गणनीय समुच्चय: Difference between revisions

Revision as of 11:49, 6 July 2023

गणित में, समुच्चय (गणित) गणनीय है यदि परिमित समुच्चय है या इसे प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ पत्राचार में बनाया जा सकता है।^{[lower-alpha 1]} समान रूप से, समुच्चय गणनीय होता है यदि उसमें से प्राकृतिक संख्याओं में कोई विशेषण फलन उपस्थित हो; इसका आशय यह है कि समुच्चय में प्रत्येक तत्व अद्वितीय प्राकृतिक संख्या से जुड़ा हो सकता है, या समुच्चय के तत्वों को समय में गिना जा सकता है, चूँकि तत्वों की अनंत संख्या के कारण गिनती कभी अंत नहीं हो सकती है।

अधिक तकनीकी शब्दों में, गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, समुच्चय गणनीय है यदि इसकी प्रमुखता (समुच्चय के तत्वों की संख्या) प्राकृतिक संख्याओं से अधिक नहीं है। गणनीय समुच्चय जो परिमित नहीं है, 'गणनीय अनंत' कहा जाता है।

इस अवधारणा का श्रेय जॉर्ज कैंटर को दिया जाता है, जिन्होंने अनगिनत समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध किया, ऐसे समुच्चय जो गिनने योग्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं का समुच्चय आदि।

शब्दावली पर नोट

यद्यपि यहां परिभाषित गणनीय और गणनीय अनंत शब्द अधिक सामान्य हैं, किन्तु शब्दावली सार्वभौमिक नहीं है।^[1] वैकल्पिक शैली में गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है, और अधिक से अधिक गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय कहा जाता है।^[2]^[3] अस्पष्टता से बचने के लिए, व्यक्ति अपने आप को अधिकतम गणनीय और गणनीय अनंत शब्दों तक सीमित कर सकता है, चूँकि संक्षेपण के संबंध में यह दोनों संसारो में सबसे अनुपयुक्त है।^{[citation needed]} पाठक को राय दी जाती है कि साहित्य में गणनीय शब्द का सामना करते समय उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करें।

गिनती योग्य शर्तें^[4] और संख्यात्मक^[5]^[6] का भी उपयोग किया जा सकता है, दाहरण के लिए क्रमशः गणनीय और गणनीय अनंत का विचार करते हुए I^[7] किन्तु चूँकि परिभाषाएँ भिन्न-भिन्न होती हैं, इसलिए पाठक को पुनः उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करने की राय दी जाती है।^[8]

परिभाषा

समुच्चय $S$ गणनीय है यदि:

इसकी प्रमुखता $|S|$ से कम या $\aleph _{0}$ (एलेफ़-नल) के समान है, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता $\mathbb {N}$ हैI^[9]
$S$ की $\mathbb {N}$ से अन्तःक्षेपण फलन उपस्थित है I^[10]^[11]
$S$ रिक्त है या वहां से कोई विशेषण फलन उपस्थित है I ^[11] $\mathbb {N}$ से $S$ के मध्य विशेषण मानचित्रण $S$ और $\mathbb {N}$ का उपसमुच्चय उपस्थित है I^[12]
$S$ या तो परिमित समुच्चय ( $|S|<\aleph _{0}$ ) है, या गणनीय रूप से अनंत समुच्चय है।^[5] ये सभी परिभाषाएँ समतुल्य हैं।

समुच्चय $S$ गणनीय रूप से अनंत समुच्चय है यदि:

इसकी प्रमुखता $|S|$ बिलकुल $\aleph _{0}$ है ^[9]
विशेषण और विशेषण (और इसलिए आक्षेप) के मध्य $S$ और $\mathbb {N}$ मानचित्रण है।
$S$ के साथ वन-टू-वन पत्राचार $\mathbb {N}$ है।^[13]
$S$ के तत्व को अनंत क्रम $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ , में व्यवस्थित किया जा सकता है, जहां $a_{i}$ से भिन्न है $a_{j}$ के लिए $i\neq j$ और प्रत्येक तत्व $S$ सूचीबद्ध है।^[14]^[15]

समुच्चय अपरिमित है यदि वह गणनीय नहीं है, अर्थात उसकी प्रमुखता $\aleph _{0}$ इससे अधिक है।^[9]

इतिहास

1874 में, जॉर्ज कैंटर के प्रथम समुच्चय सिद्धांत लेख में, कैंटर ने सिद्ध किया कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अपरिमित है, इस प्रकार सभी अपरिमित समुच्चय गणनीय नहीं हैं।^[16] 1878 में, उन्होंने कार्डिनैलिटी को परिभाषित करने और तुलना करने के लिए अनेक पत्राचार का उपयोग किया।^[17] 1883 में, उन्होंने अपनी अनंत क्रमसूचक संख्या के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार किया, और भिन्न-भिन्न अपरिमित कार्डिनलिटी वाले अपरिमित समुच्चयों का उत्पादन करने के लिए क्रमसूचकों के समुच्चय का उपयोग किया।^[18]

परिचय

समुच्चय (गणित) तत्वों का संग्रह होता है, और इसे कई प्रकारो से वर्णित किया जा सकता है। इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है; उदाहरण के लिए, पूर्णांक 3, 4 और 5 से युक्त समुच्चय $\{3,4,5\}$ को प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे रोस्टर फॉर्म कहा जाता है।^[19] चूँकि, यह केवल छोटे समुच्चयों के लिए प्रभावी है; बड़े समुच्चयों के लिए, यह समय लेने वाला और त्रुटि-प्रवण होगा। प्रत्येक तत्व को सूचीबद्ध करने के अतिरिक्त, कभी-कभी किसी समुच्चय में प्रारंभिक तत्व और अंतिम तत्व के मध्य कई तत्वों को प्रदर्शित करने के लिए दीर्घवृत्त (...) का उपयोग किया जाता है, यदि लेखक का मानना है कि पाठक सरलता से अनुमान लगा सकता है कि ... क्या दर्शाता है; उदाहरण के लिए, $\{1,2,3,\dots ,100\}$ संभवतः 1 से 100 तक पूर्णांकों के समुच्चय को प्रदर्शित करता है। चूँकि, इस विषय में भी, सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना अभी भी संभव है, क्योंकि समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित है। यदि हम समुच्चय के तत्वों को 1, 2, $n$ इत्यादि तक क्रमांकित करते हैं, तो यह हमें $n$ आकार के समुच्चय की सामान्य परिभाषा देता है I

