इसे शरीर के प्रारंभिक या अंतिम विन्यास के संबंध में परिभाषित किया गया है या नहीं और [[मीट्रिक टेंसर]] या इसके दोहरे पर विचार किया गया है या नहीं।
+तनाव किसी भौतिक संरचना में कणों के ''सापेक्षिक'' विस्थापन के संदर्भ में विकृति से संबंधित है जो कठोर-भौतिक संरचना गति को बाहर करता है। इस प्रकार किसी तनाव क्षेत्र की अभिव्यक्ति के लिए अलग-अलग समकक्ष विकल्प बनाए जा सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि इसे भौतिक संरचना के प्रारंभिक या अंतिम विन्यास के संबंध में परिभाषित किया गया है या नहीं और [[मीट्रिक टेंसर|मीट्रिक तन्यता]] या इसके दोहरे पर विचार किया गया है या नहीं किया गया हैं।
-एक निरंतर शरीर में, लागू बलों के कारण या शरीर के तापमान क्षेत्र में कुछ बदलावों के कारण [[तनाव (भौतिकी)]] क्षेत्र से एक विरूपण क्षेत्र उत्पन्न होता है। तनाव और तनाव के बीच संबंध संवैधानिक समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, [[रैखिक लोच]] सामग्री के लिए हुक का नियम। तनाव क्षेत्र हटा दिए जाने के बाद जो विकृतियाँ समाप्त हो जाती हैं, उन्हें लोचदार विकृति कहा जाता है। इस मामले में, सातत्य पूरी तरह से अपने मूल विन्यास को पुनः प्राप्त कर लेता है। दूसरी ओर, अपरिवर्तनीय विकृतियाँ बनी रहती हैं। तनाव दूर हो जाने के बाद भी वे मौजूद रहते हैं। एक प्रकार की अपरिवर्तनीय विकृति प्लास्टिक विकृति है, जो भौतिक निकायों में तब होती है जब तनाव एक निश्चित सीमा मान प्राप्त कर लेता है जिसे ''लोचदार सीमा'' या [[ उपज (इंजीनियरिंग) ]] के रूप में जाना जाता है, और यह स्लिप (सामग्री विज्ञान), या [[अव्यवस्था]] का परिणाम है परमाणु स्तर पर तंत्र. एक अन्य प्रकार की अपरिवर्तनीय विकृति चिपचिपा विरूपण है, जो [[ viscoelasticity ]] विरूपण का अपरिवर्तनीय हिस्सा है।
+किसी निरंतर भौतिक संरचना में, लागू होने वाले बलों के कारण या भौतिक संरचना के तापमान क्षेत्र में होने वाले इस प्रकार के कुछ परिवर्तनों के कारण [[तनाव (भौतिकी)]] क्षेत्र से विरूपण क्षेत्र उत्पन्न होता है। इस प्रकार तनाव और तनाव के बीच संबंध संवैधानिक समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, [[रैखिक लोच|रैखिक तन्यता]] सामग्री के लिए हुक का नियम इसका मुख्य उदाहरण हैं। इस प्रकार तनाव क्षेत्र हटा दिए जाने के पश्चात जो विकृतियाँ समाप्त हो जाती हैं, उन्हें तन्यतादार विकृति कहा जाता है। इस स्थिति में, सातत्य पूरी तरह से अपने मूल विन्यास को पुनः प्राप्त कर लेता है। इसी प्रकार दूसरी ओर अपरिवर्तनीय विकृतियाँ बनी रहती हैं। इस प्रकार तनाव दूर हो जाने के बाद भी वे सम्मिलित रहते हैं। प्रकार की अपरिवर्तनीय विकृति प्लास्टिक विकृति है, जो भौतिक निकायों में तब होती है जब तनाव निश्चित सीमा मान प्राप्त कर लेता है जिसे ''तन्यतायुक्त सीमा'' या [[ उपज (इंजीनियरिंग) |उपज (अभियांत्रिकी)]] के रूप में जाना जाता है, और यह स्लिप (सामग्री विज्ञान), या [[अव्यवस्था]] का परिणाम है परमाणु स्तर पर तंत्र. अन्य प्रकार की अपरिवर्तनीय विकृति का मुख्य तन्यतायुक्त विरूपण है, जो [[ viscoelasticity |विस्को तन्यता]] विरूपण का अपरिवर्तनीय का भाग है।
-लोचदार विकृतियों के मामले में, विकृत तनाव को तनाव से जोड़ने वाला प्रतिक्रिया कार्य सामग्री की हुक के नियम#टेंसर अभिव्यक्ति है।
+तन्यतादार विकृतियों की स्थिति में, विकृत तनाव को तनाव से जोड़ने वाला प्रतिक्रिया कार्य सामग्री की हुक के नियम में तन्यता अभिव्यक्ति होती है।
 ==तनाव==
-{{See also|Stress measures|Strain rate}}
+{{See also|तनाव के उपाय|तनाव की दर}}
-तनाव एक संदर्भ लंबाई के सापेक्ष शरीर में कणों के बीच विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।
-किसी पिंड की विकृति को रूप में व्यक्त किया जाता है {{math|1='''x''' = '''''F'''''('''X''')}} कहाँ {{math|'''X'''}} शरीर के भौतिक बिंदुओं की संदर्भ स्थिति है। ऐसा माप शरीर की कठोर गतियों (अनुवाद और घुमाव) और शरीर के आकार (और आकार) में परिवर्तन के बीच अंतर नहीं करता है। एक विकृति में लंबाई की इकाइयाँ होती हैं।
+तनाव संदर्भ लंबाई के सापेक्ष भौतिक संरचना में कणों के बीच विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।
-उदाहरण के लिए, हम तनाव को परिभाषित कर सकते हैं
+किसी पिंड की विकृति को {{math|1='''x''' = '''''F'''''('''X''')}} के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ {{math|'''X'''}} भौतिक संरचना के भौतिक बिंदुओं की संदर्भ स्थिति है। ऐसा माप भौतिक संरचना की कठोर गतियों के कारण होने वाले अनुवाद और घुमाव और इस प्रकार की भौतिक संरचना के आकार में परिवर्तन के बीच अंतर नहीं करता है। जिसके आधार पर विकृति में लंबाई की इकाइयाँ होती हैं।
-<math display="block"> \boldsymbol{\varepsilon} \doteq \cfrac{\partial}{\partial\mathbf{X}}\left(\mathbf{x} - \mathbf{X}\right)
-  = \boldsymbol{F}'- \boldsymbol{I},</math>
+उदाहरण के लिए, हम तनाव को परिभाषित कर सकते हैं<math display="block"> \boldsymbol{\varepsilon} \doteq \cfrac{\partial}{\partial\mathbf{X}}\left(\mathbf{x} - \mathbf{X}\right)
-कहाँ {{mvar|'''I'''}} पहचान मैट्रिक्स है.
+  = \boldsymbol{F}'- \boldsymbol{I},</math>जहाँ {{mvar|'''I'''}} आव्यूह को दर्शाता है, इसलिए उपभेद आयामहीन होते हैं और सामान्यतः [[दशमलव]], प्रतिशत या भागों-प्रति अंकन के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। तनाव मापते हैं कि दी गई विकृति स्थानीय रूप से कठोर-भौतिक संरचना विरूपण से कितनी भिन्न है।<ref>{{cite book
-इसलिए उपभेद आयामहीन होते हैं और आमतौर पर [[दशमलव]], प्रतिशत या भागों-प्रति अंकन के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। स्ट्रेन मापते हैं कि दी गई विकृति स्थानीय रूप से कठोर-शरीर विरूपण से कितनी भिन्न है।<ref>{{cite book
   |last        = Lubliner
   |first       = Jacob
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   |archive-url  = https://web.archive.org/web/20100331022415/http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
   |archive-date = 2010-03-31
-}}</ref>
+}}</ref> इस प्रकार किसी तनाव को सामान्यतः उसकी [[ टेन्सर |तन्यता]] की मात्रा होती है। इस प्रकार उपभेदों में भौतिक अंतर्दृष्टि यह देखकर प्राप्त की जा सकती है कि किसी दिए गए तनाव को सामान्य और तनावयुक्त घटकों में विघटित किया जा सकता है। इस प्रकार सामग्री रेखा तत्वों या तंतुओं के साथ तन्यता या संपीड़न की मात्रा सामान्य तनाव है, और विकृत भौतिक संरचना के भीतर दूसरे के ऊपर समतल परतों के फिसलने से जुड़ी विकृति की मात्रा तनाव को प्रकट करती है।<ref name="rees">{{Cite book
-एक स्ट्रेन सामान्यतः एक [[ टेन्सर ]] मात्रा होती है। उपभेदों में भौतिक अंतर्दृष्टि यह देखकर प्राप्त की जा सकती है कि किसी दिए गए तनाव को सामान्य और कतरनी घटकों में विघटित किया जा सकता है। सामग्री रेखा तत्वों या तंतुओं के साथ खिंचाव या संपीड़न की मात्रा सामान्य तनाव है, और एक विकृत शरीर के भीतर एक दूसरे के ऊपर समतल परतों के फिसलने से जुड़ी विकृति की मात्रा कतरनी तनाव है।<ref name=rees>{{Cite book
   |last        = Rees
   |first       = David
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   |archive-url = https://web.archive.org/web/20171222205706/https://books.google.com/books?id=4KWbmn_1hcYC
   |archive-date = 2017-12-22
-}}</ref> इसे बढ़ाव, छोटा करने, या आयतन परिवर्तन, या कोणीय विरूपण द्वारा लागू किया जा सकता है।<ref>"Earth."Encyclopædia Britannica from [[Encyclopædia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite DVD]] .[2009].</ref>
+}}</ref> इसे बढ़ाने या कम करने, या आयतन परिवर्तन, या कोणीय विरूपण द्वारा लागू किया जा सकता है।<ref>"Earth."Encyclopædia Britannica from [[Encyclopædia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite DVD]] .[2009].</ref>
