तुल्यता संबंध: Difference between revisions

Latest revision as of 23:17, 1 December 2022

द्विआधारी संबंध

5-तत्व समुच्चयपर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है

5\times 5

तार्किक मैट्रिक्स (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र सम्मिलित हैं, एक के लिए खड़े हैं, शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता संबंधों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता संबंध होता है)।

गणित में, तुल्यता संबंध एक द्विआधारी संबंध है जो प्रतिक्रियात्मक, सममित और सकर्मक संबंध होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच समतुल्य संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।

प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त तुल्यता संबंधों में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।

संकेतन

साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है $a$ तथा $b$ तुल्यता संबंध के एक समुच्चय के बराबर हैं $R;$ सबसे सामान्य हैं $a\sim b$ तथा $a \equiv b$ , जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है " a _R b, "a ≡_R b", या ${a\mathop {R} b}$ , $R$ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है $a ≁ b$ या $a\not \equiv b$ .

परिभाषा

समुच्चय $X$ पर द्विआधारी संबंध $\,\sim \,$ को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए $a,b,$ तथा $c$ में $X:$

$a\sim a$ (प्रतिवर्त संबंध)।
$a\sim b$ अगर और केवल अगर $b\sim a$ (सममित संबंध)।
यदि $a\sim b$ तथा $b\sim c$ फिर $a\sim c$ (सकर्मक संबंध)।

$X$ संबंध के साथ $\,\sim \,$ एक समुच्चयॉइड कहा जाता है। तुल्यता संबंध $a$ नीचे $\,\sim ,$ लक्षित $[a],$ को इस तरह परिभाषित किया गया है $[a]=\{x\in X:x\sim a\}.$ ^[1]^[2]

संबंधपरक बीजगणित का उपयोग करते हुए वैकल्पिक परिभाषा

संबंध परक बीजगणित में, यदि $R\subseteq X\times Y$ तथा $S\subseteq Y\times Z$ के संबंध हैं, तो संबंधों की संरचना को $SR\subseteq X\times Z$ से परिभाषित किया गया है ताकि $x\,SR\,z$ अगर और केवल अगर वहाँ एक है $y\in Y$ ऐसा है कि $x\,R\,y$ तथा $y\,S\,z$ .^{[note 1]} यह परिभाषा कार्यात्मक संरचना की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण $R$ एक समुच्चयपर $X$ फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है

$\operatorname {id} \subseteq R$ . (परावर्तन रिलेशन)। (यहां, आई डी पहचान फलन को $X$ .से दर्शाता है)
$R=R^{-1}$ (सममित संबंध)।
$RR\subseteq R$ (सकर्मक संबंध)।^[3]

उदाहरण

सरल उदाहरण

समुच्चयपर $X=\{a,b,c\}$ , सम्बन्ध $R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}$ एक तुल्यता संबंध है। निम्नलिखित समुच्चय इस संबंध के तुल्यता संबंध हैं

[a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}.

$R$ के लिए सभी तुल्यता संबंधों का समुच्चय $\{\{a\},\{b,c\}\}.$ है यह समुच्चय $R$ के संबंध में समुच्चय $X$ का एक विभाजन है।

तुल्यता संबंध

निम्नलिखित संबंध में सभी तुल्यता संबंध हैं

संख्याओं के समुच्चय के बराबर है। उदाहरण के लिए, ${\tfrac {1}{2}}$ के बराबर है ${\tfrac {4}{8}}.$ ^[2]
सभी लोगों के समुच्चय पर वही तिथि होती है।
सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के समुच्चय पर समान है।
सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के समुच्चय पर सर्वांगसमता है।
एक प्राकृतिक संख्या दी गई $n$ , के अनुरूप है, मॉड्यूलर अंकगणित $n$ पूर्णांकों पर।^[2]* एक फलन को देखते हुए $f:X\to Y$ , एक ही छवि (गणित) के अंतर्गत है $f$ के तत्वों के रूप में $f$ किसी फलन का डोमेन $X$ . उदाहरण के लिए, $0$ तथा $\pi$ नीचे एक ही छवि है $\sin$ , $0$
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समान निरपेक्ष मान होता है
सभी कोणों के समुच्चय पर समान कोज्या होती है।

ऐसे संबंध जो तुल्यता नहीं हैं

वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध स्वतुल्य और सकर्मक है, लेकिन सममित नहीं है। उदाहरण के लिए, 7 ≥ 5 लेकिन 5 ≥ 7 नहीं।
संबंध का एक सार्व गुणनखंड 1 से अधिक है, जिसमें प्राकृतिक संख्याओं के बीच 1 से अधिक, प्रतिवर्ती और सममित है, लेकिन सकर्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या 2 और 6 का एक सार्व गुणनखंड 1 से बड़ा है, और 6 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा है, लेकिन 2 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा नहीं है।
एक समुच्चय X पर रिक्त संबंध R इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि एआरबी कभी भी सत्य नहीं है। रिक्त रूप से सत्य सममित और संक्रमणीय है, चूँकि, यह परावर्तक नहीं है जब तक कि एक्स स्वयं खाली न हो।
वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध लगभग बराबर है, लेकिन तुल्यता संबंध को सटीक रूप से परिभाषित नहीं किया है, क्योंकि परावर्तक और सममित होने के बावजूद, यह सकर्मक नहीं है, क्योंकि कई छोटे परिवर्तन बड़ा परिवर्तन बनने के लिए एकत्र हो सकते हैं। चूँकि, यदि सन्निकटन को विषम रूप से परिभाषित किया गया है, जैसा कि उदाहरण के लिए दो फलन f और g किसी बिंदु के पास लगभग बराबर हैं यदि उस बिंदु पर f - g की सीमा 0 है, तो यह एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है।

अन्य संबंधों से संबंध

एक आंशिक क्रम एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित और सकर्मक है।
समानता तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम दोनों है। समानता भी समुच्चय पर एकमात्र संबंध है जो परावर्तित, सममित और प्रतिसममित होती है। बीजगणितीय व्यंजकों में समान चरों को एक दूसरे के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जा सकता है, ऐसी अनुकूलता जो तुल्यता संबंधित चरों के लिए उपलब्ध नहीं है। एक तुल्यता संबंध की तुल्यता संबंध एक दूसरे के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं लेकिन एक वर्ग के भीतर अलग अलग नहीं।
एक पूर्णतः आंशिक क्रम अपरिवर्तनीय, संक्रमणीय, और असममित होते है।
एक आंशिक तुल्यता संबंध सकर्मक और सममित होते है। ऐसा संबंध स्वतुल्य होता है अगर और केवल यह सम्पूर्ण संबंध है, अर्थात , अगर सभी के लिए $a,$ कुछ मौजूद है $b{\text{ इस तरह से}}a\sim b.$ ^{[proof 1]} इसलिए एक तुल्यता संबंध को वैकल्पिक रूप से एक सममित, सकर्मक और कुल संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
एक त्रिगुट तुल्यता संबंध सामान्य (बाइनरी) तुल्यता संबंध के लिए एक त्रिगुट अनुरूप है।
रिफ्लेक्सिव और सममित संबंध एक निर्भरता संबंध है यदि परिमित है और सहिष्णुता संबंध अनंत होते है
एक अग्रिम क्रम प्रतिवर्ती और सकर्मक है।
एक सर्वांगसमता संबंध एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन $X$ बीजीय संरचना के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्तया, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के कर्नेल(बीजगणित) की भूमिका निभाते हैं, और सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है और संरचना को उपसंरचना के रूप में उसे परिभाषित किया गया है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध सामान्य उपसमूहों के अनुरूप होते हैं)।
कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, चूँकि विलोम कथन केवल शास्त्रीय गणित(रचनात्मक गणित) के विपरीत होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य नियम के बराबर है।
प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्त बाएँ या दाएँ दोनों है और यूक्लिडियन एक तुल्यता संबंध को प्रदर्शित करती है।

एक तुल्यता संबंध के तहत अच्छी तरह से परिभाषित

यदि $\,\sim \,$ पर एक तुल्यता संबंध है $X,$ तथा $P(x)$ के तत्वों की एक सामग्री $X,$ है और यदि ऐसा कि $x\sim y,$ तो $P(x)$ सच है यदि $P(y)$ सत्य है, तो सामग्री $P$ अच्छी तरह से परिभाषित है या वर्ग अपरिवर्तनीय संबंध $\,\sim .$ के तहत एक वर्ग अपरिवर्तनीय होता है

एक नियमित विशेष में वस्तुस्थिति $f$ तब होती है, जब $X$ के दूसरे समुच्चय में $Y;$ फलन होता है, यदि $x_{1}\sim x_{2}$ का तात्पर्य $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ है और $f$ को आकृति विज्ञान कहा जाता है $\,\sim ,$ एक वर्ग अपरिवर्तनीय के तहत है $\,\sim ,$ या साधारण अपरिवर्तनीय के अंतर्गत है $\,\sim .$ इस प्रकार का उदाहरण परिमित समूहों के चरित्र सिद्धांत में होता है। फलन $f$ के साथ आगामी स्थिति,को क्रम विनिमेय त्रिभुज द्वारा व्यक्त किया जाता है। अपरिवर्तनीय (गणित) भी देखें। कुछ लेखक संगत का उपयोग करते हैं $\,\sim$ या सिर्फ सम्मान $\,\sim$ अपरिवर्तनीय के जगह है $\,\sim$ .

सामान्तया, फलनस मकक्ष तर्कों को प्रतिचित्र कर सकता है (एक तुल्यता संबंध के तहत $\,\sim _{A}$ ) समकक्ष मूल्यों के लिए (एक तुल्यता संबंध के तहत $\,\sim _{B}$ ) इस तरह के एक फलन को आकृति विज्ञान के रूप में जाना जाता है $\,\sim _{A}$ प्रति $\,\sim _{B}.$

तुल्यता संबंध, भागफल समुच्चय, विभाजन

ये $a,b\in X.$ कुछ परिभाषाएँ:

तुल्यता संबंध

X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि $a\sim b$ Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता संबंध' कहलाता है। ये $[a]:=\{x\in X:a\sim x\}$ उस तुल्यता संबंध को निरूपित करती है जो a संबंधित है, और एक दूसरे के तुल्य X के सभी अवयव भी समान तुल्यता संबंध के अवयव होते हैं।

भागफल समुच्चय

X के सभी तुल्यता संबंधों का समुच्चय ~,से निरूपित है $X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]:x\in X\},$ ~ X का भागफल समुच्चय है। यदि X एक सांस्थितिक समष्टि है, तो बदलने का एक प्राकृतिक तरीका है $X/\sim$ सांस्थितिक समष्टि में विवरण के लिए भागफल स्थान (सांस्थितिक ) को देखें।

प्रक्षेपण

प्रक्षेपण का $\,\sim \,$ फलन है, $\pi :X\to X/{\mathord {\sim }}$ द्वारा परिभाषित $\pi (x)=[x]$ जो के तत्वों को छायाचित्र करता है $X$ द्वारा संबंधित तुल्यता संबंधों में $\,\sim .$ है

प्रक्षेपण पर प्रमेय,^[4] फलन $f:X\to B$ ऐसा हो कि अगर $a\sim b$ फिर $f(a)=f(b).$ ये एक विशिष्ट फलन है $g:X/\sim \to B$ ऐसा है कि $f=g\pi .$ यदि $f$ एक प्रक्षेपण है और $a\sim b{\text{ if and only if }}f(a)=f(b),$ फिर $g$ एक आपत्ति है।

तुल्यता कर्नेल

किसी फलन का तुल्यता कर्नेल $f$ तुल्यता संबंध है ~ परिभाषित $x\sim y{\text{ if and only if }}f(x)=f(y).$ एक अंतःक्षेप तुल्यता का कर्नेल तत्समक संबंध है।

विभाजन

X का विभाजन X के गैर-रिक्त उपसमुच्चय का एक समुच्चय P होता है, जैसे कि X का प्रत्येक अवयव P के एकल अवयव का एक अवयव है। P का प्रत्येक अवयव विभाजन की कोशिका है। इसके अलावा, P के अवयव युग्‍म की तरह असंबद्ध हैं और उनका संघ समुच्चय सिद्धांत X है।

विभाजनों की गणना

मान लीजिए X एक परिमित समुच्चय है जिसमें n तत्व हैं। चूंकि एक्स पर प्रत्येक तुल्यता संबंध एक्स के विभाजन से संधि करता है, और इसके विपरीत, एक्स पर तुल्यता संबंधों की संख्या एक्स के अलग-अलग विभाजनों की संख्या के बराबर होती है, जो कि एनटी बेल नंबर B_n है।