पूर्णांक से सम संख्याओं तक विशेषण मानचित्रण

कुछ समुच्चय अपरिमितत हैं; इन समुच्चयों में इससे भी अधिक $n$ तत्व है I जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है जिसे निर्दिष्ट किया जा सकता है। ( निर्दिष्ट $n$ पूर्णांक कितना बड़ा है, जैसे $n=10^{1000}$ , अपरिमितत समुच्चय $n$ तत्व से अधिक है।) उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय, $\{0,1,2,3,4,5,\dots \}$ द्वारा निरूपित हैं,^{[lower-alpha 1]} अपरिमितत रूप से कई तत्व हैं, और हम इसका आकार देने के लिए किसी प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं कर सकते हैं। समुच्चयों को भिन्न-भिन्न वर्गों में विभाजित करना स्वाभाविक लग सकता है: एक तत्व वाले सभी समुच्चयों को साथ रखें; सभी समुच्चय जिनमें दो तत्व साथ हैं; अंत में, सभी अपरिमितत समुच्चयों को साथ रखें और उन्हें समान आकार का मानें। यह दृश्य अनगिनत अपरिमितत समुच्चयों के लिए अच्छा काम करता है और जॉर्ज कैंटर के काम से पूर्व यह प्रचलित धारणा थी। उदाहरण के लिए, अपरिमित रूप से अनेक विषम पूर्णांक, अपरिमित रूप से अनेक सम पूर्णांक और कुल मिलाकर अपरिमित रूप से अनेक पूर्णांक होते हैं। हम इन सभी समुच्चयों को समान आकार का मान सकते हैं क्योंकि हम तत्वों को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं कि, प्रत्येक पूर्णांक के लिए, भिन्न सम पूर्णांक हो:

\ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots

या, अधिक सामान्यतः,

n\rightarrow 2n

(चित्र देखने)। हमने यहां जो किया है, वह पूर्णांकों और सम पूर्णांकों को अनेक पत्राचार (या आक्षेप) में व्यवस्थित करना है, यह फलन (गणित) है जो दो समुच्चयों के मध्य मैप करता है जैसे कि प्रत्येक समुच्चय का प्रत्येक तत्व एक ही तत्व से मेल खाता है दूसरे समुच्चय में आकार, कार्डिनलिटी की यह गणितीय धारणा यह है कि दो समुच्चय समान आकार के होते हैं, जब उनके मध्य कोई आपत्ति हो। हम उन सभी समुच्चयों को अपरिमित कहते हैं जो पूर्णांकों के साथ अनेक पत्राचार में हैं और कहते हैं कि उनमें कार्डिनैलिटी

\aleph _{0}

है I

जॉर्ज कैंटर ने दिखाया कि सभी अपरिमित समुच्चय गणनीय रूप से अपरिमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं (गैर-नकारात्मक पूर्णांक) के साथ अनेक पत्राचार में नहीं रखा जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की तुलना में अधिक प्रमुखता होती है और इसे अपरिमित कहा जाता है।

औपचारिक अवलोकन

परिभाषा के अनुसार, समुच्चय $S$ यदि मध्य में कोई आपत्ति उपस्थित है तो $S$ और प्राकृतिक संख्याओं का उपसमुच्चय $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$ गणनीय है I उदाहरण के लिए, पत्राचार को परिभाषित करें

a\leftrightarrow 1,\ b\leftrightarrow 2,\ c\leftrightarrow 3

चूँकि प्रत्येक तत्व

S=\{a,b,c\}

के

\{1,2,3\}

तत्व के साथ जोड़ा गया है, और इसके विपरीत, यह आक्षेप को परिभाषित करता है, और उसे दिखाता है,

S

गणनीय है. इसी प्रकार हम दिखा सकते हैं कि सभी परिमित समुच्चय गणनीय हैं।

जहाँ तक अपरिमित समुच्चयों का विषय है, समुच्चय $S$ यदि मध्य में कोई आपत्ति है, तो $S$ और सभी $\mathbb {N}$ गणनीय रूप से अपरिमित है I उदाहरण के लिए, समुच्चय पर विचार करें I $A=\{1,2,3,\dots \}$ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय, और $B=\{0,2,4,6,\dots \}$ , सम पूर्णांकों का समुच्चय है। हम प्राकृतिक संख्याओं पर आपत्ति प्रदर्शित करके यह दिखा सकते हैं कि ये समुच्चय गणनीय रूप से अपरिमित हैं। इसे असाइनमेंट $n\leftrightarrow n+1$ और $n\leftrightarrow 2n$ ,का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता:-

{\begin{matrix}0\leftrightarrow 1,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 3,&3\leftrightarrow 4,&4\leftrightarrow 5,&\ldots \\[6pt]0\leftrightarrow 0,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 4,&3\leftrightarrow 6,&4\leftrightarrow 8,&\ldots \end{matrix}}

प्रत्येक अपरिमित समुच्चय गणनीय है, और प्रत्येक अपरिमित गणनीय समुच्चय गणनीय रूप से अपरिमित है। इसके अतिरिक्त, प्राकृतिक संख्याओं का कोई भी उपसमूह गणनीय है,

