साधारण अवकल समीकरण

गणित में, साधारण अवकल समीकरण (ओडीई) एक अवकल समीकरण है, जिसके अज्ञातओं में एक चर (गणित) के एक या अधिक फलन से निर्मित होते हैं और उन फलनों के व्युत्पन्न से संबंधित होते हैं। साधारण इस शब्द का सामान्य प्रयोग आंशिक अवकल समीकरण शब्द के विपरीत किया जाता है, जो एक से अधिक स्वतंत्र चर के संदर्भ में हो सकता है।

अवकल समीकरण

एक रेखीय अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जो एक रेखीय बहुपद द्वारा अज्ञात फलन और इसके व्युत्पन्न द्वारा परिभाषित होता है, जो इस समीकरण के रूप में होता है।

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,$

जहाँ $a_{0}(x)$, ..., $a_{n}(x)$ और $b(x)$ यादृच्छिक ढंग से अलग-अलग कार्य हैं जिन्हें रैखिक होने की आवश्यकता नहीं है, और $y',\ldots ,y^{(n)}$ चर x.के अज्ञात फलन y के क्रमिक अवकलज हैं।

साधारण अवकल समीकरणों में रैखिक अवकल समीकरण अनेक कारणों से प्रभावी भूमिका निभाते हैं। अधिकांश प्रारंभिक और विशेष फलन जो भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में पाए जाते हैं, रैखिक अंतर समीकरणों के हल हैं (होलोनोमिक फलन देखें)। जब भौतिक परिघटना को अरेखीय समीकरणों द्वारा रूपांकित किया जाता है, तो वे सामान्यतया इन्हें सरल हल के लिए रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा अनुमानित किया जाता है। कुछ अरेखीय ओडीई जिन्हें स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, वे सामान्यतया समीकरण को समकक्ष रैखिक ओडीई में बदलकर हल किया जाता है (देखें, उदाहरण के लिए रिकाटी समीकरण)।

कुछ ओडीई को स्पष्ट रूप से ज्ञात फलन और समाकल के संदर्भ में हल किया जा सकता है। जब यह मुमकिन न हो कि, टेलर श्रृंखला के समाधानों की गणना के लिए समीकरण उपयोगी हो सकता है। और अनुप्रयुक्त समस्याओं के लिए, सामान्य अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ का निकटतम प्रदान कर सकती हैं।

पृष्ठभूमि

एक तोप से प्रक्षेपित प्रक्षेप्य का प्रक्षेपवक्र न्यूटन के दूसरे नियम से प्राप्त एक साधारण अंतर समीकरण द्वारा निर्धारित वक्र का अनुसरण करता है।

गणित और सामाजिक विज्ञान और प्राकृतिक विज्ञान विज्ञान के कई संदर्भों में साधारण अंतर समीकरण (ODE) उत्पन्न होते हैं। परिवर्तन के गणितीय विवरण अवकलों और अवकलजों का उपयोग करते हैं। विभिन्न अंतर, डेरिवेटिव और फ़ंक्शंस समीकरणों के माध्यम से संबंधित हो जाते हैं, जैसे कि एक अंतर समीकरण एक परिणाम है जो गतिशील रूप से बदलती घटनाओं, विकास और भिन्नता का वर्णन करता है। अक्सर, मात्राओं को अन्य मात्राओं के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के लिए, समय के संबंध में विस्थापन के डेरिवेटिव), या मात्राओं के ग्रेडियेंट, इस प्रकार वे अंतर समीकरणों में प्रवेश करते हैं।

विशिष्ट गणितीय क्षेत्रों में ज्यामिति और विश्लेषणात्मक यांत्रिकी शामिल हैं। वैज्ञानिक क्षेत्रों में अधिकांश भौतिकी और खगोल विज्ञान (आकाशीय यांत्रिकी), मौसम विज्ञान (मौसम मॉडलिंग), रसायन विज्ञान (प्रतिक्रिया दर), जीव विज्ञान (संक्रामक रोग, आनुवंशिक भिन्नता), पारिस्थितिकी और जनसंख्या मॉडलिंग (जनसंख्या प्रतियोगिता), अर्थशास्त्र (स्टॉक रुझान, ब्याज दरें और बाजार संतुलन मूल्य परिवर्तन)।

