एक बहुपद की घात: Difference between revisions

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गणित में, एक बहुपद की घात, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल(अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम घात होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले चर (गणित) के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है। एक बहुपद के लिए, बहुपद की घात केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।^[1]^[2] शब्द क्रम का प्रयोग घात के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में(बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)

उदाहरण के लिए, बहुपद $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ जो भी लिखा जा सकता है $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है(घातांक 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की घात 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम घात है।

एक बहुपद की घात निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$ , कोई भी इसे उत्पादों (वितरण द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ की घात 1 है, चूंकि प्रत्येक शिखर की घात 2 है। चूंकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की घात कारकों की घात का योग है।

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

बहुपदों को उनकी घात के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:^[3]^[4]^[5]^[2]

विशेष स्थिति - शून्य बहुपद(नीचे शून्य बहुपद की घात देखें)
घात 0 - गैर-शून्य निरंतर ^[6]
घात 1 - रैखिक
घात 2 - द्विघात
घात 3 - घन
घात 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी घात, द्विद्विघात है)
घात 5 - क्विंटिक
घात 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
घात 7 - सेप्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)

उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,^[7] लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किया जाता है:

घात 8 - ओक्टिक
घात 9 - नॉनिक
घात 10 - डेसिक

तीन से ऊपर की घात के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, एरिटी, जो लैटिन में वितरण संख्या पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक घात दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद $x^{2}+xy+y^{2}$ , को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात घात दो के कारण होता है।^{[lower-alpha 1]} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, द्विपद और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार $x^{2}+y^{2}$ एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।

उदाहरण

बहुपद $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही घात के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$ , उच्चतम घातांक 3 के साथ।

बहुपद $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$ , सर्वोच्च घातांक 5 के साथ।

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

योग की घात, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की घात से दृढ़ता से संबंधित है।^[8]

जोड़

दो बहुपदों के योग (या अंतर) की घात उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,

\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

तथा

\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

.

उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।

बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।

गुणन

एक गैर शून्य अदिश (गणित) द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की घात बहुपद की घात के बराबर है;अर्थात्,

\deg(cP)=\deg(P)

उदाहरण के लिए, की घात $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ 2 है, जो की घात के बराबर है $x^{2}+3x-2$ .

इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी घात दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की घात एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी घात का योग होता है:

\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)

.

उदाहरण के लिए, की घात $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ 5 = 3 + 2 है।

बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, वलय में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ पूर्णांक मॉडुलो 4, एक है कि $\deg(2x)=\deg(1+2x)=1$ , लेकिन $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$ , जो कारकों की घात के योग के बराबर नहीं है।

रचना

दो गैर निरंतर बहुपदों $P$ और $Q$ एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की घात उनकी घात का उत्पाद है:

\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)

.

उदाहरण के लिए:

यदि $P=(x^{3}+x)$ , $Q=(x^{2}+1)$ , फिर $P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2$ , जिसकी घात 6 है।

यह जरूरी नहीं है कि बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर यह सही नहीं है। उदाहरण के लिए, में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ , $\deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1$ , लेकिन $\deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ .

शून्य बहुपद की घात

शून्य बहुपद की घात या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या $-\infty$ )^[9]

किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई घात भी नहीं है। जैसे, इसकी घात आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।^[10]

तथापि, यह शून्य बहुपद की घात को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, $-\infty ,$ और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।^[11]

\max(a,-\infty )=a,

तथा

a+(-\infty )=-\infty .

इन उदाहरणों से स्पष्ट किया गया है कि यह विस्तार उपर्युक्त व्यवहार नियमों को कैसे संतुष्ट करता है:

योग की घात $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $3\leq \max(3,-\infty )$ .
अंतर की घात $(x)-(x)=0$ है $-\infty$ . यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $-\infty \leq \max(1,1)$ .
उत्पाद की घात $(0)(x^{2}+1)=0$ है $-\infty$ . यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है $-\infty =-\infty +2$ .

फलन मान से गणना

कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की घात का मूल्यांकन करेगा। जो की स्पर्शोन्मुख विश्लेषण पर आधारित है

\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}

;

यह लॉग-लॉग प्लॉट के ढलान के अनुमान की विधि का सटीक प्रतिरूप है।

यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में घात की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए:

गुणात्मक प्रतिलोम की घात, $\ 1/x$ , -1 है।
वर्गमूल की घात, ${\sqrt {x}}$ , 1/2 है।
लघुगणक की घात, $\ \log x$ , 0 है।
घातीय फलन की घात, $\exp x$ , है $\infty .$

सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की घात ${\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}$ है $-1/2$ .

f के उसके मूल्यों से घात की गणना करने के लिए एक और सूत्र है।

\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}

;

यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि घात D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है $dx^{d-1}$ का $x^{d}$ .