Theorem — गणनीय समुच्चय का उपसमुच्चय गणनीय होता है.^[20]

प्राकृतिक संख्याओं के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय (प्राकृतिक संख्याओं के दो समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल, $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ यह अनगिनत रूप से अपरिमित है, जैसा कि चित्र में दिखाए गए पथ का अनुसरण करके देखा जा सकता है:

कैंटर युग्मन फ़ंक्शन प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को एक प्राकृतिक संख्या निर्दिष्ट करता है

परिणामी मानचित्र (गणित) इस प्रकार आगे बढ़ता है:

0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots

यह मैपिंग ऐसे सभी ऑर्डर किए गए जोड़े को कवर करती है।

त्रिकोणीय मानचित्रण पुनरावर्तन का यह रूप सामान्यीकृत होता है I $n$ -प्राकृतिक संख्याओं का समूह, अर्थात्, $(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})$ जहाँ $a_{i}$ और $n$ के प्रथम दो तत्वों को मैप करके, प्राकृतिक संख्याएँ हैं I $n$ प्राकृतिक संख्या में ट्यूपल करें। उदाहरण के लिए, $(0,2,3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, $((0,2),3)$ तब $(0,2)$ 5 तक मानचित्र $((0,2),3)$ के लिए मानचित्र $(5,3)$ , तब $(5,3)$ 39 तक मैप करता है। चूंकि अलग 2-टुपल, वह जोड़ी है जैसे $(a,b)$ , अलग प्राकृतिक संख्या के लिए मैप, तत्व द्वारा दो एन-टुपल्स के मध्य का अंतर यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि एन-टुपल्स को भिन्न-भिन्न प्राकृतिक संख्याओं के लिए मैप किया जा रहा है। समुच्चय से इंजेक्शन $n$ -प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के ट्यूपल्स $\mathbb {N}$ सिद्ध है, $n$ - कार्टेशियन के समुच्चय के लिए उत्पाद द्वारा परिमित रूप से कई भिन्न-भिन्न समुच्चयों से बने टुपल्स, प्रत्येक टुपल में प्रत्येक तत्व का प्राकृतिक संख्या के साथ पत्राचार होता है, इसलिए प्रत्येक टुपल को प्राकृतिक संख्याओं में लिखा जा सकता है, पुनः प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उसी तर्क को प्रस्तावित किया जाता है।

Theorem — कार्तीय गुणन परिमित रूप से अनेक गणनीय समुच्चय गणनीय हैं.^[21]^{[lower-alpha 2]}

सभी पूर्णांकों का समुच्चय $\mathbb {Z}$ और सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {Q}$ सहज रूप से इससे कहीं अधिक बड़ा लग सकता है, $\mathbb {N}$ स्वरूप धोखा देने वाले हो सकते हैं। यदि जोड़ी को अशिष्ट भिन्न (भिन्न के रूप में) के अंश और हर के रूप में माना जाता है I $a/b$ जहाँ $a$ और $b\neq 0$ पूर्णांक हैं), तो प्रत्येक धनात्मक भिन्न के लिए, हम उसके अनुरूप विशिष्ट प्राकृत संख्या प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रतिनिधित्व में प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के पश्चात् से प्राकृतिक संख्याएँ भी सम्मिलित हैं I $n$ यह भी $n/1$ का अंश है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उतनी ही धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जितनी धनात्मक पूर्णांक हैं। यह सभी परिमेय संख्याओं के लिए भी सत्य है, जैसा कि नीचे देखा जा सकता है।

Theorem — $\mathbb {Z}$ (the set of all integers) and $\mathbb {Q}$ (the set of all rational numbers) are countable.^{[lower-alpha 3]}

इसी प्रकार, बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय होता है।^[23]^{[lower-alpha 4]}

कभी-कभी अधिक मैपिंग उपयोगी होती है: समुच्चय $A$ गणनीय के रूप में दिखाया जाना, दूसरे समुच्चय में मैप (इंजेक्शन) करना है I $B$ , तब $A$ गणनीय सिद्ध होता है यदि $B$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर मैप किया जाता है। उदाहरण के लिए, सकारात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय को प्राकृतिक संख्या जोड़े (2-टुपल्स) के समुच्चय पर सरलता से मैप किया जा सकता है, क्योंकि $p/q$ के लिए मानचित्र $(p,q)$ , चूँकि प्राकृतिक संख्या युग्मों का समुच्चय प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए मैप (वास्तव में एक-से-एक पत्राचार या आक्षेप) है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, सकारात्मक तर्कसंगत संख्या समुच्चय गणनीय सिद्ध होता है।

Theorem — कोई भी परिमित संघ गणनीय समुच्चय गणनीय है I^[24]^[25]^{[lower-alpha 5]}

यह जानने की दूरदर्शिता के साथ कि अनगिनत समुच्चय हैं, हम आश्चर्यचकित हो सकते हैं कि क्या इस अंतिम परिणाम को और आगे बढ़ाया जा सकता है या नहीं। इसका उत्तर हाँ और नहीं है, हम इसे बढ़ा सकते हैं, लेकिन ऐसा करने के लिए हमें नया सिद्धांत मानने की आवश्यकता है।

Theorem — (Assuming the axiom of countable choice) The union of countably many countable sets is countable.^{[lower-alpha 6]}

गणनीय समुच्चयों की गणनीय संख्या की गणना

उदाहरण के लिए, गणनीय समुच्चय ${\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots$ दिए गए हैं, हम प्रत्येक समुच्चय के प्रत्येक तत्व को टुपल निर्दिष्ट करते हैं, फिर हम ऊपर देखे गए त्रिकोणीय गणना के प्रकार का उपयोग करके प्रत्येक टुपल को सूचकांक निर्दिष्ट करते हैं:

