लाई समूह

Not to be confused with Group of Lie type.

गणित में, लाई समूह (उच्चारण /liː/ LEE) एक समूह (गणित) है जो अवलकनीय बहुविध भी है। बहुविध समष्टि है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन समष्टि जैसा दिखता है, जबकि समूह द्विआधारी संक्रिया की अमूर्त अवधारणा को अतिरिक्त गुणों के साथ परिभाषित करते हैं, इसे अमूर्त अर्थ में "परिवर्तन" के रूप में माना जाना चाहिए, उदाहरण के लिए गुणन और लेना व्युत्क्रम (विभाजन), या समकक्ष, जोड़ की अवधारणा और व्युत्क्रम (घटाव) लेना। इन दो विचारों के संयोजन से, निरंतर समूह प्राप्त होता है जहां गुणन बिंदु और उनके व्युत्क्रम निरंतर होते हैं। यदि व्युत्क्रमों का गुणन और लेना सुचारू (विभेदक) भी है, तो लाई समूह प्राप्त होता है।

लाई समूह निरंतर समरूपता की अवधारणा के लिए प्राकृतिक प्रतिरूप प्रदान करते हैं, जिसका प्रसिद्ध उदाहरण तीन आयामों में घूर्णी समरूपता है (विशेष आयतीय समूह द्वारा दिया गया) ${\text{SO}}(3)$) आधुनिक गणित और भौतिकी के कई हिस्सों में लाई समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

लाई समूह सबसे पहले आव्यूह (गणित) उपसमूहों $G$, ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ या ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )$ में निहित है।का अध्ययन करके पाए गए थे, $n\times n$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह के समूह $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$. इन्हें अब चिरसम्मत समूह कहा जाता है, अवधारणा को इन मूल से बहुत आगे बढ़ाया गया है। लाई समूहों का नाम नार्वेजियन गणितज्ञ सोफस लाई 1842-1899) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने निरंतर परिवर्तन समूहों के सिद्धांत की नींव रखी। लाई समूहों को शुरू करने के लिए लाई की मूल प्रेरणा अंतर समीकरणों की निरंतर समरूपता को प्रतिरूप करना था, ठीक उसी तरह जिस तरह से परिमित समूहों का उपयोग बीजगणितीय समीकरण के असतत समरूपता को प्रतिरूप करने के लिए गाल्वा सिद्धांत में उपयोग किया जाता है।