एक फलन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक घात से) विवरण बिग ओ नोटेशन का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है $x$ तथा $x\log x$ , जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही घात होने के रूप में बाहर आ जाएगा।

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की घात इस पद में चर के घातांकों का योग है; घात जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल घात कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम घात होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद x²y² + 3x³ + 4y घात 4, शब्द के रूप में एक ही घात है x²y² .

चूंकि, चर में एक बहुपद x और y, x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद $x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})$ की घात 3 में एक्स और घात 2 में y है।

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

एक वलय (गणित) R, बहुपद वलय R[x], x में सभी बहुपदों का सेट है जो कि आर में गुणांक है विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र बहुपद वलय है, R[x] एक प्रमुख आदर्श डोमेन है और अधिक महत्वपूर्ण बात यहाँ यूक्लिडियन डोमेन हमारी चर्चा के लिए है।

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की घात यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की घात f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों घात से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:

\deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))

एक उदाहरण के लिए कि क्यों घात फलन एक वलय पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का वलय मॉड्यूलर अंकगणित 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, मान लीजिए f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x² + 4x + 1 = 1. इस प्रकार deg(f⋅g) = 0 जो f और g की घात से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की घात 1 थी)।

चूंकि मानक फलन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की घात को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।

यह भी देखें

हाबिल-रफिनी प्रमेय
बीजगणित की मौलिक प्रमेय

↑ Weisstein, Eric W. "Polynomial Degree". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-31.
↑ ^2.0 ^2.1 "Degree (of an Expression)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-31.
↑ "Names of Polynomials". November 25, 1997. Retrieved 5 February 2012.
↑ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
↑ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
↑ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)
↑ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)
↑ Lang, Serge (2005). Algebra (3rd ed.). Springer. p. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.
↑ Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)
Childs (1995) uses −1. (p. 233)
Childs (2009) uses −∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that $-\infty$ + m = $-\infty$ for m any integer or m = $-\infty$ ".
Axler (1997) uses −∞. (p. 64)
Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ $\mathbb {Z}$ or as $-\infty$ , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)
↑ Barile, Margherita. "Zero Polynomial". MathWorld.
↑ Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree $-\infty$ so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

संदर्भ

Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

बाहरी संबंध

Polynomial Order; Wolfram MathWorld

[8] For simplicity, this is a homogeneous polynomial, with equal degree in both variables separately.

[1] Weisstein, Eric W. "Polynomial Degree". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-31.

[:0-2] 2.0 ^2.1 "Degree (of an Expression)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-31.

[3] "Names of Polynomials". November 25, 1997. Retrieved 5 February 2012.

[4] Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)

[5] King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".

[6] Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)

[7] James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

[9] Lang, Serge (2005). Algebra (3rd ed.). Springer. p. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.

[10] Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)
Childs (1995) uses −1. (p. 233)
Childs (2009) uses −∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that $-\infty$ + m = $-\infty$ for m any integer or m = $-\infty$ ".
Axler (1997) uses −∞. (p. 64)
Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ $\mathbb {Z}$ or as $-\infty$ , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)

[11] Barile, Margherita. "Zero Polynomial". MathWorld.

[12] Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree $-\infty$ so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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[lower-alpha 1]

[8]

[9]

[10]

[11]

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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Contents