-एक सातत्य पिंड के सातत्य यांत्रिकी में तनाव की स्थिति को सामग्री रेखाओं या तंतुओं की लंबाई में सभी परिवर्तनों की समग्रता, सामान्य तनाव, जो उस बिंदु से होकर गुजरता है और इसके बीच के कोण में सभी परिवर्तनों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। रेखाओं के जोड़े शुरू में एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, कतरनी तनाव, इस बिंदु से विकीर्ण होता है। हालाँकि, तीन परस्पर लंबवत दिशाओं के सेट पर तनाव के सामान्य और कतरनी घटकों को जानना पर्याप्त है।
+किसी सातत्य पिंड के सातत्य यांत्रिकी में तनाव की स्थिति को सामग्री रेखाओं या तंतुओं की लंबाई में सभी परिवर्तनों की समग्रता, सामान्य तनाव, जो उस बिंदु से होकर गुजरता है, और इसके बीच के कोण में सभी परिवर्तनों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार इन रेखाओं के जोड़े प्रारंभ में एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, इस प्रकार तनावयुक्त तनाव जिस बिंदु से विकीर्ण होता है। चूंकि तीन परस्पर लंबवत दिशाओं के समूह पर तनाव के सामान्य और तनावयुक्त घटकों को जानना पर्याप्त है।
 यदि सामग्री रेखा की लंबाई में वृद्धि होती है, तो सामान्य तनाव को तन्य तनाव कहा जाता है, अन्यथा, यदि सामग्री रेखा की लंबाई में कमी या संपीड़न होता है, तो इसे संपीड़न तनाव कहा जाता है।
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 ===तनाव के उपाय===
 तनाव, या स्थानीय विरूपण की मात्रा के आधार पर, विरूपण के विश्लेषण को तीन विरूपण सिद्धांतों में विभाजित किया गया है:
-* [[परिमित तनाव सिद्धांत]], जिसे बड़े तनाव सिद्धांत, बड़े विरूपण सिद्धांत भी कहा जाता है, उन विकृतियों से संबंधित है जिनमें घूर्णन और तनाव दोनों मनमाने ढंग से बड़े होते हैं। इस मामले में, कॉन्टिनम यांत्रिकी के अविकसित और विकृत विन्यास काफी भिन्न हैं और उनके बीच एक स्पष्ट अंतर करना होगा। यह आमतौर पर [[[[ elastomer ]]]]्स, [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)]]|प्लास्टिक रूप से विकृत सामग्री और अन्य [[तरल]] पदार्थ और जैविक नरम ऊतक के मामले में होता है।
+* [[परिमित तनाव सिद्धांत]], जिसे बड़े तनाव सिद्धांत, बड़े विरूपण सिद्धांत भी कहा जाता है, उन विकृतियों से संबंधित है जिनमें घूर्णन और तनाव दोनों विधियों से बड़े होते हैं। इस स्थिति में, कॉन्टिनम यांत्रिकी के अविकसित और विकृत विन्यास अधिक भिन्न हैं और उनके बीच स्पष्ट अंतर करना होगा। यह सामान्यतः [[ elastomer | इलैस्टोमर]] , [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)]] या प्लास्टिक रूप से विकृत सामग्री और अन्य [[तरल]] पदार्थ और जैविक नरम ऊतक की स्थिति में होता है।
-* [[अनंतिम तनाव सिद्धांत]], जिसे लघु तनाव सिद्धांत, लघु विरूपण सिद्धांत, लघु विस्थापन सिद्धांत, या लघु विस्थापन-ढाल सिद्धांत भी कहा जाता है जहां तनाव और घूर्णन दोनों छोटे होते हैं। इस मामले में, शरीर के अविकसित और विकृत विन्यास को समान माना जा सकता है। इनफिनिटसिमल स्ट्रेन सिद्धांत का उपयोग विरूपण (इंजीनियरिंग)#इलास्टिक विरूपण व्यवहार को प्रदर्शित करने वाली सामग्रियों के विरूपण के विश्लेषण में किया जाता है, जैसे कि मैकेनिकल और सिविल इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में पाई जाने वाली सामग्री, जैसे कंक्रीट और स्टील.
+* [[अनंतिम तनाव सिद्धांत]], जिसे लघु तनाव सिद्धांत, लघु विरूपण सिद्धांत, लघु विस्थापन सिद्धांत, या लघु विस्थापन-ढाल सिद्धांत भी कहा जाता है, जहां तनाव और घूर्णन दोनों कम होते हैं। इस स्थिति में, भौतिक संरचना के अविकसित और विकृत विन्यास को समान माना जा सकता है। इस प्रकार इसके आधार पर इनफिनिटसिमल तनाव सिद्धांत का उपयोग विरूपण के लिए इलास्टिक विरूपण व्यवहार को प्रदर्शित करने वाली सामग्रियों के विरूपण के विश्लेषण में किया जाता है, जैसे कि यांत्रिक और सिविल अभियांत्रिकी के अनुप्रयोगों में पाई जाने वाली सामग्री, जैसे कंक्रीट और स्टील इत्यादि।
-* बड़े-विस्थापन या बड़े-रोटेशन सिद्धांत, जो छोटे तनाव लेकिन बड़े घूर्णन और विस्थापन को मानता है।
+* बड़े-विस्थापन या बड़े-रोटेशन सिद्धांत, जो कम तनाव अपितु बड़े घूर्णन और विस्थापन को मानता है।
+इनमें से प्रत्येक सिद्धांत में तनाव को अलग-अलग तरीके से परिभाषित किया गया है। इसके आधार पर अभियांत्रिकी तनाव यांत्रिक और संरचनात्मक अभियांत्रिकी में उपयोग की जाने वाली सामग्रियों पर लागू होने वाली सबसे साधारण परिभाषा है, जो इस प्रकार बहुत कम विकृतियों के अधीन होती है। दूसरी ओर, कुछ सामग्रियों के लिए, जैसे, इलास्टोमर्स और पॉलिमर, बड़े विरूपण के अधीन, तनाव की अभियांत्रिकी परिभाषा लागू नहीं होती है, उदाहरण के लिए विशिष्ट अभियांत्रिकी तनाव 1% से अधिक,<ref>{{Cite book| last = Rees| first = David| title = Basic Engineering Plasticity: An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications| publisher = Butterworth-Heinemann| year = 2006| page = 41| url = https://books.google.com/books?id=4KWbmn_1hcYC | isbn = 0-7506-8025-3 | url-status = live| archive-url = https://web.archive.org/web/20171222205706/https://books.google.com/books?id=4KWbmn_1hcYC | archive-date = 2017-12-22}}</ref> इस प्रकार तनाव की अन्य अधिक जटिल परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, जैसे स्ट्रेच, लॉगरिदमिक तनाव, ग्रीन तनाव और अलमांसी तनाव इसके प्रमुख उदाहरण हैं।
+====अभियांत्रिकी तनाव====
+'''अभियांत्रिकी तनाव''', जिसे कॉची तनाव के रूप में भी जाना जाता है, जिसको भौतिक संरचना के प्रारंभिक आयाम के कुल विरूपण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है जिस पर बल लागू होते हैं। इस प्रकार ''अभियांत्रिकी सामान्य तनाव'' या ''अभियांत्रिकी एक्सटेंशनल तनाव'' या ''नाममात्र तनाव''  के अक्षीय रूप से लोड किए गए सामग्री लाइन तत्व या फाइबर की लंबाई में परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जाता है, यहाँ पर {{math|Δ''L''}} मूल लंबाई की प्रति इकाई {{mvar|L}} रेखा तत्व या तंतुओं का अंतर प्रकट करता हैं। जिसके आधार पर यदि भौतिक तंतुओं को खींचा जाता है तो सामान्य तनाव धनात्मक होता है और यदि वे संपीड़ित होते हैं तो ऋणात्मक होता है। इस प्रकार इसे हम इस प्रकार प्रकट कर सकते हैं-<math display="block"> e=\frac{\Delta L}{L} = \frac{l -L}{L}</math>
-इनमें से प्रत्येक सिद्धांत में तनाव को अलग-अलग तरीके से परिभाषित किया गया है। इंजीनियरिंग स्ट्रेन मैकेनिकल और संरचनात्मक इंजीनियरिंग में उपयोग की जाने वाली सामग्रियों पर लागू होने वाली सबसे आम परिभाषा है, जो बहुत छोटी विकृतियों के अधीन होती है। दूसरी ओर, कुछ सामग्रियों के लिए, जैसे, इलास्टोमर्स और पॉलिमर, बड़े विरूपण के अधीन, तनाव की इंजीनियरिंग परिभाषा लागू नहीं होती है, उदाहरण के लिए। विशिष्ट इंजीनियरिंग स्ट्रेन 1% से अधिक,<ref>{{Cite book| last = Rees| first = David| title = Basic Engineering Plasticity: An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications| publisher = Butterworth-Heinemann| year = 2006| page = 41| url = https://books.google.com/books?id=4KWbmn_1hcYC | isbn = 0-7506-8025-3 | url-status = live| archive-url = https://web.archive.org/web/20171222205706/https://books.google.com/books?id=4KWbmn_1hcYC | archive-date = 2017-12-22}}</ref> इस प्रकार स्ट्रेन की अन्य अधिक जटिल परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, जैसे स्ट्रेच, लॉगरिदमिक स्ट्रेन, ग्रीन स्ट्रेन और अलमांसी स्ट्रेन।
+जहाँ {{mvar|e}} अभियांत्रिकी सामान्य तनाव है, {{mvar|L}} फाइबर की मूल लंबाई है और {{mvar|l}} फाइबर की अंतिम लंबाई है। इस प्रकार तनाव के माप अधिकांशतः प्रति मिलियन भाग या माइक्रोतनाव में व्यक्त किए जाते हैं।
-====इंजीनियरिंग तनाव====
