तुल्यता संबंध

This article is about गणितीय अवधारणा. For पेटेंट सिद्धांत, see समकक्षों का सिद्धांत.

"समानक" redirects here. For other uses, see तुल्यता (बहुविकल्पी) तुल्यता.

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

5-तत्व सेट पर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है $5\times 5$ तार्किक मैट्रिक्स (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र शामिल हैं, एक के लिए खड़े हैं; शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता वर्गों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता वर्ग होता है)।

गणित में, एक तुल्यता संबंध एक द्विआधारी संबंध है जो प्रतिक्रियात्मक, सममित और सकर्मक संबंध होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच समतुल्य संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।

प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त तुल्यता वर्गों में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।

संकेतन

साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है $a$ तथा $b$ तुल्यता संबंध के एक सेट के बराबर हैं $R;$ सबसे आम हैं $a\sim b$ तथा a ≡ b, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है " a _R b, "a ≡_R b", या ${a\mathop {R} b}$ , $R$ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है a ≁ b या $a\not \equiv b$.

परिभाषा

समुच्चय $X$ पर द्विआधारी संबंध $\,\sim \,$ को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल  विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए $a,b,$ तथा $c$ में $X:$

• $a\sim a$ (प्रतिवर्त संबंध)।
• $a\sim b$ अगर और केवल अगर $b\sim a$ (सममित संबंध)।
• यदि $a\sim b$ तथा $b\sim c$ फिर $a\sim c$ (सकर्मक संबंध)।

$X$ रिश्ते के साथ $\,\sim \,$ एक सेटॉइड कहा जाता है। तुल्यता वर्ग $a$ नीचे $\,\sim ,$ लक्षित $[a],$ की तरह परिभाषित किया गया है $[a]=\{x\in X:x\sim a\}.$

संबंधपरक बीजगणित का उपयोग करते हुए वैकल्पिक परिभाषा

संबंधपरक बीजगणित में, यदि $R\subseteq X\times Y$ तथा $S\subseteq Y\times Z$ संबंध हैं, तो संबंधों की संरचना $SR\subseteq X\times Z$ परिभाषित किया गया है ताकि $x\,SR\,z$ अगर और केवल अगर वहाँ एक है $y\in Y$ ऐसा है कि $x\,R\,y$ तथा $y\,S\,z$. यह परिभाषा समारोह संरचना की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण $R$ एक सेट पर $X$ फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है:

• $\operatorname {id} \subseteq R$. (रिफ्लेक्सिव रिलेशन)। (यहां, $\operatorname {id}$ पहचान समारोह को दर्शाता है $X$.)
• $R=R^{-1}$ (सममित संबंध)।
• $RR\subseteq R$ (सकर्मक संबंध)।

उदाहरण

सरल उदाहरण

मंच पर $X=\{a,b,c\}$, सम्बन्ध $R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}$ एक तुल्यता संबंध है। निम्नलिखित समुच्चय इस संबंध के तुल्यता वर्ग हैं:

$$[a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}.$$

के लिए सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय $R$ है $\{\{a\},\{b,c\}\}.$ यह समुच्चय समुच्चय के समुच्चय का विभाजन है $X$ इसके संबंध में $R$.

तुल्यता संबंध

निम्नलिखित संबंध सभी तुल्यता संबंध हैं:

• संख्याओं के समुच्चय के बराबर है। उदाहरण के लिए, ${\tfrac {1}{2}}$ के बराबर है ${\tfrac {4}{8}}.$* सभी लोगों के सेट पर वही जन्मदिन होता है।
• सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के सेट पर समानता (ज्यामिति) है।
• सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के सेट पर सर्वांगसमता (ज्यामिति) है।
• एक प्राकृतिक संख्या दी गई $n$, के अनुरूप है, मॉड्यूलर अंकगणित $n$पूर्णांकों पर।* एक समारोह को देखते हुए (गणित) $f:X\to Y$, एक ही छवि (गणित) के अंतर्गत है $f$ के तत्वों के रूप में $f$किसी फ़ंक्शन का डोमेन $X$. उदाहरण के लिए, $0$ तथा $\pi$ नीचे एक ही छवि है $\sin$, अर्थात। $0$.
• वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के समान निरपेक्ष मान होता है
• सभी कोणों के समुच्चय के समान कोज्या है।