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

उदाहरण

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

जोड़

गुणन

रचना

शून्य बहुपद की घात

फलन मान से गणना

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

यह भी देखें

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संदर्भ

बाहरी संबंध

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 {{short description|Mathematical concept}}
-गणित में, एक [[ बहुपद |बहुपद]] की डिग्री, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम डिग्री होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले [[ चर (गणित) |चर (गणित)]] के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक [[ पूर्णांक | पूर्णांक]] है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की डिग्री केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Degree|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html|access-date=2020-08-31|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|title=Degree (of an Expression)|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html|access-date=2020-08-31|website=www.mathsisfun.com}}</ref> शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)
+गणित में, एक [[ बहुपद |बहुपद]] की घात, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल(अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम घात होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले [[ चर (गणित) |चर (गणित)]] के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक [[ पूर्णांक | पूर्णांक]] है। एक बहुपद के लिए, बहुपद की  घात केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Degree|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html|access-date=2020-08-31|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|title=Degree (of an Expression)|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html|access-date=2020-08-31|website=www.mathsisfun.com}}</ref> शब्द क्रम का प्रयोग घात के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में(बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)
-उदाहरण के लिए, बहुपद  <math>7x^2y^3 + 4x - 9,</math> जो भी लिखा जा सकता है <math>7x^2y^3 + 4x^1y^0 - 9x^0y^0,</math> तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है ([[ घातांक ]] 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम डिग्री है।
+उदाहरण के लिए, बहुपद  <math>7x^2y^3 + 4x - 9,</math> जो भी लिखा जा सकता है <math>7x^2y^3 + 4x^1y^0 - 9x^0y^0,</math> तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है([[ घातांक ]] 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की  घात 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम घात है।
-एक बहुपद की डिग्री निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि <math>(x+1)^2 - (x-1)^2</math>, कोई इसे उत्पादों के विस्तार ([[ वितरण ]] द्वारा) और समान शब्दों को मिलाकर मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, <math>(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x</math> डिग्री 1 का है, भले ही प्रत्येक सारांश में डिग्री 2 है। हालांकि, इसकी आवश्यकता नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में बहुपदों के उत्पाद के रूप में लिखा जाता है, क्योंकि उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री का योग है।
+एक बहुपद की  घात निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि <math>(x+1)^2 - (x-1)^2</math>, कोई भी इसे उत्पादों ([[ वितरण |वितरण]] द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, <math>(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x</math> की  घात 1 है, चूंकि प्रत्येक शिखर की  घात 2 है। चूंकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की  घात कारकों की  घात का योग है।
-== घात के अनुसार बहुपदों के नाम ==
+== घात के अनुसार बहुपदों के नाम==
-{{wiktionary|Appendix:English polynomial degrees}}
+{{wiktionary|परिशिष्ट: अंग्रेजी बहुपद डिग्री}}
-बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:<ref>{{cite web| url=http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html | title=Names of Polynomials | date=November 25, 1997| access-date=5 February 2012}}</ref><ref>Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)</ref><ref>King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".</ref><ref name=":0" />* विशेष स्थिति - [[ शून्य बहुपद ]] (नीचे #शून्य बहुपद की डिग्री देखें)