B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}\quad

(डोबिंस्की सूत्र)।

तुल्यता संबंधों की मौलिक प्रमेय

एक प्रमुख परिणाम तुल्यता संबंध विभाजनों को जोड़ता है,^[5]^[6]^[7]

एक समुच्चय एक्स विभाजन एक्स पर तुल्यता संबंध ~ है।
इसके विपरीत, X के किसी भी विभाजन के संगत, X पर एक तुल्यता संबंध होती है।

दोनों ही मामलों में, X के विभाजन की कोशिकाएँ X के ~ द्वारा तुल्यता संबंध हैं। चूंकि एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के किसी भी विभाजन के अद्वितीय सेल से संबंधित है, और चूंकि विभाजन के प्रत्येक सेल एक्स के समकक्ष वर्ग ~ ~ के समान है, एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के अद्वितीय समकक्ष वर्ग ~ के अंतर्गत आता है। इस प्रकार X पर सभी तुल्यता संबंधों के समुच्चय और X के सभी विभाजनों के समुच्चय के बीच एक स्वाभाविक विभाजन होता है।

तुल्यता संबंधों की तुलना

यदि $\sim$ तथा $\approx$ एक ही समुच्चय पर दो तुल्यता संबंध हैं $S$ , तथा $a\sim b$ का तात्पर्य $a\approx b$ सभी के लिए $a,b\in S,$ फिर $\approx$ की तुलना में घनिष्ठ संबंध कहा जाता है $\sim$ , तथा $\sim$ से बेहतर रिश्ता है $\approx$ . समान रूप से,

$\sim$ से बेहतर है $\approx$ अगर हर तुल्यता संबंध $\sim$ तुल्यता संबंध का एक उपसमुच्चय है $\approx$ , और इस प्रकार प्रत्येक तुल्यता संबंध $\approx$ तुल्यता संबंधों का एक संघ है $\sim$ .
$\sim$ से बेहतर है $\approx$ यदि विभाजन द्वारा बनाया गया है $\sim$ बनाए गए विभाजन का परिशोधन है $\approx$ .

समानता तुल्यता संबंध किसी भी समुच्चय पर सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है, जबकि विश्वव्यापी संबंध, जो तत्वों के सभी जोड़े से संबंधित है, सबसे स्थूल है।

सम्बन्ध $\sim$ से बेहतर है $\approx$ एक निश्चित समुच्चय पर सभी तुल्यता संबंधों के संग्रह पर ही आंशिक क्रम संबंध है, जो संग्रह को एक ज्यामितीय जाली का बनाता है।^[8]

तुल्यता संबंध उत्पन्न करना

किसी भी समुच्चय को देखते हुए $X,$ समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध $[X\to X]$ सभी कार्यों का $X\to X$ निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। दो कार्यों को समतुल्य माना जाता है जब उनके संबंधित बिंदुओं के समुच्चय में समान कार्डिनैलिटी होती है, जो क्रमपरिवर्तन में लंबाई के चक्रों के अनुरूप होती है।
एक तुल्यता संबंध $\,\sim \,$ पर $X$ इसके आक्षेप प्रक्षेपण का तुल्यता कर्नेल है $\pi :X\to X/\sim .$ ^[9] इसके विपरीत, समुच्चय के बीच कोई भी प्रक्षेपण अपने डोमेन पर एक विभाजन को निर्धारित करता है,कोडोमेन में सिंगलटन के पूर्व छवि का समुच्चय। इस प्रकार तुल्यता संबंध खत्म हो गयी है $X,$ का एक विभाजन $X,$ और एक प्रक्षेपण जिसका डोमेन है $X,$ एक ही चीज़ को निर्दिष्ट करने के तीन समान तरीके हैं।
X पर तुल्यता संबंधों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन द्विआधारी संबंधों के सब समुच्चय के रूप में देखा जाता है $X\times X$ भी एक तुल्यता संबंध है। यह एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करने का एक अनुकूल प्रणाली उपलब्ध कराता है। X पर किसी भी द्विआधारी संबंध R को देखते हुए, आर आर द्वारा उत्पन्न सभी तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेदन R है जिसे सबसे छोटा तुल्यता संबंध भी कहा जाता है। जो सामान्तया, R तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है

a\sim b

अगर कोई प्राकृतिक संख्या मौजूद है

n

और तत्व

x_{0},\ldots ,x_{n}\in X

ऐसा है कि

a=x_{0}

,

b=x_{n}

, तथा

x_{i-1}\mathrel {R} x_{i}

या

x_{i}\mathrel {R} x_{i-1}

, के लिये

i=1,\ldots ,n.

इस तरह से उत्पन्न तुल्यता संबंध तुच्छ हो सकता है। उदाहरण के लिए, X पर किसी भी कुल आदेश द्वारा उत्पन्न तुल्यता संबंध में ठीक एक तुल्यता संबंध, X ही है।

तुल्यता संबंध चीजों को एक साथ जोड़कर नए स्थान का निर्माण कर सकते हैं। मान लीजिए X इकाई कार्तीय वर्ग है $[0,1]\times [0,1],$ और जाने ~ परिभाषित एक्स पर समकक्ष संबंध बनें $(a,0)\sim (a,1)$ सभी के लिए $a\in [0,1]$ तथा $(0,b)\sim (1,b)$ सभी के लिए $b\in [0,1],$ फिर भागफल स्थान, $X/\sim$ कागज का एक चौकोर टुकड़ा लें, एक सिलेंडर बनाने के लिए ऊपरी और निचले किनारे को एक साथ मोड़ें और गोंद करें, फिर परिणामी सिलेंडर को मोड़ें ताकि इसके दो खुले सिरे एक साथ चिपक जाएं, जिसके परिणामस्वरूप एक टोरस हो।

बीजीय संरचना

गणित का अधिकांश भाग तुल्यताओं और क्रम संबंधों के अध्ययन पर आधारित है। जालक सिद्धांत क्रम संबंधों की गणितीय संरचना को ग्रहण करता है। भले ही तुल्यता संबंध गणित में उतने ही सर्वव्यापी हैं जितना कि क्रम संबंध, तुल्यताओं की बीजगणितीय संरचना उतनी अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है जितनी कि क्रमों की। पूर्व संरचना मुख्य रूप से समूह सिद्धांत पर और कुछ हद तक जाली, श्रेणियों और समूह के सिद्धांत पर आधारित है।

समूह सिद्धांत

जिस प्रकार आदेश संबंध क्रमित समुच्चयों में आधारित होते हैं, समुच्चय जोड़ीदार सर्वोच्च और न्यूनतम के अंतर्गत बंद होते हैं, तुल्यता संबंध विभाजित समुच्चयों में आधारित होते हैं, जो विभाजन संरचना को संरक्षित करने वाले आक्षेपों के अंतर्गत बंद किए गए समुच्चय होते हैं। चूँकि इस तरह के सभी आक्षेप एक तुल्यता संबंध को स्वयं पर अंकित करते हैं, ऐसे आक्षेपों को क्रमचय के रूप में भी जाना जाता है। इसलिए क्रमचय समूह रूपांतरण समूहों के रूप में भी जाना जाता है और कक्षा की संबंधित धारणा तुल्यता संबंधों की गणितीय संरचना पर प्रकाश डालती है

मान लीजिए ~ कुछ गैर-रिक्त समुच्चय A पर एक तुल्यता संबंध को दर्शाता है, जिसे ब्रह्मांड (गणित) या अंतर्निहित समुच्चय कहा जाता है। मान लीजिए G, A के ऊपर विशेषण फलन के समुच्चय को दर्शाता है जो A की विभाजन संरचना को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि सभी के लिए $x\in A$ तथा $g\in G,g(x)\in [x].$ फिर निम्नलिखित तीन जुड़े प्रमेय धारण करते हैं:^[10]

~ विभाजन ए को तुल्यता संबंधों में। (यह है Fundamental Theorem of Equivalence Relations, उपर्युक्त);
ए के विभाजन को देखते हुए, जी रचना के तहत एक परिवर्तन समूह है, जिसकी कक्षाएँ विभाजन के एक समूह के विभाजन हैं^[14]
A के ऊपर एक परिवर्तन समूह G को देखते हुए, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध मौजूद है, जिसकी तुल्यता संबंध G की कक्षाएँ हैं।^[15]^[16]

संक्षेप में, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध दिए जाने पर, A के ऊपर एक परिवर्तन समूह G मौजूद होता है, जिसकी कक्षाएँ ~ के अंतर्गत A की तुल्यता संबंध होती हैं।

तुल्यता संबंधों का यह परिवर्तन समूह लक्षण वर्णन मूल रूप से उस तरह से भिन्न होता है जिस तरह से जाली (आदेश) आदेश संबंधों की विशेषता है। जाली सिद्धांत संचालन मीट गणित और जॉइन गणित के तर्क कुछ ब्रह्मांड ए के तत्व हैं। इस बीच परिवर्तन समूह संचालन के तर्क कार्य संरचना और उलटा कार्य, पूर्वाग्रहों के एक समुच्चय के तत्व हैं, ए → ए।

सामान्य रूप से समूहों की ओर बढ़ते हुए, मान लीजिए कि H किसी समूह (गणित) G का एक उपसमूह है। मान लीजिए ~ G पर एक तुल्यता संबंध है, जैसे कि $a\sim b{\text{ if and only if }}ab^{-1}\in H.$ तुल्यता संबंध ~ जिन्हें G पर H की समूह क्रिया (गणित) की कक्षाएँ भी कहा जाता है, जी में H के दाएँ 'सह समुच्चय ' हैं। a और b को परस्पर बदलने से बाएँ को समुच्चय fप्राप्त होते हैं।

संबंधित सोच रोसेन में पाई जा सकती है (2008: अध्याय 10)।

श्रेणियां और समूह

मान लीजिए कि G एक समुच्चय है और मान लीजिए कि G के ऊपर एक तुल्यता संबंध है। तब हम इस तुल्यता संबंध को निरूपित करने वाला एक वर्गमूल इस प्रकार बना सकते हैं। वस्तुएँ G के तत्व हैं, और G के किन्हीं दो तत्वों x और y के लिए, x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद मौजूद है यदि और केवल यदि $x\sim y.$

एक समूह के विशेष स्थिति के रूप में एक तुल्यता संबंध के लाभ में सम्मिलित हैं:

जबकि मुक्त तुल्यता संबंध की धारणा मौजूद नहीं है, एक निर्देशित ग्राफ पर एक मुक्त वस्तु की धारणा है। इस प्रकार एक तुल्यता संबंध की प्रस्तुति के बारे में बात करना सार्थक है, अर्थात, संबंधित समूह की प्रस्तुति है
समूहों, समूह क्रियाओं, समुच्चयों और तुल्यता संबंधों के बंडलों को वर्गीकृत की धारणा के विशेष मामलों के रूप में जाना जा सकता है, एक ऐसा दृष्टिकोण जो कई उपमाओं का सुझाव देता है
कई संदर्भों में भागफल, और इसलिए उपयुक्त तुल्यता संबंध जिन्हें अक्सर सर्वांगसमता संबंध कहा जाता है, महत्वपूर्ण हैं, यह एक श्रेणी (गणित) में एक आंतरिक समूह की धारणा की ओर जाता है।^[17]

जाली

किसी भी समुच्चय X पर तुल्यता संबंध, जब समुच्चय समावेशन द्वारा आदेशित किया जाता है, एक पूर्ण जालक बनाता है, जिसे परिपाटी द्वारा 'Con' X कहा जाता है। कैनोनिकल छायाचित्र गणित 'केर' एक्स,एक्स मोनोइड से संबंधित है X^X सभी कार्यों के एक्स 'केर' विशेषण है लेकिन अंतःक्षेप नहीं है। औपचारिक रूप से कम, X पर तुल्यता संबंध 'केर', प्रत्येक फलन f: X→X को उसके कर्नेल (बीजगणित) 'केर' f पर ले जाता है। इसी तरह, 'केर' X^X पर एक तुल्यता संबंध है।

तुल्यता संबंध और गणितीय तर्क

तुल्यता संबंध उदाहरणों या प्रति-उदाहरणों का एक तैयार स्रोत है। उदाहरण के लिए, ठीक दो अनंत तुल्यता संबंधों के साथ एक तुल्यता संबंध एक सिद्धांत का एक आसान उदाहरण है जो -मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय है, लेकिन किसी भी बड़ी कार्डिनल संख्या के लिए श्रेणीबद्ध नहीं है।