+वास्तविक तनावयुक्त तनाव को दो भौतिक रेखा तत्वों के बीच कोण में परिवर्तन (रेडियन में) के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्रारंभ में अपरिवर्तित या प्रारंभिक विन्यास में दूसरे के लंबवत थे। अभियांत्रिकी तनावयुक्त तनाव को उस कोण के स्पर्शरेखा के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह बल अनुप्रयोग के समतल में लंबवत लंबाई से विभाजित अधिकतम विरूपण की लंबाई के बराबर है जो कभी-कभी गणना करना आसान बनाता है।
-इंजीनियरिंग स्ट्रेन, जिसे कॉची स्ट्रेन के रूप में भी जाना जाता है, को भौतिक शरीर के प्रारंभिक आयाम के कुल विरूपण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है जिस पर बल लागू होते हैं। ''इंजीनियरिंग सामान्य स्ट्रेन'' या ''इंजीनियरिंग एक्सटेंशनल स्ट्रेन'' या ''नाममात्र स्ट्रेन'' {{mvar|e}अक्षीय रूप से लोड किए गए सामग्री लाइन तत्व या फाइबर की लंबाई में परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जाता है {{math|Δ''L''}} मूल लंबाई की प्रति इकाई {{mvar|L}} रेखा तत्व या तंतुओं का। यदि भौतिक तंतुओं को खींचा जाता है तो सामान्य तनाव सकारात्मक होता है और यदि वे संपीड़ित होते हैं तो नकारात्मक होता है। इस प्रकार, हमारे पास है
-<math display="block"> e=\frac{\Delta L}{L} = \frac{l -L}{L}</math>
-कहाँ {{mvar|e}} इंजीनियरिंग सामान्य तनाव है, {{mvar|L}} फाइबर की मूल लंबाई है और {{mvar|l}} फाइबर की अंतिम लंबाई है। तनाव के माप अक्सर प्रति मिलियन भाग या माइक्रोस्ट्रेन में व्यक्त किए जाते हैं।
-वास्तविक कतरनी तनाव को दो भौतिक रेखा तत्वों के बीच कोण में परिवर्तन (रेडियन में) के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्रारंभ में अपरिवर्तित या प्रारंभिक विन्यास में एक दूसरे के लंबवत थे। इंजीनियरिंग कतरनी तनाव को उस कोण के स्पर्शरेखा के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह बल अनुप्रयोग के विमान में लंबवत लंबाई से विभाजित अधिकतम विरूपण की लंबाई के बराबर है जो कभी-कभी गणना करना आसान बनाता है।
+====तन्यता अनुपात====
+'''तन्यता अनुपात''' या विस्तार अनुपात विभेदक रेखा तत्व के विस्तारित या सामान्य तनाव का माप है, जिसे विकृत विन्यास या विकृत विन्यास पर परिभाषित किया जा सकता है। इसे अंतिम लंबाई के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|l}} और प्रारंभिक लंबाई {{mvar|L}} सामग्री रेखा का.<math display="block"> \lambda = \frac{l}{L}</math>विस्तार अनुपात लगभग अभियांत्रिकी तनाव से संबंधित है<math display="block"> e = \frac{l-L}{L} = \lambda - 1</math>इस समीकरण का तात्पर्य है कि सामान्य तनाव शून्य है, जिससे कि जब तन्यता के एकीकरण के बराबर हो तो कोई विकृति उत्पन्न नहीं होता हैं।
-====खिंचाव अनुपात====
-खिंचाव अनुपात या विस्तार अनुपात एक विभेदक रेखा तत्व के विस्तारित या सामान्य तनाव का एक माप है, जिसे विकृत विन्यास या विकृत विन्यास पर परिभाषित किया जा सकता है। इसे अंतिम लंबाई के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|l}} और प्रारंभिक लंबाई {{mvar|L}} सामग्री रेखा का.
-<math display="block"> \lambda = \frac{l}{L}</math>
-विस्तार अनुपात लगभग इंजीनियरिंग स्ट्रेन से संबंधित है
-<math display="block"> e = \frac{l-L}{L} = \lambda - 1</math>
-इस समीकरण का तात्पर्य है कि सामान्य तनाव शून्य है, ताकि जब खिंचाव एकता के बराबर हो तो कोई विकृति न हो।
-खिंचाव अनुपात का उपयोग उन सामग्रियों के विश्लेषण में किया जाता है जो बड़ी विकृतियों को प्रदर्शित करते हैं, जैसे इलास्टोमर्स, जो विफल होने से पहले 3 या 4 के खिंचाव अनुपात को बनाए रख सकते हैं। दूसरी ओर, पारंपरिक इंजीनियरिंग सामग्री, जैसे कंक्रीट या स्टील, बहुत कम खिंचाव अनुपात में विफल हो जाती हैं।
+तन्यता अनुपात का उपयोग उन सामग्रियों के विश्लेषण में किया जाता है, जो इस प्रकार बड़ी विकृतियों को प्रदर्शित करते हैं, जैसे इलास्टोमर्स, जो विफल होने से पहले 3 या 4 के तन्यता अनुपात को बनाए रख सकते हैं। दूसरी ओर, पारंपरिक अभियांत्रिकी सामग्री, जैसे कंक्रीट या स्टील, बहुत कम तन्यता अनुपात में विफल हो जाती हैं।
-====सच्चा तनाव====
+====हेन्की तनाव या सत्य तनाव====
-लघुगणक तनाव {{mvar|ε}}, जिसे ट्रू स्ट्रेन या हेन्की स्ट्रेन भी कहा जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Hencky |first=H. | date=1928|title=Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen|journal=Zeitschrift für technische Physik|volume=9|pages=215–220}}</ref> वृद्धिशील तनाव पर विचार (लुडविक)
+लघुगणक तनाव {{mvar|ε}}, जिसे ट्रू तनाव या '''हेन्की तनाव''' भी कहा जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Hencky |first=H. | date=1928|title=Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen|journal=Zeitschrift für technische Physik|volume=9|pages=215–220}}</ref> इसके वृद्धिशील तनाव पर विचार करने पर यह समीकरण प्राप्त होता हैं-<math display="block">\delta \varepsilon = \frac{\delta l}{l}</math>इस वृद्धिशील तनाव को एकीकृत करके लघुगणकीय तनाव प्राप्त किया जाता है:<math display="block"> \begin{align}
-<math display="block">\delta \varepsilon = \frac{\delta l}{l}</math>
-इस वृद्धिशील तनाव को एकीकृत करके लघुगणकीय तनाव प्राप्त किया जाता है:
-<math display="block"> \begin{align}
 \int\delta \varepsilon &= \int_L^l \frac{\delta l}{l} \\
 \varepsilon &= \ln\left(\frac{l}{L}\right) = \ln (\lambda) \\
@@ Line 87: / Line 81: @@
 &= e - \frac{e^2}{2} + \frac{e^3}{3} - \cdots
 \end{align}</math>
-कहाँ {{mvar|e}} इंजीनियरिंग स्ट्रेन है। जब तनाव पथ के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए वृद्धि की श्रृंखला में विरूपण होता है तो लॉगरिदमिक तनाव अंतिम तनाव का सही माप प्रदान करता है।<ref name=rees/>
-====हरा तनाव====
+जहाँ {{mvar|e}} अभियांत्रिकी तनाव है। जब तनाव पथ के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए वृद्धि की श्रृंखला में विरूपण होता है तो लॉगरिदमिक तनाव अंतिम तनाव का सही माप प्रदान करता है।<ref name="rees" />
-{{main|Finite strain theory#Finite strain tensors|l1=Finite strain theory}}
+====ग्रीन तनाव====
-ग्रीन स्ट्रेन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+{{main|परिमित तनाव सिद्धांत#परिमित तनाव टेंसर|l1=परिमित तनाव सिद्धांत}}
-<math display="block">\varepsilon_G = \tfrac{1}{2} \left(\frac{l^2-L^2}{L^2}\right) = \tfrac{1}{2} (\lambda^2-1)</math>
+ग्रीन तनाव को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:<math display="block">\varepsilon_G = \tfrac{1}{2} \left(\frac{l^2-L^2}{L^2}\right) = \tfrac{1}{2} (\lambda^2-1)</math>
+==== यूलर अल्मांसी तनाव ====
+{{main|परिमित तनाव सिद्धांत#परिमित तनाव टेंसर|l1=परिमित तनाव सिद्धांत}}
-==== दो पंक्तियाँ भूल गया ====
+'''यूलर-अल्मांसी तनाव''' को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
-{{main|Finite strain theory#Finite strain tensors|l1=Finite strain theory}}
-यूलर-अल्मांसी स्ट्रेन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 <math display="block">\varepsilon_E = \tfrac{1}{2} \left(\frac{l^2-L^2}{l^2}\right) = \tfrac{1}{2} \left(1-\frac{1}{\lambda^2}\right)</math>
+===सामान्य और तनावयुक्त तनाव===
+[[File:2D geometric strain.svg|upright=1.6|thumb|एक अतिसूक्ष्म भौतिक तत्व का द्वि-आयामी ज्यामितीय विरूपण]]उपभेदों को सामान्य या तनावयुक्त के रूप में वर्गीकृत किया गया है। सामान्य विकृति किसी तत्व के चेहरे पर लंबवत होती है, और तनावयुक्त विकृति इसके समानांतर होती है। ये परिभाषाएँ सामान्य तनाव और तनावयुक्त तनाव के अनुरूप हैं।
-===सामान्य और कतरनी तनाव===