{\begin{array}{c|c|c }{\text{Index}}&{\text{Tuple}}&{\text{Element}}\\\hline 0&(0,0)&{\textbf {a}}_{0}\\1&(0,1)&{\textbf {a}}_{1}\\2&(1,0)&{\textbf {b}}_{0}\\3&(0,2)&{\textbf {a}}_{2}\\4&(1,1)&{\textbf {b}}_{1}\\5&(2,0)&{\textbf {c}}_{0}\\6&(0,3)&{\textbf {a}}_{3}\\7&(1,2)&{\textbf {b}}_{2}\\8&(2,1)&{\textbf {c}}_{1}\\9&(3,0)&{\textbf {d}}_{0}\\10&(0,4)&{\textbf {a}}_{4}\\\vdots &&\end{array}}

हमें सभी समुच्चयों

{\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots

को अनुक्रमित करने के लिए गणनीय विकल्प के सिद्धांत की आवश्यकता है I

Theorem — The set of all finite-length sequences of natural numbers is countable.

यह समुच्चय लंबाई-1 अनुक्रम, लंबाई-2 अनुक्रम, लंबाई-3 अनुक्रमों का संघ है, जिनमें से प्रत्येक गणनीय समुच्चय (परिमित कार्टेशियन उत्पाद) है। तो हम गणनीय समुच्चयों के गणनीय संघ के सम्बन्ध में बात कर रहे हैं, जो पूर्व प्रमेय के अनुसार गणनीय है।

Theorem — The set of all finite subsets of the natural numbers is countable.

किसी भी परिमित उपसमुच्चय के तत्वों को परिमित अनुक्रम में क्रमबद्ध किया जा सकता है। वहाँ केवल गिनती के कई परिमित अनुक्रम हैं, इसलिए वहाँ भी केवल गिनती के कई परिमित उपसमुच्चय हैं।

Theorem — Let $S$ and $T$ be sets.

If the function $f:S\to T$ is injective and $T$ is countable then $S$ is countable.
If the function $g:S\to T$ is surjective and $S$ is countable then $T$ is countable.

ये अन्तःक्षेपण/विशेषण फलन के रूप में गणनीय समुच्चय की परिभाषाओं का अनुसरण करते हैं।^{[lower-alpha 7]}

कैंटर का प्रमेय इस विषय पर जोर देता है, कि यदि $A$ समुच्चय है और ${\mathcal {P}}(A)$ इसका सत्ता स्थापित है, सभी उपसमुच्चय का $A$ समुच्चय है, तो कोई विशेषण फलन $A$ को ${\mathcal {P}}(A)$ नहीं है, कैंटर के प्रमेय लेख में प्रमाण दिया गया है। इसके तत्काल परिणाम और उपरोक्त मूल प्रमेय के रूप में हमारे निकट है:

Proposition — The set ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ is not countable; i.e. it is uncountable.

इस परिणाम के विस्तार के लिए कैंटर का विकर्ण तर्क देखें।

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है,^{[lower-alpha 8]} और प्राकृतिक संख्याओं के सभी अपरिमित अनुक्रमों का समुच्चय भी ऐसा ही है।

समुच्चय सिद्धांत का न्यूनतम मॉडल गणनीय है

यदि कोई समुच्चय है, जो जेडएफसी समुच्चय सिद्धांत का मानक मॉडल (आंतरिक मॉडल देखें) है, तो न्यूनतम मानक मॉडल है (ब्रह्मांड का निर्माण देखें)। लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि यह न्यूनतम मॉडल गणनीय है। तथ्य यह है कि अपरिमित की धारणा इस मॉडल में भी समझ में आती है, और विशेष रूप से इस मॉडल एम में ऐसे तत्व सम्मिलित हैं:

M का उपसमुच्चय, इसलिए गणनीय,
लेकिन एम की दृष्टि से सम्मिलित,

समुच्चय सिद्धांत के प्रारम्भिक दिनों में इसे विरोधाभास के रूप में देखा गया था, अधिक जानकारी के लिए स्कोलेम का विरोधाभास देखें।

न्यूनतम मानक मॉडल में सभी बीजगणितीय संख्याएँ और सभी प्रभावी रूप से गणना योग्य पारलौकिक संख्याएँ, साथ ही कई अन्य प्रकार की संख्याएँ सम्मिलित हैं।

कुल ऑर्डर

गणनीय समुच्चय विभिन्न प्रकारो से कुल क्रम के हो सकते हैं, उदाहरण के लिए:

अच्छी तरह से आदेश (क्रमिक संख्या भी देखें):
- प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य क्रम (0, 1, 2, 3, 4, 5,...)
- क्रम में पूर्णांक (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...)
अन्य (अच्छे ऑर्डर नहीं):
- पूर्णांकों का सामान्य क्रम (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...)
- तर्कसंगत संख्याओं का सामान्य क्रम (स्पष्ट रूप से क्रमबद्ध सूची के रूप में नहीं लिखा जा सकता!)