मॉडल सिद्धांत का एक निहितार्थ यह है कि एक संबंध को परिभाषित करने वाले गुणों को एक दूसरे से स्वतंत्र साबित किया जा सकता है और इसलिए परिभाषा के आवश्यक भाग में यदि और केवल अगर, प्रत्येक संपत्ति के लिए, संबंधों के उदाहरण पाए जा सकते हैं जो संतुष्ट करते हुए दी गई संपत्ति को संतुष्ट नहीं करते हैं अन्य सभी गुण। इसलिए तुल्यता संबंधों के तीन परिभाषित गुणों को निम्नलिखित तीन उदाहरणों से परस्पर स्वतंत्र सिद्ध किया जा सकता है

रिफ्लेक्सिव और सकर्मक संबंध ≤ 'एन' पर या कोई पूर्व-आदेश;
सममित और सकर्मक 'N' पर संबंध R, जिसे aRb ab ≠ 0 के रूप में परिभाषित किया गया है। या कोई आंशिक तुल्यता संबंध से है
परावर्तक और सममित 'Z' पर संबंध R, जिसे aRb a - b के रूप में परिभाषित किया गया है, 2 या 3 में से कम से कम एक या किसी निर्भरता संबंध से विभाज्य है।

प्रथम-क्रम तर्क में निश्चित गुण जो एक तुल्यता संबंध में सम्मिलित हो सकते हैं या नहीं भी सम्मिलित हो सकते हैं

तुल्यता संबंधों की संख्या परिमित या अनंत है।
तुल्यता संबंधों की संख्या (परिमित) प्राकृतिक संख्या n के बराबर होती है।
सभी तुल्यता संबंधों में अनंत कार्डिनैलिटी होती है।
प्रत्येक तुल्यता संबंध में तत्वों की संख्या प्राकृत संख्या n है।

यह भी देखें

संयुग्मन वर्ग
संतुलन (ज्यामिति) – Property of parallel segments that have the same length and the same direction
अतिपरिमित तुल्यता संबंध
एक तुल्यता संबंध द्वारा भागफल
सांस्थितिक संयुग्मन करना
अप टू

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↑
Proof.^[11] Let function composition interpret group multiplication, and function inverse interpret group inverse. Then G is a group under composition, meaning that $x\in A$ $x\in A$ and $g\in G,[g(x)]=[x],$ $g\in G,[g(x)]=[x],$ because G satisfies the following four conditions:
- G is closed under composition. The composition of any two elements of G exists, because the domain and codomain of any element of G is A. Moreover, the composition of bijections is bijective;^[12]
- Existence of identity function. The identity function, I(x) = x, is an obvious element of G;
- Existence of inverse function. Every bijective function g has an inverse g⁻¹, such that gg⁻¹ = I;
- Composition associates. f(gh) = (fg)h. This holds for all functions over all domains.^[13]
Let f and g be any two elements of G. By virtue of the definition of G, [g(f(x))] = [f(x)] and [f(x)] = [x], so that [g(f(x))] = [x]. Hence G is also a transformation group (and an automorphism group) because function composition preserves the partitioning of $A.\blacksquare$ $A.\blacksquare$
↑ Wallace, D. A. R., 1998. Groups, Rings and Fields. Springer-Verlag: 202, Th. 6.
↑ Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed. John Wiley & Sons: 114, Prop. 2.
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संदर्भ

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Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

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बेल नंबर
परावर्तक संबंध
अंक शास्त्र
अगर और केवल अगर
एक समुच्चयका विभाजन
फलन (गणित)
सामान्य अवयव
खाली सच
खाली रिश्ता
बीजगणतीय अभिव्यक्ति
अलगाव संबंध
बहिष्कृत मध्य का कानून
प्रोजेक्शन ( समुच्चयथ्योरी)
द्विभाजन
संघ ( समुच्चयसिद्धांत)
जोड़ीदार असंबद्ध
ग्रुपॉयड
जाली (आदेश)
आदेश संबंध
अंतिम
सबसे कम
आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय
कक्षा (समूह सिद्धांत)
समूह कार्रवाई (गणित)
एक समुच्चयके विभाजन
मिलो (गणित)
उलटा काम करना
आपत्तियां
सम्मिलित हों (गणित)
समावेशन समुच्चयकरें
नक्शा (गणित)
पूरी जाली
बुनियादी संख्या

बाहरी संबंध

"Equivalence relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Bogomolny, A., "Equivalence Relationship" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
Equivalence relation at PlanetMath
OEIS sequence A231428 (Binary matrices representing equivalence relations)

[3] Sometimes the composition $SR\subseteq X\times Z$ is instead written as $R;S$ , or as $RS$ ; in both cases, $R$ is the first relation that is applied. See the article on Composition of relations for more information.

[5] If: Given $a,$ let $a\sim b$ hold using totality, then $b\sim a$ by symmetry, hence $a\sim a$ by transitivity. — Only if: Given $a,$ choose $b=a,$ then $a\sim b$ by reflexivity.

[1] Weisstein, Eric W. "तुल्यता वर्ग". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-30.

[:0-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 "7.3: तुल्यता वर्ग". Mathematics LibreTexts (in English). 2017-09-20. Retrieved 2020-08-30.

[4] Halmos, Paul Richard (1914). भोले सेट सिद्धांत (in English). New York: Springer. p. 41. ISBN 978-0-387-90104-6.

[6] Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane, 1999 (1967). Algebra, 3rd ed. p. 35, Th. 19. Chelsea.

[7] Wallace, D. A. R., 1998. Groups, Rings and Fields. p. 31, Th. 8. Springer-Verlag.

[8] Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed. p. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons.

[9] Karel Hrbacek & Thomas Jech (1999) Introduction to Set Theory, 3rd edition, pages 29–32, Marcel Dekker

[10] Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821810255. Sect. IV.9, Theorem 12, page 95

[11] Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane, 1999 (1967). Algebra, 3rd ed. p. 33, Th. 18. Chelsea.

[12] Rosen (2008), pp. 243–45. Less clear is §10.3 of Bas van Fraassen, 1989. Laws and Symmetry. Oxford Univ. Press.

[13] Bas van Fraassen, 1989. Laws and Symmetry. Oxford Univ. Press: 246.

[14] Wallace, D. A. R., 1998. Groups, Rings and Fields. Springer-Verlag: 22, Th. 6.

[15] Wallace, D. A. R., 1998. Groups, Rings and Fields. Springer-Verlag: 24, Th. 7.

[16] Proof.^[11] Let function composition interpret group multiplication, and function inverse interpret group inverse. Then G is a group under composition, meaning that $x\in A$ and $g\in G,[g(x)]=[x],$ because G satisfies the following four conditions:
G is closed under composition. The composition of any two elements of G exists, because the domain and codomain of any element of G is A. Moreover, the composition of bijections is bijective;^[12]

Existence of identity function. The identity function, I(x) = x, is an obvious element of G;

Existence of inverse function. Every bijective function g has an inverse g⁻¹, such that gg⁻¹ = I;

Composition associates. f(gh) = (fg)h. This holds for all functions over all domains.^[13]
Let f and g be any two elements of G. By virtue of the definition of G, [g(f(x))] = [f(x)] and [f(x)] = [x], so that [g(f(x))] = [x]. Hence G is also a transformation group (and an automorphism group) because function composition preserves the partitioning of $A.\blacksquare$

[17] G is closed under composition. The composition of any two elements of G exists, because the domain and codomain of any element of G is A. Moreover, the composition of bijections is bijective;^[12]

[18] Existence of identity function. The identity function, I(x) = x, is an obvious element of G;

[19] Existence of inverse function. Every bijective function g has an inverse g⁻¹, such that gg⁻¹ = I;

[20] Composition associates. f(gh) = (fg)h. This holds for all functions over all domains.^[13]

[17] Wallace, D. A. R., 1998. Groups, Rings and Fields. Springer-Verlag: 202, Th. 6.

[18] Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed. John Wiley & Sons: 114, Prop. 2.

[19] Borceux, F. and Janelidze, G., 2001. Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8

[1]

[2]

[note 1]

[3]

[proof 1]

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[9]

[10]

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[15]

[16]

[17]

[11]

[12]

[13]

