क्षण (गणित)

For भौतिक अवधारणा, see क्षण (भौतिकी).

गणित में, किसी फलन के क्षण (गणित) किसी फलन के आरेख के आकार से संबंधित कुछ मात्रात्मक माप होते हैं। यदि फलन द्रव्यमान घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, तो शून्यवां क्षण कुल द्रव्यमान है, प्रथम क्षण (कुल द्रव्यमान द्वारा सामान्यीकृत) द्रव्यमान का केंद्र है, और दूसरा क्षण जड़ता का क्षण है। यदि फलन प्रायिकता वितरण है, तो प्रथम क्षण अपेक्षित मान है, दूसरा केंद्रीय क्षण प्रसरण है, तृतीय मानकीकृत क्षण वैषम्य है, और चौथा मानकीकृत क्षण कुकुदता है। गणितीय अवधारणा भौतिकी में क्षण (भौतिकी) की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

इस प्रकार से परिबद्ध अंतराल पर द्रव्यमान या प्रायिकता के वितरण के लिए, सभी क्षणों का संग्रह (सभी क्रमों में से 0 से ∞ तक) विशिष्ट रूप से वितरण (हॉसडॉर्फ क्षण समस्या) को निर्धारित करता है। यह बात असीमित अंतरालों (हैमबर्गर क्षण समस्या) पर सत्य नहीं है।

इस प्रकार से उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में, पफनुटी चेबीशेव यादृच्छिक चर के क्षणों के संदर्भ में व्यवस्थित रूप से सोचने वाले प्रथम व्यक्ति बने।

क्षणों का महत्व

nकिसी वितरण का n-वाँ अपरिष्कृ क्षण (अर्थात, शून्य के विषय में क्षण) द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\mu '_{n}=\langle x^{n}\rangle$$

जहाँ

$$\langle f(x)\rangle ={\begin{cases}\sum f(x)P(x),&{\text{discrete distribution}}\\\int f(x)P(x)dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}$$

n}एक मान c के विषय में एक वास्तविक संख्या के वास्तविक-मान वाले सतत फलन f(x) का n-वाँ क्षण अभिन्न है

$$\mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$$

अतः वास्तविक- मानित फलनों के क्षणों की तुलना में यादृच्छिक चर के लिए क्षणों को अधिक सामान्य रूप से परिभाषित करना संभव है - मापीय रिक्त समष्टि में केंद्रीय क्षण देखें। इस प्रकार से किसी फलन का क्षण, बिना अधिक स्पष्टीकरण के, सामान्यतः c = 0 के साथ उपरोक्त अभिव्यक्ति को संदर्भित करता है। दूसरे और उच्च क्षणों के लिए, केंद्रीय क्षण (माध्य के विषय में क्षण, c माध्य है) का उपयोग सामान्यतः शून्य के विषय में क्षणों के अतिरिक्त किया जाता है, क्योंकि वे वितरण के आकार के विषय में स्पष्ट सूचना प्रदान करते हैं।

अतः अन्य क्षणों को भी परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए,शून्य के विषय में n-वां व्युत्क्रम $\operatorname {E} \left[X^{-n}\right]$ क्षण है, और शून्य के विषय में n-वां लघुगणकीय क्षण $\operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right]$ है।

इस प्रकार से प्रायिकता घनत्व फलन f(x) के शून्य के विषय में n}-वां क्षण Xn का अपेक्षित मान है और इसे प्राकृतिक क्षण या अपरिष्कृत क्षण कहा जाता है। इसके माध्य μ के विषय में क्षणों को केंद्रीय क्षण कहा जाता है; ये अनुवाद (ज्यामिति) से स्वतंत्र रूप से फलन के आकार का वर्णन करते हैं।

यदि f एक प्रायिकता घनत्व फलन है, तो उपरोक्त अभिन्न के मान को प्रायिकता वितरण का n-वाँ क्षण कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, यदि F किसी प्रायिकता वितरण का संचयी प्रायिकता वितरण फलन है, जिसमें घनत्व फलन नहीं हो सकता है, तो प्रायिकता वितरण का n-वाँ क्षण रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल

$$\mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)$$

द्वारा दिया जाता है, जहां X यादृच्छिक चर है जिसका संचयी वितरण F है, और E अपेक्षा संचालिका या माध्य है।

