एबेलियन समूह: Difference between revisions
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गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा [[समूह (गणित)]] होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया [[विनिमेय|क्रमविनिमेय]] है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, [[पूर्णांक]] और [[वास्तविक संख्या]] एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के | गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा [[समूह (गणित)]] होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया [[विनिमेय|क्रमविनिमेय]] है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, [[पूर्णांक]] और [[वास्तविक संख्या]] एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के प्रारम्भ में गणितज्ञ [[नील्स हेनरिक एबेल]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{Harvard citation text|Jacobson|2009}} p. 41</ref> | ||
एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक [[बीजगणितीय संरचना|बीजगणितीय संरचनाओं]] को रेखांकित करती है, जैसे [[क्षेत्र (गणित)|फ़ील्ड्स]], वलय्स, वेक्टर रिक्त स्थान और [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]]। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके [[गैर-अबेलियन समूह|गैर-अबेलियन]] समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है। | एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक [[बीजगणितीय संरचना|बीजगणितीय संरचनाओं]] को रेखांकित करती है, जैसे [[क्षेत्र (गणित)|फ़ील्ड्स]], वलय्स, वेक्टर रिक्त स्थान और [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]]। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके [[गैर-अबेलियन समूह|गैर-अबेलियन]] समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है। | ||
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
एबेलियन समूह एक [[सेट (गणित)|समुच्चय]] <math>A</math> है, जिसमें [[बाइनरी ऑपरेशन|ऑपरेशन]] ⋅ है जो ए के किसी भी दो तत्वों <math>a</math> और <math>b</math> को <math>A</math> के दूसरे तत्व बनाने के लिए जोड़ता है, जिसे <math>a \cdot b</math> कहा जाता है। प्रतीक ⋅ ठोस रूप से दिए गए ऑपरेशन के लिए एक सामान्य प्लेसहोल्डर है। एक एबेलियन समूह के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, सेट और ऑपरेशन, <math>(A, \cdot)</math> को चार आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए, जिसे एबेलियन समूह स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है (कुछ लेखकों ने सिद्धांतों में कुछ गुण सम्मिलित किए हैं जो एक ऑपरेशन की परिभाषा से संबंधित हैं: अर्थात। <math>A</math> के तत्वों की किसी भी आदेशित जोड़ी के लिए ऑपरेशन परिभाषित किया गया है, परिणाम अच्छी तरह परिभाषित है, और परिणाम {{mvar|A}} से संबंधित है): | |||
=== '''संबद्धता''' === | === '''संबद्धता''' === | ||
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सभी के लिए <math>a</math>, <math>b</math> में <math>A</math>, <math>a \cdot b = b \cdot a</math>. | सभी के लिए <math>a</math>, <math>b</math> में <math>A</math>, <math>a \cdot b = b \cdot a</math>. | ||
एक समूह जिसमें समूह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है, एक गैर-अबेलियन समूह या गैर-क्रमविनिमेय समूह कहलाता है।<ref>Ramík, J., ''Pairwise Comparisons Method: Theory and Applications in Decision Making'' ([[Cham, Switzerland|Cham]]: [[Springer Nature|Springer Nature Switzerland]], 2020), [https://books.google.com/books?id=2qDSDwAAQBAJ&pg=PA11 p. 11].</ref>{{rp|11}} | एक ऐसा समूह जिसमें समूह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है, एक गैर-अबेलियन समूह या गैर-क्रमविनिमेय समूह कहलाता है।<ref>Ramík, J., ''Pairwise Comparisons Method: Theory and Applications in Decision Making'' ([[Cham, Switzerland|Cham]]: [[Springer Nature|Springer Nature Switzerland]], 2020), [https://books.google.com/books?id=2qDSDwAAQBAJ&pg=PA11 p. 11].</ref>{{rp|11}} | ||
