क्लेनियन समूह

Not to be confused with Klein four-group, the direct product of two copies of the cyclic group of order 2.

गणित में, क्लेनियन समूह अतिशयोक्तिपूर्ण 3-स्थान के अभिविन्यास-संरक्षण आइसोमेट्री के समूह (गणित) का अलग उपसमूह है H³. बाद वाला, PSL(2,C)| के साथ पहचाना जा सकता हैPSL(2, C), उनके [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] द्वारा निर्धारक 1 के 2 बटा 2 जटिल संख्या मैट्रिक्स (गणित) का भागफल समूह है, जिसमें पहचान मैट्रिक्स और इसके उत्पाद शामिल हैं −1. PSL(2, C) रीमैन क्षेत्र के अभिविन्यास-संरक्षण अनुरूप परिवर्तनों के रूप में और खुली इकाई गेंद के अभिविन्यास-संरक्षण अनुरूप परिवर्तनों के रूप में प्राकृतिक प्रतिनिधित्व है B³ में R³. मोबियस परिवर्तन का समूह|मोबियस परिवर्तन गैर-अभिविन्यास-संरक्षण आइसोमेट्री समूह के रूप में भी संबंधित है H³, PGL(2, C). तो, क्लेनियन समूह को इनमें से किसी स्थान पर अलग उपसमूह समूह कार्रवाई के रूप में माना जा सकता है।

इतिहास

सामान्य क्लेनियन समूहों के सिद्धांत की स्थापना किसके द्वारा की गई थी? Felix Klein (1883) और Henri Poincaré (1883), जिन्होंने उनका नाम फ़ेलिक्स क्लेन के नाम पर रखा। शॉट्की समूहों के विशेष मामले का अध्ययन कुछ साल पहले, 1877 में, शॉट्की द्वारा किया गया था।

परिभाषाएँ

क्लेनियन समूह की आधुनिक परिभाषा ऐसे समूह के रूप में है जो 3-बॉल पर कार्य करता है $B^{3}$ हाइपरबोलिक आइसोमेट्रीज़ के अलग समूह के रूप में। हाइपरबोलिक 3-स्पेस की प्राकृतिक सीमा होती है; बॉल मॉडल में, इसे 2-गोले से पहचाना जा सकता है। हम इसे अनंत पर गोला कहते हैं और इसे इससे निरूपित करते हैं $S_{\infty }^{2}$. हाइपरबोलिक आइसोमेट्री अनंत पर गोले के अनुरूप होमियोमोर्फिज्म तक फैली हुई है (और इसके विपरीत, अनंत पर गोले पर प्रत्येक अनुरूप होमियोमोर्फिज्म पोंकारे विस्तार द्वारा गेंद पर हाइपरबोलिक आइसोमेट्री तक विशिष्ट रूप से विस्तारित होता है। यह जटिल विश्लेषण से मानक परिणाम है जो अनुरूप होमियोमोर्फिज्म पर आधारित है। रीमैन क्षेत्र वास्तव में मोबियस परिवर्तन है | मोबियस परिवर्तन, जिसे आगे प्रक्षेप्य रैखिक समूह पीजीएल (2, सी) के तत्वों के रूप में पहचाना जा सकता है। इस प्रकार, क्लेनियन समूह को पीजीएल (2, सी) के उपसमूह Γ के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है ) शास्त्रीय रूप से, क्लेनियन समूह को रीमैन क्षेत्र के गैर-खाली खुले उपसमूह पर उचित रूप से असंतत रूप से कार्य करने की आवश्यकता थी, लेकिन आधुनिक उपयोग किसी भी अलग उपसमूह की अनुमति देता है।

जब Γ मौलिक समूह के लिए समरूपी है $\pi _{1}$ अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड का, फिर भागफल स्थान (टोपोलॉजी) एच³/Γ मैनिफोल्ड का क्लेनियन मॉडल बन जाता है। कई लेखक क्लेनियन मॉडल और क्लेनियन समूह शब्दों का परस्पर उपयोग करते हैं, जिससे को दूसरे के लिए खड़ा किया जाता है।

विसंगति का तात्पर्य है कि हाइपरबोलिक 3-स्पेस के आंतरिक भाग में बिंदुओं में परिमित स्टेबलाइज़र (समूह सिद्धांत), और समूह Γ के अंतर्गत असतत कक्षा (समूह सिद्धांत) है। दूसरी ओर, बिंदु p की कक्षा Γp आमतौर पर बंद गेंद की सीमा पर संचय बिंदु होगी ${\bar {B}}^{3}$.