यहां सुक्रम के दोनों उदाहरणों में, किसी भी उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है; और गैर-अच्छी प्रकार से आदेश के दोनों उदाहरणों में, कुछ उपसमुच्चय में कम से कम तत्व नहीं है। यह मुख्य परिभाषा है जो यह निर्धारित करती है कि क्या कुल ऑर्डर भी अच्छा ऑर्डर है।

यह भी देखें

अलेफ़ संख्या
गिनती
हिल्बर्ट का ग्रैंड होटल का विरोधाभास
अपरिमित समुच्चय

↑ ^1.0 ^1.1 Since there is an obvious bijection between $\mathbb {N}$ and $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}$ , it makes no difference whether one considers 0 a natural number or not. In any case, this article follows ISO 31-11 and the standard convention in mathematical logic, which takes 0 as a natural number.
↑ Proof: Observe that $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ is countable as a consequence of the definition because the function $f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ given by $f(m,n)=2^{m}\cdot 3^{n}$ is injective.^[22] It then follows that the Cartesian product of any two countable sets is countable, because if $A$ and $B$ are two countable sets there are surjections $f:\mathbb {N} \to A$ and $g:\mathbb {N} \to B$ . So $f\times g:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A\times B$ is a surjection from the countable set $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ to the set $A\times B$ and the Corollary implies $A\times B$ is countable. This result generalizes to the Cartesian product of any finite collection of countable sets and the proof follows by induction on the number of sets in the collection.
↑ Proof: The integers $\mathbb {Z}$ are countable because the function $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ given by $f(n)=2^{n}$ if $n$ is non-negative and $f(n)=3^{-n}$ if $n$ is negative, is an injective function. The rational numbers $\mathbb {Q}$ are countable because the function $g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ given by $g(m,n)=m/(n+1)$ is a surjection from the countable set $\mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ to the rationals $\mathbb {Q}$ .
↑ Proof: Per definition, every algebraic number (including complex numbers) is a root of a polynomial with integer coefficients. Given an algebraic number $\alpha$ , let $a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ be a polynomial with integer coefficients such that $\alpha$ is the $k$ -th root of the polynomial, where the roots are sorted by absolute value from small to big, then sorted by argument from small to big. We can define an injection (i. e. one-to-one) function $f:\mathbb {A} \to \mathbb {Q}$ given by $f(\alpha )=2^{k-1}\cdot 3^{a_{0}}\cdot 5^{a_{1}}\cdot 7^{a_{2}}\cdots {p_{n+2}}^{a_{n}}$ , where $p_{n}$ is the $n$ -th prime.
↑ Proof: If $A_{i}$ is a countable set for each $i$ in $I=\{1,\dots ,n\}$ , then for each $n$ there is a surjective function $g_{i}:\mathbb {N} \to A_{i}$ and hence the function $G:I\times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i},$ given by $G(i,m)=g_{i}(m)$ is a surjection. Since $I\times \mathbb {N}$ is countable, the union ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ is countable.
↑ Proof: As in the finite case, but $I=\mathbb {N}$ and we use the axiom of countable choice to pick for each $i$ in $\mathbb {N}$ a surjection $g_{i}$ from the non-empty collection of surjections from $\mathbb {N}$ to $A_{i}$ .^[26] Note that since we are considering the surjection $G:\mathbf {N} \times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i}$ , rather than an injection, there is no requirement that the sets be disjoint.
↑ Proof: For (1) observe that if $T$ is countable there is an injective function $h:T\to \mathbb {N}$ . Then if $f:S\to T$ is injective the composition $h\circ f:S\to \mathbb {N}$ is injective, so $S$ is countable. For (2) observe that if $S$ is countable, either $S$ is empty or there is a surjective function $h:\mathbb {N} \to S$ . Then if $g:S\to T$ is surjective, either $S$ and $T$ are both empty, or the composition $g\circ h:\mathbb {N} \to T$ is surjective. In either case $T$ is countable.
↑ See Cantor's first uncountability proof, and also Finite intersection property#Applications for a topological proof.

उद्धरण

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संदर्भ

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Halmos, Paul R. (1960), Naive Set Theory, D. Van Nostrand Company, Inc Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
Kamke, Erich (1950), Theory of Sets, Dover series in mathematics and physics, New York: Dover, ISBN 978-0486601410
Lang, Serge (1993), Real and Functional Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94001-4
Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
Tao, Terence (2016). "Infinite sets". Analysis I. Texts and Readings in Mathematics (in English). Vol. 37 (Third ed.). Singapore: Springer. pp. 181–210. doi:10.1007/978-981-10-1789-6_8. ISBN 978-981-10-1789-6.

[ZeroN-1] 1.0 ^1.1 Since there is an obvious bijection between $\mathbb {N}$ and $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}$ , it makes no difference whether one considers 0 a natural number or not. In any case, this article follows ISO 31-11 and the standard convention in mathematical logic, which takes 0 as a natural number.

[24] Proof: Observe that $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ is countable as a consequence of the definition because the function $f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ given by $f(m,n)=2^{m}\cdot 3^{n}$ is injective.^[22] It then follows that the Cartesian product of any two countable sets is countable, because if $A$ and $B$ are two countable sets there are surjections $f:\mathbb {N} \to A$ and $g:\mathbb {N} \to B$ . So $f\times g:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A\times B$ is a surjection from the countable set $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ to the set $A\times B$ and the Corollary implies $A\times B$ is countable. This result generalizes to the Cartesian product of any finite collection of countable sets and the proof follows by induction on the number of sets in the collection.

[25] Proof: The integers $\mathbb {Z}$ are countable because the function $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ given by $f(n)=2^{n}$ if $n$ is non-negative and $f(n)=3^{-n}$ if $n$ is negative, is an injective function. The rational numbers $\mathbb {Q}$ are countable because the function $g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ given by $g(m,n)=m/(n+1)$ is a surjection from the countable set $\mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ to the rationals $\mathbb {Q}$ .

[27] Proof: Per definition, every algebraic number (including complex numbers) is a root of a polynomial with integer coefficients. Given an algebraic number $\alpha$ , let $a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ be a polynomial with integer coefficients such that $\alpha$ is the $k$ -th root of the polynomial, where the roots are sorted by absolute value from small to big, then sorted by argument from small to big. We can define an injection (i. e. one-to-one) function $f:\mathbb {A} \to \mathbb {Q}$ given by $f(\alpha )=2^{k-1}\cdot 3^{a_{0}}\cdot 5^{a_{1}}\cdot 7^{a_{2}}\cdots {p_{n+2}}^{a_{n}}$ , where $p_{n}$ is the $n$ -th prime.