जब

$$\operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty$$

कहा जाता है कि वह क्षण अस्तित्व में नहीं है। यदि किसी भी बिंदु के विषय में n-वां क्षण स्थित है, तो प्रत्येक बिंदु के विषय में (n − 1)-वां क्षण (और इस प्रकार, सभी निम्न क्रम के क्षण) स्थित हैं। इस प्रकार से किसी भी प्रायिकता घनत्व फलन का शून्यवाँ क्षण 1 है, क्योंकि किसी भी प्रायिकता घनत्व फलन के अंतर्गत क्षेत्र के बराबर होना चाहिए।

वितरण के नामित गुणों के संबंध में क्षणों (अपरिष्कृत, केंद्रीय, सामान्यीकृत) और संचयी (अपरिष्कृत, सामान्यीकृत) का महत्व

क्षण क्रमवाचक	Moment			Cumulant
	अपरिष्कृत	केंद्रीय	मानकीकृत	अपरिष्कृत	सामान्यीकृत
1	माध्य	0	0	माध्य	—
2	–	प्रसरण	1	प्रसरण	1
3	–	–	वैषम्य	–	वैषम्य
4	–	–	(गैर-अतिरिक्त या ऐतिहासिक) कुकुदता	–	अत्यधिक कुकुदता
5	–	–	अतिवैषम्य	–	–
6	–	–	अतिपुच्छता	–	–
7+	–	–	–	–	–

मानकीकृत क्षण

Main article: मानकीकृत क्षण

इस प्रकार से सामान्यीकृत n-वें केंद्रीय क्षण या मानकीकृत क्षण n-वें केंद्रीय क्षण को σⁿ से विभाजित किया जाता है; यादृच्छिक चर X का सामान्यीकृत n-वाँ केंद्रीय क्षण

$${\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}$$

है।

अतः ये सामान्यीकृत केंद्रीय क्षण विमाहीन संख्या हैं, जो पैमाने के किसी भी रैखिक परिवर्तन से स्वतंत्र रूप से वितरण का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इस प्रकार से एक विद्युत संकेत के लिए, प्रथम क्षण उसका डीसी स्तर है, और दूसरा क्षण उसकी औसत शक्ति का आनुपातिक है।

उल्लेखनीय क्षण

माध्य

Main article: माध्य

अतः प्रथम प्राकृतिक क्षण माध्य है, जिसे सामान्यतः $\mu \equiv \operatorname {E} [X]$ द्वारा र्शाया जाता है।

प्रसरण

Main article: विसरण

इस प्रकार से दूसरा केंद्रीय क्षण प्रसरण है। प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल मानक विचलन $\sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}$ है।

वैषम्य

Main article: वैषम्य

अतः इस प्रकार से तृतीय केंद्रीय क्षण वितरण की असंतुलितता का माप है; यदि परिभाषित किया जाए तो किसी भी सममित वितरण का तृतीय केंद्रीय क्षण शून्य होगा। सामान्यीकृत तीसरे केंद्रीय क्षण को प्रायः γ वैषम्य कहा जाता है। वितरण जो बाईं ओर वैषम्य है (वितरण की पश्च बाईं ओर लंबी है) में ऋणात्मक वैषम्य होगा। वितरण जो दाईं ओर वैषम्य है (वितरण की पश्च दाईं ओर लंबी है), उसमें धनात्मक वैषम्य होगा।

इस प्रकार से ऐसे वितरणों के लिए जो सामान्य वितरण से बहुत अधिक भिन्न नहीं हैं, माध्यिका μ − γσ/6 के निकट कहीं होगी; ; μ − γσ/2 के विषय में मोड (सांख्यिकी) है।

कुकुदता

Main article: कुकुदता

चौथा केंद्रीय क्षण वितरण की पश्च के भारीपन का माप है। चूँकि यह चौथी शक्ति की अपेक्षा है, चौथा केंद्रीय क्षण, जहाँ परिभाषित किया गया है, सदैव गैर-ऋणात्मक होता है; और निकृष्ट प्रायिकता वितरण को छोड़कर, यह सदैव दृढ़ता से धनात्मक होता है। सामान्य वितरण 3σ⁴ का चौथा केंद्रीय क्षण है।

अतः कुकुदता κ को मानकीकृत चौथे केंद्रीय क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है। (समान रूप से, जैसा कि अगले भाग में है, अतिरिक्त कुकुदता चौथे संचयी को दूसरे संचयी के वर्ग से विभाजित किया गया है।) यदि वितरण में भारी पश्च हैं, तो कुकुदता उच्च होगा (कभी-कभी लेप्टोकर्टिक भी कहा जाता है); इसके विपरीत, हल्के-पश्च वाले वितरण (इस प्रकार से उदाहरण के लिए, वर्दी जैसे बंधे हुए वितरण) में कम कुकुदता होता है (कभी-कभी इसे प्लैटीकर्टिक भी कहा जाता है)।