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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 {{About|गणितीय अवधारणा|पेटेंट सिद्धांत|समकक्षों का सिद्धांत}}
 {{Redirect|समानक||तुल्यता (बहुविकल्पी) तुल्यता}}
-{{stack|{{Binary relations}}}}
+{{stack|द्विआधारी संबंध}}
-[[File:Set partitions 5; matrices.svg|right|thumb|5-तत्व सेट पर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है <math>5 \times 5</math> [[ तार्किक मैट्रिक्स ]] (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र शामिल हैं, एक के लिए खड़े हैं; शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता वर्गों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता वर्ग होता है)।]]गणित में, एक तुल्यता संबंध एक [[ द्विआधारी संबंध ]] है जो प्रतिक्रियात्मक, [[ सममित संबंध | सममित]] और [[ सकर्मक संबंध ]]होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच [[ संतुलन (ज्यामिति) | समतुल्य]] संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।
+[[File:Set partitions 5; matrices.svg|right|thumb|5-तत्व  समुच्चयपर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है <math>5 \times 5</math> [[ तार्किक मैट्रिक्स ]] (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र सम्मिलित  हैं, एक के लिए खड़े हैं, शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता संबंधों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता संबंध होता है)।]]गणित में, तुल्यता संबंध एक [[ द्विआधारी संबंध |द्विआधारी संबंध]] है जो प्रतिक्रियात्मक, [[ सममित संबंध |सममित]] और [[ सकर्मक संबंध |सकर्मक संबंध]] होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच [[ संतुलन (ज्यामिति) | समतुल्य]] संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।
-प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त [[तुल्यता वर्गों]] में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।
+प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त [[तुल्यता वर्गों|तुल्यता संबंधों]] में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।
 == संकेतन ==
-साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है <math>a</math> तथा <math>b</math> तुल्यता संबंध के एक सेट के बराबर हैं <math>R;</math> सबसे आम हैं <math>a \sim b</math> तथा {{math|''a'' ≡ ''b''}}, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है "  a <sub>''R''</sub> ''b,''  "''a'' ≡<sub>''R''</sub> ''b''", या  <math>{a\mathop{R}b}</math> , <math>R</math> स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है {{math|''a'' ≁ ''b''}} या <math>a \not\equiv b</math>.
+साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है <math>a</math> तथा <math>b</math> तुल्यता संबंध के एक समुच्चय के बराबर हैं <math>R;</math> सबसे सामान्य हैं <math>a \sim b</math> तथा {{math|''a'' ≡ ''b''}}, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है "  a <sub>''R''</sub> ''b,''  "''a'' ≡<sub>''R''</sub> ''b''", या <math>{a\mathop{R}b}</math> , <math>R</math> स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है {{math|''a'' ≁ ''b''}} या <math>a \not\equiv b</math>.
 == परिभाषा ==
-समुच्चय <math>X</math>  पर द्विआधारी संबंध  <math>\,\sim\,</math> को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल  विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए <math>a, b,</math> तथा <math>c</math> में <math>X:</math>
+समुच्चय <math>X</math>  पर द्विआधारी संबंध  <math>\,\sim\,</math> को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए <math>a, b,</math> तथा <math>c</math> में <math>X:</math>
 * <math>a \sim a</math> (प्रतिवर्त संबंध)।
 * <math>a \sim b</math> अगर और केवल अगर <math>b \sim a</math> (सममित संबंध)।
 * यदि <math>a \sim b</math> तथा <math>b \sim c</math> फिर <math>a \sim c</math> (सकर्मक संबंध)।
-<math>X</math> रिश्ते के साथ <math>\,\sim\,</math> एक [[ सेटॉइड ]] कहा जाता है। तुल्यता वर्ग <math>a</math> नीचे <math>\,\sim,</math> लक्षित <math>[a],</math> की तरह परिभाषित किया गया है <math>[a] = \{x \in X : x \sim a\}.</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=तुल्यता वर्ग|url=https://mathworld.wolfram.com/EquivalenceClass.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|date=2017-09-20|title=7.3: तुल्यता वर्ग|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes|access-date=2020-08-30|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>
+<math>X</math>  संबंध के साथ <math>\,\sim\,</math> एक [[ सेटॉइड | समुच्चयॉइड]] कहा जाता है। तुल्यता संबंध <math>a</math> नीचे <math>\,\sim,</math> लक्षित <math>[a],</math> को इस तरह परिभाषित किया गया है <math>[a] = \{x \in X : x \sim a\}.</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=तुल्यता वर्ग|url=https://mathworld.wolfram.com/EquivalenceClass.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|date=2017-09-20|title=7.3: तुल्यता वर्ग|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes|access-date=2020-08-30|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>
 === [[ संबंधपरक बीजगणित ]] का उपयोग करते हुए वैकल्पिक परिभाषा ===
-संबंधपरक बीजगणित में, यदि <math>R\subseteq X\times Y</math> तथा <math>S\subseteq Y\times Z</math> संबंध हैं, तो [[ संबंधों की संरचना ]] <math>SR\subseteq X\times Z</math> परिभाषित किया गया है ताकि <math>x \, SR \, z</math> अगर और केवल अगर वहाँ एक है <math>y\in Y</math> ऐसा है कि <math>x \, R \, y</math> तथा <math>y \, S \, z</math>.<ref group="note">Sometimes the composition <math>SR\subseteq X\times Z</math> is instead written as <math>R;S</math>, or as <math>RS</math>; in both cases, <math>R</math> is the first relation that is applied. See the article on [[Composition of relations#Notational variations|Composition of relations]] for more information.</ref> यह परिभाषा [[ समारोह संरचना ]] की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण <math>R</math> एक सेट पर <math>X</math> फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है:
+संबंध परक बीजगणित में, यदि <math>R\subseteq X\times Y</math> तथा <math>S\subseteq Y\times Z</math>  के संबंध हैं, तो [[ संबंधों की संरचना ]] को  <math>SR\subseteq X\times Z</math> से परिभाषित किया गया है ताकि <math>x \, SR \, z</math> अगर और केवल अगर वहाँ एक है <math>y\in Y</math> ऐसा है कि <math>x \, R \, y</math> तथा <math>y \, S \, z</math>.<ref group="note">Sometimes the composition <math>SR\subseteq X\times Z</math> is instead written as <math>R;S</math>, or as <math>RS</math>; in both cases, <math>R</math> is the first relation that is applied. See the article on [[Composition of relations#Notational variations|Composition of relations]] for more information.</ref> यह परिभाषा [[ समारोह संरचना | कार्यात्मक संरचना]] की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण <math>R</math> एक  समुच्चयपर <math>X</math> फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है
-* <math>\operatorname{id} \subseteq R</math>. (रिफ्लेक्सिव रिलेशन)। (यहां, <math>\operatorname{id}</math> [[ पहचान समारोह ]] को दर्शाता है <math>X</math>.)
+* <math>\operatorname{id} \subseteq R</math>. (परावर्तन रिलेशन)। (यहां, आई डी [[पहचान फलन]] को <math>X</math>.से दर्शाता है)
 * <math>R=R^{-1}</math> (सममित संबंध)।
 * <math>RR\subseteq R</math> (सकर्मक संबंध)।<ref>{{Cite book |last=Halmos |first=Paul Richard |title=भोले सेट सिद्धांत|publisher=Springer |year=1914 |isbn=978-0-387-90104-6 |location=New York |pages=41 |language=English}}</ref>
+== उदाहरण ==
+=== सरल उदाहरण ===
-== उदाहरण ==
+समुच्चयपर <math>X = \{a, b, c\}</math>, सम्बन्ध <math>R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}</math> एक तुल्यता संबंध है। निम्नलिखित समुच्चय इस संबंध के तुल्यता संबंध हैं<math display=block>[a] = \{a\}, ~~~~ [b] = [c] = \{b, c\}.</math>
-=== सरल उदाहरण ===
-मंच पर <math>X = \{a, b, c\}</math>, सम्बन्ध <math>R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}</math> एक तुल्यता संबंध है। निम्नलिखित समुच्चय इस संबंध के तुल्यता वर्ग हैं:
+<math>R</math> के लिए सभी तुल्यता संबंधों का समुच्चय <math>\{\{a\}, \{b, c\}\}.</math>है यह समुच्चय <math>R</math> के संबंध में समुच्चय <math>X</math> का एक विभाजन है।
-<math display=block>[a] = \{a\}, ~~~~ [b] = [c] = \{b, c\}.</math>
-के लिए सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय <math>R</math> है <math>\{\{a\}, \{b, c\}\}.</math> यह समुच्चय समुच्चय के समुच्चय का विभाजन है <math>X</math> इसके संबंध में <math>R</math>.
 === तुल्यता संबंध ===
-निम्नलिखित संबंध सभी तुल्यता संबंध हैं:
+निम्नलिखित संबंध में सभी तुल्यता संबंध हैं
-* संख्याओं के समुच्चय के बराबर है। उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{1}{2}</math> के बराबर है <math>\tfrac{4}{8}.</math><ref name=":0" />* सभी लोगों के सेट पर वही जन्मदिन होता है।
+* संख्याओं के समुच्चय के बराबर है। उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{1}{2}</math> के बराबर है <math>\tfrac{4}{8}.</math><ref name=":0" />
-* सभी [[ त्रिभुज (ज्यामिति) ]] के सेट पर [[ समानता (ज्यामिति) ]] है।
+*सभी लोगों के  समुच्चय पर वही तिथि होती है।
-* सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के सेट पर [[ सर्वांगसमता (ज्यामिति) ]] है।
+* सभी [[ त्रिभुज (ज्यामिति) | त्रिभुज (ज्यामिति)]]  के  समुच्चय पर [[ समानता (ज्यामिति) | समान]]  है।
-* एक प्राकृतिक संख्या दी गई <math>n</math>, के अनुरूप है, [[ मॉड्यूलर अंकगणित ]] <math>n</math>[[ पूर्णांकों ]] पर।<ref name=":0" />* एक समारोह को देखते हुए (गणित) <math>f:X \to Y</math>, एक ही [[ छवि (गणित) ]] के अंतर्गत है <math>f</math> के तत्वों के रूप में <math>f</math>किसी [[ फ़ंक्शन का डोमेन ]] <math>X</math>. उदाहरण के लिए, <math>0</math> तथा <math>\pi</math> नीचे एक ही छवि है <math>\sin</math>, अर्थात। <math>0</math>.
+* सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के  समुच्चय पर [[ सर्वांगसमता (ज्यामिति) | सर्वांगसमता]]  है।
-* वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के समान निरपेक्ष मान होता है
+* एक प्राकृतिक संख्या दी गई <math>n</math>, के अनुरूप है, [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]]  <math>n</math>[[ पूर्णांकों | पूर्णांकों]]  पर।<ref name=":0" />* एक फलन को देखते हुए <math>f:X \to Y</math>, एक ही [[ छवि (गणित) | छवि (गणित)]]  के अंतर्गत है <math>f</math> के तत्वों के रूप में <math>f</math> किसी [[ फ़ंक्शन का डोमेन | फलन का डोमेन]] <math>X</math>. उदाहरण के लिए, <math>0</math> तथा <math>\pi</math> नीचे एक ही छवि है <math>\sin</math>, <math>0</math>
-* सभी कोणों के समुच्चय के समान कोज्या है।
+* वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समान निरपेक्ष मान होता है
+* सभी कोणों के समुच्चय पर समान कोज्या होती है।
 === ऐसे संबंध जो तुल्यता नहीं हैं ===
-* वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध स्वतुल्य और सकर्मक है, लेकिन सममित नहीं है। उदाहरण के लिए, 7 5 लेकिन 5 7 नहीं।
+* वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध स्वतुल्य और सकर्मक है, लेकिन सममित नहीं है। उदाहरण के लिए, 7 ≥ 5 लेकिन 5 ≥ 7 नहीं।
