सम्मिश्र विश्लेषण

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Not to be confused with सम्मिश्र सिद्धांत.

सम्मिश्र विश्लेषण, परंपरागत रूप से एक सम्मिश्र चर के कार्यों के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, गणितीय विश्लेषण की शाखा है जो सम्मिश्र संख्याओं के कार्यों की जांच करती है। यह गणित की कई शाखाओं में सहायक है, जिसमें बीजगणितीय ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, विश्लेषणात्मक संयोजक, व्यावहारिक गणित सम्मिलित हैं; साथ ही भौतिकी में, हाइड्रोडायनामिक्स, ऊष्मप्रवैगिकी और विशेष रूप से प्रमात्रा यान्त्रिकी की शाखाएं सम्मिलित हैं। विस्तार से, सम्मिश्र विश्लेषण के उपयोग में परमाणु, अंतरिक्ष इंजीनियरिंग, यान्त्रिक और विद्युत अभियान्त्रिकी जैसे इंजीनियरिंग क्षेत्रों में भी अनुप्रयोग हैं।

सम्मिश्र चर के एक भिन्न कार्य के रूप में इसकी टेलर श्रृंखला के बराबर है (अर्थात, यह विश्लेषणात्मक है), सम्मिश्र विश्लेषण विशेष रूप से एक सम्मिश्र चर (यानी, होलोमोर्फिक कार्यों ) के विश्लेषणात्मक कार्यों से संबंधित है।

इतिहास

मैंडेलब्रॉट समुच्चय, एक भग्न

सम्मिश्र विश्लेषण गणित की शास्त्रीय शाखाओं में से एक है, जिसकी जड़ें 18वीं शताब्दी में और उससे ठीक पहले हैं। सम्मिश्र संख्याओं से जुड़े महत्वपूर्ण गणितज्ञों में यूलर, गॉस, रीमैन, कॉची, वीयरस्ट्रास और 20वीं शताब्दी के कई अन्य सम्मिलित हैं। सम्मिश्र विश्लेषण, विशेष रूप से अनुरूप मैपिंग के सिद्धांत में, कई भौतिक अनुप्रयोग हैं और पूरे विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में भी इसका उपयोग किया जाता है। आधुनिक समय में, यह सम्मिश्र गतिशीलता नए प्रोत्साहन के माध्यम से और होलोमार्फिक फलन को पुनरावृत्त करके उत्पादित फ्रैक्टल की चित्रों के माध्यम से बहुत लोकप्रिय हो गया है। सम्मिश्र विश्लेषण का एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग स्ट्रिंग सिद्धांत में है जो प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त में अनुरूप निश्चर का निरीक्षण करता है।

सम्मिश्र कार्य

एक घातांक समारोह Aⁿ असतत (पूर्णांक) चर का n, ज्यामितीय प्रगति के समान

सम्मिश्र कार्य सम्मिश्र संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं का एक कार्य है। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा फलन है जिसमें डोमेन के रूप में सम्मिश्र संख्याओं का उपसमुच्चय होता है और सम्मिश्र संख्याएँ कोडोमेन के रूप में होती हैं। सम्मिश्र कार्यों को आम तौर पर एक डोमेन माना जाता है जिसमें समष्टि समतल का एक गैर-खाली खुला समुच्चय होता है।

किसी भी सम्मिश्र कार्य के लिए, मान $z$ डोमेन और उनकी छवियों से $f(z)$ श्रेणी में वास्तविक संख्या और काल्पनिक संख्या भागों में अलग किया जा सकता है:

$z=x+iy\quad {\text{ and }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),$

कहाँ पे $x,y,u(x,y),v(x,y)$ सभी वास्तविक मूल्यवान हैं।

दूसरे शब्दों में, एक सम्मिश्र कार्य $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ में विघटित किया जा सकता है

$u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad$ तथा $\quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,$

यानी, दो वास्तविक-मूल्यवान कार्यों में ($u$, $v$) दो वास्तविक चरों का ($x$, $y$).