कुकुदता बिना किसी सीमा के धनात्मक हो सकता है, परन्तु κ से बड़ा या γ² + 1 के बराबर होना चाहिए; समानता मात्र बर्नौली वितरण के लिए है। सामान्य से बहुत दूर नहीं होने वाले असीमित वैषम्य वितरण के लिए, κ γ2 और 2γ2 के क्षेत्र में कहीं होता है।

असमानता को

$$\operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]$$

पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है जहां T = (X − μ)/σ। यह वर्ग की अपेक्षा है, इसलिए यह सभी a के लिए गैर-ऋणात्मक है; यद्यपि यह में द्विघात बहुपद भी है। इसका विवेचक गैर-धनात्मक होना चाहिए, जो आवश्यक संबंध देता है।

उच्चतर क्षण

इस प्रकार से उच्च-क्रम के क्षण चौथे-क्रम के क्षणों के अतिरिक्त क्षण हैं।

अतः प्रसरण, वैषम्य और कुकुदता के जैसे, ये उच्च-क्रम के आँकड़े हैं, जिनमें डेटा के गैर-रेखीय संयोजन सम्मिलित हैं, और इनका उपयोग आगे के आकार मापदंडों के विवरण या अनुमान के लिए किया जा सकता है। क्षण जितना अधिक होगा, अनुमान लगाना उतना ही कठिन होगा, इस अर्थ में कि समान गुणवत्ता के अनुमान प्राप्त करने के लिए बड़े प्रतिदर्शों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार से यह उच्चतर क्रमों द्वारा उपभोग की गई स्वतंत्रता के अतिरिक्त कोटि (सांख्यिकी) के कारण है। इसके अतिरिक्त, उनकी व्याख्या करना सूक्ष्म हो सकता है, प्रायः उन्हें निम्न क्रम के क्षणों के संदर्भ में सबसे सरलता से समझा जा सकता है - भौतिकी में प्रतिक्षेप (भौतिकी) और जंज़ के उच्च-क्रम व्युत्पन्न की तुलना करें। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, जिस प्रकार चौथे क्रम के क्षण (कुकुदता) की व्याख्या निक्षेपण में योगदान में आधार की तुलना में पश्चों के सापेक्ष महत्व के रूप में की जा सकती है (निक्षेपण की निश्चित मात्रा के लिए, उच्च कुकुदता मोटी पश्च से मेल खाती है, जबकि निम्न कुकुदता व्यापक आधार से मेल खाता है), 5वें क्रम के क्षण की व्याख्या वैषम्य में योगदान के लिए केंद्र (मोड (सांख्यिकी) और आधार) की तुलना में पश्चों के सापेक्ष महत्व को मापने के रूप में की जा सकती है (अतः वैषम्य की निश्चित मात्रा के लिए, उच्चतर 5वां क्षण उच्चतर वैषम्य से मेल खाता है) पश्च के भाग और मोड का थोड़ा वैषम्य, जबकि निम्न 5वां क्षण आधार में अधिक वैषम्य से मेल खाता है)।

मिश्रित क्षण

इस प्रकार से मिश्रित क्षण ऐसे क्षण होते हैं जिनमें अनेक चर सम्मिलित होते हैं।

अतः मान $E[X^{k}]$ को क्रम $k$ का क्षण कहा जाता है (क्षणों को गैर-अभिन्न $k$ के लिए भी परिभाषित किया गया है)। यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण $X_{1}...X_{n}$ के क्षण समान रूप से परिभाषित हैं। किसी भी पूर्णांक $k_{i}\geq 0$ के लिए, गणितीय अपेक्षा $E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]$ क्रम $k$ का मिश्रित क्षण कहलाता है (जहाँ $k=k_{1}+...+k_{n}$), और $E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]$ क्रम $k$ का केंद्रीय मिश्रित क्षण कहलाता है। मिश्रित क्षण $E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]$ को सहप्रसरण कहा जाता है और यह यादृच्छिक चरों के बीच निर्भरता की मूलभूत विशेषताओं में से है।