-[[File:2D geometric strain.svg|upright=1.6|thumb|एक अतिसूक्ष्म भौतिक तत्व का द्वि-आयामी ज्यामितीय विरूपण]]उपभेदों को सामान्य या कतरनी के रूप में वर्गीकृत किया गया है। एक सामान्य विकृति किसी तत्व के चेहरे पर लंबवत होती है, और एक कतरनी विकृति इसके समानांतर होती है। ये परिभाषाएँ सामान्य तनाव और कतरनी तनाव के अनुरूप हैं।
 ====सामान्य तनाव====
-एक [[ समदैशिक ]] सामग्री के लिए जो हुक के नियम का पालन करती है, एक सामान्य तनाव एक सामान्य तनाव का कारण बनेगा। सामान्य उपभेद फैलाव उत्पन्न करते हैं।
+किसी [[ समदैशिक |समदैशिक]] सामग्री के लिए जो हुक के नियम का पालन करती है, इस प्रकार सामान्य तनाव सामान्य तनाव का कारण बनेगा। इस प्रकार सामान्य उपभेद विस्तार उत्पन्न करते हैं।
-आयामों वाले एक द्वि-आयामी, अतिसूक्ष्म, आयताकार भौतिक तत्व पर विचार करें {{math|''dx'' × ''dy''}}, जो विरूपण के बाद एक समचतुर्भुज का रूप ले लेता है। विरूपण का वर्णन [[विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी)]] द्वारा किया गया है {{math|'''u'''}}. आसन्न आकृति की ज्यामिति से हमारे पास है
+आयामों वाले द्वि-आयामी, अतिसूक्ष्म, आयताकार भौतिक तत्व पर विचार करें {{math|''dx'' × ''dy''}}, जो विरूपण के बाद समचतुर्भुज का रूप ले लेता है। इस प्रकार विरूपण का वर्णन [[विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी)]] द्वारा किया गया है {{math|'''u'''}}. आसन्न आकृति की ज्यामिति से हमारे पास है<math display="block"> \mathrm{length}(AB) = dx </math>और<math display="block">\begin{align}
-<math display="block"> \mathrm{length}(AB) = dx </math>
-और
-<math display="block">\begin{align}
 \mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\
 &= \sqrt{dx^2\left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x} \right)^2 + dx^2\left( \frac{\partial u_y}{\partial x} \right)^2} \\
 &= dx~\sqrt{\left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x} \right)^2}
 \end{align}</math>
-बहुत छोटे विस्थापन ग्रेडियेंट के लिए व्युत्पन्न के वर्ग <math>u_y</math> और <math>u_x</math> नगण्य हैं और हमारे पास हैं
-<math display="block"> \mathrm{length}(ab) \approx dx \left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x}\right) = dx + \frac{\partial u_x}{\partial x} dx </math>
-में सामान्य तनाव {{mvar|x}}-आयताकार तत्व की दिशा परिभाषित की जाती है
-<math display="block"> \varepsilon_x = \frac{\text{extension}}{\text{original length}} = \frac{\mathrm{length}(ab) - \mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)}
- = \frac{\partial u_x}{\partial x}</math>
-इसी प्रकार, सामान्य तनाव {{mvar|y}}- और {{mvar|z}}-दिशाएँ बन जाती हैं
-<math display="block">\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad , \qquad \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}</math>
-====कतरनी विकृति====
+बहुत कम विस्थापन ग्रेडियेंट के लिए व्युत्पन्न के वर्ग <math>u_y</math> और <math>u_x</math> इसका मान नगण्य हैं, इस प्रकार हमें उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं-<math display="block"> \mathrm{length}(ab) \approx dx \left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x}\right) = dx + \frac{\partial u_x}{\partial x} dx </math>जिसमें सामान्य तनाव {{mvar|x}}-आयताकार तत्व की दिशा परिभाषित की जाती है<math display="block"> \varepsilon_x = \frac{\text{extension}}{\text{original length}} = \frac{\mathrm{length}(ab) - \mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)}
+ = \frac{\partial u_x}{\partial x}</math>इसी प्रकार, सामान्य तनाव {{mvar|y}}- और {{mvar|z}}-दिशाएँ बन जाती हैं<math display="block">\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad , \qquad \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}</math>
+====तनावयुक्त विकृति====
 {{Infobox Physical quantity
 | bgcolour =
@@ Line 135: / Line 120: @@
 | derivations = {{math|1=''γ'' = {{sfrac|[[Shear stress|''τ'']]|[[Shear modulus|''G'']]}}}}
 }}
-इंजीनियरिंग कतरनी तनाव ({{math|''γ<sub>xy</sub>''}}) को रेखाओं के बीच कोण में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है {{overline|''AC''}} और {{overline|''AB''}}. इसलिए,
+अभियांत्रिकी '''तनावयुक्त विकृति''' ({{math|''γ<sub>xy</sub>''}}) को रेखाओं के बीच कोण में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है, इस प्रकार {{overline|''AC''}} और {{overline|''AB''}} के मान को इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं-<math display="block"> \gamma_{xy} = \alpha + \beta </math>आकृति की ज्यामिति से, हमारे पास है<math display="block">\begin{align}
-<math display="block"> \gamma_{xy} = \alpha + \beta </math>
-आकृति की ज्यामिति से, हमारे पास है
-<math display="block">\begin{align}
    \tan \alpha & = \frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x} dx}{dx + \tfrac{\partial u_x}{\partial x}dx} = \frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1 + \tfrac{\partial u_x}{\partial x}} \\
    \tan \beta & = \frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}}
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>कम विस्थापन वाले ग्रेडियेंट के लिए हमारे पास है<math display="block"> \frac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~;~~ \frac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1 </math>कम घुमावों के लिए, अर्ताथ। {{mvar|α}} और {{mvar|β}} हमारे पास ≪ 1 हैं, {{math|tan ''α'' ≈ ''α''}}, {{math|tan ''β'' ≈ ''β''}}. इसलिए,<math display="block"> \alpha \approx \frac{\partial u_y}{\partial x} ~;~~ \beta \approx \frac{\partial u_x}{\partial y} </math>
-छोटे विस्थापन ग्रेडियेंट के लिए हमारे पास है
-<math display="block"> \frac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~;~~ \frac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1 </math>
-छोटे घुमावों के लिए, यानी। {{mvar|α}} और {{mvar|β}} हमारे पास ≪ 1 हैं {{math|tan ''α'' ≈ ''α''}}, {{math|tan ''β'' ≈ ''β''}}. इसलिए,
-<math display="block"> \alpha \approx \frac{\partial u_y}{\partial x} ~;~~ \beta \approx \frac{\partial u_x}{\partial y} </math>
 इस प्रकार
 <math display="block">\gamma_{xy} = \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}</math>
-अदला-बदली करके {{mvar|x}} और {{mvar|y}} और {{math|''u<sub>x</sub>''}} और {{math|''u<sub>y</sub>''}}, ऐसा दिखाया जा सकता है {{math|1=''γ<sub>xy</sub>'' = ''γ<sub>yx</sub>''}}.
+एक दूसरे में परिवर्तन करने के पश्चात  {{mvar|x}} और {{mvar|y}} और {{math|''u<sub>x</sub>''}} और {{math|''u<sub>y</sub>''}}, को इस प्रकार दिखाया जा सकता है
+{{math|1=''γ<sub>xy</sub>'' = ''γ<sub>yx</sub>''}}.
-इसी प्रकार, के लिए {{mvar|yz}}- और {{mvar|xz}}-विमान, हमारे पास है
+इसी प्रकार, के लिए {{mvar|yz}}- और {{mvar|xz}}-समतल के लिए हमारे पास उक्त समीकरण है-<math display="block">\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad , \qquad \gamma_{zx} = \gamma_{xz} = \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}</math>इनफिनिटसिमल तनाव तन्यता के टेंसोरिअल शीयर तनाव घटकों को अभियांत्रिकी तनाव  {{mvar|γ}} की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, इसके आधार पर उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं-<math display="block"> \underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix}
-<math display="block">\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad , \qquad \gamma_{zx} = \gamma_{xz} = \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}</math>