कई गणितज्ञों ने अवकल समीकरणों का अध्ययन किया है और इस क्षेत्र में योगदान दिया है, जिसमें आइजैक न्यूटन, गॉटफ्रीड लीबनिज, बर्नौली परिवार, रिकाटी, एलेक्सिस क्लाउड क्लेराट, डी'अलेम्बर्ट और यूलर शामिल हैं।

एक सरल उदाहरण न्यूटन की गति का दूसरा नियम है - बल F के तहत किसी वस्तु के विस्थापन x और समय t के बीच संबंध, अंतर समीकरण द्वारा दिया जाता है

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,$

जो स्थिर द्रव्यमान m की प्रक्षेप्य गति को बाधित करता है। सामान्यतः, F समय t पर कण की स्थिति x(t) का फलन है। अज्ञात फलन x(t) अवकल समीकरण के दोनों ओर प्रकट होता है, और अंकन F(x(t)) में दर्शाया गया है।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित में, y को एक आश्रित और स्वतंत्र चर और x को एक आश्रित और स्वतंत्र चर होने दें, और y = f(x) x का एक अज्ञात कार्य है। विभेदीकरण के लिए अंकन लेखक के आधार पर भिन्न होता है और जिस पर हाथ में कार्य के लिए संकेतन सबसे उपयोगी होता है। इस संदर्भ में, अवकलन के लिए अंकन#लीबनिज अंकन|लीबनिज अंकन (dy/dx, d²y/dx², …, dⁿy/dxⁿ) अवकलन और समाकलन (गणित) के लिए अधिक उपयोगी है, जबकि अवकलन के लिए अंकन# लैग्रेंज अंकन | लैग्रेंज अंकन (y′, y′′, …, y⁽ⁿ⁾) किसी भी क्रम के डेरिवेटिव को सघन रूप से प्रस्तुत करने के लिए अधिक उपयोगी है, और विभेदन के लिए संकेतन#न्यूटन का अंकन|न्यूटन का अंकन $({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})$ भौतिकी में अक्सर समय के संबंध में कम क्रम के डेरिवेटिव का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

सामान्य परिभाषा

दिया हुआ F, x, y का एक फलन, और y का डेरिवेटिव। फिर फॉर्म का एक समीकरण

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

क्रम n का एक निहित और स्पष्ट फलन साधारण अवकल समीकरण कहलाता है। अधिक आम तौर पर, आदेश एन के एक अंतर्निहित और स्पष्ट कार्य सामान्य अंतर समीकरण रूप लेता है:

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0$

और भी वर्गीकरण हैं:

Autonomous

A differential equation not depending on x is called autonomous.

Linear

A differential equation is said to be linear if F can be written as a linear combination of the derivatives of y:

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

where a _i (x) and r (x) are continuous functions of x. The function r(x) is called the source term, leading to two further important classifications:

Homogeneous

If r(x) = 0, and consequently one "automatic" solution is the trivial solution, y = 0. The solution of a linear homogeneous equation is a complementary function, denoted here by y_c.

Nonhomogeneous (or inhomogeneous)

If r(x) ≠ 0. The additional solution to the complementary function is the particular integral, denoted here by y_p.

Non-linear

A differential equation that cannot be written in the form of a linear combination.

ओडीई की प्रणाली

Main article: System of differential equations

कई युग्मित अवकल समीकरण समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। यदि y एक सदिश है जिसके अवयव फलन हैं; वाई(एक्स) = [वाई₁(एक्स), और₂(एक्स), ..., वाई_m(x)], और 'एफ' 'वाई' और उसके डेरिवेटिव का वेक्टर-मूल्यवान कार्य है

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

क्रम n और आयाम m के साधारण अवकल समीकरणों की एक स्पष्ट प्रणाली है। स्तंभ सदिश रूप में:

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

ये जरूरी रैखिक नहीं हैं। अंतर्निहित एनालॉग है:

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}$

जहाँ 0 = (0, 0, ..., 0) शून्य सदिश है। मैट्रिक्स रूप में

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

फॉर्म की एक प्रणाली के लिए $\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$, कुछ स्रोतों के लिए यह भी आवश्यक है कि जैकबियन मैट्रिक्स ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$ इसे एक निहित ODE [प्रणाली] कहने के लिए एकवचन मैट्रिक्स|गैर-एकवचन; इस जैकोबियन गैर-विलक्षणता की स्थिति को संतुष्ट करने वाली एक निहित ODE प्रणाली को एक स्पष्ट ODE प्रणाली में रूपांतरित किया जा सकता है। उन्हीं स्रोतों में, एक विलक्षण जैकोबियन के साथ अंतर्निहित ODE सिस्टम को अवकल बीजगणितीय समीकरण (DAE) कहा जाता है। यह भेद केवल शब्दावली में से एक नहीं है; डीएई की मौलिक रूप से भिन्न विशेषताएं हैं और आम तौर पर (नॉनसिंगुलर) ओडीई सिस्टम की तुलना में हल करने में अधिक शामिल हैं। संभावित रूप से अतिरिक्त डेरिवेटिव के लिए, हेसियन मैट्रिक्स और आगे भी इस योजना के अनुसार गैर-एकवचन माना जाता है, हालांकि ध्यान दें कि #Reduction to a first-order system|एक से अधिक ऑर्डर का कोई भी ODE पहले ऑर्डर के ODE के सिस्टम के रूप में फिर से लिखा जा सकता है (और आमतौर पर होता है), जो इस वर्गीकरण के लिए सभी आदेशों पर व्यापक होने के लिए जैकबियन विलक्षणता मानदंड को पर्याप्त बनाता है।

एक चरण चित्र के उपयोग के माध्यम से ODEs की एक प्रणाली के व्यवहार की कल्पना की जा सकती है।

समाधान

एक अवकल समीकरण दिया है

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0$

एक समारोह u: I ⊂ R → R, जहाँ I एक अंतराल है, F के लिए एक हल या अभिन्न वक्र कहलाता है, यदि u I पर n-गुना अवकलनीय है, और

$F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

दो हल दिए u: J ⊂ R → R और v: I ⊂ R → R, u को v का विस्तार कहा जाता है यदि I ⊂ J और

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

एक हल जिसका कोई विस्तार नहीं है, एक अधिकतम हल कहा जाता है। सभी 'आर' पर परिभाषित हल को वैश्विक हल कहा जाता है।

nवें क्रम के समीकरण का एक सामान्य हल एक ऐसा हल है जिसमें एकीकरण का n मनमाना स्वतंत्र स्थिरांक होता है। एक विशेष हल सामान्य हल से स्थिरांक को विशेष मानों पर सेट करके प्राप्त किया जाता है, जिसे अक्सर सेट 'प्रारंभिक मूल्य समस्या या सीमा मूल्य समस्या' को पूरा करने के लिए चुना जाता है। एकवचन हल एक ऐसा हल है जिसे सामान्य हल में यादृच्छिक अचरों को निश्चित मान देकर प्राप्त नहीं किया जा सकता है। रेखीय ODE के संदर्भ में, शब्दावली विशेष हल भी ODE के किसी भी हल को संदर्भित कर सकता है (जरूरी नहीं कि प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता हो), जिसे बाद में सजातीय हल (सजातीय ODE का एक सामान्य समाधान) में जोड़ा जाता है, जो तब बनता है मूल ODE का एक सामान्य समाधान। यह इस आलेख में साधारण_अवकल _समीकरण#The_guessing_method अनुभाग में उपयोग की जाने वाली शब्दावली है, और अनिर्धारित गुणांक और पैरामीटर की भिन्नता की विधि पर चर्चा करते समय अक्सर इसका उपयोग किया जाता है।

परिमित अवधि के समाधान

अरेखीय स्वायत्त ODEs के लिए कुछ शर्तों के तहत परिमित अवधि के हल विकसित करना संभव है, यहाँ अर्थ यह है कि अपनी स्वयं की गतिकी से, सिस्टम एक अंत समय में शून्य मान तक पहुँच जाएगा और वहाँ हमेशा के लिए शून्य में रहता है। ये परिमित-अवधि के हल संपूर्ण वास्तविक रेखा पर विश्लेषणात्मक कार्य नहीं कर सकते हैं, और क्योंकि वे अपने अंतिम समय में गैर-लिप्सचिट्ज़ कार्य करेंगे, वे लिप्सचिट्ज़ अंतर समीकरणों के हल की विशिष्टता नहीं रखते हैं।

उदाहरण के रूप में, समीकरण:

$y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1$

परिमित अवधि हल स्वीकार करता है:

$y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}$

सिद्धांत

एकवचन समाधान

साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के एकवचन हल का सिद्धांत लीबनिज के समय से ही शोध का विषय था, लेकिन केवल उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य से ही इस पर विशेष ध्यान दिया गया है। इस विषय पर एक मूल्यवान लेकिन अल्पज्ञात कृति हौटेन (1854) की है। जीन गैस्टन डार्बौक्स (1873 से) सिद्धांत में एक नेता थे, और इन समाधानों की ज्यामितीय व्याख्या में उन्होंने विभिन्न लेखकों, विशेष रूप से फेलिस कासोराती (गणितज्ञ) और आर्थर केली द्वारा काम किया एक क्षेत्र खोला। उत्तरार्द्ध के कारण (1872) प्रथम क्रम के अंतर समीकरणों के एकवचन हल के सिद्धांत के रूप में स्वीकृत लगभग 1900 है।

चतुष्कोणों में कमी

अवकल समीकरणों से निपटने के आदिम प्रयास में चतुर्भुज (गणित) में कमी को ध्यान में रखा गया था। जैसा कि अठारहवीं सदी के बीजगणितियों को nवीं डिग्री के सामान्य समीकरण को हल करने के लिए एक विधि खोजने की उम्मीद थी, इसलिए विश्लेषकों को किसी भी अंतर समीकरण को एकीकृत करने के लिए एक सामान्य विधि खोजने की उम्मीद थी। हालांकि, कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1799) ने दिखाया कि जटिल अंतर समीकरणों के लिए जटिल संख्याओं की आवश्यकता होती है। इसलिए, विश्लेषकों ने कार्यों के अध्ययन को स्थानापन्न करना शुरू किया, इस प्रकार एक नया और उपजाऊ क्षेत्र खोल दिया। कॉची इस दृष्टिकोण के महत्व की सराहना करने वाले पहले व्यक्ति थे। तत्पश्चात, वास्तविक प्रश्न अब यह नहीं था कि ज्ञात फलनों या उनके समाकलों के माध्यम से कोई हल संभव है या नहीं, बल्कि यह कि क्या दिया गया अवकल समीकरण स्वतंत्र चर या चरों के फलन की परिभाषा के लिए पर्याप्त है, और, यदि हां, तो क्या हैं विशेषता गुण।

फ्यूचियन सिद्धांत

Main article: Frobenius method

लाजर फुच्स द्वारा दो संस्मरण एक उपन्यास दृष्टिकोण को प्रेरित किया, जिसे बाद में थॉमे और फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस द्वारा विस्तृत किया गया। 1869 की शुरुआत में कोलेट का एक प्रमुख योगदानकर्ता था। एक अरेखीय प्रणाली को एकीकृत करने के लिए उनकी पद्धति को 1868 में बर्ट्रेंड को सूचित किया गया था। अल्फ्रेड क्लेब्सच (1873) ने एबेलियन अभिन्न के अपने सिद्धांत के समानांतर सिद्धांत पर हमला किया। जैसा कि उत्तरार्द्ध को मौलिक वक्र के गुणों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है जो एक तर्कसंगत परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है, क्लेबश ने तर्कसंगत एक-टू के तहत संबंधित सतहों f = 0 के अपरिवर्तनीय गुणों के अनुसार अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित पारलौकिक कार्यों को वर्गीकृत करने का प्रस्ताव दिया। -एक परिवर्तन।

झूठ का सिद्धांत

1870 से, सोफस झूठ के काम ने अंतर समीकरणों के सिद्धांत को बेहतर नींव पर रखा। उन्होंने दिखाया कि पुराने गणितज्ञों के एकीकरण सिद्धांत, झूठ समूहों का उपयोग करके, एक सामान्य स्रोत को संदर्भित किया जा सकता है, और सामान्य अंतर समीकरण जो एक ही अतिसूक्ष्म परिवर्तनों को स्वीकार करते हैं, तुलनीय एकीकरण कठिनाइयों को प्रस्तुत करते हैं। उन्होंने संपर्क परिवर्तन के विषय पर भी जोर दिया।