अपोलोनियन गैसकेट क्लेनियन समूह के सीमा सेट का उदाहरण है

Γp के संचय बिंदुओं का सेट $S_{\infty }^{2}$ का सीमा सेट कहा जाता है, और आमतौर पर इसे दर्शाया जाता है $\Lambda (\Gamma )$. पूरक $\Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )$ असंततता का क्षेत्र या साधारण समुच्चय या नियमित समुच्चय कहा जाता है। अहलफ़ोर्स की परिमितता प्रमेय का तात्पर्य यह है कि यदि समूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है $\Omega (\Gamma )/\Gamma$ परिमित प्रकार की रीमैन सतह कक्षा है।

यूनिट बॉल बी³ अपनी अनुरूप संरचना के साथ पोंकारे अर्ध-तल मॉडल है | हाइपरबोलिक 3-स्पेस का पोंकारे मॉडल। जब हम इसके बारे में मीट्रिक के साथ, मीट्रिक के साथ सोचते हैं

$ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}$

यह 3-आयामी हाइपरबोलिक स्पेस H का मॉडल है³. बी के अनुरूप स्व-मानचित्रों का सेट³H के सममिति ़ (यानी दूरी-संरक्षण मानचित्र) का सेट बन जाता है³इस पहचान के तहत. ऐसे मानचित्र अनुरूप स्व-मानचित्रों तक सीमित होते हैं $S_{\infty }^{2}$, जो मोबियस परिवर्तन हैं। समरूपताएँ हैं

$\operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).$

इन समूहों के उपसमूह, जिनमें अभिविन्यास-संरक्षण परिवर्तन शामिल हैं, प्रक्षेप्य मैट्रिक्स समूह के सभी समरूपी हैं: पीएसएल(2,सी) जटिल प्रक्षेप्य रेखा पी के साथ इकाई क्षेत्र की सामान्य पहचान के माध्यम से¹(सी).

विविधताएं

क्लेनियन समूह की परिभाषा में कुछ भिन्नताएँ हैं: कभी-कभी क्लेनियन समूहों को PSL(2, C).2 (अर्थात, जटिल संयुग्मन द्वारा विस्तारित PSL(2, C) के उपसमूह होने की अनुमति है), दूसरे शब्दों में, तत्वों को उलटने वाले अभिविन्यास के लिए, और कभी-कभी उन्हें परिमित रूप से माना जाता है उत्पन्न समूह, और कभी-कभी उन्हें रीमैन क्षेत्र के गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय पर उचित रूप से असंतत रूप से कार्य करने की आवश्यकता होती है।