+बहुपदों को उनकी  घात के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:<ref>{{cite web| url=http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html | title=Names of Polynomials | date=November 25, 1997| access-date=5 February 2012}}</ref><ref>Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)</ref><ref>King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".</ref><ref name=":0" />
-* डिग्री 0 - गैर-शून्य [[ निरंतर कार्य ]]<ref>Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, <math>f(x)=a_0</math>: "Such a polynomial is called a ''constant'' because if we substitute different values of ''x'' in it, we always obtain the same value <math>a_0</math>." (p. 23)</ref>
+*विशेष स्थिति - [[ शून्य बहुपद |शून्य बहुपद]](नीचे शून्य बहुपद की  घात देखें)
-* डिग्री 1 - रैखिक कार्य
+*घात 0 - गैर-शून्य [[ निरंतर कार्य | निरंतर]] <ref>Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, <math>f(x)=a_0</math>: "Such a polynomial is called a ''constant'' because if we substitute different values of ''x'' in it, we always obtain the same value <math>a_0</math>." (p. 23)</ref>
-* डिग्री 2 - [[ द्विघात बहुपद ]]
+*घात 1 -  रैखिक
-* डिग्री 3 - [[ घन समारोह ]]
+*घात 2 - [[ द्विघात बहुपद | द्विघात]]
-* डिग्री 4 - चतुर्थक फलन (या, यदि सभी पदों में सम अंश, [[ द्विघात फलन ]] है)
+*घात 3 - [[ घन समारोह | घन]]
-* डिग्री 5 - [[ क्विंटिक समीकरण ]]
+*घात 4 - क्वार्टिक (या, यदि सभी शर्तों में भी  घात,[[ द्विघात फलन | द्विद्विघात]] है)
-* डिग्री 6 - सेक्स्टिक समीकरण (या, कम सामान्यतः, हेक्सिक)
+*घात 5 - [[ क्विंटिक समीकरण | क्विंटिक]]
-* डिग्री 7 - [[ सेप्टिक समीकरण ]] (या, कम सामान्यतः, हेप्टिक)
+*घात 6 - सेक्स्टिक (या, सामान्य रूप से कम, हेसिक)
-उच्च डिग्री के लिए, कभी-कभी नाम प्रस्तावित किए गए हैं,<ref>[[James Cockle]] proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. ([https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false ''Mechanics Magazine'', Vol. LV, p. 171])</ref> लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किए जाते हैं:
+*घात 7 - [[ सेप्टिक समीकरण | सेप्टिक]] (या, सामान्य रूप से कम, हेप्टिक)
-* डिग्री 8 - ऑक्टिक
+उच्चतर पद के लिए, कभी-कभी प्रस्ताव रखा जाता है,<ref>[[James Cockle]] proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. ([https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false ''Mechanics Magazine'', Vol. LV, p. 171])</ref> लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किया जाता है:
-* डिग्री 9 - नॉनिक
+*घात 8 - ओक्टिक
-* डिग्री 10 - decic
+*घात 9 - नॉनिक
+*घात 10 - डेसिक
-तीन से ऊपर की डिग्री के लिए नाम लैटिन क्रमिक अंकों पर आधारित होते हैं, और अंत में -ic होते हैं। इसे चरों की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग किया जाना चाहिए, [[ एरिटी ]], जो लैटिन [[ वितरण संख्या ]]ओं पर आधारित हैं, और अंत में -री। उदाहरण के लिए, दो चरों में एक घात दो बहुपद, जैसे <math>x^2 + xy + y^2</math>, को द्विघात द्विघात कहते हैं: दो चरों के कारण द्विघात, द्वितीय अंश के कारण द्विघात।{{efn|For simplicity, this is a [[homogeneous polynomial]], with equal degree in both variables separately.}} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो लैटिन वितरण संख्याओं पर भी आधारित हैं, जो -नॉमियल में समाप्त होते हैं; आम हैं एकपदी, [[ द्विपद (बहुपद) ]], और (कम सामान्यतः) त्रिपद; इस प्रकार <math>x^2 + y^2</math> एक द्विघात द्विपद द्विपद है।
+तीन से ऊपर की  घात के लिए नाम लैटिन क्रम संख्या पर आधारित होते हैं, और अंत-आईसी (ic) में होते हैं। यह चर की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग होना चाहिए, [[ एरिटी |एरिटी]], जो लैटिन में [[ वितरण संख्या |वितरण संख्या]] पर आधारित है, और -ary में समाप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक  घात दो बहुपद जैसे दो चर में दो बहुपद <math>x^2 + xy + y^2</math>, को "द्विआधारी द्विघात" कहा जाता है: द्विआधारी कारण दो चर, द्विघात घात दो के कारण होता है।{{efn|For simplicity, this is a [[homogeneous polynomial]], with equal degree in both variables separately.}} शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो भी लैटिन वितरक संख्याओं पर आधारित हैं, जो कि -नॉमियल में समाप्त होता है; आम एकपद, [[ द्विपद (बहुपद) |द्विपद]] और (कम सामान्यतः) त्रिपद होते हैं; इस प्रकार <math>x^2 + y^2</math> एक "द्विआधारी द्विपद" होता है।
-== उदाहरण ==
+==उदाहरण==
-बहुपद <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> एक घन बहुपद है: एक ही डिग्री के पदों को गुणा करने और एकत्रित करने के बाद, यह बन जाता है <math>- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378</math>, उच्चतम घातांक के साथ 3.