इस प्रकार से कुछ उदाहरण सहप्रसरण, सह वैषम्य और सहकुकुदता हैं। जबकि अद्वितीय सहप्रसरण है, कई सह-वैषम्य और सह-कुकुदता भी हैं।

क्षणों के गुण

केंद्र का परिवर्तन

चूँकि

$$(x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}$$

जहाँ ${\textstyle {\binom {n}{i}}}$ द्विपद गुणांक है, इसका तात्पर्य यह है कि b के विषय में क्षणों की गणना a के विषय में क्षणों से की जा सकती है:

$$E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}.$$

फलन के संवलन का क्षण

Main article: संवलन

इस प्रकार से संवलन ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$ का क्षण

$$\mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]$$

पढ़ता है जहां $\mu _{n}[\,\cdot \,]$ कोष्ठक में दिए गए फलन के $n$वें क्षण को दर्शाता है। यह पहचान क्षण उत्पन्न करने वाले फलन के लिए संवलन प्रमेय का अनुसरण करती है और किसी गुणनफल के विभेदीकरण (गणित) के लिए श्रृंखला नियम को लागू करती है।

संचयी

Main article: संचयी

इस प्रकार से प्रथम प्राकृतिक क्षण और दूसरा और तृतीय असामान्य केंद्रीय क्षण इस अर्थ में योगात्मक हैं कि यदि X और Y सांख्यिकीय स्वतंत्रता यादृच्छिक चर हैं तो

$${\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}$$

(ये उन चरों के लिए भी मान्य हो सकते हैं जो स्वतंत्रता की तुलना में दुर्बल स्थितियों को संतुष्ट करते हैं। प्रथम सदैव बना रहता है; यदि दूसरा बना रहता है, तो चर को सहसंबंध कहा जाता है)।

वस्तुतः, ये पहले तीन संचयी हैं और सभी संचयी इस योज्यता गुण को साझा करती हैं।

प्रतिदर्श क्षण

इस प्रकार से सभी k के लिए, जनसंख्या के k-वें अपरिष्कृत क्षण का अनुमान जनसंख्या से लिए गए प्रतिदर्श X₁, ..., X_n पर लागू k-वें प्राकृतिक क्षण

$${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$$

का उपयोग करके लगाया जा सकता है।

यह दिखाया जा सकता है कि अपरिष्कृत प्रतिदर्श क्षण का अपेक्षित मान जनसंख्या के k-वें अपरिष्कृत क्षण के बराबर है, यदि वह क्षण किसी भी प्रतिदर्श आकार n के लिए स्थित है। इस प्रकार यह एक निष्पक्ष अनुमानक है। अतः यह केंद्रीय क्षणों की स्थिति के विपरीत है, जिनकी गणना प्रतिदर्श माध्य का उपयोग करके स्वतंत्रता की एक कोटि का उपयोग करती है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, जनसंख्या प्रसरण (दूसरा केंद्रीय क्षण) का एक निष्पक्ष अनुमान

$${\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}$$

द्वारा दिया गया है जिसमें पूर्व हर n को स्वतंत्रता की कोटियों n − 1 द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया है, और जिसमें ${\bar {X}}$ प्रतिदर्श माध्य को संदर्भित करता है। जनसंख्या क्षण का यह अनुमान ${\tfrac {n}{n-1}}$ के एक कारक द्वारा असमायोजित देखे गए प्रतिदर्श क्षण से अधिक है, और इसे "समायोजित प्रतिदर्श प्रसरण" या कभी-कभी मात्र "प्रतिदर्श प्रसरण" कहा जाता है।

क्षणों की समस्या

Main article: क्षण समस्या

इस प्रकार से किसी प्रायिकता वितरण को उसके क्षणों के अनुक्रम से निर्धारित करने की समस्याओं को क्षणों की समस्या कहा जाता है। ऐसी समस्याओं पर सबसे पहले पी.एल. चेबीशेव (1874) ने सीमा प्रमेय पर शोध के संबंध में चर्चा की थी। एक यादृच्छिक चर $X$ के प्रायिकता वितरण को उसके क्षणों $\alpha _{k}=EX^{k}$ द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए, इस प्रकार से उदाहरण के लिए, यह पर्याप्त है कि कार्लेमैन की स्थिति संतुष्ट हो:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty$$