-इनफिनिटसिमल स्ट्रेन टेंसर के टेंसोरिअल शीयर स्ट्रेन घटकों को इंजीनियरिंग स्ट्रेन परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, {{mvar|γ}}, जैसा
-<math display="block"> \underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix}
 \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
     \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
@@ Line 163: / Line 140: @@
    \end{bmatrix}</math>
+===मीट्रिक तन्यता===
+{{main|परिमित तनाव सिद्धांत#वक्ररेखीय निर्देशांक में विरूपण टेंसर}}
-===मीट्रिक टेंसर===
+किसी विस्थापन से जुड़े तनाव क्षेत्र को, किसी भी बिंदु पर, उस बिंदु से गुजरने से पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्रों की गति का प्रतिनिधित्व करने वाले स्पर्शरेखा सदिश की लंबाई में परिवर्तन से परिभाषित किया जाता है। मौरिस फ़्रेचेट, [[जॉन वॉन न्यूमैन]] और [[ पास्कल जॉर्डन |पास्कल जॉर्डन]] के कारण मौलिक ज्यामितीय परिणाम बताता है कि, यदि [[स्पर्शरेखा सदिश]] की लंबाई मानक (गणित) और [[समांतर चतुर्भुज नियम]] के सिद्धांतों को पूरा करती है, तो सदिश की लंबाई होती है [[द्विघात रूप]] के मान का वर्गमूल, [[ध्रुवीकरण सूत्र]] द्वारा, धनात्मक निश्चित [[द्विरेखीय मानचित्र]] के साथ जुड़ा होता है जिसे '''मीट्रिक तन्यता''' कहा जाता है।
-{{main|Finite strain theory#Deformation tensors in curvilinear coordinates}}
-किसी विस्थापन से जुड़े तनाव क्षेत्र को, किसी भी बिंदु पर, उस बिंदु से गुजरने वाले मनमाने ढंग से पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) वक्रों की गति का प्रतिनिधित्व करने वाले स्पर्शरेखा वैक्टर की लंबाई में परिवर्तन से परिभाषित किया जाता है। मौरिस फ़्रेचेट|फ़्रेचेट, [[जॉन वॉन न्यूमैन]] और [[ पास्कल जॉर्डन ]] के कारण एक बुनियादी ज्यामितीय परिणाम बताता है कि, यदि [[स्पर्शरेखा सदिश]]ों की लंबाई एक मानक (गणित) और [[समांतर चतुर्भुज नियम]] के सिद्धांतों को पूरा करती है, तो एक सदिश की लंबाई होती है [[द्विघात रूप]] के मान का वर्गमूल, [[ध्रुवीकरण सूत्र]] द्वारा, एक सकारात्मक निश्चित [[द्विरेखीय मानचित्र]] के साथ जुड़ा होता है जिसे मीट्रिक टेंसर कहा जाता है।
 ==विरूपण का विवरण==
-विरूपण एक सतत पिंड के मीट्रिक गुणों में परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक पिंड प्लेसमेंट में खींचा गया वक्र अंतिम स्थान पर वक्र पर विस्थापित होने पर इसकी लंबाई बदल देता है। यदि किसी भी वक्र की लंबाई नहीं बदलती है, तो यह कहा जाता है कि कठोर पिंड विस्थापन हुआ है।
+विरूपण सतत पिंड के मीट्रिक गुणों में परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक पिंड प्लेसमेंट में खींचा गया वक्र अंतिम स्थान पर वक्र पर विस्थापित होने पर इसकी लंबाई को परिवर्तित कर देता है। यदि किसी भी वक्र की लंबाई नहीं परिवर्तित होती है, तो यह कहा जाता है कि किसी पिंड में विस्थापन हुआ है।
-संदर्भ विन्यास या सातत्य निकाय की प्रारंभिक ज्यामितीय स्थिति की पहचान करना सुविधाजनक है जिससे सभी बाद के विन्यास संदर्भित होते हैं। संदर्भ विन्यास को ऐसा होना आवश्यक नहीं है जिसे निकाय वास्तव में कभी भी ग्रहण करेगा। अक्सर, कॉन्फ़िगरेशन पर {{math|1=''t'' = 0}} को संदर्भ विन्यास माना जाता है, {{math|''κ''<sub>0</sub>('''B''')}}. वर्तमान समय में कॉन्फ़िगरेशन {{mvar|t}} वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन है.
+संदर्भ विन्यास या सातत्य निकाय की प्रारंभिक ज्यामितीय स्थिति की पहचान करना सुविधाजनक है जिससे सभी के विन्यास को संदर्भित किया जाता हैं। इस प्रकार इसके संदर्भ में विन्यास को ऐसा होना आवश्यक नहीं है जिसे निकाय वास्तव में कभी भी ग्रहण करेगा। इस प्रकार अधिकांशतः, विरूपण पर {{math|1=''t'' = 0}} को संदर्भ विन्यास {{math|''κ''<sub>0</sub>('''B''')}} माना जाता है, इस प्रकार वर्तमान समय में विरूपण {{mvar|t}} वर्तमान विरूपण है.
-विरूपण विश्लेषण के लिए, संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन को अविकृत कॉन्फ़िगरेशन के रूप में पहचाना जाता है, और वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन को विकृत कॉन्फ़िगरेशन के रूप में पहचाना जाता है। इसके अतिरिक्त, विरूपण का विश्लेषण करते समय समय पर विचार नहीं किया जाता है, इस प्रकार विकृत और विकृत कॉन्फ़िगरेशन के बीच कॉन्फ़िगरेशन का क्रम कोई दिलचस्पी नहीं रखता है।
+विरूपण विश्लेषण के लिए, संदर्भ विरूपण को अविकृत विरूपण के रूप में पहचाना जाता है, और वर्तमान समय में इसके विरूपण को विकृत विरूपण के रूप में पहचाना जाता है। इसके अतिरिक्त, विरूपण का विश्लेषण करते समय समय पर विचार नहीं किया जाता है, इस प्रकार विकृत और विकृत विरूपण के बीच विरूपण का क्रम कोई रूचि नहीं रखता है।
-अवयव {{math|''X''<sub>''i''</sub>}} स्थिति वेक्टर का {{math|'''X'''}संदर्भ समन्वय प्रणाली के संबंध में संदर्भ विन्यास में एक कण के } को सामग्री या संदर्भ निर्देशांक कहा जाता है। दूसरी ओर, घटक {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} स्थिति वेक्टर का {{math|'''x'''}संदर्भ की स्थानिक समन्वय प्रणाली के संबंध में विकृत विन्यास में एक कण के } को स्थानिक निर्देशांक कहा जाता है
+अवयव {{math|''X''<sub>''i''</sub>}}<nowiki> स्थिति सदिश का {{math|</nowiki>'''X'''}संदर्भ समन्वय प्रणाली के संबंध में संदर्भ विन्यास में कण के } को सामग्री या संदर्भ निर्देशांक कहा जाता है। दूसरी ओर, घटक {{math|''x''<sub>''i''</sub>}}<nowiki> स्थिति सदिश का {{math|</nowiki>'''x'''}संदर्भ की स्थानिक समन्वय प्रणाली के संबंध में विकृत विन्यास में कण के } को स्थानिक निर्देशांक कहा जाता है।
-सातत्य की विकृति का विश्लेषण करने की दो विधियाँ हैं। एक विवरण सामग्री या संदर्भात्मक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, जिसे कॉन्टिनम यांत्रिकी कहा जाता है। विरूपण का दूसरा विवरण स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, इसे सातत्य यांत्रिकी कहा जाता है।
+सातत्य की विकृति का विश्लेषण करने की दो विधियाँ हैं। विवरण सामग्री या संदर्भात्मक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, जिसे कॉन्टिनम यांत्रिकी कहा जाता है। इस प्रकार विरूपण का दूसरा विवरण स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, इसे [[सातत्य यांत्रिकी]] कहा जाता है।
-सातत्य शरीर के विरूपण के दौरान इस अर्थ में निरंतरता होती है कि:
+सातत्य भौतिक संरचना के विरूपण के समय इस अर्थ में निरंतरता होती है कि:
-* किसी भी क्षण एक बंद वक्र बनाने वाले भौतिक बिंदु किसी भी बाद के समय में हमेशा एक बंद वक्र बनाएंगे।
+* किसी भी क्षण संवृत वक्र बनाने वाले भौतिक बिंदु किसी भी बाद के समय में सदैव संवृत वक्र बनाएंगे।
-* किसी भी क्षण एक बंद सतह बनाने वाले भौतिक बिंदु किसी भी बाद के समय में हमेशा एक बंद सतह का निर्माण करेंगे और बंद सतह के भीतर का पदार्थ हमेशा अंदर ही रहेगा।
+* किसी भी क्षण संवृत सतह बनाने वाले भौतिक बिंदु किसी भी बाद के समय में सदैव संवृत सतह का निर्माण करेंगे और संवृत सतह के भीतर का पदार्थ सदैव अंदर ही रहेगा।
 ===एफ़िन विरूपण===
-एक विकृति को एफ़िन विरूपण कहा जाता है यदि इसे [[एफ़िन परिवर्तन]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है। ऐसा परिवर्तन एक [[रैखिक परिवर्तन]] (जैसे रोटेशन, कतरनी, विस्तार और संपीड़न) और एक कठोर शरीर अनुवाद से बना है। एफ़िन विकृतियों को सजातीय विकृति भी कहा जाता है।<ref name=Ogden>{{cite book|last=Ogden|first=R. W. |date=1984|title=गैर-रैखिक लोचदार विकृतियाँ|publisher=Dover}}</ref>