+बहुपद <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> एक घन बहुपद हैः बाहर गुणा और एक ही  घात के शब्दों का संग्रह के बाद, यह हो जाता है <math>- 8 y^3 - 42 y^2 + 72 y + 378</math>, उच्चतम घातांक 3 के साथ।
-बहुपद <math>(3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)</math> एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर <math>z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6</math>, उच्चतम घातांक 5 के साथ।
+बहुपद <math>(3 z^8 + z^5 - 4 z^2 + 6) + (-3 z^8 + 8 z^4 + 2 z^3 + 14 z)</math> एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर <math>z^5 + 8 z^4 + 2 z^3 - 4 z^2 + 14 z + 6</math>, सर्वोच्च घातांक 5 के साथ।
-==बहुपद संचालन के तहत व्यवहार ==
+==बहुपद संचालन के तहत व्यवहार==
-योग की डिग्री, उत्पाद या दो बहुपदों की संरचना इनपुट बहुपद की डिग्री से दृढ़ता से संबंधित है।<ref>{{cite book|last1=Lang|first1=Serge|title=Algebra|date=2005|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|pages=100|edition=3rd|ref=lang}}</ref>
+योग की  घात, उत्पाद या दो बहुपदों का संयोजन निवेश बहुपदों की  घात से दृढ़ता से संबंधित है।<ref>{{cite book|last1=Lang|first1=Serge|title=Algebra|date=2005|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|pages=100|edition=3rd|ref=lang}}</ref>
+===जोड़===
+दो बहुपदों के योग (या अंतर) की  घात उनकी उपाधियों से कम या बराबर है;अर्थात्,
-=== जोड़ ===
-दो बहुपदों के योग (या अंतर) की डिग्री उनकी डिग्री से कम या उसके बराबर होती है; वह है,
 :<math>\deg(P + Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math> तथा <math>\deg(P - Q) \leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}</math>.
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।
-समानता हमेशा बनी रहती है जब बहुपदों की डिग्री भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।
+बहुपदों के स्तरों के अलग-अलग होने पर हमेशा समानता कायम रहती है। उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।
 ===गुणन===
-एक गैर-शून्य [[ अदिश (गणित) ]] द्वारा बहुपद के गुणनफल की घात बहुपद की घात के बराबर होती है; वह है,
+एक गैर शून्य [[ अदिश (गणित) |अदिश (गणित)]] द्वारा एक बहुपद के उत्पाद की  घात बहुपद की  घात के बराबर है;अर्थात्,
-:<math>\deg(cP)=\deg(P)</math>.
+:<math>\deg(cP)=\deg(P)</math>
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> 2 है, जो की डिग्री के बराबर है <math>x^2+3x-2</math>.
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> 2 है, जो की  घात के बराबर है <math>x^2+3x-2</math>.
-इस प्रकार, बहुपदों का समुच्चय (गणित) (दिए गए क्षेत्र F से गुणांकों के साथ) जिसकी डिग्री दी गई संख्या n से छोटी या उसके बराबर होती है, एक सदिश समष्टि बनाता है; अधिक के लिए, उदाहरण_of_vector_spaces#Polynomial_vector_spaces देखें।
+इस प्रकार, बहुपदों का सेट (दिए गए क्षेत्र एफ से गुणांक सहित) जिसकी  घात दी गई संख्या N से छोटा या उसके बराबर है, एक सदिश स्थान बनाता है;अधिक जानकारी के लिए सदिश रिक्त स्थान के उदाहरण देखें.आम तौर पर दो बहुपदों के उत्पाद की  घात एक क्षेत्र या एक अभिन्न डोमेन पर उनकी  घात का योग होता है:
-अधिक सामान्यतः, एक क्षेत्र (गणित) या एक अभिन्न डोमेन पर दो बहुपदों के उत्पाद की डिग्री उनकी डिग्री का योग है:
 :<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)</math>.
-उदाहरण के लिए, की डिग्री <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> 5 = 3 + 2 है।
+उदाहरण के लिए, की  घात <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> 5 = 3 + 2 है।
-एक मनमाना वलय (गणित) पर बहुपद के लिए, उपरोक्त नियम मान्य नहीं हो सकते हैं, क्योंकि रद्दीकरण जो दो गैर-शून्य स्थिरांक को गुणा करते समय हो सकता है। उदाहरण के लिए, रिंग में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math> पूर्णांक मोडुलो n का, एक के पास वह है <math>\deg(2x) = \deg(1+2x) = 1</math>, लेकिन <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>, जो कारकों की डिग्री के योग के बराबर नहीं है।
+बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर, ऊपर के नियम मान्य नहीं हो सकते, क्योंकि रद्दीकरण के कारण जो दो गैर शून्य स्थिरांक के गुणा करने पर हो सकता है। उदाहरण के लिए, वलय में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math> पूर्णांक मॉडुलो 4, एक है कि  <math>\deg(2x) = \deg(1+2x) = 1</math>,  लेकिन <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>, जो कारकों की  घात के योग के बराबर नहीं है।
-=== रचना ===
+===रचना===