-* संबंध का एक सार्व गुणनखंड 1 से अधिक है, जिसमें [[ प्राकृतिक संख्या ]]ओं के बीच 1 से अधिक है, प्रतिवर्ती और सममित है, लेकिन सकर्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या 2 और 6 का एक सार्व गुणनखंड 1 से बड़ा है, और 6 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा है, लेकिन 2 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा नहीं है।
+* संबंध का एक सार्व गुणनखंड 1 से अधिक है, जिसमें [[ प्राकृतिक संख्या | प्राकृतिक संख्याओं]]  के बीच 1 से अधिक, प्रतिवर्ती और सममित है, लेकिन सकर्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या 2 और 6 का एक सार्व गुणनखंड 1 से बड़ा है, और 6 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा है, लेकिन 2 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा नहीं है।
-* एक समुच्चय X पर रिक्त संबंध R (इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि aRb कभी भी सत्य नहीं है) रिक्त रूप से सत्य सममित और संक्रमणीय है; हालांकि, यह रिफ्लेक्टिव नहीं है (जब तक कि एक्स स्वयं खाली न हो)।
+* एक समुच्चय X पर रिक्त संबंध R इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि एआरबी कभी भी सत्य नहीं है। रिक्त रूप से सत्य सममित और संक्रमणीय है, चूँकि, यह परावर्तक नहीं है जब तक कि एक्स स्वयं खाली न हो।
-* संबंध वास्तविक संख्याओं के बीच के लगभग बराबर है, भले ही अधिक सटीक रूप से परिभाषित किया गया हो, यह एक तुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि रिफ्लेक्टिव और सममित होने के बावजूद, यह सकर्मक नहीं है, क्योंकि कई छोटे परिवर्तन एक बड़ा परिवर्तन बनने के लिए जमा हो सकते हैं। हालाँकि, यदि सन्निकटन को असम्बद्ध रूप से परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए यह कहकर कि दो फलन f और g किसी बिंदु के पास लगभग बराबर हैं यदि उस बिंदु पर f - g की सीमा 0 है, तो यह एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है।
+* वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध लगभग बराबर है, लेकिन तुल्यता संबंध को सटीक रूप से परिभाषित नहीं किया है, क्योंकि परावर्तक और सममित होने के बावजूद, यह सकर्मक नहीं है, क्योंकि कई छोटे परिवर्तन बड़ा परिवर्तन बनने के लिए एकत्र हो सकते हैं। चूँकि, यदि सन्निकटन को विषम रूप से परिभाषित किया गया है, जैसा कि उदाहरण के लिए दो फलन f और g किसी बिंदु के पास लगभग बराबर हैं यदि उस बिंदु पर f - g की सीमा 0 है, तो यह एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है।
 ==अन्य संबंधों से संबंध==
-*[[ आंशिक आदेश ]] एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्ती है, {{em|[[Antisymmetric relation|antisymmetric]]}}, और संक्रमणीय।
+*एक [[आंशिक क्रम]] एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, [[प्रतिसममित]] और सकर्मक है।
-*[[ समानता (गणित) ]] एक तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम दोनों है। समानता भी एक सेट पर एकमात्र संबंध है जो रिफ्लेक्टिव, सममित और एंटीसिमेट्रिक है। बीजीय व्यंजकों में, समान चर एक दूसरे के लिए [[ प्रतिस्थापन (बीजगणित) ]] हो सकते हैं, एक ऐसी सुविधा जो तुल्यता संबंधी चरों के लिए उपलब्ध नहीं है। एक तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग एक दूसरे के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं, लेकिन एक वर्ग के भीतर व्यक्ति नहीं।
+*[[ समानता (गणित) | समानता]]  तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम दोनों है। समानता भी समुच्चय पर एकमात्र संबंध है जो परावर्तित, सममित और प्रतिसममित होती है। बीजगणितीय व्यंजकों में समान चरों को एक दूसरे के स्थान पर [[प्रतिस्थापित]] किया जा सकता है, ऐसी अनुकूलता जो तुल्यता संबंधित चरों के लिए उपलब्ध नहीं है। एक तुल्यता संबंध की तुल्यता संबंध एक दूसरे के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं लेकिन एक वर्ग के भीतर अलग अलग नहीं।
-*एक [[ सख्त आंशिक आदेश ]] अपरिवर्तनीय, सकर्मक और [[ असममित संबंध ]] है।
+*एक पूर्णतः  [[आंशिक क्रम]] अपरिवर्तनीय, संक्रमणीय, और [[असममित]] होते है।
-*एक [[ आंशिक तुल्यता संबंध ]] सकर्मक और सममित है। ऐसा रिश्ता रिफ्लेक्टिव होता है अगर और केवल अगर यह [[ कुल संबंध ]] है, यानी, अगर सभी के लिए <math>a,</math> कुछ मौजूद है <math>b \text{ such that } a \sim b.</math><ref group="proof">''If:'' Given <math>a,</math> let <math>a \sim b</math> hold using totality, then <math>b \sim a</math> by symmetry, hence <math>a \sim a</math> by transitivity. &mdash; ''Only if:'' Given <math>a,</math> choose <math>b = a,</math> then <math>a \sim b</math> by reflexivity.</ref> इसलिए, एक तुल्यता संबंध को वैकल्पिक रूप से एक सममित, सकर्मक और कुल संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
+*एक [[ आंशिक तुल्यता संबंध ]] सकर्मक और सममित होते है। ऐसा संबंध स्वतुल्य होता है अगर और केवल यह [[ कुल संबंध | सम्पूर्ण संबंध]]  है, अर्थात , अगर सभी के लिए <math>a,</math> कुछ मौजूद है <math>b \text{ इस तरह से} a \sim b.</math><ref group="proof">''If:'' Given <math>a,</math> let <math>a \sim b</math> hold using totality, then <math>b \sim a</math> by symmetry, hence <math>a \sim a</math> by transitivity. &mdash; ''Only if:'' Given <math>a,</math> choose <math>b = a,</math> then <math>a \sim b</math> by reflexivity.</ref> इसलिए एक तुल्यता संबंध को वैकल्पिक रूप से एक सममित, सकर्मक और कुल संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
 * एक [[ त्रिगुट तुल्यता संबंध ]] सामान्य (बाइनरी) तुल्यता संबंध के लिए एक त्रिगुट अनुरूप है।
-*एक आत्मकेंद्रित और सममित संबंध एक [[ निर्भरता संबंध ]] है (यदि परिमित है), और एक [[ सहिष्णुता संबंध ]] यदि अनंत है।
+*रिफ्लेक्सिव और सममित संबंध एक [[निर्भरता संबंध]] है यदि परिमित है और [[सहिष्णुता]] संबंध अनंत होते है
-* एक [[ पूर्व आदेश ]] रिफ्लेक्टिव और ट्रांजिटिव है।
+* एक [[ पूर्व आदेश | अग्रिम क्रम]] प्रतिवर्ती और सकर्मक है।
-*एक [[ सर्वांगसमता संबंध ]] एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन <math>X</math> [[ बीजीय संरचना ]] के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्य तौर पर, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के [[ कर्नेल (बीजगणित) ]] की भूमिका निभाते हैं, और एक सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों में संरचना के उप-संरचनाओं के रूप में एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है, जिस पर उन्हें परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध [[ सामान्य उपसमूह ]]ों के अनुरूप होते हैं)।
+*एक [[ सर्वांगसमता संबंध ]] एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन <math>X</math> [[ बीजीय संरचना ]] के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्तया, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के [[ कर्नेल (बीजगणित) |कर्नेल(बीजगणित)]]  की भूमिका निभाते हैं, और सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है और संरचना को उपसंरचना के रूप में उसे परिभाषित किया गया है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध [[ सामान्य उपसमूह | सामान्य उपसमूहों]]  के अनुरूप होते हैं)।
-*कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, हालांकि विलोम कथन केवल [[ शास्त्रीय गणित ]] ([[ रचनात्मक गणित ]] के विपरीत) में होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य के कानून के बराबर है।
+*कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, चूँकि विलोम कथन केवल [[ शास्त्रीय गणित | शास्त्रीय गणित]]([[ रचनात्मक गणित |रचनात्मक गणित)]] के विपरीत होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य नियम के बराबर है।
-*प्रत्येक संबंध जो रिफ्लेक्सिव और लेफ्ट (या राइट) दोनों है, [[ यूक्लिडियन संबंध ]] भी एक तुल्यता संबंध है।
+*प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्त बाएँ या दाएँ दोनों है और [[यूक्लिडियन]] एक तुल्यता संबंध को प्रदर्शित करती है।
 ==एक तुल्यता संबंध के तहत अच्छी तरह से परिभाषित ==
-यदि <math>\,\sim\,</math> पर एक तुल्यता संबंध है <math>X,</math> तथा <math>P(x)</math> के तत्वों की एक संपत्ति है <math>X,</math> ऐसा कि जब भी <math>x \sim y,</math> <math>P(x)</math> सच है अगर <math>P(y)</math> सत्य है, तो संपत्ति <math>P</math> [[ अच्छी तरह से परिभाषित ]] या a . कहा जाता है {{em|class invariant}} रिश्ते के तहत <math>\,\sim.</math> अक्सर विशेष मामला तब होता है जब <math>f</math> से एक समारोह है <math>X</math> दूसरे सेट के लिए <math>Y;</math> यदि <math>x_1 \sim x_2</math> तात्पर्य <math>f\left(x_1\right) = f\left(x_2\right)</math> फिर <math>f</math> कहा जाता है {{em|morphism}} के लिये <math>\,\sim,</math> a {{em|class invariant under}} <math>\,\sim,</math> या केवल {{em|invariant under}} <math>\,\sim.</math> ऐसा होता है, उदा। परिमित समूहों के चरित्र सिद्धांत में। समारोह के साथ बाद का मामला <math>f</math> एक क्रमविनिमेय त्रिभुज द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। [[ अपरिवर्तनीय (गणित) ]] भी देखें। कुछ लेखक संगत का उपयोग करते हैं <math>\,\sim</math>या सिर्फ सम्मान <math>\,\sim</math>अपरिवर्तनीय के बजाय <math>\,\sim</math>.
+यदि <math>\,\sim\,</math> पर एक तुल्यता संबंध है <math>X,</math> तथा <math>P(x)</math> के तत्वों की एक सामग्री <math>X,</math>है और यदि ऐसा कि <math>x \sim y,</math> तो <math>P(x)</math> सच है यदि <math>P(y)</math> सत्य है, तो सामग्री <math>P</math> [[ अच्छी तरह से परिभाषित ]] है या {{em|वर्ग अपरिवर्तनीय}} संबंध <math>\,\sim.</math> के तहत एक वर्ग अपरिवर्तनीय होता है
-अधिक आम तौर पर, एक फ़ंक्शन समकक्ष तर्कों को मैप कर सकता है (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_A</math>) समकक्ष मूल्यों के लिए (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_B</math>) इस तरह के एक समारोह को से एक रूपवाद के रूप में जाना जाता है <math>\,\sim_A</math> प्रति <math>\,\sim_B.</math>
+एक नियमित विशेष में वस्तुस्थिति <math>f</math> तब होती है, जब <math>X</math> के दूसरे समुच्चय में <math>Y;</math> फलन होता है, यदि <math>x_1 \sim x_2</math> का तात्पर्य <math>f\left(x_1\right) = f\left(x_2\right)</math> है और <math>f</math> को {{em|आकृति विज्ञान}} कहा जाता है <math>\,\sim,</math> एक वर्ग अपरिवर्तनीय के तहत है<math>\,\sim,</math> या साधारण अपरिवर्तनीय के अंतर्गत है <math>\,\sim.</math> इस प्रकार का उदाहरण परिमित समूहों के चरित्र सिद्धांत में होता है। फलन <math>f</math> के साथ आगामी स्थिति,को क्रम विनिमेय त्रिभुज द्वारा व्यक्त किया जाता है। [[ अपरिवर्तनीय (गणित) | अपरिवर्तनीय (गणित)]] भी देखें। कुछ लेखक संगत का उपयोग करते हैं <math>\,\sim</math>या सिर्फ सम्मान <math>\,\sim</math>अपरिवर्तनीय के जगह है  <math>\,\sim</math>.
+सामान्तया, फलनस मकक्ष तर्कों को प्रतिचित्र कर सकता है (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_A</math>) समकक्ष मूल्यों के लिए (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_B</math>) इस तरह के एक फलन को आकृति विज्ञान के रूप में जाना जाता है <math>\,\sim_A</math> प्रति <math>\,\sim_B.</math>
-==तुल्यता वर्ग, भागफल सेट, विभाजन==
-होने देना <math>a, b \in X.</math> कुछ परिभाषाएँ:
-=== तुल्यता वर्ग ===
+==तुल्यता संबंध, भागफल समुच्चय, विभाजन==
-{{main|Equivalence class}}
-X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि <math>a \sim b</math> Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता वर्ग' कहलाता है। होने देना <math>[a] := \{x \in X : a \sim x\}</math> उस तुल्यता वर्ग को निरूपित करें जिससे a संबंधित है। एक दूसरे के तुल्य X के सभी अवयव भी समान तुल्यता वर्ग के अवयव हैं।