+एक विकृति को '''एफ़िन विरूपण''' कहा जाता है यदि इसे [[एफ़िन परिवर्तन]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है। ऐसा परिवर्तन [[रैखिक परिवर्तन]] (जैसे रोटेशन, तनावयुक्त, विस्तार और संपीड़न) और कठोर भौतिक संरचना अनुवाद से बना है। एफ़िन विकृतियों को सजातीय विकृति भी कहा जाता है।<ref name=Ogden>{{cite book|last=Ogden|first=R. W. |date=1984|title=गैर-रैखिक लोचदार विकृतियाँ|publisher=Dover}}</ref> इसलिए एफ़िन विरूपण का रूप होता है<math display="block"> \mathbf{x}(\mathbf{X},t) = \boldsymbol{F}(t) \cdot \mathbf{X} + \mathbf{c}(t) </math>जहाँ {{math|'''x'''}} विकृत विन्यास में बिंदु की स्थिति है, {{math|'''X'''}} संदर्भ विन्यास में स्थिति है, {{mvar|t}} समय-जैसा पैरामीटर है, इस प्रकार {{mvar|'''F'''}} रैखिक ट्रांसफार्मर है और {{math|'''c'''}} अनुवाद है. आव्यूह रूप में, जहां घटक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में होते हैं,<math display="block">
-इसलिए, एक एफ़िन विरूपण का रूप होता है
-<math display="block"> \mathbf{x}(\mathbf{X},t) = \boldsymbol{F}(t) \cdot \mathbf{X} + \mathbf{c}(t) </math>
-कहाँ {{math|'''x'''}} विकृत विन्यास में एक बिंदु की स्थिति है, {{math|'''X'''}} एक संदर्भ विन्यास में स्थिति है, {{mvar|t}} एक समय-जैसा पैरामीटर है, {{mvar|'''F'''}} रैखिक ट्रांसफार्मर है और {{math|'''c'''}} अनुवाद है. मैट्रिक्स रूप में, जहां घटक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में होते हैं,
-<math display="block">
 \begin{bmatrix} x_1(X_1, X_2, X_3, t) \\ x_2(X_1, X_2, X_3, t) \\ x_3(X_1, X_2, X_3, t) \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}
@@ Line 200: / Line 173: @@
 उपरोक्त विकृति यदि असंबद्ध या अमानवीय हो जाती है {{math|1='''''F''''' = '''''F'''''('''X''',''t'')}} या {{math|1='''c''' = '''c'''('''X''',''t'')}}.
-===कठोर शरीर गति===
+===कठोर भौतिक संरचना गति===
-कठोर शरीर गति एक विशेष एफ़िन विरूपण है जिसमें कोई कतरनी, विस्तार या संपीड़न शामिल नहीं है। परिवर्तन मैट्रिक्स {{mvar|'''F'''}} घूर्णन की अनुमति देने के लिए [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] है लेकिन कोई [[प्रतिबिंब (गणित)]] नहीं है।
+कठोर भौतिक संरचना गति विशेष एफ़िन विरूपण है जिसमें कोई तनावयुक्त, विस्तार या संपीड़न सम्मिलित नहीं है। परिवर्तन आव्यूह {{mvar|'''F'''}} घूर्णन की अनुमति देने के लिए [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्यूह]] है, अपितु कोई [[प्रतिबिंब (गणित)]] नहीं है।
-एक कठोर शरीर की गति का वर्णन किसके द्वारा किया जा सकता है?
+एक कठोर भौतिक संरचना की गति का वर्णन किसके द्वारा किया जा सकता है?<math display="block"> \mathbf{x}(\mathbf{X},t) = \boldsymbol{Q}(t)\cdot\mathbf{X} + \mathbf{c}(t) </math>जहाँ<math display="block"> \boldsymbol{Q}\cdot\boldsymbol{Q}^T = \boldsymbol{Q}^T \cdot \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\mathit{1}} </math>आव्यूह रूप में,<math display="block">
-<math display="block"> \mathbf{x}(\mathbf{X},t) = \boldsymbol{Q}(t)\cdot\mathbf{X} + \mathbf{c}(t) </math>
-कहाँ
-<math display="block"> \boldsymbol{Q}\cdot\boldsymbol{Q}^T = \boldsymbol{Q}^T \cdot \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\mathit{1}} </math>
-मैट्रिक्स रूप में,
-<math display="block">
     \begin{bmatrix} x_1(X_1, X_2, X_3, t) \\ x_2(X_1, X_2, X_3, t) \\ x_3(X_1, X_2, X_3, t) \end{bmatrix}
     = \begin{bmatrix}
@@ Line 218: / Line 186: @@
     \begin{bmatrix} c_1(t) \\ c_2(t) \\ c_3(t) \end{bmatrix}
   </math>
 ==विस्थापन==
-[[File:Displacement of a continuum.svg|upright=1.35|thumb|चित्र 1. एक सातत्य पिंड की गति।]]सातत्य पिंड के विन्यास में परिवर्तन के परिणामस्वरूप विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) उत्पन्न होता है। किसी पिंड के विस्थापन के दो घटक होते हैं: एक कठोर-पिंड विस्थापन और एक विरूपण। कठोर-पिंड विस्थापन में शरीर का आकार या आकार बदले बिना उसका एक साथ अनुवाद और घूर्णन शामिल होता है। विरूपण का तात्पर्य प्रारंभिक या अविकृत विन्यास से शरीर के आकार और/या आकार में परिवर्तन से है {{math|''κ''<sub>0</sub>('''B''')}} किसी वर्तमान या विकृत कॉन्फ़िगरेशन के लिए {{math|''κ<sub>t</sub>''('''B''')}} (आकृति 1)।
+[[File:Displacement of a continuum.svg|upright=1.35|thumb|चित्र 1. सातत्य पिंड की गति।]]सातत्य पिंड के विन्यास में परिवर्तन के परिणामस्वरूप विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) उत्पन्न होता है। इस प्रकार किसी पिंड के विस्थापन के दो घटक होते हैं: कठोर-पिंड विस्थापन और विरूपण इसके प्रकार हैं। इस प्रकार कठोर-पिंड विस्थापन में भौतिक संरचना का आकार या आकार बदले बिना उसका साथ अनुवाद और घूर्णन सम्मिलित होता है। विरूपण का तात्पर्य प्रारंभिक या अविकृत विन्यास से भौतिक संरचना के आकार और/या आकार में परिवर्तन से है, जहाँ पर {{math|''κ''<sub>0</sub>('''B''')}} किसी वर्तमान या विकृत विरूपण के लिए {{math|''κ<sub>t</sub>''('''B''')}} (आकृति 1) को प्रदर्शित करते हैं।
-यदि सातत्य के विस्थापन के बाद कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन होता है, तो विरूपण हुआ है। दूसरी ओर, यदि सातत्य के विस्थापन के बाद वर्तमान विन्यास में कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन शून्य है, तो कोई विरूपण नहीं होता है और एक कठोर-पिंड विस्थापन हुआ कहा जाता है।
+यदि सातत्य के विस्थापन के बाद कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन होता है, तो विरूपण हुआ है। दूसरी ओर, यदि सातत्य के विस्थापन के बाद वर्तमान विन्यास में कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन शून्य है, तो कोई विरूपण नहीं होता है और कठोर-पिंड विस्थापन हुआ कहा जाता है।
-अविकृत विन्यास और विकृत विन्यास में कण P की स्थिति को जोड़ने वाले सदिश को [[विस्थापन (वेक्टर)]] कहा जाता है {{math|1='''u'''('''X''',''t'') = ''u''<sub>''i''</sub>'''e'''<sub>''i''</sub>}} लैग्रेंजियन विवरण में, या {{math|1='''U'''('''x''',''t'') = ''U''<sub>''J''</sub>'''E'''<sub>''J''</sub>}} यूलेरियन विवरण में।
+अविकृत विन्यास और विकृत विन्यास में कण P की स्थिति को जोड़ने वाले सदिश को [[विस्थापन (वेक्टर)|विस्थापन (सदिश)]]  {{math|1='''u'''('''X''',''t'') = ''u''<sub>''i''</sub>'''e'''<sub>''i''</sub>}} कहा जाता है, इस प्रकार लैग्रेंजियन विवरण में, या {{math|1='''U'''('''x''',''t'') = ''U''<sub>''J''</sub>'''E'''<sub>''J''</sub>}} यूलेरियन विवरण में इसका उपयोग करते हैं।
-विस्थापन क्षेत्र शरीर के सभी कणों के लिए सभी विस्थापन वैक्टर का एक वेक्टर क्षेत्र है, जो विकृत विन्यास को अविकृत विन्यास से जोड़ता है। किसी सातत्य पिंड की विकृति या गति का विश्लेषण विस्थापन क्षेत्र के संदर्भ में करना सुविधाजनक है। सामान्य तौर पर, विस्थापन क्षेत्र को सामग्री निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जाता है
+विस्थापन क्षेत्र भौतिक संरचना के सभी कणों के लिए सभी विस्थापन सदिश का सदिश क्षेत्र है, जो इस प्रकार विकृत विन्यास को अविकृत विन्यास से जोड़ता है। किसी सातत्य पिंड की विकृति या गति का विश्लेषण विस्थापन क्षेत्र के संदर्भ में करना सुविधाजनक है। सामान्यतः विस्थापन क्षेत्र को सामग्री निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जाता है-
 <math display="block"> \mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf b(\mathbf X,t) + \mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \qquad \text{or}\qquad u_i = \alpha_{iJ}b_J + x_i - \alpha_{iJ} X_J</math>
 या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में
 <math display="block"> \mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf b(\mathbf x, t) + \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x, t) \qquad \text{or}\qquad U_J = b_J + \alpha_{Ji} x_i - X_J </math>