-दो गैर-स्थिर बहुपदों की संरचना की डिग्री <math>P</math> तथा <math>Q</math> एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनकी डिग्री का उत्पाद है:
+दो गैर निरंतर बहुपदों <math>P</math> और <math>Q</math> एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनके संयोजन की  घात उनकी  घात का उत्पाद है:
 :<math>\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q)</math>.
 उदाहरण के लिए:
-*यदि <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, फिर <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, जिसकी डिग्री 6 है।
+* यदि <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, फिर <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, जिसकी  घात 6 है।
-ध्यान दें कि एक मनमाना वलय पर बहुपदों के लिए, यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) \deg(1+2x) = 1\cdot 1 = 1</math>, लेकिन <math>\deg(2x\circ(1+2x)) = \deg(2+4x)=\deg(2) = 0</math>.
+यह जरूरी नहीं है कि बहुपदों के लिए एक मनमाने वलय पर यह सही नहीं है। उदाहरण के लिए, में <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) \deg(1+2x) = 1\cdot 1 = 1</math>, लेकिन <math>\deg(2x\circ(1+2x)) = \deg(2+4x)=\deg(2) = 0</math>.
-==शून्य बहुपद की डिग्री ==
+==शून्य बहुपद की  घात==
-शून्य बहुपद की घात को या तो अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है (आमतौर पर -1 या <math>-\infty</math>).<ref>
+शून्य बहुपद की  घात या तो अपरिभाषित छोड़ दिया है, या नकारात्मक होने के लिए परिभाषित किया गया है (आमतौर पर -1 या <math>-\infty</math>)<ref>
 Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)<br />
 Childs (1995) uses −1. (p. 233)<br />
@@ Line 75: / Line 72: @@
 Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ <math>\mathbb{Z}</math> or as <math>-\infty</math>, as long as deg 0 < deg ''A'' for all ''A'' ≠ 0." (''A'' is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)
 </ref>
-किसी भी स्थिर मान की तरह, मान 0 को एक (स्थिर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, जिसे शून्य बहुपद कहा जाता है। इसकी कोई गैर-शून्य शर्तें नहीं हैं, और इसलिए, कड़ाई से बोलते हुए, इसकी कोई डिग्री भी नहीं है। जैसे, इसकी डिग्री आमतौर पर अपरिभाषित होती है। उपरोक्त खंड में बहुपदों के योग और गुणनफल के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होते हैं, यदि इसमें शामिल कोई भी बहुपद शून्य बहुपद है।<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref>
-हालांकि, शून्य बहुपद की डिग्री को ऋणात्मक अनंत के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक है, <math>-\infty,</math> और अंकगणितीय नियमों को पेश करने के लिए<ref>Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref>
+किसी भी निरंतर मूल्य की तरह, मान 0 एक (निरंतर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, शून्य बहुपद कहा जाता है। इसमें कोई शून्येतर शब्द नहीं हैं, और इसलिए पूरी तरह से कहा जा सकता है, इसकी कोई  घात भी नहीं है। जैसे, इसकी  घात आमतौर पर अपरिभाषित है। उपरोक्त खंड में बहुपदों की मात्रा और उत्पादों के स्तर के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होता है अगर इसमें शामिल बहुपदों में से कोई भी शून्य बहुपद है।<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref>
+तथापि, यह शून्य बहुपद की  घात को ऋणात्मक अनंतता परिभाषित करने के लिए सुविधाजनक है, <math>-\infty,</math> और अंकगणित नियमों को लागू करने के लिए।<ref>Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref>
 :<math>\max(a,-\infty) = a,</math>
 तथा
 :<math>a + (-\infty) = -\infty.</math>
-ये उदाहरण बताते हैं कि यह एक्सटेंशन उपरोक्त बहुपद संचालन के तहत #व्यवहार को कैसे संतुष्ट करता है:
+इन उदाहरणों से स्पष्ट किया गया है कि यह विस्तार उपर्युक्त व्यवहार नियमों को कैसे संतुष्ट करता है:
-*योग की डिग्री <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> 3 है। यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>.
+*योग की  घात <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> 3. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है  <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>.
-*अंतर की डिग्री <math>(x)-(x) = 0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि <math>-\infty \le \max(1,1)</math>.
+*अंतर की  घात <math>(x)-(x) = 0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty \le \max(1,1)</math>.
-*उत्पाद की डिग्री <math>(0)(x^2+1)=0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि <math>-\infty = -\infty + 2</math>.
+*उत्पाद की  घात <math>(0)(x^2+1)=0</math> है <math>-\infty</math>. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि है <math>-\infty = -\infty + 2</math>.