इसी प्रकार, कोई सम्मिश्र-मूल्यवान फलन f एक मनमाना समुच्चय (गणित) पर X दो वास्तविक-मूल्यवान कार्यों की एक आदेशित जोड़ी के रूप में माना जा सकता है: (Re f, Im f) या, वैकल्पिक रूप से, वेक्टर-मूल्यवान फलन के रूप में X में $\mathbb {R} ^{2}.$सम्मिश्र-मूल्यवान कार्यों के कुछ गुण (जैसे निरंतर कार्य) दो वास्तविक चर के वेक्टर मूल्यवान कार्यों के संबंधित गुणों से ज्यादा कुछ नहीं हैं। सम्मिश्र विश्लेषण की अन्य अवधारणाएँ, जैसे विभेदीकरण, वास्तविक कार्यों के लिए समान अवधारणाओं का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण हैं, लेकिन बहुत भिन्न गुण हो सकते हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक होलोमॉर्फिक फलन विश्लेषणात्मक फलन होता है (अगला अनुभाग देखें), और दो अलग-अलग फलन जो एक बिंदु के नेबरहुड (गणित) में बराबर होते हैं, उनके डोमेन के प्रतिच्छेदन पर बराबर होते हैं (यदि डोमेन जुड़े स्थान हैं)। परवर्ती गुण विश्लेषणात्मक निरंतरता के सिद्धांत का आधार है जो एक सम्मिश्र विश्लेषणात्मक फलन प्राप्त करने के लिए प्रत्येक वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन को एक तरीके से विस्तारित करने की अनुमति देता है जिसका डोमेन संपूर्ण सम्मिश्र समतल है जिसमें चाप (ज्यामिति) की सीमित संख्या को हटा दिया गया है। कई बुनियादी और विशेष कार्य सम्मिश्र कार्यों को इस तरह से परिभाषित किया गया है, जिसमें घातीय कार्य सम्मिश्र समतल, सम्मिश्र लघुगणक, और त्रिकोणमितीय कार्य सम्मिश्र समतल सम्मिलित हैं।

होलोमोर्फिक फलन

Main article: होलोमॉर्फिक फलन

सम्मिश्र कार्य जो एक खुले समुच्चय के हर बिंदु पर अलग-अलग होते हैं $\Omega$ कहा जाता है कि सम्मिश्र तल पर होलोमोर्फिक होता है $\Omega$. सम्मिश्र विश्लेषण के संदर्भ में, के व्युत्पन्न $f$ पर $z_{0}$ होना परिभाषित किया गया है

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.$

सतही तौर पर, यह परिभाषा औपचारिक रूप से एक वास्तविक कार्य के व्युत्पन्न के अनुरूप है। हालांकि, सम्मिश्र डेरिवेटिव और अलग-अलग कार्य उनके वास्तविक समकक्षों की तुलना में काफी भिन्न तरीके से व्यवहार करते हैं। विशेष रूप से, इस सीमा के अस्तित्व के लिए, अंतर भागफल का मान समान सम्मिश्र संख्या तक पहुंचना चाहिए, चाहे हम जिस तरीके से दृष्टिकोण करें $z_{0}$ सम्मिश्र समतल में। नतीजतन, सम्मिश्र भिन्नता का वास्तविक भिन्नता की तुलना में अधिक मजबूत प्रभाव पड़ता है। उदाहरण के लिए, होलोमोर्फिक फलन असीम रूप से भिन्न होते हैं, जबकि n वें व्युत्पन्न के अस्तित्व को वास्तविक कार्यों के लिए (n + 1) वें व्युत्पन्न के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है। इसके अलावा, सभी होलोमॉर्फिक फलन विश्लेषणात्मक फलन की मजबूत स्थिति को संतुष्ट करते हैं, जिसका अर्थ है कि फलन, अपने डोमेन में हर बिंदु पर, स्थानीय रूप से अभिसरण शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जाता है। संक्षेप में, इसका मतलब है कि होलोमोर्फिक कार्य करता है $\Omega$ प्रत्येक बिंदु के कुछ पड़ोस में बहुपदों द्वारा मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है $\Omega$. यह अलग-अलग वास्तविक कार्यों के ठीक विपरीत है; असीम रूप से अलग-अलग वास्तविक कार्य हैं जो कहीं भी विश्लेषणात्मक नहीं हैं; देखना गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू फलन § एक सहज फलन जो कहीं भी वास्तविक विश्लेषणात्मक नहीं है।