अवकल समीकरणों के लाई के समूह सिद्धांत को प्रमाणित किया गया है, अर्थात्: (1) कि यह अंतर समीकरणों को हल करने के लिए जाने जाने वाले कई तदर्थ तरीकों को एकीकृत करता है, और (2) कि यह हल खोजने के शक्तिशाली नए तरीके प्रदान करता है। सिद्धांत में साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों दोनों के लिए अनुप्रयोग हैं। एक सामान्य हल दृष्टिकोण अंतर समीकरणों की समरूपता संपत्ति का उपयोग करता है, समाधानों के समाधानों के निरंतर अत्यल्प परिवर्तन (झूठे सिद्धांत)। निरंतर समूह सिद्धांत, लाई बीजगणित, और अंतर ज्यामिति का उपयोग रैखिक और अरेखीय (आंशिक) अंतर समीकरणों की संरचना को समझने के लिए किया जाता है, ताकि इसके लैक्स जोड़े, पुनरावर्तन संचालक, बैकलंड रूपांतरण और अंत में सटीक विश्लेषणात्मक हल खोजे जा सकें। डे के लिए।

गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में उत्पन्न होने वाले अवकल समीकरणों पर समरूपता विधियों को लागू किया गया है।

स्टर्म-लिउविल सिद्धांत

Main article: Sturm–Liouville theory

स्टर्म-लिउविल सिद्धांत एक विशेष प्रकार के दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण का सिद्धांत है। उनके हल eigenvalues ​​​​और रैखिक समीकरणों के दूसरे क्रम प्रणाली के माध्यम से परिभाषित रैखिक ऑपरेटरों के संबंधित Eigenfunction पर आधारित हैं। समस्याओं की पहचान स्टर्म-लिउविल प्रॉब्लम्स (एसएलपी) के रूप में की जाती है और इनका नाम जैक्स चार्ल्स फ्रांकोइस स्टर्म | जे.सी.एफ. स्टर्म और जोसेफ लिउविल|जे. लिउविल, जिन्होंने 1800 के दशक के मध्य में उनका अध्ययन किया था। SLPs में अनंत संख्या में eigenvalues ​​​​होते हैं, और संबंधित eigenfunctions एक पूर्ण, ऑर्थोगोनल सेट बनाते हैं, जो ऑर्थोगोनल विस्तार को संभव बनाता है। अनुप्रयुक्त गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में यह एक महत्वपूर्ण विचार है। एसएलपी कुछ आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषण में भी उपयोगी होते हैं।

हल का अस्तित्व और विशिष्टता

ऐसे कई प्रमेय हैं जो स्थानीय और विश्व स्तर पर ODEs से जुड़ी प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के हल के अस्तित्व और विशिष्टता को स्थापित करते हैं। दो मुख्य प्रमेय हैं

Theorem	Assumption	Conclusion
Peano existence theorem	F continuous	local existence only
Picard–Lindelöf theorem	F Lipschitz continuous	local existence and uniqueness

अपने मूल रूप में ये दोनों प्रमेय केवल स्थानीय परिणामों की गारंटी देते हैं, हालांकि बाद वाले को वैश्विक परिणाम देने के लिए बढ़ाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि ग्रोनवॉल की असमानता की शर्तों को पूरा किया जाता है।

इसके अलावा, अद्वितीयता प्रमेय जैसे लिप्सचिट्ज़ ऊपर वाला अवकलनात्मक बीजगणितीय समीकरण प्रणालियों पर लागू नहीं होता है, जिसमें अकेले उनके (अरेखीय ) बीजगणितीय भाग से उत्पन्न होने वाले कई हल हो सकते हैं।

स्थानीय अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय सरलीकृत

प्रमेय को केवल इस प्रकार कहा जा सकता है। समीकरण और प्रारंभिक मान समस्या के लिए:

$$y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})$$

अगर F और ∂F/∂y एक बंद आयत में निरंतर हैं

$$R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]$$

x-y समतल में, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं (प्रतीकात्मक रूप से: a, b ∈ R) और × कार्तीय उत्पाद को दर्शाता है, वर्ग कोष्ठक अंतराल अंकन को दर्शाता है, फिर एक अंतराल होता है

$$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]$$

कुछ के लिए h ∈ R जहां उपरोक्त समीकरण और प्रारंभिक मूल्य समस्या का हल पाया जा सकता है। यानी एक उपाय है और वह अनोखा है। चूँकि F के रैखिक होने पर कोई प्रतिबंध नहीं है, यह अरेखीय समीकरणों पर लागू होता है जो F(x, y) का रूप लेते हैं, और इसे समीकरणों के सिस्टम पर भी लागू किया जा सकता है।