ऐसे संबंध जो तुल्यता नहीं हैं

• वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध स्वतुल्य और सकर्मक है, लेकिन सममित नहीं है। उदाहरण के लिए, 7 5 लेकिन 5 7 नहीं।
• संबंध का एक सार्व गुणनखंड 1 से अधिक है, जिसमें प्राकृतिक संख्या ओं के बीच 1 से अधिक है, प्रतिवर्ती और सममित है, लेकिन सकर्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या 2 और 6 का एक सार्व गुणनखंड 1 से बड़ा है, और 6 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा है, लेकिन 2 और 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 से बड़ा नहीं है।
• एक समुच्चय X पर रिक्त संबंध R (इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि aRb कभी भी सत्य नहीं है) रिक्त रूप से सत्य सममित और संक्रमणीय है; हालांकि, यह रिफ्लेक्टिव नहीं है (जब तक कि एक्स स्वयं खाली न हो)।
• संबंध वास्तविक संख्याओं के बीच के लगभग बराबर है, भले ही अधिक सटीक रूप से परिभाषित किया गया हो, यह एक तुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि रिफ्लेक्टिव और सममित होने के बावजूद, यह सकर्मक नहीं है, क्योंकि कई छोटे परिवर्तन एक बड़ा परिवर्तन बनने के लिए जमा हो सकते हैं। हालाँकि, यदि सन्निकटन को असम्बद्ध रूप से परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए यह कहकर कि दो फलन f और g किसी बिंदु के पास लगभग बराबर हैं यदि उस बिंदु पर f - g की सीमा 0 है, तो यह एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है।

अन्य संबंधों से संबंध

• आंशिक आदेश एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्ती है, antisymmetric, और संक्रमणीय।
• समानता (गणित) एक तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम दोनों है। समानता भी एक सेट पर एकमात्र संबंध है जो रिफ्लेक्टिव, सममित और एंटीसिमेट्रिक है। बीजीय व्यंजकों में, समान चर एक दूसरे के लिए प्रतिस्थापन (बीजगणित) हो सकते हैं, एक ऐसी सुविधा जो तुल्यता संबंधी चरों के लिए उपलब्ध नहीं है। एक तुल्यता संबंध के तुल्यता वर्ग एक दूसरे के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं, लेकिन एक वर्ग के भीतर व्यक्ति नहीं।
• एक सख्त आंशिक आदेश अपरिवर्तनीय, सकर्मक और असममित संबंध है।
• एक आंशिक तुल्यता संबंध सकर्मक और सममित है। ऐसा रिश्ता रिफ्लेक्टिव होता है अगर और केवल अगर यह कुल संबंध है, यानी, अगर सभी के लिए $a,$ कुछ मौजूद है $b{\text{ such that }}a\sim b.$ इसलिए, एक तुल्यता संबंध को वैकल्पिक रूप से एक सममित, सकर्मक और कुल संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
• एक त्रिगुट तुल्यता संबंध सामान्य (बाइनरी) तुल्यता संबंध के लिए एक त्रिगुट अनुरूप है।
• एक आत्मकेंद्रित और सममित संबंध एक निर्भरता संबंध है (यदि परिमित है), और एक सहिष्णुता संबंध यदि अनंत है।
• एक पूर्व आदेश रिफ्लेक्टिव और ट्रांजिटिव है।
• एक सर्वांगसमता संबंध एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन $X$ बीजीय संरचना के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्य तौर पर, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के कर्नेल (बीजगणित) की भूमिका निभाते हैं, और एक सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों में संरचना के उप-संरचनाओं के रूप में एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है, जिस पर उन्हें परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध सामान्य उपसमूह ों के अनुरूप होते हैं)।
• कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, हालांकि विलोम कथन केवल शास्त्रीय गणित (रचनात्मक गणित के विपरीत) में होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य के कानून के बराबर है।
• प्रत्येक संबंध जो रिफ्लेक्सिव और लेफ्ट (या राइट) दोनों है, यूक्लिडियन संबंध भी एक तुल्यता संबंध है।