-कहाँ {{math|''α<sub>Ji</sub>''}} यूनिट वैक्टर के साथ सामग्री और स्थानिक समन्वय प्रणालियों के बीच दिशा कोसाइन हैं {{math|'''E'''<sub>''J''</sub>}} और {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}}, क्रमश। इस प्रकार
+जहाँ {{math|''α<sub>Ji</sub>''}} यूनिट सदिश के साथ सामग्री और स्थानिक समन्वय प्रणालियों के बीच दिशा कोसाइन को  क्रमश {{math|'''E'''<sub>''J''</sub>}} और {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} द्वारा प्रदर्शित करते हैं । इस प्रकार<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \alpha_{Ji} = \alpha_{iJ}</math>और {{math|''u<sub>i</sub>''}} और {{math|''U<sub>J</sub>''}}  के बीच संबंध इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं-<math display="block">u_i = \alpha_{iJ} U_J \qquad \text{or} \qquad U_J = \alpha_{Ji} u_i</math>जानते हुए भी<math display="block">\mathbf e_i = \alpha_{iJ} \mathbf E_J</math>तब<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = u_i \mathbf e_i = u_i (\alpha_{iJ}\mathbf E_J) = U_J \mathbf E_J = \mathbf U(\mathbf x, t)</math>विकृत और विकृत विन्यासों के लिए समन्वय प्रणालियों को सुपरइम्पोज़ करना साधारण बात है, जिसके परिणामस्वरूप {{math|1='''b''' = 0}}, और दिशा कोसाइन [[क्रोनकर डेल्टा]] बन जाते हैं:<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \delta_{Ji} = \delta_{iJ}</math>इस प्रकार, हमारे पास है<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf x(\mathbf X, t) - \mathbf X \qquad \text{or} \qquad u_i = x_i - \delta_{iJ} X_J = x_i - X_i </math>या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में<math display="block"> \mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x, t) \qquad \text{or} \qquad U_J = \delta_{Ji} x_i - X_J = x_J - X_J</math>
-<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \alpha_{Ji} = \alpha_{iJ}</math>
-और के बीच संबंध {{math|''u<sub>i</sub>''}} और {{math|''U<sub>J</sub>''}} तब द्वारा दिया जाता है
-<math display="block">u_i = \alpha_{iJ} U_J \qquad \text{or} \qquad U_J = \alpha_{Ji} u_i</math>
-जानते हुए भी
-<math display="block">\mathbf e_i = \alpha_{iJ} \mathbf E_J</math>
-तब
-<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = u_i \mathbf e_i = u_i (\alpha_{iJ}\mathbf E_J) = U_J \mathbf E_J = \mathbf U(\mathbf x, t)</math>
-विकृत और विकृत विन्यासों के लिए समन्वय प्रणालियों को सुपरइम्पोज़ करना आम बात है, जिसके परिणामस्वरूप {{math|1='''b''' = 0}}, और दिशा कोसाइन [[क्रोनकर डेल्टा]] बन जाते हैं:
-<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \delta_{Ji} = \delta_{iJ}</math>
-इस प्रकार, हमारे पास है
-<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf x(\mathbf X, t) - \mathbf X \qquad \text{or} \qquad u_i = x_i - \delta_{iJ} X_J = x_i - X_i </math>
-या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में
-<math display="block"> \mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x, t) \qquad \text{or} \qquad U_J = \delta_{Ji} x_i - X_J = x_J - X_J</math>
-===विस्थापन ग्रेडिएंट टेंसर===
+===विस्थापन प्रवणता तन्यता===
-सामग्री निर्देशांक के संबंध में विस्थापन वेक्टर का आंशिक विभेदन सामग्री विस्थापन ग्रेडिएंट टेंसर उत्पन्न करता है {{math|'''∇<sub>X</sub>u'''}}. इस प्रकार हमारे पास है:
+सामग्री निर्देशांक के संबंध में विस्थापन सदिश का आंशिक विभेदन सामग्री विस्थापन प्रवणता तन्यता उत्पन्न करता है, इस प्रकार {{math|'''∇<sub>X</sub>u'''}}. को हम उक्त समीकरण से स्पष्ट कर सकते हैं:<math display="block">\begin{align}
-<math display="block">\begin{align}
   \mathbf{u}(\mathbf{X},t) & = \mathbf{x}(\mathbf{X},t) - \mathbf{X} \\
   \nabla_\mathbf{X}\mathbf{u} & = \nabla_\mathbf{X} \mathbf{x} - \mathbf{I} \\
   \nabla_\mathbf{X}\mathbf{u} & = \mathbf{F} - \mathbf{I}
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>या<math display="block">\begin{align}
-या
-<math display="block">\begin{align}
 u_i & = x_i - \delta_{iJ} X_J = x_i - X_i\\
 \frac{\partial u_i}{\partial X_K} & = \frac{\partial x_i}{\partial X_K} - \delta_{iK}
 \end{align}</math>
-कहाँ {{math|'''F'''}} विरूपण प्रवणता टेंसर है।
-इसी प्रकार, स्थानिक निर्देशांक के संबंध में विस्थापन वेक्टर का आंशिक विभेदन स्थानिक विस्थापन ग्रेडिएंट टेंसर उत्पन्न करता है {{math|'''∇<sub>x</sub>U'''}}. इस प्रकार हमारे पास है,
-<math display="block"> \begin{align}
+जहाँ {{math|'''F'''}} विरूपण प्रवणता तन्यता है।
+इसी प्रकार, स्थानिक निर्देशांक के संबंध में विस्थापन सदिश का आंशिक विभेदन स्थानिक विस्थापन प्रवणता तन्यता उत्पन्न करता है, जहाँ {{math|'''∇<sub>x</sub>U'''}} को हम इस प्रकार प्रदर्शित कर सकते हैं,<math display="block"> \begin{align}
 \mathbf U(\mathbf x,t) &= \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x,t) \\
 \nabla_{\mathbf x} \mathbf U &= \mathbf I - \nabla_{\mathbf x} \mathbf X \\
 \nabla_{\mathbf x} \mathbf U &= \mathbf I -\mathbf F^{-1}
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>या<math display="block">\begin{align}
-या
-<math display="block">\begin{align}
 U_J& = \delta_{Ji}x_i-X_J =x_J - X_J\\
 \frac{\partial U_J}{\partial x_k} &= \delta_{Jk} - \frac{\partial X_J}{\partial x_k}
 \end{align}</math>
 ==विकृतियों के उदाहरण==
-सजातीय (या एफ़िन) विकृतियाँ सामग्रियों के व्यवहार को स्पष्ट करने में उपयोगी होती हैं। रुचि की कुछ सजातीय विकृतियाँ हैं
+सजातीय (या एफ़िन) विकृतियाँ सामग्रियों के व्यवहार को स्पष्ट करने में उपयोगी होती हैं। इस प्रकार कुछ सजातीय विकृतियाँ हम इस प्रकार देख सकते हैं-
 * [[एकसमान विस्तार]]
-*[[शुद्ध फैलाव]]
+*[[शुद्ध फैलाव|शुद्ध विस्तार]]
 * समबाहु तनाव
-* [[साधारण कतरनी]]
+* [[साधारण कतरनी|साधारण तनावयुक्त]]
-*[[शुद्ध कतरनी]]
+*[[शुद्ध कतरनी|शुद्ध तनावयुक्त]]
-समतल विकृतियाँ भी रुचिकर हैं, विशेषकर प्रायोगिक संदर्भ में।
+समतल विकृतियाँ भी रुचिकर हैं, विशेषकर प्रायोगिक रूप से संदर्भित की जाती हैं।
+===समतल विरूपण===
+'''समतल विरूपण''', जिसे समतल विकृति भी कहा जाता है, जहां इस प्रकार विरूपण संदर्भ विन्यास में किसी तल तक सीमित होता है। यदि विरूपण आधार सदिश द्वारा वर्णित समतल तक सीमित है, जिसके आधार पर इसे {{math|'''e'''<sub>1</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>2</sub>}}, [[विरूपण प्रवणता]] का स्वरूप माना जाता है-<math display="block"> \boldsymbol{F} = F_{11} \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_1 + F_{12} \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 + F_{21} \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_1 + F_{22} \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \otimes \mathbf{e}_3 </math>आव्यूह रूप में,<math display="block"> \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} & 0 \\ F_{21} & F_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
-===विमान विरूपण===
+[[ध्रुवीय अपघटन प्रमेय]] से, विरूपण प्रवणता, निर्देशांक के परिवर्तन तक, तन्यता और घूर्णन में विघटित हो सकती है। चूँकि इस प्रकार विकृति समतल में स्पष्ट होती है, इसलिए हम लिख सकते हैं<ref name="Ogden" /><math display="block">
-समतल विरूपण, जिसे समतल विकृति भी कहा जाता है, वह है जहां विरूपण संदर्भ विन्यास में किसी एक तल तक सीमित होता है। यदि विरूपण आधार वैक्टर द्वारा वर्णित विमान तक सीमित है {{math|'''e'''<sub>1</sub>}}, {{math|'''e'''<sub>2</sub>}}, [[विरूपण प्रवणता]] का स्वरूप होता है