वैश्विक विशिष्टता और हल का अधिकतम डोमेन

जब पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय की परिकल्पना संतुष्ट होती है, तो स्थानीय अस्तित्व और विशिष्टता को वैश्विक परिणाम तक बढ़ाया जा सकता है। ज्यादा ठीक: प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति के लिए (x₀, वाई₀) एक अद्वितीय अधिकतम (संभवतः अनंत) खुला अंतराल मौजूद है

$I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }$

ऐसा कि कोई भी हल जो इस प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है, वह हल का प्रतिबंध (गणित) है जो डोमेन के साथ इस प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है $I_{\max }$.

उस मामले में $x_{\pm }\neq \pm \infty$, वास्तव में दो संभावनाएँ हैं

• परिमित समय में विस्फोट: $\limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty$
• परिभाषा का डोमेन छोड़ता है: $\lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}$

जहां Ω खुला सेट है जिसमें F परिभाषित है, और $\partial {\bar {\Omega }}$ इसकी सीमा है।

ध्यान दें कि हल का अधिकतम डोमेन

• हमेशा एक अंतराल होता है (विशिष्टता के लिए)
• से छोटा हो सकता है $\mathbb {R}$
• की विशिष्ट पसंद पर निर्भर हो सकता है (x₀, वाई₀).

उदाहरण।

$y'=y^{2}$

इसका अर्थ है कि F(x, y) = y², जो सी है¹ और इसलिए स्थानीय रूप से लिपशित्ज़ निरंतर, पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय को संतुष्ट करता है।

इतनी सरल सेटिंग में भी, हल का अधिकतम डोमेन सभी नहीं हो सकता $\mathbb {R}$ चूंकि हल है

$y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}$

जिसका डोमेन अधिकतम है:

${\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}$

यह स्पष्ट रूप से दिखाता है कि अधिकतम अंतराल प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर हो सकता है। Y के प्रांत को अस्तित्व के रूप में लिया जा सकता है $\mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),$ लेकिन यह एक ऐसे डोमेन की ओर ले जाएगा जो एक अंतराल नहीं है, जिससे प्रारंभिक स्थिति के विपरीत पक्ष प्रारंभिक स्थिति से डिस्कनेक्ट हो जाएगा, और इसलिए इसके द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाएगा।

अधिकतम डोमेन नहीं है $\mathbb {R}$ चूंकि

$\lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,$

जो उपरोक्त प्रमेय के अनुसार दो संभावित मामलों में से एक है।

आदेश में कमी

यदि समीकरण के क्रम को कम किया जा सकता है तो अवकल समीकरणों को आमतौर पर अधिक आसानी से हल किया जा सकता है।

प्रथम-क्रम प्रणाली में कमी

क्रम n का कोई स्पष्ट अवकल समीकरण,

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

अज्ञात कार्यों के एक नए परिवार को परिभाषित करके n प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है

$y_{i}=y^{(i-1)}.\!$

मैं = 1, 2,..., एन के लिए। प्रथम-क्रम युग्मित अंतर समीकरणों की एन-आयामी प्रणाली तब है

${\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}$

सदिश संकेतन में अधिक सघन रूप से:

$\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )$

जहाँ

$\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).$

सटीक समाधानों का सारांश

कुछ अवकल समीकरणों के हल होते हैं जिन्हें सटीक और बंद रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ कई महत्वपूर्ण वर्ग दिए गए हैं।

नीचे दी गई तालिका में, P(x), Q(x), P(y), Q(y), और M(x,y), N(x,y) के कोई पूर्णांक कार्य हैं x, y, और b और c वास्तविक दिए गए स्थिरांक हैं, और C₁, C₂, ... मनमाना स्थिरांक हैं (सामान्य रूप से जटिल संख्या)। अवकल समीकरण उनके समतुल्य और वैकल्पिक रूपों में होते हैं जो एकीकरण के माध्यम से हल की ओर ले जाते हैं।