एक तुल्यता संबंध के तहत अच्छी तरह से परिभाषित

यदि $\,\sim \,$ पर एक तुल्यता संबंध है $X,$ तथा $P(x)$ के तत्वों की एक संपत्ति है $X,$ ऐसा कि जब भी $x\sim y,$ $P(x)$ सच है अगर $P(y)$ सत्य है, तो संपत्ति $P$ अच्छी तरह से परिभाषित या a . कहा जाता है class invariant रिश्ते के तहत $\,\sim .$ अक्सर विशेष मामला तब होता है जब $f$ से एक समारोह है $X$ दूसरे सेट के लिए $Y;$ यदि $x_{1}\sim x_{2}$ तात्पर्य $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ फिर $f$ कहा जाता है morphism के लिये $\,\sim ,$ a class invariant under $\,\sim ,$ या केवल invariant under $\,\sim .$ ऐसा होता है, उदा। परिमित समूहों के चरित्र सिद्धांत में। समारोह के साथ बाद का मामला $f$ एक क्रमविनिमेय त्रिभुज द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। अपरिवर्तनीय (गणित) भी देखें। कुछ लेखक संगत का उपयोग करते हैं $\,\sim$या सिर्फ सम्मान $\,\sim$अपरिवर्तनीय के बजाय $\,\sim$.

अधिक आम तौर पर, एक फ़ंक्शन समकक्ष तर्कों को मैप कर सकता है (एक तुल्यता संबंध के तहत $\,\sim _{A}$) समकक्ष मूल्यों के लिए (एक तुल्यता संबंध के तहत $\,\sim _{B}$) इस तरह के एक समारोह को से एक रूपवाद के रूप में जाना जाता है $\,\sim _{A}$ प्रति $\,\sim _{B}.$

तुल्यता वर्ग, भागफल सेट, विभाजन

होने देना $a,b\in X.$ कुछ परिभाषाएँ:

तुल्यता वर्ग

Main article: Equivalence class

X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि $a\sim b$ Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता वर्ग' कहलाता है। होने देना $[a]:=\{x\in X:a\sim x\}$ उस तुल्यता वर्ग को निरूपित करें जिससे a संबंधित है। एक दूसरे के तुल्य X के सभी अवयव भी समान तुल्यता वर्ग के अवयव हैं।

भागफल सेट

Main article: Quotient set

X के सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय ~, निरूपित $X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]:x\in X\},$ ~ द्वारा X का भागफल समुच्चय है। यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो बदलने का एक प्राकृतिक तरीका है $X/\sim$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में; विवरण के लिए भागफल स्थान (टोपोलॉजी) देखें।

प्रक्षेपण

Main article: Projection (relational algebra)

का प्रक्षेपण $\,\sim \,$ समारोह है $\pi :X\to X/{\mathord {\sim }}$ द्वारा परिभाषित $\pi (x)=[x]$ जो के तत्वों को मैप करता है $X$ द्वारा उनके संबंधित तुल्यता वर्गों में $\,\sim .$

प्रक्षेपण पर प्रमेय (सेट सिद्धांत) s: चलो समारोह $f:X\to B$ ऐसा हो कि अगर $a\sim b$ फिर $f(a)=f(b).$ फिर एक अनूठा कार्य है $g:X/\sim \to B$ ऐसा है कि $f=g\pi .$ यदि $f$ एक प्रक्षेपण है और $a\sim b{\text{ if and only if }}f(a)=f(b),$ फिर $g$ एक आपत्ति है।

तुल्यता कर्नेल

किसी फ़ंक्शन का तुल्यता कर्नेल $f$ तुल्यता संबंध है ~ द्वारा परिभाषित $x\sim y{\text{ if and only if }}f(x)=f(y).$ एक इंजेक्शन समारोह का तुल्यता कर्नेल पहचान संबंध है।

विभाजन

Main article: Partition of a set

X का विभाजन X के गैर-रिक्त उपसमुच्चय का एक समुच्चय P होता है, जैसे कि X का प्रत्येक अवयव P के एकल अवयव का एक अवयव हो। P का प्रत्येक अवयव विभाजन का कोशिका है। इसके अलावा, P के अवयव जोड़ीवार असंबद्ध हैं और उनका संघ (सेट थ्योरी) X है।