-== फ़ंक्शन मानों से परिकलित ==
+==फलन मान से गणना==
-कई सूत्र मौजूद हैं जो बहुपद फलन f की डिग्री का मूल्यांकन करेंगे। [[ स्पर्शोन्मुख विश्लेषण ]] पर आधारित एक है
+कई सूत्र मौजूद हैं जो एक बहुपद फलन f की  घात का मूल्यांकन करेगा। जो की [[ स्पर्शोन्मुख विश्लेषण |स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] पर आधारित है
 :<math>\deg f = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log |f(x)|}{\log x}</math>;
-यह लॉग-लॉग प्लॉट में ढलान के आकलन की विधि का सटीक प्रतिरूप है।
+यह लॉग-लॉग प्लॉट के ढलान के अनुमान की विधि का सटीक प्रतिरूप है।
-यह सूत्र डिग्री की अवधारणा को कुछ ऐसे कार्यों के लिए सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं।
+यह सूत्र कुछ ऐसे कार्यों में  घात की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं उदाहरण के लिए:
-उदाहरण के लिए:
+*[[ गुणात्मक प्रतिलोम | गुणात्मक प्रतिलोम]]  की  घात, <math>\ 1/x</math>, -1 है।
-*[[ गुणात्मक प्रतिलोम ]] की डिग्री, <math>\ 1/x</math>, -1 है।
+*[[ वर्गमूल | वर्गमूल]]  की  घात, <math>\sqrt x </math>, 1/2 है।
-*[[ वर्गमूल ]] की डिग्री, <math>\sqrt x </math>, 1/2 है।
+*लघुगणक की  घात, <math>\ \log x</math>, 0 है।
-* लघुगणक की डिग्री, <math>\ \log x</math>, 0 है।
+*घातीय फलन की  घात, <math>\exp x</math>, है <math>\infty.</math>
-* घातीय फ़ंक्शन की डिग्री, <math>\exp x</math>, है <math>\infty.</math>
+सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, जैसे, की  घात <math>\frac{1 + \sqrt{x}}{x}</math> है <math>-1/2</math>.
-सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, उदाहरण के लिए, डिग्री की डिग्री <math>\frac{1 + \sqrt{x}}{x}</math> है <math>-1/2</math>.
-इसके मूल्यों से f की डिग्री की गणना करने का एक अन्य सूत्र है
+f  के उसके मूल्यों से  घात की गणना करने के लिए एक और सूत्र है।
 :<math>\deg f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}</math>;
-यह दूसरा सूत्र L'Hôpital के नियम को पहले सूत्र पर लागू करने से अनुसरण करता है। हालांकि, सहज रूप से, यह व्युत्पन्न में अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में डिग्री d को प्रदर्शित करने के बारे में अधिक है <math>d x^{d-1}</math> का <math>x^d</math>.
+यह दूसरा सूत्र L'Hopital के नियम को पहले सूत्र में लागू करने के बाद आता है। अंतः बोध से यह अधिक होता है कि  घात D को व्युत्पन्न में एक अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में प्रदर्शित किया जाता है <math>d x^{d-1}</math> का <math>x^d</math>.
-एक फ़ंक्शन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक डिग्री से) विवरण [[ बिग ओ नोटेशन ]] का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, की वृद्धि दर के बीच अंतर करना अक्सर प्रासंगिक होता है <math> x </math> तथा <math> x \log x </math>, जो दोनों उपरोक्त सूत्रों के अनुसार समान डिग्री के रूप में सामने आएंगे।
+एक फलन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक  घात से) विवरण [[ बिग ओ नोटेशन | बिग ओ नोटेशन]] का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, यह विकास दर के बीच अंतर करने के लिए अक्सर प्रासंगिक है  <math> x </math> तथा <math> x \log x </math>, जो दोनों के रूप में ऊपर सूत्र के अनुसार एक ही  घात होने के रूप में बाहर आ जाएगा।
 ==दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार ==
-दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों के लिए, पद की घात पद में चरों के घातांकों का योग होता है; बहुपद की घात (जिसे कभी-कभी 'कुल घात' भी कहा जाता है) बहुपद में सभी पदों की घातों का अधिकतम होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद x<sup>2</sup>और<sup>2</sup> + 3x<sup>3</sup> + 4y में डिग्री 4 है, वही डिग्री x<sup>2</sup>और<sup>2</सुप>.
+दो या दो से अधिक चर में बहुपदों के लिए शब्द की  घात इस पद में चर के घातांकों का योग है;  घात जिसे (कभी-कभी बहुपद की कुल  घात कहा जाता है), बहुपद के सभी पदों की अधिकतम  घात होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद  ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup> + 3''x''<sup>3</sup> + 4''y  घात 4, शब्द के रूप में एक ही  घात है  x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> .''
-हालांकि, चर x और y में एक बहुपद, x में एक बहुपद है जिसमें गुणांक y में बहुपद हैं, और y में एक बहुपद भी गुणांक के साथ है जो x में बहुपद हैं। बहुपद
+चूंकि, चर में एक बहुपद  x और y,  x में बहुपद जो y में बहुपद हैं के साथ एक बहुपद है, और भी गुणक के साथ y में एक बहुपद जो x में बहुपद हैं। बहुपद <math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) =  (x^2)y^2 + (4)y  + (3x^3)</math> की  घात 3 में एक्स और  घात 2 में y है।