[30] Proof: If $A_{i}$ is a countable set for each $i$ in $I=\{1,\dots ,n\}$ , then for each $n$ there is a surjective function $g_{i}:\mathbb {N} \to A_{i}$ and hence the function $G:I\times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i},$ given by $G(i,m)=g_{i}(m)$ is a surjection. Since $I\times \mathbb {N}$ is countable, the union ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ is countable.

[32] Proof: As in the finite case, but $I=\mathbb {N}$ and we use the axiom of countable choice to pick for each $i$ in $\mathbb {N}$ a surjection $g_{i}$ from the non-empty collection of surjections from $\mathbb {N}$ to $A_{i}$ .^[26] Note that since we are considering the surjection $G:\mathbf {N} \times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i}$ , rather than an injection, there is no requirement that the sets be disjoint.

[33] Proof: For (1) observe that if $T$ is countable there is an injective function $h:T\to \mathbb {N}$ . Then if $f:S\to T$ is injective the composition $h\circ f:S\to \mathbb {N}$ is injective, so $S$ is countable. For (2) observe that if $S$ is countable, either $S$ is empty or there is a surjective function $h:\mathbb {N} \to S$ . Then if $g:S\to T$ is surjective, either $S$ and $T$ are both empty, or the composition $g\circ h:\mathbb {N} \to T$ is surjective. In either case $T$ is countable.

[34] See Cantor's first uncountability proof, and also Finite intersection property#Applications for a topological proof.

[2] Manetti, Marco (19 June 2015). टोपोलॉजी (in English). Springer. p. 26. ISBN 978-3-319-16958-3.

[Rudin-3] Rudin 1976, Chapter 2

[4] Tao 2016, p. 181

[5] Kamke 1950, p. 2

[Lang-6] 5.0 ^5.1 Lang 1993, §2 of Chapter I

[Apostol-7] Apostol 1969, p. 23, Chapter 1.14

[8] Thierry, Vialar (4 April 2017). गणित की पुस्तिका (in English). BoD - Books on Demand. p. 24. ISBN 978-2-9551990-1-5.

[9] Mukherjee, Subir Kumar (2009). वास्तविक विश्लेषण में पहला कोर्स (in English). Academic Publishers. p. 22. ISBN 978-81-89781-90-3.

[Yaqub-10] 9.0 ^9.1 ^9.2 Yaqub, Aladdin M. (24 October 2014). मेटालॉजिक का एक परिचय (in English). Broadview Press. ISBN 978-1-4604-0244-3.

[Singh-11] Singh, Tej Bahadur (17 May 2019). टोपोलॉजी का परिचय (in English). Springer. p. 422. ISBN 978-981-13-6954-4.

[Katzourakis-12] 11.0 ^11.1 Katzourakis, Nikolaos; Varvaruca, Eugen (2 January 2018). आधुनिक विश्लेषण का एक उदाहरणात्मक परिचय (in English). CRC Press. ISBN 978-1-351-76532-9.

[13] Halmos 1960, p. 91

[14] Kamke 1950, p. 2

[15] Dlab, Vlastimil; Williams, Kenneth S. (9 June 2020). Invitation To Algebra: A Resource Compendium For Teachers, Advanced Undergraduate Students And Graduate Students In Mathematics (in English). World Scientific. p. 8. ISBN 978-981-12-1999-3.

[16] Tao 2016, p. 182

[17] Stillwell, John C. (2010), Roads to Infinity: The Mathematics of Truth and Proof, CRC Press, p. 10, ISBN 9781439865507, Cantor's discovery of uncountable sets in 1874 was one of the most unexpected events in the history of mathematics. Before 1874, infinity was not even considered a legitimate mathematical subject by most people, so the need to distinguish between countable and uncountable infinities could not have been imagined.

[18] Cantor 1878, p. 242.

[19] Ferreirós 2007, pp. 268, 272–273.

[20] "What Are Sets and Roster Form?". expii. 2021-05-09. Archived from the original on 2020-09-18.

[21] Halmos 1960, p. 91

[22] Halmos 1960, p. 92

[23] Avelsgaard 1990, p. 182

[26] Kamke 1950, pp. 3–4

[28] Avelsgaard 1990, p. 180

[29] Fletcher & Patty 1988, p. 187

[31] Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (22 June 1999). Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded (in English). CRC Press. p. 141. ISBN 978-0-8247-7915-3.