विभाजनों की गणना

मान लीजिए X एक परिमित समुच्चय है जिसमें n तत्व हैं। चूंकि एक्स पर प्रत्येक तुल्यता संबंध एक्स के विभाजन से मेल खाता है, और इसके विपरीत, एक्स पर तुल्यता संबंधों की संख्या एक्स के अलग-अलग विभाजनों की संख्या के बराबर होती है, जो कि एनटी बेल नंबर बी है।_n:

$$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}\quad$$

(डोबिंस्की सूत्र)।

तुल्यता संबंधों की मौलिक प्रमेय

एक प्रमुख परिणाम तुल्यता संबंधों और विभाजनों को जोड़ता है:

• एक सेट एक्स पार्टीशन एक्स पर एक तुल्यता संबंध ~।
• इसके विपरीत, X के किसी भी विभाजन के संगत, X पर एक तुल्यता संबंध होता है।

दोनों ही मामलों में, X के विभाजन की कोशिकाएँ X के ~ द्वारा तुल्यता वर्ग हैं। चूंकि एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के किसी भी विभाजन के एक अद्वितीय सेल से संबंधित है, और चूंकि विभाजन के प्रत्येक सेल एक्स के समकक्ष वर्ग ~ ~ के समान है, एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के अद्वितीय समकक्ष वर्ग ~ के अंतर्गत आता है। इस प्रकार X पर सभी तुल्यता संबंधों के समुच्चय और X के सभी विभाजनों के समुच्चय के बीच एक स्वाभाविक विभाजन होता है।

तुल्यता संबंधों की तुलना

See also: Partition of a set § Refinement of partitions

यदि $\sim$ तथा $\approx$ एक ही सेट पर दो तुल्यता संबंध हैं $S$, तथा $a\sim b$ तात्पर्य $a\approx b$ सभी के लिए $a,b\in S,$ फिर $\approx$ की तुलना में एक मोटे संबंध कहा जाता है $\sim$, तथा $\sim$ से बेहतर रिश्ता है $\approx$. समान रूप से,

• $\sim$ से बेहतर है $\approx$ यदि का प्रत्येक तुल्यता वर्ग $\sim$ तुल्यता वर्ग का एक उपसमुच्चय है $\approx$, और इस प्रकार प्रत्येक तुल्यता वर्ग $\approx$ तुल्यता वर्गों का एक संघ है $\sim$.
• $\sim$ से बेहतर है $\approx$ यदि विभाजन द्वारा बनाया गया है $\sim$ द्वारा बनाए गए विभाजन का परिशोधन है $\approx$.

समानता तुल्यता संबंध किसी भी सेट पर सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है, जबकि सार्वभौमिक संबंध, जो तत्वों के सभी जोड़े से संबंधित है, सबसे मोटे है।

सम्बन्ध$\sim$ से बेहतर है $\approx$एक निश्चित सेट पर सभी तुल्यता संबंधों के संग्रह पर ही आंशिक क्रम संबंध है, जो संग्रह को एक ज्यामितीय जाली बनाता है।

तुल्यता संबंध उत्पन्न करना

• किसी भी सेट को देखते हुए $X,$ सेट पर एक तुल्यता संबंध $[X\to X]$ सभी कार्यों का $X\to X$ निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। दो कार्यों को समतुल्य माना जाता है, जब उनके संबंधित फिक्सपॉइंट ्स में समान प्रमुखता होती है, जो क्रमपरिवर्तन में लंबाई के चक्रों के अनुरूप होती है।
• एक तुल्यता संबंध $\,\sim \,$ पर $X$ तुल्यता संबंध है#अपने विशेषण तुल्यता संबंध का तुल्यता कर्नेल#प्रोजेक्शन $\pi :X\to X/\sim .$ इसके विपरीत, सेट के बीच कोई भी प्रक्षेपण अपने डोमेन पर एक विभाजन को निर्धारित करता है, कोडोमेन में सिंगलटन (गणित) के पूर्व छवि का सेट। इस प्रकार एक तुल्यता संबंध खत्म हो गया $X,$ का एक विभाजन $X,$ और एक प्रक्षेपण जिसका डोमेन है $X,$ एक ही चीज़ को निर्दिष्ट करने के तीन समान तरीके हैं।
• X पर तुल्यता संबंधों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन (द्विआधारी संबंधों को के सबसेट के रूप में देखा जाता है $X\times X$) भी एक तुल्यता संबंध है। यह एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करने का एक सुविधाजनक तरीका देता है: X पर किसी भी द्विआधारी संबंध R को देखते हुए, तुल्यता संबंध generated by R R युक्त सभी तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेदन है (जिसे R युक्त सबसे छोटा तुल्यता संबंध भी कहा जाता है)। सीधे तौर पर, R तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है