अभिन्न हल में, λ और ε एकीकरण के डमी चर हैं (संकलन में सूचकांकों के निरंतर अनुरूप), और अंकन ∫^x F(λ) dλ सिर्फ एकीकृत करने का मतलब है F(λ) इसके संबंध में λ, फिर एकीकरण स्थानापन्न के बाद λ = x, स्थिरांक जोड़े बिना (स्पष्ट रूप से कहा गया)।

वियोज्य समीकरण

Differential equation	Solution method	General solution
First-order, separable in x and y (general case, see below for special cases) ${\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{aligned}}$	Separation of variables (divide by P2Q1).	$\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C$
First-order, separable in x ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}$	Direct integration.	$y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C$
First-order, autonomous, separable in y ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}$	Separation of variables (divide by F).	$x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C$
First-order, separable in x and y ${\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0\end{aligned}}$	Integrate throughout.	$\int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C$

सामान्य प्रथम-क्रम समीकरण

Differential equation	Solution method	General solution
First-order, homogeneous ${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)$	Set y = ux, then solve by separation of variables in u and x.	$\ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}$
First-order, separable ${\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy&=0\end{aligned}}$	Separation of variables (divide by xy).	$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}$ If N = M, the solution is xy = C.
Exact differential, first-order ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ where ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$	Integrate throughout.	${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\&=\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ where $$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda$$ and $$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda$$
Inexact differential, first-order ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ where ${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}$	Integration factor μ(x, y) satisfying ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial x}}$	If μ(x, y) can be found in a suitable way, then ${\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ where $$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda$$ and $$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda$$

सामान्य दूसरे क्रम के समीकरण

Differential equation	Solution method	General solution
Second-order, autonomous ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)$	Multiply both sides of equation by 2dy/dx, substitute $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$, then integrate twice.	$x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}$

=== nवें क्रम के समीकरण === के लिए रैखिक

Differential equation	Solution method	General solution
First-order, linear, inhomogeneous, function coefficients ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$	Integrating factor: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.$	Armour formula: $y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]$
Second-order, linear, inhomogeneous, function coefficients ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=q(x)$	Integrating factor: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]$
Second-order, linear, inhomogeneous, constant coefficients ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)$	Complementary function yc: assume yc = eαx, substitute and solve polynomial in α, to find the linearly independent functions $e^{\alpha _{j}x}$. Particular integral yp: in general the method of variation of parameters, though for very simple r(x) inspection may work.	$y=y_{c}+y_{p}$ If b2 > 4c, then $y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}$ If b2 = 4c, then $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}$ If b2 < 4c, then $y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]$
nth-order, linear, inhomogeneous, constant coefficients $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)$	Complementary function yc: assume yc = eαx, substitute and solve polynomial in α, to find the linearly independent functions $e^{\alpha _{j}x}$. Particular integral yp: in general the method of variation of parameters, though for very simple r(x) inspection may work.	$y=y_{c}+y_{p}$ Since αj are the solutions of the polynomial of degree n: ${\textstyle \prod _{j=1}^{n}(\alpha -\alpha _{j})=0}$, then: for αj all different, $$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}$$ for each root αj repeated kj times, $$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}$$ for some αj complex, then setting α = χj + iγj, and using Euler's formula, allows some terms in the previous results to be written in the form $$C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j})$$ where ϕj is an arbitrary constant (phase shift).

अनुमान लगाने की विधि

जब एक ODE को हल करने के लिए अन्य सभी तरीके विफल हो जाते हैं, या ऐसे मामलों में जहां हमें इस बारे में कुछ अंतर्ज्ञान होता है कि DE का हल कैसा दिख सकता है, तो कभी-कभी केवल हल का अनुमान लगाकर और इसे मान्य करके DE को हल करना संभव होता है। इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, हम केवल अंतर समीकरण के हल का अनुमान लगाते हैं, और फिर समीकरण को संतुष्ट करने के लिए हल को अंतर समीकरण में प्लग करते हैं। यदि ऐसा होता है तो हमारे पास DE का एक विशेष हल है, अन्यथा हम फिर से शुरू करते हैं और एक और अनुमान लगाने का प्रयास करते हैं। उदाहरण के लिए हम अनुमान लगा सकते हैं कि DE के हल का रूप है: $y=Ae^{\alpha t}$ चूंकि यह एक बहुत ही सामान्य उपाय है जो शारीरिक रूप से साइनसोइडल तरीके से व्यवहार करता है।