-:<math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y = (3)x^3 + (y^2)x^2 + (4y) =  (x^2)y^2 + (4)y  + (3x^3)</math>
+==अमूर्त बीजगणित में  घात फलन==
-डिग्री 3 x में और डिग्री 2 y में है।
+एक वलय (गणित) R, [[ बहुपद वलय |बहुपद वलय]] R[x], x में सभी बहुपदों का सेट है जो कि आर में गुणांक है विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र बहुपद वलय है, R[x] एक [[ प्रमुख आदर्श डोमेन | प्रमुख आदर्श डोमेन]] है और अधिक महत्वपूर्ण बात यहाँ [[ यूक्लिडियन डोमेन |यूक्लिडियन डोमेन]] हमारी चर्चा के लिए है।
-== अमूर्त बीजगणित में डिग्री फ़ंक्शन ==
+यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि एक क्षेत्र के ऊपर एक बहुपद की  घात यूक्लिडियन डोमेन में मानक प्रकार्य की सभी आवश्यकताओं को संतुष्ट करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) उत्पाद की  घात f(x)g(x) व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों  घात से बड़ी होनी चाहिए।वास्तव में कुछ मजबूत धारण:
-एक वलय (गणित) R को देखते हुए, [[ बहुपद वलय ]] R[x] x में सभी बहुपदों का समुच्चय है, जिसके गुणांक R में हैं। विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र (गणित) है, बहुपद वलय R[x] एक [[ प्रमुख आदर्श डोमेन ]] है और, यहां हमारी चर्चा के लिए अधिक महत्वपूर्ण, एक [[ यूक्लिडियन डोमेन ]]।
+:<math>\deg(f(x)g(x)) = \deg(f(x)) + \deg(g(x))</math>
+एक उदाहरण के लिए कि क्यों  घात फलन एक वलय  पर विफल हो सकता है जो एक क्षेत्र नहीं है निम्नलिखित उदाहरण ले। चलो R = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>  पूर्णांकों का वलय [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]] 4, यह वलय एक क्षेत्र नहीं है और अभिन्न डोमेन भी नहीं है क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, मान लीजिए  f(x) = g(x) = 2x + 1, फिर, f(x)g(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 1 = 1. इस प्रकार  deg(f⋅g) = 0 जो f और g की  घात से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की  घात 1 थी)।
-यह दिखाया जा सकता है कि एक क्षेत्र पर बहुपद की डिग्री यूक्लिडियन डोमेन में मानक फ़ंक्शन की सभी आवश्यकताओं को पूरा करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) दिए जाने पर, गुणनफल f(x)g(x) की घात व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों की घातों से बड़ी होनी चाहिए। वास्तव में, कुछ मजबूत धारण करता है:
+चूंकि मानक फलन वलय के शून्य तत्व के लिए परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की  घात को भी अपरिभाषित करने के लिए विचार करते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में मानक के नियमों का पालन करे।
-: <math>\deg(f(x)g(x)) = \deg(f(x)) + \deg(g(x))</math>
-एक उदाहरण के लिए डिग्री फ़ंक्शन एक रिंग पर विफल क्यों हो सकता है जो एक फ़ील्ड नहीं है, निम्न उदाहरण लें। चलो आर = <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>, पूर्णांकों का वलय [[ मॉड्यूलर अंकगणित ]] 4. यह वलय एक क्षेत्र नहीं है (और एक अभिन्न डोमेन भी नहीं है) क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, माना f(x) = g(x) = 2x + 1। फिर, f(x)g(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 1 = 1. इस प्रकार deg(f⋅g) = 0 जो f और g की डिग्री से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की डिग्री 1 थी)।
-चूँकि वलय के शून्य तत्व के लिए मानक फलन परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की घात को भी अपरिभाषित मानते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में एक मानदंड के नियमों का पालन करे।
+==यह भी देखें==
-== यह भी देखें ==
+*हाबिल-रफिनी प्रमेय
+*बीजगणित की मौलिक प्रमेय
-* हाबिल-रफिनी प्रमेय
-* बीजगणित की मौलिक प्रमेय
 ==टिप्पणियाँ==
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 *{{Citation |last=Shafarevich |first=Igor R. |author-link=Igor Shafarevich |year=2003 |title=Discourses on Algebra |publisher=Springer Science & Business Media |url=https://books.google.com/books?id=hpkkJgU8rwcC&q=%22the+degree+of+the+polynomial+is+undefined%22&pg=PA27 }}
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 ==बाहरी संबंध==
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एक बहुपद की घात: Difference between revisions

Latest revision as of 09:06, 15 November 2022

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

उदाहरण

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

जोड़

गुणन

रचना

शून्य बहुपद की घात

फलन मान से गणना

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

अमूर्त बीजगणित में घात फलन

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