== तथ्य == | == तथ्य == | ||
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स्मिथ का सामान्य रूप {{mvar|M}} एक मैट्रिक्स है | स्मिथ का सामान्य रूप {{mvar|M}} एक मैट्रिक्स है | ||
:<math>S=UMV,</math> | :<math>S=UMV,</math> | ||
जहाँ पे {{mvar|U}} तथा {{mvar|V}} यूनिमॉड्यूलर हैं, और {{mvar|S}} एक मैट्रिक्स है जैसे कि सभी गैर-विकर्ण प्रविष्टियाँ शून्य हैं, गैर-शून्य विकर्ण प्रविष्टियाँ {{tmath|d_{1,1}, \ldots, d_{k,k} }} पहले वाले हैं, और {{tmath|d_{j,j} }} का भाजक है {{tmath|d_{i,i} }} के लिये {{math|''i'' > ''j''}}. स्मिथ सामान्य का अस्तित्व और आकार यह साबित करता है कि अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह {{mvar|A}} प्रत्यक्ष योग है | |||
:<math>\Z^r \oplus \Z/d_{1,1}\Z \oplus \cdots \oplus \Z/d_{k,k}\Z,</math> कहाँ पे {{mvar|r}} के तल पर शून्य पंक्तियों की संख्या है {{mvar|r}} (और समूह के एक एबेलियन समूह की रैंक भी)। यह अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का मूलभूत प्रमेय है। | :<math>\Z^r \oplus \Z/d_{1,1}\Z \oplus \cdots \oplus \Z/d_{k,k}\Z,</math> कहाँ पे {{mvar|r}} के तल पर शून्य पंक्तियों की संख्या है {{mvar|r}} (और समूह के एक एबेलियन समूह की रैंक भी)। यह अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का मूलभूत प्रमेय है। | ||
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=== '''टॉर्शन ('''मरोड़''') समूह''' === | === '''टॉर्शन ('''मरोड़''') समूह''' === | ||
एबेलियन समूह को [[आवधिक समूह]] या [[मरोड़ (बीजगणित)]] कहा जाता है, यदि प्रत्येक तत्व में परिमित क्रम (समूह सिद्धांत) होता है। परिमित चक्रीय समूहों का प्रत्यक्ष योग आवधिक है। यद्यपि विलोम कथन सामान्य रूप से सत्य नहीं है, फिर भी कुछ विशेष मामले ज्ञात हैं। पहले और दूसरे प्रुफर प्रमेय में कहा गया है कि अगर <math>A</math> एक आवर्त समूह है, और इसका या तो परिबद्ध घातांक है, अर्थात, <math>nA = 0</math> कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n</math>, या गणनीय है और ऊंचाई (एबेलियन समूह) |<math>p</math>-तत्वों की ऊँचाई <math>A</math> प्रत्येक के लिए परिमित हैं <math>p</math>, फिर <math>A</math> परिमित चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है।<ref>Countability assumption in the second Prüfer theorem cannot be removed: the torsion subgroup of the [[direct product]] of the cyclic groups <math>\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}</math> for all natural <math>m</math> is not a direct sum of cyclic groups.</ref> प्रत्यक्ष सारांश के सेट की कार्डिनैलिटी आइसोमॉर्फिक है <math>\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}</math> इस तरह के अपघटन में एक अपरिवर्तनीय है <math>A</math>.<ref>Faith, C. C., ''Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra'' (Providence: AMS, 2004), [https://books.google.com/books?id=H1TzBwAAQBAJ&pg=PA6 p. 6].</ref>{{rp|6}} बाद में इन प्रमेयों को कुलिकोव कसौटी में सम्मिलित कर लिया गया। एक अलग दिशा में, [[हेल्मुट उल्म]] ने काउंटेबल एबेलियन के लिए दूसरे प्रुफर प्रमेय का विस्तार पाया <math>p</math>अनंत ऊंचाई के तत्वों वाले समूह: उन समूहों को पूरी तरह से उनके उल्म आक्रमणकारियों के माध्यम से वर्गीकृत किया जाता है। | |||
=== मरोड़-मुक्त और मिश्रित समूह === | === मरोड़-मुक्त और मिश्रित समूह === | ||
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*{{annotated link|ग्रोथेंडिक समूह}} | *{{annotated link|ग्रोथेंडिक समूह}} | ||
*{{annotated link|पोंट्रीगिन द्वैत}} | *{{annotated link|पोंट्रीगिन द्वैत}} | ||
== टिप्पणियाँ == | == टिप्पणियाँ == | ||
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== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