$a\sim b$ अगर कोई प्राकृतिक संख्या मौजूद है $n$ और तत्व $x_{0},\ldots ,x_{n}\in X$ ऐसा है कि $a=x_{0}$, $b=x_{n}$, तथा $x_{i-1}\mathrel {R} x_{i}$ या $x_{i}\mathrel {R} x_{i-1}$, के लिये $i=1,\ldots ,n.$

इस तरह से उत्पन्न तुल्यता संबंध तुच्छ हो सकता है। उदाहरण के लिए, X पर किसी भी कुल आदेश द्वारा उत्पन्न तुल्यता संबंध में ठीक एक तुल्यता वर्ग, X ही है।

• तुल्यता संबंध चीजों को एक साथ जोड़कर नए स्थान का निर्माण कर सकते हैं। मान लीजिए X इकाई कार्तीय वर्ग है $[0,1]\times [0,1],$ और चलो ~ द्वारा परिभाषित एक्स पर समकक्ष संबंध बनें $(a,0)\sim (a,1)$ सभी के लिए $a\in [0,1]$ तथा $(0,b)\sim (1,b)$ सभी के लिए $b\in [0,1],$ फिर भागफल स्थान (टोपोलॉजी) $X/\sim$ एक टोरस्र्स के साथ स्वाभाविक रूप से (समरूपता ) पहचाना जा सकता है: कागज का एक चौकोर टुकड़ा लें, एक सिलेंडर बनाने के लिए ऊपरी और निचले किनारे को एक साथ मोड़ें और गोंद करें, फिर परिणामस्वरूप सिलेंडर को मोड़ें ताकि इसके दो खुले सिरों को एक साथ गोंद किया जा सके, जिसके परिणामस्वरूप एक टोरस

बीजीय संरचना

अधिकांश गणित तुल्यता, और क्रम संबंधों के अध्ययन पर आधारित है। जाली (ऑर्डर) ऑर्डर संबंधों की गणितीय संरचना को पकड़ती है। भले ही तुल्यता संबंध गणित में क्रम संबंधों के रूप में सर्वव्यापी हैं, तुल्यता की बीजगणितीय संरचना उतनी अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है जितनी कि आदेशों की। पूर्व संरचना मुख्य रूप से समूह सिद्धांत पर और कुछ हद तक, जाली के सिद्धांत, श्रेणी सिद्धांत और समूह के सिद्धांत पर आधारित है।

समूह सिद्धांत

जिस तरह ऑर्डर संबंध आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में आधारित होते हैं, सेट जोड़ीदार सर्वोच्च और न्यूनतम के तहत बंद होते हैं, समकक्ष संबंध एक सेट के विभाजन में आधारित होते हैं, जो विभाजन संरचना को संरक्षित करने वाले विभाजन के तहत बंद सेट होते हैं। चूँकि इस तरह के सभी विभाजन अपने आप में एक तुल्यता वर्ग का नक्शा बनाते हैं, ऐसे विभाजनों को क्रमपरिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है। इसलिए क्रमपरिवर्तन समूह (समूह क्रिया (गणित) के रूप में भी जाना जाता है) और कक्षा की संबंधित धारणा (समूह सिद्धांत) तुल्यता संबंधों की गणितीय संरचना पर प्रकाश डालते हैं।

मान लीजिए '~' कुछ गैर-रिक्त समुच्चय A पर एक तुल्यता संबंध को दर्शाता है, जिसे ब्रह्मांड (गणित) या अंतर्निहित समुच्चय कहा जाता है। मान लीजिए G, A के ऊपर विशेषण फलन के समुच्चय को दर्शाता है जो A की विभाजन संरचना को संरक्षित करता है, जिसका अर्थ है कि सभी के लिए $x\in A$ तथा $g\in G,g(x)\in [x].$ फिर निम्नलिखित तीन जुड़े प्रमेय धारण करते हैं:

• ~ विभाजन ए को तुल्यता वर्गों में। (यह है Fundamental Theorem of Equivalence Relations, उपर्युक्त);
• ए के विभाजन को देखते हुए, जी रचना के तहत एक परिवर्तन समूह है, जिसकी कक्षाएँ विभाजन के एक समूह के विभाजन हैं;
• A के ऊपर एक परिवर्तन समूह G को देखते हुए, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध मौजूद है, जिसकी तुल्यता वर्ग G की कक्षाएँ हैं।

संक्षेप में, A के ऊपर एक तुल्यता संबंध दिए जाने पर, A के ऊपर एक परिवर्तन समूह G मौजूद होता है, जिसकी कक्षाएँ ~ के अंतर्गत A की तुल्यता वर्ग होती हैं।

तुल्यता संबंधों का यह परिवर्तन समूह लक्षण वर्णन मूल रूप से उस तरह से भिन्न होता है जिस तरह से जाली (आदेश) आदेश संबंधों की विशेषता है। जाली सिद्धांत संचालन मीट (गणित) और जॉइन (गणित) के तर्क कुछ ब्रह्मांड ए के तत्व हैं। इस बीच, परिवर्तन समूह संचालन के तर्क कार्य संरचना और उलटा कार्य, पूर्वाग्रहों के एक सेट के तत्व हैं, ए → ए।

सामान्य रूप से समूहों की ओर बढ़ते हुए, मान लीजिए कि H किसी समूह (गणित) G का एक उपसमूह है। मान लीजिए ~ G पर एक तुल्यता संबंध है, जैसे कि $a\sim b{\text{ if and only if }}ab^{-1}\in H.$ तुल्यता वर्ग ~—जिन्हें G पर H की समूह क्रिया (गणित) की कक्षाएँ भी कहा जाता है—जी में H के दाएँ 'सह समुच्चय ' हैं। a और b को परस्पर बदलने से बाएँ कोसेट प्राप्त होते हैं।

संबंधित सोच रोसेन (2008: अध्याय 10) में पाई जा सकती है।

श्रेणियां और समूह

मान लीजिए कि G एक समुच्चय है और मान लीजिए कि G के ऊपर एक तुल्यता संबंध है। तब हम इस तुल्यता संबंध को निरूपित करने वाला एक वर्गमूल इस प्रकार बना सकते हैं। वस्तुएँ G के तत्व हैं, और G के किन्हीं दो तत्वों x और y के लिए, x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद मौजूद है यदि और केवल यदि $x\sim y.$ एक समूह के विशेष मामले के रूप में एक तुल्यता संबंध के बारे में लाभ में शामिल हैं:

• जबकि मुक्त तुल्यता संबंध की धारणा मौजूद नहीं है, एक निर्देशित ग्राफ पर एक मुक्त वस्तु की धारणा है। इस प्रकार एक तुल्यता संबंध की प्रस्तुति के बारे में बात करना सार्थक है, अर्थात, संबंधित समूह की प्रस्तुति;
• समूहों के समूह, समूह क्रिया (गणित), सेट, और तुल्यता संबंधों को ग्रुपॉइड की धारणा के विशेष मामलों के रूप में माना जा सकता है, एक ऐसा दृष्टिकोण जो कई उपमाओं का सुझाव देता है;
• कई संदर्भों में भागफल, और इसलिए उपयुक्त तुल्यता संबंध जिन्हें अक्सर सर्वांगसमता संबंध कहा जाता है, महत्वपूर्ण हैं। यह एक श्रेणी (गणित) में एक आंतरिक समूह की धारणा की ओर जाता है।

जाली

किसी भी समुच्चय X पर तुल्यता संबंध, जब समुच्चय समावेशन द्वारा आदेशित किया जाता है, एक पूर्ण जालक बनाता है, जिसे परिपाटी द्वारा 'Con' X कहा जाता है। कैननिकल मैप (गणित) 'केर': एक्स^एक्स → 'कॉन' एक्स, एक्स और 'कॉन' एक्स पर सभी फंक्शन (गणित) के मोनोइड एक्स^एक्स से संबंधित है। 'केर' विशेषण है लेकिन इंजेक्शन नहीं है। औपचारिक रूप से कम, X पर तुल्यता संबंध 'ker', प्रत्येक फलन f: X→X को उसके कर्नेल (बीजगणित) 'ker' f पर ले जाता है। इसी तरह, 'ker(ker)' X^X पर एक तुल्यता संबंध है।