-=== भागफल सेट ===
+ये <math>a, b \in X.</math> कुछ परिभाषाएँ:
-{{main|Quotient set}}
-X के सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय ~, निरूपित <math>X / \mathord{\sim} := \{[x] : x \in X\},</math> ~ द्वारा ''X'' का भागफल समुच्चय है। यदि ''X'' एक [[ टोपोलॉजिकल स्पेस | टोपोलॉजिकल स्पेस]] है, तो बदलने का एक प्राकृतिक तरीका है <math>X / \sim</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस में; विवरण के लिए [[ भागफल स्थान (टोपोलॉजी) ]] देखें।
+=== तुल्यता संबंध ===
+{{main| तुल्यता व्याख्यान}}
+X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि <math>a \sim b</math> Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता संबंध' कहलाता है। ये<math>[a] := \{x \in X : a \sim x\}</math> उस तुल्यता संबंध को निरूपित करती है जो a संबंधित है, और एक दूसरे के तुल्य X के सभी अवयव भी समान तुल्यता संबंध के अवयव होते हैं।
+=== भागफल समुच्चय ===
+{{main|भागफल सेट}}
+X के सभी तुल्यता संबंधों का समुच्चय ~,से निरूपित है <math>X / \mathord{\sim} := \{[x] : x \in X\},</math> ~ ''X'' का भागफल समुच्चय है। यदि ''X'' एक[[ टोपोलॉजिकल स्पेस |  सांस्थितिक समष्टि]] है, तो बदलने का एक प्राकृतिक तरीका है <math>X / \sim</math> सांस्थितिक समष्टि में विवरण के लिए [[ भागफल स्थान (टोपोलॉजी) | भागफल स्थान (सांस्थितिक )]]  को देखें।
 === प्रक्षेपण ===
-{{main|Projection (relational algebra)}}
+{{main|प्रक्षेपण (संबंधपरक बीजगणित)}}
-का प्रक्षेपण <math>\,\sim\,</math> समारोह है <math>\pi : X \to X/\mathord{\sim}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi(x) = [x]</math> जो के तत्वों को मैप करता है <math>X</math> द्वारा उनके संबंधित तुल्यता वर्गों में <math>\,\sim.</math>
-:प्रक्षेपण पर प्रमेय (सेट सिद्धांत) s:<ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;35, Th. 19. Chelsea.</ref> चलो समारोह <math>f : X \to B</math> ऐसा हो कि अगर <math>a \sim b</math> फिर <math>f(a) = f(b).</math> फिर एक अनूठा कार्य है <math>g : X / \sim \to B</math> ऐसा है कि <math>f = g \pi.</math> यदि <math>f</math> एक [[ प्रक्षेपण ]] है और <math>a \sim b \text{ if and only if } f(a) = f(b),</math> फिर <math>g</math> एक आपत्ति है।
+प्रक्षेपण का <math>\,\sim\,</math> फलन है, <math>\pi : X \to X/\mathord{\sim}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi(x) = [x]</math> जो के तत्वों को छायाचित्र करता है <math>X</math> द्वारा संबंधित तुल्यता संबंधों में <math>\,\sim.</math> है
+प्रक्षेपण पर प्रमेय,<ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;35, Th. 19. Chelsea.</ref> फलन <math>f : X \to B</math> ऐसा हो कि अगर <math>a \sim b</math> फिर <math>f(a) = f(b).</math> ये एक विशिष्ट फलन है <math>g : X / \sim \to B</math> ऐसा है कि <math>f = g \pi.</math> यदि <math>f</math> एक[[ प्रक्षेपण | प्रक्षेपण]] है और <math>a \sim b \text{ if and only if } f(a) = f(b),</math> फिर <math>g</math> एक आपत्ति है।
 === तुल्यता कर्नेल ===
-किसी फ़ंक्शन का तुल्यता कर्नेल <math>f</math> तुल्यता संबंध है ~ द्वारा परिभाषित <math>x \sim y \text{ if and only if } f(x) = f(y).</math> एक [[ इंजेक्शन समारोह ]] का तुल्यता कर्नेल [[ पहचान संबंध ]] है।
+किसी फलन का तुल्यता कर्नेल <math>f</math> तुल्यता संबंध है ~ परिभाषित <math>x \sim y \text{ if and only if } f(x) = f(y).</math> एक [[इंजेक्शन|अंतःक्षेप]] तुल्यता का कर्नेल [[पहचान|तत्समक]] संबंध है।
 === विभाजन ===
-{{main|Partition of a set}}
+{{main|एक सेट का विभाजन}}
-''X'' का विभाजन ''X'' के गैर-रिक्त उपसमुच्चय का एक समुच्चय ''P'' होता है, जैसे कि ''X'' का प्रत्येक अवयव ''P'' के एकल अवयव का एक अवयव हो। ''P'' का प्रत्येक अवयव विभाजन का ''कोशिका'' है। इसके अलावा, ''P'' के अवयव जोड़ीवार असंबद्ध हैं और उनका संघ (सेट थ्योरी) ''X'' है।
+''X'' का विभाजन ''X'' के गैर-रिक्त उपसमुच्चय का एक समुच्चय ''P'' होता है, जैसे कि ''X'' का प्रत्येक अवयव ''P'' के एकल अवयव का एक अवयव है। ''P'' का प्रत्येक अवयव विभाजन की ''कोशिका'' है। इसके अलावा, ''P'' के अवयव युग्‍म की तरह असंबद्ध हैं और उनका संघ समुच्चय सिद्धांत ''X'' है।
 ==== विभाजनों की गणना ====
-मान लीजिए X एक परिमित समुच्चय है जिसमें n तत्व हैं। चूंकि एक्स पर प्रत्येक तुल्यता संबंध एक्स के विभाजन से मेल खाता है, और इसके विपरीत, एक्स पर तुल्यता संबंधों की संख्या एक्स के अलग-अलग विभाजनों की संख्या के बराबर होती है, जो कि एनटी बेल नंबर बी है।<sub>n</sub>:
+मान लीजिए X एक परिमित समुच्चय है जिसमें n तत्व हैं। चूंकि एक्स पर प्रत्येक तुल्यता संबंध एक्स के विभाजन से संधि करता है, और इसके विपरीत, एक्स पर तुल्यता संबंधों की संख्या एक्स के अलग-अलग विभाजनों की संख्या के बराबर होती है, जो कि एनटी बेल नंबर ''B<sub>n</sub>'' है।
 :<math display="block">B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!} \quad</math> (डोबिंस्की सूत्र)।
 == तुल्यता संबंधों की मौलिक प्रमेय ==
-एक प्रमुख परिणाम तुल्यता संबंधों और विभाजनों को जोड़ता है:<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. p.&nbsp;31, Th. 8. Springer-Verlag.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;3, Prop. 2. John Wiley & Sons.</ref><ref>[[Karel Hrbacek]] & [[Thomas Jech]] (1999) ''Introduction to Set Theory'', 3rd edition, pages 29–32, [[Marcel Dekker]]</ref>
+एक प्रमुख परिणाम तुल्यता संबंध विभाजनों को जोड़ता है,<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. p.&nbsp;31, Th. 8. Springer-Verlag.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;3, Prop. 2. John Wiley & Sons.</ref><ref>[[Karel Hrbacek]] & [[Thomas Jech]] (1999) ''Introduction to Set Theory'', 3rd edition, pages 29–32, [[Marcel Dekker]]</ref>
-* एक सेट एक्स पार्टीशन एक्स पर एक तुल्यता संबंध ~।
+* एक समुच्चय एक्स विभाजन एक्स पर तुल्यता संबंध ~ है।
-* इसके विपरीत, X के किसी भी विभाजन के संगत, X पर एक तुल्यता संबंध होता है।
+* इसके विपरीत, X के किसी भी विभाजन के संगत, X पर एक तुल्यता संबंध होती है।
-दोनों ही मामलों में, X के विभाजन की कोशिकाएँ X के ~ द्वारा तुल्यता वर्ग हैं। चूंकि एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के किसी भी विभाजन के एक अद्वितीय सेल से संबंधित है, और चूंकि विभाजन के प्रत्येक सेल एक्स के समकक्ष वर्ग ~ ~ के समान है, एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के अद्वितीय समकक्ष वर्ग ~ के अंतर्गत आता है। इस प्रकार X पर सभी तुल्यता संबंधों के समुच्चय और X के सभी विभाजनों के समुच्चय के बीच एक स्वाभाविक विभाजन होता है।
+दोनों ही मामलों में, X के विभाजन की कोशिकाएँ X के ~ द्वारा तुल्यता संबंध हैं। चूंकि एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के किसी भी विभाजन के अद्वितीय सेल से संबंधित है, और चूंकि विभाजन के प्रत्येक सेल एक्स के समकक्ष वर्ग ~ ~ के समान है, एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के अद्वितीय समकक्ष वर्ग ~ के अंतर्गत आता है। इस प्रकार X पर सभी तुल्यता संबंधों के समुच्चय और X के सभी विभाजनों के समुच्चय के बीच एक स्वाभाविक विभाजन होता है।
 == तुल्यता संबंधों की तुलना ==
-{{See also|Partition of a set#Refinement of partitions}}
+{{See also|एक सेट का विभाजन विभाजन का शोधन}}
-यदि <math>\sim</math> तथा <math>\approx</math> एक ही सेट पर दो तुल्यता संबंध हैं <math>S</math>, तथा <math>a \sim b</math> तात्पर्य <math>a \approx b</math> सभी के लिए <math>a, b \in S,</math> फिर <math>\approx</math> की तुलना में एक मोटे संबंध कहा जाता है <math>\sim</math>, तथा <math>\sim</math> से बेहतर रिश्ता है <math>\approx</math>. समान रूप से,
+यदि <math>\sim</math> तथा <math>\approx</math> एक ही समुच्चय पर दो तुल्यता संबंध हैं <math>S</math>, तथा <math>a \sim b</math> का तात्पर्य <math>a \approx b</math> सभी के लिए <math>a, b \in S,</math> फिर <math>\approx</math> की तुलना में घनिष्ठ संबंध कहा जाता है <math>\sim</math>, तथा <math>\sim</math> से बेहतर रिश्ता है <math>\approx</math>. समान रूप से,
-* <math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> यदि का प्रत्येक तुल्यता वर्ग <math>\sim</math> तुल्यता वर्ग का एक उपसमुच्चय है <math>\approx</math>, और इस प्रकार प्रत्येक तुल्यता वर्ग <math>\approx</math> तुल्यता वर्गों का एक संघ है <math>\sim</math>.
+* <math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> अगर हर तुल्यता संबंध <math>\sim</math> तुल्यता संबंध का एक उपसमुच्चय है <math>\approx</math>, और इस प्रकार प्रत्येक तुल्यता संबंध <math>\approx</math> तुल्यता संबंधों का एक संघ है <math>\sim</math>.
-* <math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> यदि विभाजन द्वारा बनाया गया है <math>\sim</math> द्वारा बनाए गए विभाजन का परिशोधन है <math>\approx</math>.
+* <math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> यदि विभाजन द्वारा बनाया गया है <math>\sim</math> बनाए गए विभाजन का परिशोधन है <math>\approx</math>.
-समानता तुल्यता संबंध किसी भी सेट पर सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है, जबकि सार्वभौमिक संबंध, जो तत्वों के सभी जोड़े से संबंधित है, सबसे मोटे है।
+समानता तुल्यता संबंध किसी भी समुच्चय पर सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है, जबकि विश्वव्यापी संबंध, जो तत्वों के सभी जोड़े से संबंधित है, सबसे स्थूल है।
-सम्बन्ध<math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math>एक निश्चित सेट पर सभी तुल्यता संबंधों के संग्रह पर ही आंशिक क्रम संबंध है, जो संग्रह को एक [[ ज्यामितीय जाली ]] बनाता है।<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|author-link=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255}}. Sect. IV.9, Theorem 12, page 95</ref>
+सम्बन्ध<math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> एक निश्चित समुच्चय पर सभी तुल्यता संबंधों के संग्रह पर ही आंशिक क्रम संबंध है, जो संग्रह को एक [[ ज्यामितीय जाली ]] का बनाता है।<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|author-link=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255}}. Sect. IV.9, Theorem 12, page 95</ref>
 == तुल्यता संबंध उत्पन्न करना ==
-* किसी भी सेट को देखते हुए <math>X,</math> सेट पर एक तुल्यता संबंध <math>[X \to X]</math> सभी कार्यों का <math>X \to X</math> निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। दो कार्यों को समतुल्य माना जाता है, जब उनके संबंधित [[ फिक्सपॉइंट ]]्स में समान [[ प्रमुखता ]] होती है, जो क्रम[[ परिवर्तन ]] में लंबाई के चक्रों के अनुरूप होती है।
+* किसी भी समुच्चय को देखते हुए <math>X,</math> समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध <math>[X \to X]</math> सभी कार्यों का <math>X \to X</math> निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। दो कार्यों को समतुल्य माना जाता है जब उनके संबंधित बिंदुओं के समुच्चय में समान [[कार्डिनैलिटी]] होती है, जो क्रम[[ परिवर्तन ]] में लंबाई के चक्रों के अनुरूप होती है।