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 इस अवधारणा का श्रेय [[जॉर्ज कैंटर]] को दिया जाता है, जिन्होंने अनगिनत समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध किया, ऐसे समुच्चय जो गिनने योग्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय आदि।
-==शब्दावली पर एक नोट <span class= एंकर आईडी= शब्दावली ></span>==
+==शब्दावली पर नोट ==
 यद्यपि यहां परिभाषित गणनीय और गणनीय अनंत शब्द अधिक सामान्य हैं, किन्तु शब्दावली सार्वभौमिक नहीं है।<ref>{{cite book |last1=Manetti |first1=Marco |title=टोपोलॉजी|date=19 June 2015 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-16958-3 |page=26 |url=https://books.google.com/books?id=89zyCQAAQBAJ&pg=PA26 |language=en}}</ref> वैकल्पिक शैली में गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है, और अधिक से अधिक गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय कहा जाता है।<ref name="Rudin">{{Harvard citation no brackets|Rudin|1976|loc=Chapter 2}}</ref><ref>{{harvnb|Tao|2016|p=181}}</ref> अस्पष्टता से बचने के लिए, व्यक्ति अपने आप को अधिकतम गणनीय और गणनीय अनंत शब्दों तक सीमित कर सकता है, चूँकि संक्षेपण के संबंध में यह दोनों संसारो में सबसे अनुपयुक्त है।{{cn|date=September 2021}} पाठक को राय दी जाती है कि साहित्य में गणनीय शब्द का सामना करते समय उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करें।
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 {{math theorem | math_statement = (Assuming the [[axiom of countable choice]]) The union of countably many countable sets is countable.{{efn|1='''Proof''': As in the finite case, but <math>I=\N</math> and we use the [[axiom of countable choice]] to pick for each <math>i</math> in <math>\N</math> a surjection <math>g_i</math> from the non-empty collection of surjections from <math>\N</math> to <math>A_i</math>.<ref>{{cite book |last1=Hrbacek |first1=Karel |last2=Jech |first2=Thomas |title=Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded |date=22 June 1999 |publisher=CRC Press |isbn=978-0-8247-7915-3 |page=141 |url=https://www.google.com/books/edition/Introduction_to_Set_Theory_Third_Edition/Er1r0n7VoSEC?hl=en&gbpv=1&pg=PA141 |language=en}}</ref> Note that since we are considering the surjection <math>G : \mathbf{N} \times \mathbf{N} \to \bigcup_{i \in I} A_i</math>, rather than an injection, there is no requirement that the sets be disjoint.}}}}
-[[File:Countablepath.svg|thumb|300px|गणनीय समुच्चयों की गणनीय संख्या की गणना]]उदाहरण के लिए, गणनीय समुच्चय दिए गए हैं <math>\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c},\dots</math>, हम पहले प्रत्येक समुच्चय के प्रत्येक तत्व को एक टुपल निर्दिष्ट करते हैं, फिर हम ऊपर देखे गए त्रिकोणीय गणना के एक प्रकार का उपयोग करके प्रत्येक टुपल को एक सूचकांक निर्दिष्ट करते हैं:
+[[File:Countablepath.svg|thumb|300px|गणनीय समुच्चयों की गणनीय संख्या की गणना]]उदाहरण के लिए, गणनीय समुच्चय <math>\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c},\dots</math> दिए गए हैं, हम प्रत्येक समुच्चय के प्रत्येक तत्व को टुपल निर्दिष्ट करते हैं, फिर हम ऊपर देखे गए त्रिकोणीय गणना के प्रकार का उपयोग करके प्रत्येक टुपल को सूचकांक निर्दिष्ट करते हैं:
 <math display=block>
 \begin{array}{ c|c|c }
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 \end{array}
 </math>
-हमें सभी समुच्चयों को अनुक्रमित करने के लिए गणनीय विकल्प के सिद्धांत की आवश्यकता है <math>\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c},\dots</math> इसके साथ ही।
+हमें सभी समुच्चयों <math>\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c},\dots</math> को अनुक्रमित करने के लिए गणनीय विकल्प के सिद्धांत की आवश्यकता है I
 {{math theorem | math_statement = The set of all finite-length [[sequence]]s of natural numbers is countable.}}
-यह समुच्चय लंबाई-1 अनुक्रम, लंबाई-2 अनुक्रम, लंबाई-3 अनुक्रमों का संघ है, जिनमें से प्रत्येक एक गणनीय समुच्चय (परिमित कार्टेशियन उत्पाद) है। तो हम गणनीय समुच्चयों के गणनीय संघ के बारे में बात कर रहे हैं, जो पिछले प्रमेय के अनुसार गणनीय है।
+यह समुच्चय लंबाई-1 अनुक्रम, लंबाई-2 अनुक्रम, लंबाई-3 अनुक्रमों का संघ है, जिनमें से प्रत्येक गणनीय समुच्चय (परिमित कार्टेशियन उत्पाद) है। तो हम गणनीय समुच्चयों के गणनीय संघ के सम्बन्ध में बात कर रहे हैं, जो पूर्व प्रमेय के अनुसार गणनीय है।
 {{math theorem | math_statement = The set of all finite [[subset]]s of the natural numbers is countable.}}
-किसी भी परिमित उपसमुच्चय के तत्वों को एक परिमित अनुक्रम में क्रमबद्ध किया जा सकता है। वहाँ केवल गिनती के कई परिमित अनुक्रम हैं, इसलिए वहाँ भी केवल गिनती के कई परिमित उपसमुच्चय हैं।
+किसी भी परिमित उपसमुच्चय के तत्वों को परिमित अनुक्रम में क्रमबद्ध किया जा सकता है। वहाँ केवल गिनती के कई परिमित अनुक्रम हैं, इसलिए वहाँ भी केवल गिनती के कई परिमित उपसमुच्चय हैं।
 {{math theorem | math_statement = Let <math>S</math> and <math>T</math> be sets.
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 # If the function <math>g:S\to T</math> is surjective and <math>S</math> is countable then <math>T</math> is countable.}}