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* {{cite journal |last=Szmielew |first=Wanda|author-link= Wanda Szmielew |date=1955 |title=Elementary Properties of Abelian Groups |journal=[[Fundamenta Mathematicae]] |volume=41 |issue=2|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm41/fm41122.pdf|pages= 203–271|doi=10.4064/fm-41-2-203-271|mr=0072131|zbl=0248.02049|doi-access=free}} | * {{cite journal |last=Szmielew |first=Wanda|author-link= Wanda Szmielew |date=1955 |title=Elementary Properties of Abelian Groups |journal=[[Fundamenta Mathematicae]] |volume=41 |issue=2|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm41/fm41122.pdf|pages= 203–271|doi=10.4064/fm-41-2-203-271|mr=0072131|zbl=0248.02049|doi-access=free}} | ||
* {{cite journal |last1=Robinson |first1=Abraham|author-link1= Abraham Robinson |last2=Zakon |first2=Elias|date=1960 |title=Elementary Properties of Ordered Abelian Groups |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=96 |issue=2|url=https://www.ams.org/journals/tran/1960-096-02/S0002-9947-1960-0114855-0/S0002-9947-1960-0114855-0.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/tran/1960-096-02/S0002-9947-1960-0114855-0/S0002-9947-1960-0114855-0.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|pages= 222–236|doi=10.2307/1993461|doi-access=free}} | * {{cite journal |last1=Robinson |first1=Abraham|author-link1= Abraham Robinson |last2=Zakon |first2=Elias|date=1960 |title=Elementary Properties of Ordered Abelian Groups |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=96 |issue=2|url=https://www.ams.org/journals/tran/1960-096-02/S0002-9947-1960-0114855-0/S0002-9947-1960-0114855-0.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/tran/1960-096-02/S0002-9947-1960-0114855-0/S0002-9947-1960-0114855-0.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|pages= 222–236|doi=10.2307/1993461|doi-access=free}} | ||
==बाहरी संबंध== | ==बाहरी संबंध== | ||
Revision as of 11:47, 8 December 2022
गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा समूह (गणित) होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया क्रमविनिमेय है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, पूर्णांक और वास्तविक संख्या एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के प्रारम्भ में गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।[1]
एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक बीजगणितीय संरचनाओं को रेखांकित करती है, जैसे फ़ील्ड्स, वलय्स, वेक्टर रिक्त स्थान और बीजगणित। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके गैर-अबेलियन समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है।
| बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत' समूह सिद्धांत |
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परिभाषा
एबेलियन समूह एक समुच्चय है, जिसमें ऑपरेशन ⋅ है जो ए के किसी भी दो तत्वों और को के दूसरे तत्व बनाने के लिए जोड़ता है, जिसे कहा जाता है। प्रतीक ⋅ ठोस रूप से दिए गए ऑपरेशन के लिए एक सामान्य प्लेसहोल्डर है। एक एबेलियन समूह के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, सेट और ऑपरेशन, को चार आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए, जिसे एबेलियन समूह स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है (कुछ लेखकों ने सिद्धांतों में कुछ गुण सम्मिलित किए हैं जो एक ऑपरेशन की परिभाषा से संबंधित हैं: अर्थात। के तत्वों की किसी भी आदेशित जोड़ी के लिए ऑपरेशन परिभाषित किया गया है, परिणाम अच्छी तरह परिभाषित है, और परिणाम A से संबंधित है):
संबद्धता
सभी के लिए , , तथा में , समीकरण