-*एक तुल्यता संबंध <math>\,\sim\,</math> पर <math>X</math> तुल्यता संबंध है#अपने [[ विशेषण ]] तुल्यता संबंध का तुल्यता कर्नेल#प्रोजेक्शन <math>\pi : X \to X / \sim.</math><ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;33, Th. 18. Chelsea.</ref> इसके विपरीत, सेट के बीच कोई भी प्रक्षेपण अपने डोमेन पर एक विभाजन को निर्धारित करता है, [[ कोडोमेन ]] में [[ सिंगलटन (गणित) ]] के [[ पूर्व छवि ]] का सेट। इस प्रकार एक तुल्यता संबंध खत्म हो गया <math>X,</math> का एक विभाजन <math>X,</math> और एक प्रक्षेपण जिसका डोमेन है <math>X,</math> एक ही चीज़ को निर्दिष्ट करने के तीन समान तरीके हैं।
+*एक तुल्यता संबंध <math>\,\sim\,</math> पर <math>X</math> इसके आक्षेप प्रक्षेपण का तुल्यता कर्नेल है <math>\pi : X \to X / \sim.</math><ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;33, Th. 18. Chelsea.</ref> इसके विपरीत,  समुच्चय के बीच कोई भी प्रक्षेपण अपने डोमेन पर एक विभाजन को निर्धारित करता है,[[ कोडोमेन ]] में [[ सिंगलटन (गणित) | सिंगलटन]]  के [[ पूर्व छवि ]] का समुच्चय। इस प्रकार तुल्यता संबंध खत्म हो गयी है <math>X,</math> का एक विभाजन <math>X,</math> और एक प्रक्षेपण जिसका डोमेन है <math>X,</math> एक ही चीज़ को निर्दिष्ट करने के तीन समान तरीके हैं।
-* X पर तुल्यता संबंधों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन (द्विआधारी संबंधों को के [[ सबसेट ]] के रूप में देखा जाता है <math>X \times X</math>) भी एक तुल्यता संबंध है। यह एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करने का एक सुविधाजनक तरीका देता है: X पर किसी भी द्विआधारी संबंध R को देखते हुए, तुल्यता संबंध {{em|generated by R}} R युक्त सभी तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेदन है (जिसे R युक्त सबसे छोटा तुल्यता संबंध भी कहा जाता है)। सीधे तौर पर, R तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है
+* X पर तुल्यता संबंधों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन द्विआधारी संबंधों के [[ सबसेट | सब समुच्चय]] के रूप में देखा जाता है <math>X \times X</math> भी एक तुल्यता संबंध है। यह एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करने का एक अनुकूल प्रणाली उपलब्ध कराता है। X पर किसी भी द्विआधारी संबंध R को देखते हुए, आर आर द्वारा उत्पन्न सभी तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेदन R है जिसे सबसे छोटा तुल्यता संबंध भी कहा जाता है। जो सामान्तया, R तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है
 ::<math>a \sim b</math> अगर कोई [[ प्राकृतिक संख्या ]] मौजूद है <math>n</math> और तत्व <math>x_0, \ldots, x_n \in X</math> ऐसा है कि <math>a = x_0</math>, <math>b = x_n</math>, तथा <math>x_{i-1} \mathrel{R} x_i</math> या <math>x_i \mathrel{R} x_{i-1}</math>, के लिये <math>i = 1, \ldots, n.</math>
-:इस तरह से उत्पन्न तुल्यता संबंध तुच्छ हो सकता है। उदाहरण के लिए, X पर किसी भी [[ कुल आदेश ]] द्वारा उत्पन्न तुल्यता संबंध में ठीक एक तुल्यता वर्ग, X ही है।
+:इस तरह से उत्पन्न तुल्यता संबंध तुच्छ हो सकता है। उदाहरण के लिए, X पर किसी भी [[ कुल आदेश ]] द्वारा उत्पन्न तुल्यता संबंध में ठीक एक तुल्यता संबंध, X ही है।
-* तुल्यता संबंध चीजों को एक साथ जोड़कर नए स्थान का निर्माण कर सकते हैं। मान लीजिए X इकाई [[ कार्तीय वर्ग ]] है <math>[0, 1] \times [0, 1],</math> और चलो ~ द्वारा परिभाषित एक्स पर समकक्ष संबंध बनें <math>(a, 0) \sim (a, 1)</math> सभी के लिए <math>a \in [0, 1]</math> तथा <math>(0, b) \sim (1, b)</math> सभी के लिए <math>b \in [0, 1],</math> फिर भागफल स्थान (टोपोलॉजी) <math>X / \sim</math> एक [[ टोरस्र्स ]] के साथ स्वाभाविक रूप से ([[ समरूपता ]]) पहचाना जा सकता है: कागज का एक चौकोर टुकड़ा लें, एक सिलेंडर बनाने के लिए ऊपरी और निचले किनारे को एक साथ मोड़ें और गोंद करें, फिर परिणामस्वरूप सिलेंडर को मोड़ें ताकि इसके दो खुले सिरों को एक साथ गोंद किया जा सके, जिसके परिणामस्वरूप एक टोरस
+* तुल्यता संबंध चीजों को एक साथ जोड़कर नए स्थान का निर्माण कर सकते हैं। मान लीजिए X इकाई [[ कार्तीय वर्ग ]] है <math>[0, 1] \times [0, 1],</math> और जाने ~ परिभाषित एक्स पर समकक्ष संबंध बनें <math>(a, 0) \sim (a, 1)</math> सभी के लिए <math>a \in [0, 1]</math> तथा <math>(0, b) \sim (1, b)</math> सभी के लिए <math>b \in [0, 1],</math> फिर भागफल स्थान,<math>X / \sim</math> कागज का एक चौकोर टुकड़ा लें, एक सिलेंडर बनाने के लिए ऊपरी और निचले किनारे को एक साथ मोड़ें और गोंद करें, फिर परिणामी सिलेंडर को मोड़ें ताकि इसके दो खुले सिरे एक साथ चिपक जाएं, जिसके परिणामस्वरूप एक [[टोरस]] हो।
 ==बीजीय संरचना==
-अधिकांश गणित तुल्यता, और क्रम संबंधों के अध्ययन पर आधारित है। जाली (ऑर्डर) ऑर्डर संबंधों की गणितीय संरचना को पकड़ती है। भले ही तुल्यता संबंध गणित में क्रम संबंधों के रूप में सर्वव्यापी हैं, तुल्यता की बीजगणितीय संरचना उतनी अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है जितनी कि आदेशों की। पूर्व संरचना मुख्य रूप से [[ समूह सिद्धांत ]] पर और कुछ हद तक, जाली के सिद्धांत, [[ श्रेणी सिद्धांत ]] और समूह के सिद्धांत पर आधारित है।
+गणित का अधिकांश भाग तुल्यताओं और क्रम संबंधों के अध्ययन पर आधारित है। जालक सिद्धांत क्रम संबंधों की गणितीय संरचना को ग्रहण करता है। भले ही तुल्यता संबंध गणित में उतने ही सर्वव्यापी हैं जितना कि क्रम संबंध, तुल्यताओं की बीजगणितीय संरचना उतनी अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है जितनी कि क्रमों की। पूर्व संरचना मुख्य रूप से [[समूह सिद्धांत]] पर और कुछ हद तक [[जाली, श्रेणियों]] और समूह के सिद्धांत पर आधारित है।
 === समूह सिद्धांत ===
-जिस तरह ऑर्डर संबंध आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में आधारित होते हैं, सेट जोड़ीदार सर्वोच्च और न्यूनतम के तहत बंद होते हैं, समकक्ष संबंध एक सेट के विभाजन में आधारित होते हैं, जो विभाजन संरचना को संरक्षित करने वाले विभाजन के तहत बंद सेट होते हैं। चूँकि इस तरह के सभी विभाजन अपने आप में एक तुल्यता वर्ग का नक्शा बनाते हैं, ऐसे विभाजनों को क्रमपरिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है। इसलिए [[ क्रमपरिवर्तन समूह ]] (समूह क्रिया (गणित) के रूप में भी जाना जाता है) और कक्षा की संबंधित धारणा (समूह सिद्धांत) तुल्यता संबंधों की गणितीय संरचना पर प्रकाश डालते हैं।
+जिस प्रकार आदेश संबंध क्रमित समुच्चयों में आधारित होते हैं, समुच्चय जोड़ीदार सर्वोच्च और न्यूनतम के अंतर्गत बंद होते हैं, तुल्यता संबंध विभाजित समुच्चयों में आधारित होते हैं, जो विभाजन संरचना को संरक्षित करने वाले आक्षेपों के अंतर्गत बंद किए गए समुच्चय होते हैं। चूँकि इस तरह के सभी आक्षेप एक तुल्यता संबंध को स्वयं पर अंकित करते हैं, ऐसे आक्षेपों को क्रमचय के रूप में भी जाना जाता है। इसलिए क्रमचय समूह  [[रूपांतरण समूहों]]  के रूप में भी जाना जाता है और कक्षा की संबंधित धारणा तुल्यता संबंधों की गणितीय संरचना पर प्रकाश डालती है
-मान लीजिए '~' कुछ गैर-रिक्त समुच्चय A पर एक तुल्यता संबंध को दर्शाता है, जिसे [[ ब्रह्मांड (गणित) ]] या अंतर्निहित समुच्चय कहा जाता है। मान लीजिए G, A के ऊपर विशेषण फलन के समुच्चय को दर्शाता है जो A की विभाजन संरचना को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि सभी के लिए <math>x \in A</math> तथा <math>g \in G, g(x) \in [x].</math> फिर निम्नलिखित तीन जुड़े प्रमेय धारण करते हैं:<ref>Rosen (2008), pp.&nbsp;243–45. Less clear is §10.3 of [[Bas van Fraassen]], 1989. ''Laws and Symmetry''. Oxford Univ. Press.</ref>
+मान लीजिए ~ कुछ गैर-रिक्त समुच्चय A पर एक तुल्यता संबंध को दर्शाता है, जिसे [[ ब्रह्मांड (गणित) ]] या अंतर्निहित समुच्चय कहा जाता है। मान लीजिए G, A के ऊपर विशेषण फलन के समुच्चय को दर्शाता है जो A की विभाजन संरचना को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि सभी के लिए <math>x \in A</math> तथा <math>g \in G, g(x) \in [x].</math> फिर निम्नलिखित तीन जुड़े प्रमेय धारण करते हैं:<ref>Rosen (2008), pp.&nbsp;243–45. Less clear is §10.3 of [[Bas van Fraassen]], 1989. ''Laws and Symmetry''. Oxford Univ. Press.</ref>
-* ~ विभाजन ए को तुल्यता वर्गों में। (यह है {{em|Fundamental Theorem of Equivalence Relations}}, उपर्युक्त);
+* ~ विभाजन ए को तुल्यता संबंधों में। (यह है {{em|Fundamental Theorem of Equivalence Relations}}, उपर्युक्त);
-* ए के विभाजन को देखते हुए, जी रचना के तहत एक परिवर्तन समूह है, जिसकी कक्षाएँ विभाजन के एक समूह के विभाजन हैं;{{#tag:ref|
+* ए के विभाजन को देखते हुए, जी रचना के तहत एक परिवर्तन समूह है, जिसकी कक्षाएँ विभाजन के एक समूह के विभाजन हैं{{#tag:ref|
 ''Proof''.<ref>Bas van Fraassen, 1989. ''Laws and Symmetry''. Oxford Univ. Press: 246.</ref> Let [[function composition]] interpret group multiplication, and function inverse interpret group inverse. Then ''G'' is a group under composition, meaning that <math>x \in A</math> and <math>g \in G, [g(x)] = [x],</math> because ''G'' satisfies the following four conditions:
 * ''G is closed under composition''. The composition of any two elements of ''G'' exists, because the [[Domain of a function|domain]] and [[codomain]] of any element of ''G'' is ''A''. Moreover, the composition of bijections is [[bijective]];<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. Springer-Verlag: 22, Th. 6.</ref>
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 * ''Composition [[Associativity|associates]]''. ''f''(''gh'') = (''fg'')''h''. This holds for all functions over all domains.<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''.  Springer-Verlag: 24, Th. 7.</ref>
 Let ''f'' and ''g'' be any two elements of ''G''. By virtue of the definition of ''G'', [''g''(''f''(''x''))] = [''f''(''x'')] and [''f''(''x'')] = [''x''], so that [''g''(''f''(''x''))] = [''x'']. Hence ''G'' is also a transformation group (and an [[automorphism group]]) because function composition preserves the partitioning of <math>A. \blacksquare</math>}}
-* A के ऊपर एक परिवर्तन समूह G को देखते हुए, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध मौजूद है, जिसकी तुल्यता वर्ग G की कक्षाएँ हैं।<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. Springer-Verlag: 202, Th. 6.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. John Wiley & Sons: 114, Prop. 2.</ref>
+* A के ऊपर एक परिवर्तन समूह G को देखते हुए, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध मौजूद है, जिसकी तुल्यता संबंध G की कक्षाएँ हैं।<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. Springer-Verlag: 202, Th. 6.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. John Wiley & Sons: 114, Prop. 2.</ref>
-संक्षेप में, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध दिए जाने पर, A के ऊपर एक [[ परिवर्तन समूह ]] G मौजूद होता है, जिसकी कक्षाएँ ~ के अंतर्गत A की तुल्यता वर्ग होती हैं।
+संक्षेप में, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध दिए जाने पर, A के ऊपर एक [[ परिवर्तन समूह ]] G मौजूद होता है, जिसकी कक्षाएँ ~ के अंतर्गत A की तुल्यता संबंध होती हैं।
-तुल्यता संबंधों का यह परिवर्तन समूह लक्षण वर्णन मूल रूप से उस तरह से भिन्न होता है जिस तरह से जाली (आदेश) आदेश संबंधों की विशेषता है। जाली सिद्धांत संचालन मीट (गणित) और जॉइन (गणित) के तर्क कुछ ब्रह्मांड ए के तत्व हैं। इस बीच, परिवर्तन समूह संचालन के तर्क कार्य संरचना और उलटा कार्य, पूर्वाग्रहों के एक सेट के तत्व हैं, ए → ए।
+तुल्यता संबंधों का यह परिवर्तन समूह लक्षण वर्णन मूल रूप से उस तरह से भिन्न होता है जिस तरह से जाली (आदेश) आदेश संबंधों की विशेषता है। जाली सिद्धांत संचालन मीट गणित और जॉइन गणित के तर्क कुछ ब्रह्मांड ए के तत्व हैं। इस बीच परिवर्तन समूह संचालन के तर्क कार्य संरचना और उलटा कार्य, पूर्वाग्रहों के एक  समुच्चय के तत्व हैं, ए → ए।