एक समान परिणाम यादृच्छिक सदिश के क्षणों के लिए भी लागू होता है। अतः क्षणों की समस्या अनुक्रम ${{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }$के लक्षण वर्णन की खोज करती है जो कुछ फलन f के क्षणों के अनुक्रम हैं, जिनमें से सभी क्षण $\alpha _{k}(n)$ परिमित हैं, और प्रत्येक पूर्णांक $k\geq 1$ के लिए

$$\alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,$$

को दें जहां $\alpha _{k}$ परिमित है। फिर क्रम ${\mu _{n}}'$ है, जो दुर्बल रूप से वितरण फलन $\mu$ में परिवर्तित हो जाता है जिसके क्षण $\alpha _{k}$ होते हैं। यदि क्षण विशिष्ट रूप से $\mu$ निर्धारित करते हैं, तो अनुक्रम ${\mu _{n}}'$ दुर्बल रूप से $\mu$ में परिवर्तित हो जाता है।

आंशिक क्षण

इस प्रकार से आंशिक क्षणों को कभी-कभी "एकपक्षीय क्षण" कहा जाता है। अतः संदर्भ बिंदु r के संबंध में n-वें क्रम के निम्न और ऊपरी आंशिक क्षणों को

$$\mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,$$

$$\mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x$$

के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार से यदि अभिन्न फलन अभिसरण नहीं करता है, तो आंशिक क्षण स्थित नहीं है।

आंशिक क्षणों को घात 1/n तक बढ़ाकर सामान्यीकृत किया जाता है। व्युत्क्रम संभावित अनुपात को पहले क्रम के ऊपरी आंशिक क्षण और सामान्यीकृत दूसरे क्रम के निम्न आंशिक क्षण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उनका उपयोग कुछ वित्तीय मिति की परिभाषा में किया गया है, जैसे सॉर्टिनो अनुपात, क्योंकि वे पूर्ण रूप से ऊपर या नीचे पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

मापीय रिक्त समष्टि में केंद्रीय क्षण

अतः मान लीजिए (M, d) मापीय समष्टि है, और B(M) को M पर बोरेल σ-बीजगणित होने दें, M के d- विवृत उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित। (तकनीकी कारणों से, यह मान लेना भी सुविधाजनक है कि M मापीय (गणित) d के संबंध में अलग करने योग्य समष्टि है।) मान लीजिए 1 ≤ p ≤ ∞।

किसी दिए गए बिंदु x₀ ∈ M के विषय में मापनीय समष्टि (M, B(M)) पर माप μ का p-वें केंद्रीय क्षण

$$\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)$$

के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार से μ को परिमित p-वें केंद्रीय क्षण कहा जाता है यदि x₀ के विषय में μ का p-वें केंद्रीय क्षण कुछ x₀ ∈ M के लिए परिमित है।

माप के लिए यह शब्दावली सामान्य विधि से यादृच्छिक चर पर आधारित है: यदि (Ω, Σ, P) एक प्रायिकता समष्टि है और X : Ω → M एक यादृच्छिक चर है, तो x₀ ∈ M के विषय में X का p-वें केंद्रीय क्षण

$$\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],$$

के रूप में परिभाषित किया गया है और X का परिमित p-वाँ केंद्रीय क्षण है, यदि X₀ के विषय में X का p-वें केंद्रीय क्षण कुछ x₀ ∈ M के लिए परिमित है।

यह भी देखें

• ऊर्जा (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• तथ्यात्मक क्षण
• सामान्यीकृत माध्य
• प्रतिबिम्ब क्षण
• एल-क्षण
• क्षणों की विधि (प्रायिकता सिद्धांत)
• क्षणों की विधि (सांख्यिकी)
• क्षण उत्पन्न करने वाला फलन#क्षणों की गणना|क्षण उत्पन्न करने वाला फलन
• क्षण माप
• द्वितीय क्षण विधि
• मानकीकृत क्षण
• स्थिर क्षण समस्या
• यादृच्छिक चर के फलनों के क्षणों के लिए टेलर विस्तार

संदर्भ

• Text was copied from Moment at the Encyclopedia of Mathematics, which is released under a Creative Commons Attribution-Share Alike 3।0 (Unported) (CC-BY-SA 3।0) license and the GNU Free Documentation License।

अग्रिम पठन

• Spanos, Aris (1999). Probability Theory and Statistical Inference. New York: Cambridge University Press. pp. 109–130. ISBN 0-521-42408-9.
• Walker, Helen M. (1929). Studies in the history of statistical method, with special reference to certain educational problems. Baltimore, Williams & Wilkins Co. p. 71.

बाहरी संबंध

• "Moment", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Moments at Mathworld