चरघातांकी फलन, त्रिकोणमितीय फलन, और सभी बहुपद फलन सहित अधिकांश प्रारंभिक फलन, फलन के रूप में सम्मिश्र तर्कों के लिए उचित रूप से विस्तृत किए गए हैं $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$, समूचे सम्मिश्र तल पर होलोमॉर्फिक हैं, जिससे वे संपूर्ण कार्य करते हैं, जबकि तर्कसंगत कार्य $p/q$, जहां p और q बहुपद हैं, उन डोमेन पर होलोमॉर्फिक हैं जो उन बिंदुओं को बाहर करते हैं जहां q शून्य है। ऐसे कार्य जो अलग-अलग बिंदुओं के एक समुच्चय को छोड़कर हर जगह होलोमोर्फिक होते हैं, मेरोमोर्फिक फलन के रूप में जाने जाते हैं। दूसरी ओर, कार्य $z\mapsto \Re (z)$, {\displaystyle z\mapsto \Re (z)}

$z\mapsto \Re (z)$, $z\mapsto |z|$,

$z\mapsto |z|$, और $z\mapsto {\bar {z}}$

$z\mapsto {\bar {z}}$ सम्मिश्र तल पर कहीं भी होलोमोर्फिक नहीं हैं, जैसा कि कॉची-रीमैन अवस्था को पूरा करने में उनकी विफलता से दिखाया जा सकता है (नीचे देखें)।िक कार्यों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति उनके वास्तविक और काल्पनिक घटकों के आंशिक डेरिवेटिव के बीच का संबंध है, जिसे कॉची-रीमैन अवस्था के रूप में जाना जाता है। यदि $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$, द्वारा परिभाषित $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, कहाँ पे $x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R}$, एक क्षेत्र (गणित) पर होलोमोर्फिक है $\Omega$, फिर सभी के लिए $z_{0}\in \Omega$,

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{where }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).$

फलन, u और v के वास्तविक और काल्पनिक भागों के संदर्भ में, यह समीकरणों के युग्म के तुल्य है $u_{x}=v_{y}$ तथा $u_{y}=-v_{x}$, जहां सबस्क्रिप्ट आंशिक विभेदन का संकेत देते हैं। हालांकि, कॉची-रीमैन स्थितियां अतिरिक्त निरंतरता स्थितियों के बिना, होलोमोर्फिक कार्यों को चिह्नित नहीं करती हैं (लूमन-मेन्चॉफ प्रमेय देखें)।

होलोमॉर्फिक फ़ंक्शंस कुछ उल्लेखनीय विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, पिकार्ड प्रमेय | पिकार्ड का प्रमेय दावा करता है कि एक संपूर्ण फलन की सीमा केवल तीन संभावित रूप ले सकती है: $\mathbb {C}$, $\mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}$, या $\{z_{0}\}$ कुछ के लिए $z_{0}\in \mathbb {C}$. दूसरे शब्दों में, यदि दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ $z$ तथा $w$ एक संपूर्ण फलन की सीमा में नहीं हैं $f$, फिर $f$ एक निरंतर कार्य है। इसके अलावा, एक जुड़े हुए खुले समुच्चय पर एक होलोमोर्फिक फलन किसी भी गैर-खाली खुले सबसमुच्चय के प्रतिबंध से निर्धारित होता है।

अनुरूप मानचित्र

Main article: अनुरूप मानचित्रण

अनुरूप मानचित्रण स्थानीय रूप से उलटा सम्मिश्र विश्लेषणात्मक है अभिविन्यास संरक्षण के लिए दो आयामों में कार्य करता है।

अनुरूप मानचित्रण का अनुप्रयोग

• अंतरिक्ष इंजीनियरिंग में
• बायोमेडिकल विज्ञान में
• ब्रेन मैपिंग में
• जेनेटिक मैपिंग
• जियोडेसिक्स
• ज्यामिति में
• भूभौतिकी में
• गूगल में
• सहित्य में
• इंजीनियरिंग में
• इलेक्ट्रॉनिक्स में
• प्रोटीन संश्लेषण में
• भूगोल में,
• मानचित्रकला में।