तुल्यता संबंध और गणितीय तर्क

तुल्यता संबंध उदाहरणों या प्रति-उदाहरणों का एक तैयार स्रोत है। उदाहरण के लिए, ठीक दो अनंत तुल्यता वर्गों के साथ एक तुल्यता संबंध एक सिद्धांत का एक आसान उदाहरण है जो -मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय है, लेकिन किसी भी बड़ी कार्डिनल संख्या के लिए श्रेणीबद्ध नहीं है।

मॉडल सिद्धांत का एक निहितार्थ यह है कि एक संबंध को परिभाषित करने वाले गुण एक दूसरे से स्वतंत्र साबित हो सकते हैं (और इसलिए परिभाषा के आवश्यक भाग) यदि और केवल तभी, प्रत्येक संपत्ति के लिए, ऐसे संबंधों के उदाहरण पाए जा सकते हैं जो संतुष्ट करते हुए दी गई संपत्ति को संतुष्ट नहीं करते हैं अन्य सभी गुण। इसलिए तुल्यता संबंधों के तीन परिभाषित गुणों को निम्नलिखित तीन उदाहरणों द्वारा परस्पर स्वतंत्र साबित किया जा सकता है:

• रिफ्लेक्सिव और सकर्मक: संबंध 'एन' पर। या कोई पूर्व-आदेश;
• सममित और सकर्मक: 'N' पर संबंध R, जिसे aRb ab ≠ 0 के रूप में परिभाषित किया गया है। या कोई आंशिक तुल्यता संबंध;
• परावर्तक और सममित: 'Z' पर संबंध R, जिसे aRb a - b के रूप में परिभाषित किया गया है, 2 या 3 में से कम से कम एक या किसी निर्भरता संबंध से विभाज्य है।

प्रथम-क्रम तर्क में निश्चित गुण जो एक तुल्यता संबंध में शामिल हो सकते हैं या नहीं भी शामिल हो सकते हैं:

• तुल्यता वर्गों की संख्या परिमित या अनंत है;
• तुल्यता वर्गों की संख्या (परिमित) प्राकृतिक संख्या n के बराबर होती है;
• सभी तुल्यता वर्गों में अनंत कार्डिनैलिटी होती है;
• प्रत्येक तुल्यता वर्ग में तत्वों की संख्या प्राकृत संख्या n है।

यह भी देखें

• Conjugacy class
• Equipollence (geometry)
• Hyperfinite equivalence relation
• Quotient by an equivalence relation
• Topological conjugacy
• Up to

संदर्भ

• Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
• Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422–433.
• Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

• बेल नंबर
• परावर्तक संबंध
• अंक शास्त्र
• अगर और केवल अगर
• एक सेट का विभाजन
• समारोह (गणित)
• सामान्य अवयव
• खाली सच
• खाली रिश्ता
• बीजगणतीय अभिव्यक्ति
• अलगाव संबंध
• बहिष्कृत मध्य का कानून
• प्रोजेक्शन (सेट थ्योरी)
• द्विभाजन
• संघ (सेट सिद्धांत)
• जोड़ीदार असंबद्ध
• ग्रुपॉयड
• जाली (आदेश)
• आदेश संबंध
• अंतिम
• सबसे कम
• आंशिक रूप से आदेशित सेट
• कक्षा (समूह सिद्धांत)
• समूह कार्रवाई (गणित)
• एक सेट के विभाजन
• मिलो (गणित)
• उलटा काम करना
• आपत्तियां
• शामिल हों (गणित)
• समावेशन सेट करें
• नक्शा (गणित)
• पूरी जाली
• बुनियादी संख्या

बाहरी संबंध

• "Equivalence relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Bogomolny, A., "Equivalence Relationship" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
• Equivalence relation at PlanetMath
• OEIS sequence A231428 (Binary matrices representing equivalence relations)