प्रकार

• एक क्लेनियन समूह को परिमित प्रकार का कहा जाता है यदि इसके असंतत क्षेत्र में समूह क्रिया के तहत घटकों की कक्षाओं की सीमित संख्या होती है, और इसके स्टेबलाइज़र द्वारा प्रत्येक घटक का भागफल कॉम्पैक्ट रीमैन सतह होता है जिसमें कई बिंदु हटा दिए जाते हैं, और आवरण अनेक बिंदुओं पर व्याप्त है।
• एक क्लेनियन समूह को परिमित रूप से उत्पन्न कहा जाता है यदि इसमें जनरेटर की संख्या सीमित है। अहलफोर्स परिमितता प्रमेय कहता है कि ऐसा समूह परिमित प्रकार का होता है।
• एक क्लेनियन समूह Γ में परिमित सहआयतन होता है यदि H³/Γ का आयतन सीमित है। परिमित कोवॉल्यूम का कोई भी क्लेनियन समूह परिमित रूप से उत्पन्न होता है।
• एक क्लेनियन समूह को ज्यामितीय रूप से परिमित कहा जाता है यदि इसमें मौलिक बहुफलक (अतिपरवलयिक 3-स्थान में) और परिमित रूप से कई भुजाएँ हों। अहलफोर्स ने दिखाया कि यदि निर्धारित सीमा संपूर्ण रीमैन क्षेत्र नहीं है तो इसका माप 0 है।
• एक क्लेनियन समूह Γ को अंकगणित कहा जाता है यदि यह चतुर्धातुक बीजगणित ए के क्रम के समूह मानदंड 1 तत्वों के साथ तुलनीय है, जो संख्या क्षेत्र के पर सभी वास्तविक स्थानों पर बिल्कुल जटिल स्थान के साथ जुड़ा हुआ है। अंकगणितीय क्लेनियन समूहों में परिमित सहआयतन होता है।
• एक क्लेनियन समूह Γ को कोकॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि H³/Γ सघन है, या समकक्ष SL(2, C)/Γ सघन है। कोकॉम्पैक्ट क्लेनियन समूहों में सीमित मात्रा होती है।
• एक क्लेनियन समूह को स्थलीय रूप से वश में कहा जाता है यदि यह परिमित रूप से उत्पन्न होता है और इसका हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड सीमा के साथ कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के इंटीरियर के लिए होमियोमॉर्फिक है।
• एक क्लेनियन समूह को ज्यामितीय रूप से वश में कहा जाता है यदि इसके सिरे या तो ज्यामितीय रूप से परिमित हों या केवल विकृत हों (Thurston 1980).
• एक क्लेनियन समूह को प्रकार 1 का कहा जाता है यदि सीमा निर्धारित संपूर्ण रीमैन क्षेत्र है, और अन्यथा प्रकार 2 का होता है।

उदाहरण

• बेर्स क्लेनियन समूहों के मॉड्यूलि स्पेस को काटते हैं

बियान्ची समूह

बियांची समूह पीएसएल(2, ओ) रूप का क्लेनियन समूह है_d), कहाँ ${\mathcal {O}}_{d}$ काल्पनिक द्विघात क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय है $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ d के लिए धनात्मक वर्ग-मुक्त पूर्णांक।

प्राथमिक और कम करने योग्य क्लेनियन समूह

एक क्लेनियन समूह को प्रारंभिक कहा जाता है यदि इसका सीमा सेट परिमित है, जिस स्थिति में सीमा सेट में 0, 1 या 2 अंक हैं। प्राथमिक क्लेनियन समूहों के उदाहरणों में परिमित क्लेनियन समूह (खाली सीमा सेट के साथ) और अनंत चक्रीय क्लेनियन समूह शामिल हैं।

यदि सभी तत्वों का रीमैन क्षेत्र पर सामान्य निश्चित बिंदु हो तो क्लेनियन समूह को रिड्यूसिबल कहा जाता है। रिड्यूसिबल क्लेनियन समूह प्राथमिक हैं, लेकिन कुछ प्राथमिक परिमित क्लेनियन समूह रिड्यूसबल नहीं हैं।

फ़ुच्सियन समूह

कोई भी फ़ुचियन समूह (PSL(2, R) का अलग उपसमूह) क्लेनियन समूह है, और इसके विपरीत कोई भी क्लेनियन समूह जो वास्तविक रेखा को संरक्षित करता है (रीमैन क्षेत्र पर अपनी कार्रवाई में) फ़ुचियन समूह है। अधिक सामान्यतः, रीमैन क्षेत्र में वृत्त या सीधी रेखा को संरक्षित करने वाला प्रत्येक क्लेनियन समूह फ़ुचियन समूह से संयुग्मित होता है।

कोएबे समूह

• क्लेनियन समूह जी का कारक निम्नलिखित गुणों के अधीन उपसमूह एच अधिकतम है:
  • H में सरल रूप से जुड़ा हुआ अपरिवर्तनीय घटक D है
  • अनुरूप आक्षेप द्वारा H के तत्व h का संयुग्म परवलयिक या अण्डाकार होता है यदि और केवल यदि h हो।
  • जी का कोई भी परवलयिक तत्व डी के सीमा बिंदु को तय करने वाला एच में है।
• एक क्लेनियन समूह को कोबे समूह कहा जाता है यदि इसके सभी कारक प्राथमिक या फ़ुचियन हैं।