प्रमुख परिणाम

परिमाण।

सम्मिश्र विश्लेषण में केंद्रीय उपकरणों में से एक लाइन समाकलन है। कौशी समाकल प्रमेय द्वारा कहा गया है कि बंद पथ से घिरे क्षेत्र के अंदर हर जगह होलोमोर्फिक फलन के एक बंद पथ के चारों ओर अभिन्न रेखा हमेशा शून्य होती है। डिस्क के अंदर इस तरह के होलोमोर्फिक फलन के मूल्यों की गणना डिस्क की सीमा पर पथ अभिन्न द्वारा की जा सकती है (जैसा कि कॉची के अभिन्न सूत्र में दिखाया गया है)। सम्मिश्र समतल में पथ इंटीग्रल का उपयोग अक्सर सम्मिश्र वास्तविक इंटीग्रल को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, और यहां दूसरों के बीच अवशेषों का सिद्धांत लागू होता है (समोच्च एकीकरण के तरीके देखें)। किसी फलन का "ध्रुव" (या पृथक विलक्षणता ) एक बिंदु है जहां फलन का मान असीमित हो जाता है, या "उड़ा" जाता है। यदि किसी फलन में ऐसा ध्रुव है, तो कोई फलन के अवशेष की गणना कर सकता है, जिसका उपयोग फलन से जुड़े पथ इंटीग्रल की गणना करने के लिए किया जा सकता है; यह शक्तिशाली अवशेष प्रमेय की सामग्री है। पिकार्ड के प्रमेय द्वारा आवश्यक विलक्षणताओं के पास होलोमोर्फिक कार्यों के उल्लेखनीय व्यवहार का वर्णन किया गया है। ऐसे कार्य जिनमें केवल ध्रुव होते हैं लेकिन कोई आवश्यक विलक्षणता नहीं होती है, मेरोमोर्फिक कहलाते हैं। लॉरेंट श्रृंखला टेलर श्रृंखला के समतुल्य सम्मिश्र-मूल्यवान हैं, लेकिन बहुपद जैसे अधिक अच्छी तरह से समझे गए कार्यों के अनंत योगों के माध्यम से विलक्षणताओं के निकट कार्यों के व्यवहार का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।।

परिबद्ध फलन जो पूरे सम्मिश्र तल में होलोमोर्फिक है, स्थिर होना चाहिए; यह लिउविल का प्रमेय है (सम्मिश्र विश्लेषण)|लिउविल का प्रमेय। इसका उपयोग बीजगणित के मौलिक प्रमेय के लिए एक प्राकृतिक और संक्षिप्त प्रमाण प्रदान करने के लिए किया जा सकता है जो बताता है कि सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र (गणित) बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है।

यदि एक कनेक्टेड स्पेस डोमेन में कोई फलन होलोमॉर्फिक है तो इसके मान किसी भी छोटे उपडोमेन पर इसके मानों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किए जाते हैं। बड़े डोमेन पर कार्य को छोटे डोमेन पर इसके मूल्यों से विश्लेषणात्मक निरंतरता कहा जाता है। यह कार्यों की परिभाषा के विस्तार की अनुमति देता है, जैसे कि रीमैन जीटा फलन, जो प्रारंभिक रूप से अनंत योगों के रूप में परिभाषित होते हैं जो केवल सीमित डोमेन पर लगभग पूरे सम्मिश्र समतल में अभिसरण करते हैं। कभी-कभी, जैसा कि प्राकृतिक लघुगणक के मामले में होता है, सम्मिश्र तल में एक गैर-सरल रूप से जुड़े डोमेन के लिए विश्लेषणात्मक रूप से एक होलोमोर्फिक फलन को जारी रखना असंभव है, लेकिन इसे निकट से संबंधित सतह पर एक होलोमोर्फिक फलन तक विस्तारित करना संभव है, जिसे रीमैन सतह के रूप में जाना जाता है।

यह सब एक चर में सम्मिश्र विश्लेषण को संदर्भित करता है। कई सम्मिश्र चरों के कार्य का एक बहुत समृद्ध सिद्धांत भी है जिसमें विश्लेषणात्मक गुण जैसे कि शक्ति श्रृंखला विस्तार जारी रहता है जबकि एक सम्मिश्र आयाम (जैसे अनुरूपता) में होलोमोर्फिक कार्यों के अधिकांश ज्यामितीय गुण आगे नहीं बढ़ते हैं। सम्मिश्र समतल में कुछ डोमेन के अनुरूप संबंध के बारे में रीमैन मैपिंग प्रमेय, जो एक आयामी सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण परिणाम हो सकता है, उच्च आयामों में नाटकीय रूप से विफल हो जाता है।

कुछ सम्मिश्र हिल्बर्ट रिक्त स्थान का एक प्रमुख अनुप्रयोग प्रमात्रा यान्त्रिकी में तरंग कार्यों के रूप में है।

यह भी देखें

• हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण
• वेक्टर कलन
• सम्मिश्र गतिकी
• सम्मिश्र विश्लेषण विषयों की सूची
• प्रमेय मोनोड्रोम
• सच्चा विश्लेषण
• रीमैन-रोच प्रमेय
• रंज की प्रमेय

संदर्भ

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