-सामान्य रूप से समूहों की ओर बढ़ते हुए, मान लीजिए कि H किसी [[ समूह (गणित) ]] G का एक [[ उपसमूह ]] है। मान लीजिए ~ G पर एक तुल्यता संबंध है, जैसे कि <math>a \sim b \text{ if and only if } a b^{-1} \in H.</math> तुल्यता वर्ग ~—जिन्हें G पर H की समूह क्रिया (गणित) की कक्षाएँ भी कहा जाता है—जी में H के दाएँ '[[ सह समुच्चय ]]' हैं। a और b को परस्पर बदलने से बाएँ कोसेट प्राप्त होते हैं।
+सामान्य रूप से समूहों की ओर बढ़ते हुए, मान लीजिए कि H किसी [[ समूह (गणित) ]] G का एक [[ उपसमूह ]] है। मान लीजिए ~ G पर एक तुल्यता संबंध है, जैसे कि <math>a \sim b \text{ if and only if } a b^{-1} \in H.</math> तुल्यता संबंध ~ जिन्हें G पर H की समूह क्रिया (गणित) की कक्षाएँ भी कहा जाता है, जी में H के दाएँ '[[ सह समुच्चय ]]' हैं। a और b को परस्पर बदलने से बाएँ को समुच्चय fप्राप्त होते हैं।
-संबंधित सोच रोसेन (2008: अध्याय 10) में पाई जा सकती है।
+संबंधित सोच रोसेन में पाई जा सकती है (2008: अध्याय 10)।
 === श्रेणियां और समूह ===
 मान लीजिए कि G एक समुच्चय है और मान लीजिए कि G के ऊपर एक तुल्यता संबंध है। तब हम इस तुल्यता संबंध को निरूपित करने वाला एक वर्गमूल इस प्रकार बना सकते हैं। वस्तुएँ G के तत्व हैं, और G के किन्हीं दो तत्वों x और y के लिए, x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद मौजूद है यदि और केवल यदि <math>x \sim y.</math>
-एक समूह के विशेष मामले के रूप में एक तुल्यता संबंध के बारे में लाभ में शामिल हैं:
-* जबकि मुक्त तुल्यता संबंध की धारणा मौजूद नहीं है, एक [[ निर्देशित ग्राफ ]] पर एक [[ मुक्त वस्तु ]] की धारणा है। इस प्रकार एक तुल्यता संबंध की प्रस्तुति के बारे में बात करना सार्थक है, अर्थात, संबंधित समूह की प्रस्तुति;
+एक समूह के विशेष स्थिति के रूप में एक तुल्यता संबंध के लाभ में सम्मिलित हैं:
-* समूहों के समूह, समूह क्रिया (गणित), सेट, और तुल्यता संबंधों को ग्रुपॉइड की धारणा के विशेष मामलों के रूप में माना जा सकता है, एक ऐसा दृष्टिकोण जो कई उपमाओं का सुझाव देता है;
+* जबकि मुक्त तुल्यता संबंध की धारणा मौजूद नहीं है, एक [[ निर्देशित ग्राफ | निर्देशित ग्राफ]]  पर एक [[ मुक्त वस्तु | मुक्त वस्तु]]  की धारणा है। इस प्रकार एक तुल्यता संबंध की प्रस्तुति के बारे में बात करना सार्थक है, अर्थात, संबंधित समूह की प्रस्तुति है
-*कई संदर्भों में भागफल, और इसलिए उपयुक्त तुल्यता संबंध जिन्हें अक्सर सर्वांगसमता संबंध कहा जाता है, महत्वपूर्ण हैं। यह एक [[ श्रेणी (गणित) ]] में एक आंतरिक समूह की धारणा की ओर जाता है।<ref>Borceux, F. and Janelidze, G., 2001. ''Galois theories'', Cambridge University Press, {{ISBN|0-521-80309-8}}</ref>
+* समूहों, समूह क्रियाओं, समुच्चयों और तुल्यता संबंधों के बंडलों को वर्गीकृत की धारणा के विशेष मामलों के रूप में जाना जा सकता है, एक ऐसा दृष्टिकोण जो कई उपमाओं का सुझाव देता है
+*कई संदर्भों में भागफल, और इसलिए उपयुक्त तुल्यता संबंध जिन्हें अक्सर सर्वांगसमता संबंध कहा जाता है, महत्वपूर्ण हैं, यह एक [[ श्रेणी (गणित) | श्रेणी (गणित)]]  में एक आंतरिक समूह की धारणा की ओर जाता है।<ref>Borceux, F. and Janelidze, G., 2001. ''Galois theories'', Cambridge University Press, {{ISBN|0-521-80309-8}}</ref>
 === जाली ===
-किसी भी समुच्चय X पर तुल्यता संबंध, जब समुच्चय समावेशन द्वारा आदेशित किया जाता है, एक पूर्ण जालक बनाता है, जिसे परिपाटी द्वारा 'Con' X कहा जाता है। कैननिकल मैप (गणित) 'केर': एक्स^एक्स → 'कॉन' एक्स, एक्स और 'कॉन' एक्स पर सभी फंक्शन (गणित) के [[ मोनोइड ]] एक्स^एक्स से संबंधित है। 'केर' विशेषण है लेकिन [[ इंजेक्शन ]] नहीं है। औपचारिक रूप से कम, X पर तुल्यता संबंध 'ker', प्रत्येक फलन f: X→X को उसके कर्नेल (बीजगणित) 'ker' f पर ले जाता है। इसी तरह, 'ker(ker)' X^X पर एक तुल्यता संबंध है।
+किसी भी समुच्चय X पर तुल्यता संबंध, जब समुच्चय समावेशन द्वारा आदेशित किया जाता है, एक पूर्ण जालक बनाता है, जिसे परिपाटी द्वारा 'Con' X कहा जाता है। कैनोनिकल छायाचित्र गणित 'केर' एक्स,एक्स मोनोइड से संबंधित है ''X''^''X'' सभी कार्यों के एक्स 'केर' विशेषण है लेकिन [[ इंजेक्शन | अंतःक्षेप]] नहीं है। औपचारिक रूप से कम, X पर तुल्यता संबंध 'केर', प्रत्येक फलन f: X→X को उसके कर्नेल (बीजगणित) 'केर' f पर ले जाता है। इसी तरह, 'केर' X^X पर एक तुल्यता संबंध है।
 ==तुल्यता संबंध और गणितीय तर्क ==
-तुल्यता संबंध उदाहरणों या प्रति-उदाहरणों का एक तैयार स्रोत है। उदाहरण के लिए, ठीक दो अनंत तुल्यता वर्गों के साथ एक तुल्यता संबंध एक सिद्धांत का एक आसान उदाहरण है जो -मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय है, लेकिन किसी भी बड़ी कार्डिनल संख्या के लिए श्रेणीबद्ध नहीं है।
+तुल्यता संबंध उदाहरणों या प्रति-उदाहरणों का एक तैयार स्रोत है। उदाहरण के लिए, ठीक दो अनंत तुल्यता संबंधों के साथ एक तुल्यता संबंध एक सिद्धांत का एक आसान उदाहरण है जो -मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय है, लेकिन किसी भी बड़ी कार्डिनल संख्या के लिए श्रेणीबद्ध नहीं है।
-[[ मॉडल सिद्धांत ]] का एक निहितार्थ यह है कि एक संबंध को परिभाषित करने वाले गुण एक दूसरे से स्वतंत्र साबित हो सकते हैं (और इसलिए परिभाषा के आवश्यक भाग) यदि और केवल तभी, प्रत्येक संपत्ति के लिए, ऐसे संबंधों के उदाहरण पाए जा सकते हैं जो संतुष्ट करते हुए दी गई संपत्ति को संतुष्ट नहीं करते हैं अन्य सभी गुण। इसलिए तुल्यता संबंधों के तीन परिभाषित गुणों को निम्नलिखित तीन उदाहरणों द्वारा परस्पर स्वतंत्र साबित किया जा सकता है:
+[[मॉडल सिद्धांत]] का एक निहितार्थ यह है कि एक संबंध को परिभाषित करने वाले गुणों को एक दूसरे से स्वतंत्र साबित किया जा सकता है और इसलिए परिभाषा के आवश्यक भाग में यदि और केवल अगर, प्रत्येक संपत्ति के लिए, संबंधों के उदाहरण पाए जा सकते हैं जो संतुष्ट करते हुए दी गई संपत्ति को संतुष्ट नहीं करते हैं अन्य सभी गुण। इसलिए तुल्यता संबंधों के तीन परिभाषित गुणों को निम्नलिखित तीन उदाहरणों से परस्पर स्वतंत्र सिद्ध किया जा सकता है
-* रिफ्लेक्सिव और सकर्मक: संबंध 'एन' पर। या कोई पूर्व-आदेश;
+* रिफ्लेक्सिव और सकर्मक संबंध ≤  'एन' पर या कोई पूर्व-आदेश;
-* सममित और सकर्मक: 'N' पर संबंध R, जिसे aRb ab ≠ 0 के रूप में परिभाषित किया गया है। या कोई आंशिक तुल्यता संबंध;
+* सममित और सकर्मक 'N' पर संबंध R, जिसे aRb ab ≠ 0 के रूप में परिभाषित किया गया है। या कोई आंशिक तुल्यता संबंध से है
-* परावर्तक और सममित: 'Z' पर संबंध R, जिसे aRb a - b के रूप में परिभाषित किया गया है, 2 या 3 में से कम से कम एक या किसी निर्भरता संबंध से विभाज्य है।
+* परावर्तक और सममित 'Z' पर संबंध R, जिसे aRb a - b के रूप में परिभाषित किया गया है, 2 या 3 में से कम से कम एक या किसी निर्भरता संबंध से विभाज्य है।
-[[ प्रथम-क्रम तर्क ]] में निश्चित गुण जो एक तुल्यता संबंध में शामिल हो सकते हैं या नहीं भी शामिल हो सकते हैं:
+[[ प्रथम-क्रम तर्क ]] में निश्चित गुण जो एक तुल्यता संबंध में सम्मिलित हो सकते हैं या नहीं भी सम्मिलित हो सकते हैं
-*तुल्यता वर्गों की संख्या परिमित या अनंत है;
+*तुल्यता संबंधों की संख्या परिमित या अनंत है।
-*तुल्यता वर्गों की संख्या (परिमित) प्राकृतिक संख्या n के बराबर होती है;
+*तुल्यता संबंधों की संख्या (परिमित) प्राकृतिक संख्या n के बराबर होती है।
-*सभी तुल्यता वर्गों में अनंत कार्डिनैलिटी होती है;
+*सभी तुल्यता संबंधों में अनंत कार्डिनैलिटी होती है।
-*प्रत्येक तुल्यता वर्ग में तत्वों की संख्या प्राकृत संख्या n है।
+*प्रत्येक तुल्यता संबंध में तत्वों की संख्या प्राकृत संख्या n है।
 ==यह भी देखें==
-* {{annotated link|Conjugacy class}}
+* {{annotated link|संयुग्मन वर्ग}}
-* {{annotated link|Equipollence (geometry)}}
+* {{annotated link|संतुलन (ज्यामिति)}}
-* {{annotated link|Hyperfinite equivalence relation}}
+* {{annotated link|अतिपरिमित तुल्यता संबंध}}
-* {{annotated link|Quotient by an equivalence relation}}
+* {{annotated link|एक तुल्यता संबंध द्वारा भागफल}}
-* {{annotated link|Topological conjugacy}}
+* {{annotated link|सांस्थितिक संयुग्मन करना}}
-* {{annotated link|Up to}}
+* {{annotated link|अप टू}}
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 *अंक शास्त्र
 *अगर और केवल अगर
-*एक सेट का विभाजन
+*एक  समुच्चयका विभाजन
-*समारोह (गणित)
+*फलन  (गणित)
 *सामान्य अवयव
 *खाली सच
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 *अलगाव संबंध
 *बहिष्कृत मध्य का कानून
-*प्रोजेक्शन (सेट थ्योरी)
+*प्रोजेक्शन ( समुच्चयथ्योरी)
 *द्विभाजन
-*संघ (सेट सिद्धांत)
+*संघ ( समुच्चयसिद्धांत)
 *जोड़ीदार असंबद्ध
 *ग्रुपॉयड
@@ Line 235: / Line 241: @@
 *अंतिम
 *सबसे कम
-*आंशिक रूप से आदेशित सेट
+*आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय
 *कक्षा (समूह सिद्धांत)
 *समूह कार्रवाई (गणित)
-*एक सेट के विभाजन
+*एक  समुच्चयके विभाजन
 *मिलो (गणित)
 *उलटा काम करना
 *आपत्तियां
-*शामिल हों (गणित)
+*सम्मिलित  हों (गणित)
-*समावेशन सेट करें
+*समावेशन  समुच्चयकरें
 *नक्शा (गणित)
 *पूरी जाली
@@ Line 258: / Line 264: @@
 {{Authority control}}
-{{DEFAULTSORT:Equivalence Relation}}[[Category:द्विआधारी संबंध]]
+{{DEFAULTSORT:Equivalence Relation}}
-[[Category: तुल्यता (गणित)]]
-[[Category: रिफ्लेक्सिव संबंध]]
-[[Category: सममित संबंध]]
-[[Category: सकर्मक संबंध]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:AC with 0 elements|Equivalence Relation]]
-[[Category:Created On 10/11/2022]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Equivalence Relation]]
+[[Category:Articles with short description|Equivalence Relation]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]]
+[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
+[[Category:Collapse templates|Equivalence Relation]]
+[[Category:Created On 10/11/2022|Equivalence Relation]]
+[[Category:Machine Translated Page|Equivalence Relation]]
+[[Category:Missing redirects|Equivalence Relation]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Equivalence Relation]]
+[[Category:Pages with empty portal template|Equivalence Relation]]
+[[Category:Pages with script errors|Equivalence Relation]]
+[[Category:Portal-inline template with redlinked portals|Equivalence Relation]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Equivalence Relation]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Equivalence Relation]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates based on the Citation/CS1 Lua module]]
+[[Category:Templates generating COinS|Cite web]]
+[[Category:Templates generating microformats|Equivalence Relation]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Equivalence Relation]]
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तुल्यता संबंध: Difference between revisions

Latest revision as of 23:17, 1 December 2022

संकेतन

परिभाषा

संबंधपरक बीजगणित का उपयोग करते हुए वैकल्पिक परिभाषा

उदाहरण

सरल उदाहरण

तुल्यता संबंध

ऐसे संबंध जो तुल्यता नहीं हैं

अन्य संबंधों से संबंध

एक तुल्यता संबंध के तहत अच्छी तरह से परिभाषित

तुल्यता संबंध, भागफल समुच्चय, विभाजन

तुल्यता संबंध

भागफल समुच्चय

प्रक्षेपण

तुल्यता कर्नेल

विभाजन

विभाजनों की गणना

तुल्यता संबंधों की मौलिक प्रमेय

तुल्यता संबंधों की तुलना

तुल्यता संबंध उत्पन्न करना

बीजीय संरचना

समूह सिद्धांत

श्रेणियां और समूह

जाली

तुल्यता संबंध और गणितीय तर्क

यह भी देखें

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संदर्भ

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