सहप्रसरण

File:Covariance trends.svg

दो यादृच्छिक चरों X और Y के सहप्रसरण का चिह्न

सांख्यिकी में सहप्रसरण दो यादृच्छिक चरों के लिये संयुक्त परिवर्तनशीलता का उपाय होता है। इस प्रकार यदि एक चर के बड़े मान मुख्य रूप से दूसरे चर के बड़े मानों के अनुरूप होते हैं, और वही कम मानों के लिए उपयोग होते हैं (अर्थात,चर समान व्यवहार दिखाते हैं), सहप्रसरण सकारात्मक होता है। इस विपरीत स्थिति में जब चरों के अधिक मूल्य मुख्य रूप से दूसरे के कम मानों के अनुरूप होते हैं अर्थात चर विपरीत दिखायी देते हैं, तब सहप्रसरण ऋणात्मक होते हैं। सहप्रसरण का चिन्ह इसलिए चरों के बीच रैखिक संबंध में प्रवृत्ति को दर्शाता हैं। सहप्रसरण का परिमाण उन प्रसरणों का ज्यामितीय माध्य होता है जो दो यादृच्छिक चरों के लिए सामान्य होता हैं। पियर्सन गुणनफल-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक दो यादृच्छिक चरों के लिए कुल प्रसरणों के ज्यामितीय माध्य से विभाजित करके सहप्रसरण को सामान्य करता है।

समीकरम (1) दो यादृच्छिक चरों के सहप्रसरण के बीच अंतर किया जाना चाहिए, जो सांख्यिकीय जनसंख्या के लिए सांख्यिकीय पैरामीटर के द्वारा परिभाषित होता है जिसे संयुक्त संभाव्यता वितरण की संपत्ति के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण (2) में सांख्यिकी सहप्रसरण जो इसके अतिरिक्त प्रमाणों के लिए वर्णनकर्ता के रूप में सेवा करने के लिए जनसंख्या पैरामीटर के सांख्यिकीय अनुमान मान के रूप में भी कार्य करता है।

परिभाषा

दो संयुक्त वितरण के लिए वास्तविक संख्या मूल्यवान यादृच्छिक चरों के लिए $X$ और $Y$ परिमित दूसरे क्षणों के साथ, सहप्रसरण को उनके व्यक्तिगत अपेक्षित मानों से उनके विचलन के उत्पाद के अपेक्षित मूल्य (या माध्य) के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}}$$

जहाँ $\operatorname {E} [X]$ का अपेक्षित मान $X$ द्वारा परिभाषित होता हैं, इस $X$ के माध्य के रूप में भी जाना जाता है। सहप्रसरण को भी कभी-कभी $\sigma _{XY}$ या $\sigma (X,Y)$, विचरण के अनुरूप निरूपित किया जाता है। इस प्रकार अपेक्षाओं की रैखिकता गुणों का उपयोग करके इनके उत्पाद के अपेक्षित मूल्य को घटाकर उनके अपेक्षित मानों के उत्पाद को सरल बनाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} \left[X\right]\right)\left(Y-\operatorname {E} \left[Y\right]\right)\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY-X\operatorname {E} \left[Y\right]-\operatorname {E} \left[X\right]Y+\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]+\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right],\end{aligned}}$

किन्तु यह समीकरण विनाशकारी निरस्त स्थिति के लिए अतिसंवेदनशील है, (यहाँ पर नीचे सहप्रसरण संख्यात्मक संगणना पर अनुभाग देखें)।

सहप्रसरण की माप की इकाई $X$ के समय $Y$ $\operatorname {cov} (X,Y)$ के हैं। इसके विपरीत सहसंबंध जो सहप्रसरण पर निर्भर करता है, रैखिक निर्भरता का आयाम रहित संख्या माप है। (वास्तव में सहसंबंध गुणांक सहप्रसरण के सामान्यीकृत संस्करण के रूप में समझा जा सकता है।)

जटिल यादृच्छिक चरों के लिए परिभाषा

Main article: कॉम्प्लेक्स रैंडम वेरिएबल कोवैरियंस

दो जटिल यादृच्छिक चरों के बीच सहप्रसरण $Z,W$ परिभाषित किया जाता है

$\mathrm{cov}<!--\; \; -->(Z,W)=\mathrm{E}<!--\; \; -->\left[(Z-<!--\; -\; -->\mathrm{E}<!--\; \; -->[Z])\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{(W-<!--\; -\; -->\mathrm{E}<!--\; \; -->[W])}\right]=\mathrm{E}<!--\; \; -->\left[Z\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}\right]-<!--\; -\; -->$