अर्ध-फ़ुचियन समूह

अर्ध-फुचियन समूह का सीमा सेट

एक क्लेनियन समूह जो जॉर्डन वक्र को संरक्षित करता है उसे अर्ध-फुचियन समूह कहा जाता है। जब जॉर्डन वक्र वृत्त या सीधी रेखा होता है तो ये अनुरूप परिवर्तनों के तहत फुच्सियन समूहों से संयुग्मित होते हैं। अंतिम रूप से उत्पन्न अर्ध-फ़ुचियन समूह अर्ध-अनुरूप परिवर्तनों के तहत फ़ुचियन समूहों से संयुग्मित होते हैं। सीमा निर्धारित अपरिवर्तनीय जॉर्डन वक्र में निहित है, और यदि यह जॉर्डन वक्र के बराबर है तो समूह को पहली तरह का कहा जाता है, और अन्यथा इसे दूसरी तरह का कहा जाता है।

शोट्की समूह

चलो सी_i असंयुक्त बंद डिस्क के सीमित संग्रह की सीमा वृत्त बनें। प्रत्येक वृत्त में वृत्त व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न समूह की सीमा कैंटर सेट और भागफल H है³/G दर्पण कक्षीय गुना है जिसके नीचे गेंद है। यह हैंडलबॉडी द्वारा डबल कवर (टोपोलॉजी) है; उपसमूह 2 उपसमूह का संगत सूचकांक क्लेनियन समूह है जिसे शोट्की समूह कहा जाता है।

क्रिस्टलोग्राफिक समूह

मान लीजिए कि T हाइपरबोलिक 3-स्पेस का आवृत्ति चौकोर है। टेस्सेलेशन की समरूपता का समूह क्लेनियन समूह है।

अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड्स के मौलिक समूह

किसी भी उन्मुख हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड का मूल समूह क्लेनियन समूह है। इसके कई उदाहरण हैं, जैसे कि आकृति 8 गाँठ का पूरक या सीफर्ट-वेबर स्पेस। इसके विपरीत यदि किसी क्लेनियन समूह में कोई गैर-तुच्छ मरोड़ तत्व नहीं है तो यह अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड का मूल समूह है।

पतित क्लेनियन समूह

एक क्लेनियन समूह को पतित कहा जाता है यदि यह प्राथमिक नहीं है और इसका सीमा सेट बस जुड़ा हुआ है। ऐसे समूहों का निर्माण अर्ध-फ़ुचियन समूहों की उपयुक्त सीमा लेकर किया जा सकता है, ताकि नियमित बिंदुओं के दो घटकों में से खाली सेट तक सिकुड़ जाए; इन समूहों को एकल पतित कहा जाता है। यदि नियमित सेट के दोनों घटक रिक्त सेट की ओर सिकुड़ते हैं, तो सीमा सेट स्थान-भरण वक्र बन जाता है और समूह को दोगुना पतित कहा जाता है। पतित क्लेनियन समूहों का अस्तित्व सबसे पहले अप्रत्यक्ष रूप से दिखाया गया था Bers (1970), और पहला स्पष्ट उदाहरण जोर्गेंसन द्वारा पाया गया था। Cannon & Thurston (2007) ने छद्म-एनोसोव मानचित्रों से जुड़े दोगुने पतित समूहों और स्थान-भरने वाले वक्रों के उदाहरण दिए।

यह भी देखें

• अहलफोर्स अनुमान को मापते हैं
• क्लेनियन समूहों के लिए घनत्व प्रमेय
• लेमिनेशन प्रमेय को समाप्त करना
• तमता प्रमेय (मार्डन का अनुमान)

संदर्भ

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  • Thurston, William (1980), The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes
• Thurston, William P. (1982), "Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 6 (3): 357–381, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15003-0, ISSN 0002-9904, MR 0648524

बाहरी संबंध

• A picture of the limit set of a quasi-Fuchsian group from (Fricke & Klein 1897, p. 418).
• A picture of the limit set of a Kleinian group from (Fricke & Klein 1897, p. 440). This was one of the first pictures of a limit set. A computer drawing of the same limit set
• Animations of Kleinian group limit sets
• Images related to Kleinian groups by McMullen
• Weisstein, Eric W. "Kleinian Group". MathWorld.