-<math display="block"> \boldsymbol{F} = F_{11} \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_1 + F_{12} \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 + F_{21} \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_1 + F_{22} \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \otimes \mathbf{e}_3 </math>
-मैट्रिक्स रूप में,
-<math display="block"> \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} & 0 \\ F_{21} & F_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
-[[ध्रुवीय अपघटन प्रमेय]] से, विरूपण प्रवणता, निर्देशांक के परिवर्तन तक, एक खिंचाव और एक घूर्णन में विघटित हो सकती है। चूँकि सारी विकृति एक समतल में है, इसलिए हम लिख सकते हैं<ref name=Ogden/>
-<math display="block">
     \boldsymbol{F} = \boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{U} =
       \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
       \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
   </math>
-कहाँ {{mvar|θ}} घूर्णन का कोण है और {{math|''λ''<sub>1</sub>}}, {{math|''λ''<sub>2</sub>}}परिमित तनाव सिद्धांत हैं।
+जहाँ {{mvar|θ}} घूर्णन का कोण है और {{math|''λ''<sub>1</sub>}}, {{math|''λ''<sub>2</sub>}}परिमित तनाव सिद्धांत हैं।
 ====आइसोकोरिक समतल विरूपण====
-यदि विरूपण आइसोकोरिक (आयतन संरक्षण) है तो {{math|1=det('''''F''''') = 1}} और हमारे पास है <math display="block"> F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} = 1 </math>
+यदि विरूपण आइसोकोरिक (आयतन संरक्षण) है, तो {{math|1=det('''''F''''') = 1}} को हम इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं-<math display="block"> F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} = 1 </math>वैकल्पिक रूप से,<math display="block"> \lambda_1 \lambda_2 = 1 </math>
-वैकल्पिक रूप से, <math display="block"> \lambda_1 \lambda_2 = 1 </math>
+====सरल तनावयुक्त====
+एक साधारण तनावयुक्त विरूपण को समद्विबाहु समतल विरूपण के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें दिए गए संदर्भ अभिविन्यास के साथ उक्त रेखा के तत्वों का समूह होता है, जो विरूपण के समय लंबाई और अभिविन्यास को परिवर्तित नहीं करता है।<ref name=Ogden/>
-====सरल कतरनी====
+अगर {{math|'''e'''<sub>1</sub>}} निश्चित संदर्भ अभिविन्यास है जिसमें विरूपण के समय रेखा तत्व विकृत नहीं होते हैं, इस प्रकार {{math|1=''λ''<sub>1</sub> = 1}} और {{math|1='''''F'''''·'''e'''<sub>1</sub> = '''e'''<sub>1</sub>}} के लिए,
-एक साधारण कतरनी विरूपण को एक समद्विबाहु समतल विरूपण के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें एक दिए गए संदर्भ अभिविन्यास के साथ लाइन तत्वों का एक सेट होता है जो विरूपण के दौरान लंबाई और अभिविन्यास को नहीं बदलता है।<ref name=Ogden/>
+<math display="block"> F_{11}\mathbf{e}_1 + F_{21}\mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1 \quad \implies \quad F_{11} = 1 ~;~~ F_{21} = 0 </math>चूँकि विकृति समद्विबाहु है,<math display="block"> F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} = 1 \quad \implies \quad F_{22} = 1 </math>इसे परिभाषित करने के लिए हम इस प्रकार इसे लिख सकते हैं-<math display="block">\gamma := F_{12}</math>फिर, साधारण तनावयुक्त में विरूपण प्रवणता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
+<math display="block">\boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} 1 & \gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>इसके पश्चात,<math display="block">
-अगर {{math|'''e'''<sub>1</sub>}} निश्चित संदर्भ अभिविन्यास है जिसमें विरूपण के दौरान रेखा तत्व विकृत नहीं होते हैं {{math|1=''λ''<sub>1</sub> = 1}} और {{math|1='''''F'''''·'''e'''<sub>1</sub> = '''e'''<sub>1</sub>}}.
-इसलिए,
-<math display="block"> F_{11}\mathbf{e}_1 + F_{21}\mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1 \quad \implies \quad F_{11} = 1 ~;~~ F_{21} = 0 </math>
-चूँकि विकृति समद्विबाहु है,
-<math display="block"> F_{11} F_{22} - F_{12} F_{21} = 1 \quad \implies \quad F_{22} = 1 </math>
-परिभाषित करना <math display="block">\gamma := F_{12}</math>
-फिर, साधारण कतरनी में विरूपण प्रवणता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
-<math display="block">\boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} 1 & \gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
-अब,
-<math display="block">
     \boldsymbol{F}\cdot\mathbf{e}_2 = F_{12}\mathbf{e}_1 + F_{22}\mathbf{e}_2 = \gamma\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2
     \quad \implies \quad
     \boldsymbol{F} \cdot (\mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_2) = \gamma \mathbf{e}_1\otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_2 \otimes\mathbf{e}_2
-  </math>
+  </math>चूंकि<math display="block">\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_i = \boldsymbol{\mathit{1}}</math>हम विरूपण प्रवणता को इस प्रकार भी लिख सकते हैं<math display="block"> \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\mathit{1}} + \gamma\mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 </math>
-तब से
-<math display="block">\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_i = \boldsymbol{\mathit{1}}</math>
-हम विरूपण प्रवणता को इस प्रकार भी लिख सकते हैं
-<math display="block"> \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\mathit{1}} + \gamma\mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 </math>
 ==यह भी देखें==
-* [[झुकने]] वाले बलों के कारण [[बीम (संरचना)]] या [[दीवार स्टड]] जैसे लंबे तत्वों की विकृति को [[विक्षेपण (इंजीनियरिंग)]] के रूप में जाना जाता है।
+* [[झुकने|प्रवणता]] वाले बलों के कारण [[बीम (संरचना)]] या [[दीवार स्टड]] जैसे लंबे तत्वों की विकृति को [[विक्षेपण (इंजीनियरिंग)|विक्षेपण (अभियांत्रिकी)]] के रूप में जाना जाता है।
 * यूलर-बर्नौली किरण सिद्धांत
-* [[विरूपण (इंजीनियरिंग)]]
+* [[विरूपण (इंजीनियरिंग)|विरूपण (अभियांत्रिकी)]]
 * परिमित तनाव सिद्धांत
 * अनंतिम तनाव सिद्धांत
-* मोइरे पैटर्न
+* मोइरे क्रम
 * [[अपरूपण - मापांक]]
 * अपरूपण तनाव
-* [[कतरनी ताकत]]
+* [[कतरनी ताकत|तनावयुक्त बल]]
 * [[तनाव (यांत्रिकी)]]
 *[[तनाव के उपाय]]
@@ Line 339: / Line 273: @@
 ==संदर्भ==
 {{Reflist}}
 ==अग्रिम पठन==
@@ Line 427: / Line 360: @@
 | url = https://books.google.com/books?id=Feer6-hn9zsC
 | isbn = 0486438090}}
-{{Authority control}}
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Shear strain
सामान्य प्रतीक	$γ$ or $ε$
Si इकाई	1, or radian
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां	$γ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}τ/G$

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विकृति (भौतिकी): Difference between revisions

Latest revision as of 11:06, 10 July 2023

तनाव

तनाव के उपाय

अभियांत्रिकी तनाव

तन्यता अनुपात

हेन्की तनाव या सत्य तनाव

ग्रीन तनाव

यूलर अल्मांसी तनाव

सामान्य और तनावयुक्त तनाव

सामान्य तनाव

तनावयुक्त विकृति

मीट्रिक तन्यता

विरूपण का विवरण

एफ़िन विरूपण

कठोर भौतिक संरचना गति

विस्थापन

विस्थापन प्रवणता तन्यता

विकृतियों के उदाहरण

समतल विरूपण

आइसोकोरिक समतल विरूपण

सरल तनावयुक्त

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

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