पहले क्रम ODE के मामले में जो गैर-सजातीय है, हमें पहले DE के सजातीय भाग के लिए DE हल खोजने की आवश्यकता है, अन्यथा विशेषता समीकरण के रूप में जाना जाता है, और फिर अनुमान लगाकर पूरे गैर-सजातीय समीकरण का हल खोजें . अंत में, हम ODE का कुल हल प्राप्त करने के लिए इन दोनों समाधानों को एक साथ जोड़ते हैं, जो है:

${\text{total solution}}={\text{homogeneous solution}}+{\text{particular solution}}$

ओडीई हल करने के लिए सॉफ्टवेयर

• मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर), एक ओपन-सोर्स कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली।
• कोपासिस, ओडीई के एकीकरण और विश्लेषण के लिए एक मुफ्त (आर्टिस्टिक लाइसेंस|आर्टिस्टिक लाइसेंस 2.0) सॉफ्टवेयर पैकेज।
• MATLAB, एक तकनीकी कंप्यूटिंग अनुप्रयोग (मैट्रिक्स प्रयोगशाला)
• जीएनयू ऑक्टेव, एक उच्च स्तरीय भाषा, मुख्य रूप से संख्यात्मक अभिकलन के लिए अभिप्रेत है।
• साइलैब, संख्यात्मक अभिकलन के लिए एक खुला स्रोत अनुप्रयोग।
• मेपल (सॉफ्टवेयर), सांकेतिक गणनाओं के लिए एक मालिकाना अनुप्रयोग।
• मेथेमेटिका, मुख्य रूप से सांकेतिक गणनाओं के लिए एक मालिकाना अनुप्रयोग है।
• सिम्पी, एक पायथन पैकेज जो ओडीई को प्रतीकात्मक रूप से हल कर सकता है
• जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा), मुख्य रूप से संख्यात्मक संगणना के लिए एक उच्च स्तरीय भाषा है।
• सेजमैथ, एक ओपन-सोर्स एप्लिकेशन जो गणित की कई शाखाओं में फैली क्षमताओं की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ पायथन-जैसे सिंटैक्स का उपयोग करता है।
• SciPy, एक Python पैकेज जिसमें एक ODE एकीकरण मॉड्यूल शामिल है।
• 15 अंकों की सटीकता के कार्यों के साथ कंप्यूटिंग के लिए MATLAB में लिखा गया एक ओपन-सोर्स पैकेज Chebfun।
• GNU R, मुख्य रूप से आँकड़ों के लिए एक खुला स्रोत कम्प्यूटेशनल वातावरण है, जिसमें ODE हल करने के लिए पैकेज शामिल हैं।

यह भी देखें

• सीमा मूल्य समस्या
• अवकल समीकरणों के उदाहरण
• लाप्लास परिवर्तन अंतर समीकरणों पर लागू होता है
• डायनेमिक सिस्टम और डिफरेंशियल इक्वेशन विषयों की सूची
• मैट्रिक्स अंतर समीकरण
• अनिर्धारित गुणांकों की विधि
• पुनरावृत्ति संबंध

संदर्भ

• Halliday, David; Resnick, Robert (1977), Physics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-71716-9
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8.
• Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716
• Tipler, Paul A. (1991), Physics for Scientists and Engineers: Extended version (3rd ed.), New York: Worth Publishers, ISBN 0-87901-432-6
• Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PDF) (in français)
• Dresner, Lawrence (1999), Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations, Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, ISBN 978-0750305303
• Ascher, Uri; Petzold, Linda (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2

ग्रन्थसूची

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• Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, vol. 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, doi:10.1137/1.9780898719222, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
• Ibragimov, Nail H. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3. Providence: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3..
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

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बाहरी कड़ियाँ

• "Differential equation, ordinary", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• EqWorld: The World of Mathematical Equations, containing a list of ordinary differential equations with their solutions.
• Online Notes / Differential Equations by Paul Dawkins, Lamar University.
• Differential Equations, S.O.S. Mathematics.
• A primer on analytical solution of differential equations from the Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems lecture notes by Gerald Teschl.
• Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC.
• Modeling with ODEs using Scilab A tutorial on how to model a physical system described by ODE using Scilab standard programming language by Openeering team.
• Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha

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