संवलन

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संवलन, क्रॉस-सहसंबंध और ऑटोसहसंबंध की दृश्य तुलना। फलन से जुड़े संचालन के लिए f, और की ऊंचाई मानते हुए f 1.0 है, 5 अलग-अलग बिंदुओं पर परिणाम का मान प्रत्येक बिंदु के नीचे छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है। की समरूपता f कारण है $f*g$ तथा $f\star g$ इस उदाहरण में समान हैं।

गणित में (विशेष रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण ) संवलन दो फलनों (f और g) पर एक गणितीय संक्रिया है जो एक तीसरा फलन ($f*g$) उत्पन्न करता है, जो व्यक्त करता है कि कैसे एक के आकार को दूसरे द्वारा संशोधित किया जाता है। संवलन शब्द परिणामी संक्रिया और इसकी गणना करने की प्रक्रिया दोनों को संदर्भित करता है। इसे दो कार्यों के उत्पाद के समाकलन अंग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब एक y-अक्ष के बारे में परिलक्षित होता है और स्थानांतरित हो जाता है। समाकलन से पहले जिस फलन को परावर्तित और स्थानांतरित किया जाता है, यह समाकलन परिणाम को नहीं बदलता है (देखें #विशेषताएँ )। संवलन फलन का निर्माण करते हुए, विस्थापन के सभी गुणों के लिए समाकलन का मूल्यांकन किया जाता है।

संवलन की कुछ विशेषताएं क्रॉस-सहसंबंध के समान हैं:फलनों के लिए वास्तविक-मान, निरंतर या असतत चर के लिए, संवलन ($f*g$) क्रॉस-सहसंबंध ($f\star g$) से भिन्न होता है संवलन में केवल या तो f(x) या g(x) y-अक्ष के बारे में परिलक्षित होता है, इस प्रकार g(-x) तथा f(x) या f(−x) तथा g(x) एक क्रॉस-सहसंबंध है। सम्मिश्र मान वाले फलनों के लिए, क्रॉस-सहसंबंध ऑपरेटर संवलन ऑपरेटर का हर्मिटियन सहायक है।

संवलन में ऐसे अनुप्रयोग होते हैं जिनमें संभाव्यता, सांख्यिकी, ध्वनिकी, स्पेक्ट्रोमिकी , संकेत का प्रक्रमण और प्रतिबिंब प्रक्रण, भूभौतिकी , अभियांत्रिकी , भौतिकी, कंप्यूटर दृष्टि और अंतर समीकरण शामिल हैं।

संवलन को यूक्लिडियन समष्टि और अन्य समूह (गणित) (बीजगणितीय संरचना के रूप में) पर कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए आवधिक कार्यों जैसे कि असतत-समय फूरियर रूपांतरण , को एक घेरा पर परिभाषित किया जा सकता है और आवधिक संवलन द्वारा संवलित किया जा सकता है। (पंक्ति 18 यहां देखें डीटीएफटी § गुण।) पूर्णांक के सेट पर कार्यों के लिए एक असतत संवलन को परिभाषित किया जा सकता है।

संवलन के सामान्यीकरण में संख्यात्मक विश्लेषण और संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के क्षेत्र में और संकेत प्रक्रमन में परिमित आवेग प्रतिक्रिया फिल्टर के डिजाइन और कार्यान्वयन में अनुप्रयोग हैं।

संवलन ऑपरेशन के व्युत्क्रम फलन की गणना करना विघटन के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा

f तथा g का संवलन f∗g लिखा जाता हैं, जो संचालक को प्रतीक ∗ के द्वारा दर्शाया जाता है। इसे दो कार्यों के उत्पाद के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब एक y-अक्ष के बारे में परिलक्षित होता है और स्थानांतरित हो जाता है। जैसे, यह एक विशेष प्रकार का समाकल रूपांतरण है:

$(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .$

एक समान परिभाषा है (गुण देखें):

$(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .$

जबकि प्रतीक t ऊपर उपयोग किया गया है, इसे समय डोमेन का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता नहीं है। प्रत्येक t पर, संवलन सूत्र को फलन g(−τ) द्वारा भारित फलन f(τ) के तहत क्षेत्र के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे राशि t द्वारा स्थानांतरित किया जाता है। जैसे-जैसे t बदलता है, भारांक फलन g(t − τ) निविष्ट फलन f(τ) के विभिन्न भागों पर जोर देता है यदि t एक धनात्मक मान है, तो g(t − τ), g(−τ) के बराबर है जो खिसकता है या $\tau$-अक्ष के साथ दाईं ओर (की ओर +∞) t की राशि से स्थानांतरित होता है, जबकि अगर t ऋणात्मक मान है, तो g(t − τ), g(−τ) के बराबर है जो खिसकता है वह बाईं ओर (की ओर -∞) |t|की राशि से स्थानांतरित होता है।

फलन f, g के लिए केवल [0, ∞] पर आधारित है (यानी, नकारात्मक तर्कों के लिए शून्य), एकीकरण सीमा को छोटा किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप:

$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{for }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .$

संवलन के बहुआयामी सूत्रीकरण के लिए, परिभाषा का क्षेत्र (नीचे) देखें।

संकेतन

एक सामान्य इंजीनियरिंग संकेतन है:

$f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)},$

भ्रम से बचने के लिए सावधानीपूर्वक व्याख्या की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, f(t)∗g(t − t₀) के बराबर है (f∗g)(t − t₀), लेकिन f(t − t₀)∗g(t − t₀) वास्तव में (f∗g)(t − 2t₀) के बराबर है।

अन्य परिवर्तनों के साथ संबंध

दो कार्यों को देखते हुए $f(t)$ तथा $g(t)$ द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के साथ (दो तरफा लाप्लास परिवर्तन)

$F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u$

तथा

$G(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v$

क्रमशः, संवलन संक्रिया $f(t)\ast <!--\ast -->$