-ये इंजेक्शन/विशेषण फलन के रूप में गणनीय समुच्चय की परिभाषाओं का अनुसरण करते हैं।{{efn|'''Proof''': For (1) observe that if <math>T</math> is countable there is an injective function  <math>h:T\to\N</math>.  Then if <math>f:S\to T</math> is injective the composition <math>h\circ f:S\to \N</math> is injective, so <math>S</math> is countable.
+ये अन्तःक्षेपण/विशेषण फलन के रूप में गणनीय समुच्चय की परिभाषाओं का अनुसरण करते हैं।{{efn|'''Proof''': For (1) observe that if <math>T</math> is countable there is an injective function  <math>h:T\to\N</math>.  Then if <math>f:S\to T</math> is injective the composition <math>h\circ f:S\to \N</math> is injective, so <math>S</math> is countable.
 For (2) observe that if <math>S</math> is countable, either <math>S</math> is empty or there is a surjective function <math>h:\N\to S</math>.  Then if <math>g:S\to T</math> is surjective, either <math>S</math> and <math>T</math> are both empty, or the composition <math>g\circ h:\N\to T</math> is surjective. In either case <math>T</math> is countable.
 }}
-कैंटर का प्रमेय इस बात पर जोर देता है कि यदि <math>A</math> एक समुच्चय है और <math>\mathcal{P}(A)</math> इसका [[ सत्ता स्थापित ]] है, यानी सभी उपसमुच्चय का समुच्चय <math>A</math>, तो कोई विशेषण फलन नहीं है <math>A</math> को <math>\mathcal{P}(A)</math>. कैंटर के प्रमेय लेख में एक प्रमाण दिया गया है। इसके तत्काल परिणाम और उपरोक्त मूल प्रमेय के रूप में हमारे पास है:
+कैंटर का प्रमेय इस विषय पर जोर देता है, कि यदि <math>A</math> समुच्चय है और <math>\mathcal{P}(A)</math> इसका [[ सत्ता स्थापित |सत्ता स्थापित]] है, सभी उपसमुच्चय का <math>A</math> समुच्चय है, तो कोई विशेषण फलन <math>A</math> को <math>\mathcal{P}(A)</math> नहीं है, कैंटर के प्रमेय लेख में प्रमाण दिया गया है। इसके तत्काल परिणाम और उपरोक्त मूल प्रमेय के रूप में हमारे निकट है:
 {{math theorem | name = Proposition | math_statement = The set <math>\mathcal{P}(\N)</math> is not countable; i.e. it is [[uncountable]].}}
 इस परिणाम के विस्तार के लिए कैंटर का विकर्ण तर्क देखें।
-वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है,{{efn|See [[Cantor's first uncountability proof]], and also [[Finite intersection property#Applications]] for a topological proof.}} और प्राकृतिक संख्याओं के सभी अनंत [[अनुक्रम]]ों का समुच्चय भी ऐसा ही है।
+वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है,{{efn|See [[Cantor's first uncountability proof]], and also [[Finite intersection property#Applications]] for a topological proof.}} और प्राकृतिक संख्याओं के सभी अपरिमित [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] का समुच्चय भी ऐसा ही है।
 ==समुच्चय सिद्धांत का न्यूनतम मॉडल गणनीय है==
-यदि कोई समुच्चय है जो ZFC समुच्चय सिद्धांत का एक मानक मॉडल ([[आंतरिक मॉडल]] देखें) है, तो एक न्यूनतम मानक मॉडल है ([[ब्रह्मांड का निर्माण]] देखें)। लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि यह न्यूनतम मॉडल गणनीय है। तथ्य यह है कि बेशुमारता की धारणा इस मॉडल में भी समझ में आती है, और विशेष रूप से इस मॉडल एम में ऐसे तत्व शामिल हैं:
+यदि कोई समुच्चय है, जो जेडएफसी समुच्चय सिद्धांत का मानक मॉडल ([[आंतरिक मॉडल]] देखें) है, तो न्यूनतम मानक मॉडल है ([[ब्रह्मांड का निर्माण]] देखें)। लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि यह न्यूनतम मॉडल गणनीय है। तथ्य यह है कि अपरिमित की धारणा इस मॉडल में भी समझ में आती है, और विशेष रूप से इस मॉडल एम में ऐसे तत्व सम्मिलित हैं:
 * M का उपसमुच्चय, इसलिए गणनीय,
-*लेकिन एम की दृष्टि से बेशुमार,
+*लेकिन एम की दृष्टि से सम्मिलित,
-समुच्चय सिद्धांत के शुरुआती दिनों में इसे विरोधाभास के रूप में देखा गया था, अधिक जानकारी के लिए स्कोलेम का विरोधाभास देखें।
+समुच्चय सिद्धांत के प्रारम्भिक दिनों में इसे विरोधाभास के रूप में देखा गया था, अधिक जानकारी के लिए स्कोलेम का विरोधाभास देखें।
-न्यूनतम मानक मॉडल में सभी बीजगणितीय संख्याएँ और सभी प्रभावी रूप से गणना योग्य [[पारलौकिक संख्या]]एँ, साथ ही कई अन्य प्रकार की संख्याएँ शामिल हैं।
+न्यूनतम मानक मॉडल में सभी बीजगणितीय संख्याएँ और सभी प्रभावी रूप से गणना योग्य [[पारलौकिक संख्या|पारलौकिक संख्याएँ]], साथ ही कई अन्य प्रकार की संख्याएँ सम्मिलित हैं।
 ==[[कुल ऑर्डर]]==
-गणनीय समुच्चय विभिन्न तरीकों से कुल क्रम के हो सकते हैं, उदाहरण के लिए:
+गणनीय समुच्चय विभिन्न प्रकारो से कुल क्रम के हो सकते हैं, उदाहरण के लिए:
 *[[अच्छी तरह से आदेश]] (क्रमिक संख्या भी देखें):
 **प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य क्रम (0, 1, 2, 3, 4, 5,...)
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 **तर्कसंगत संख्याओं का सामान्य क्रम (स्पष्ट रूप से क्रमबद्ध सूची के रूप में नहीं लिखा जा सकता!)
-यहां सुक्रम के दोनों उदाहरणों में, किसी भी उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है; और गैर-अच्छी तरह से आदेश के दोनों उदाहरणों में, कुछ उपसमुच्चय में कम से कम तत्व नहीं है।
+यहां सुक्रम के दोनों उदाहरणों में, किसी भी उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है; और गैर-अच्छी प्रकार से आदेश के दोनों उदाहरणों में, कुछ उपसमुच्चय में कम से कम तत्व नहीं है। यह मुख्य परिभाषा है जो यह निर्धारित करती है कि क्या कुल ऑर्डर भी अच्छा ऑर्डर है।
-यह मुख्य परिभाषा है जो यह निर्धारित करती है कि क्या कुल ऑर्डर भी एक अच्छा ऑर्डर है।
 ==यह भी देखें==
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 *[[गिनती]]
 * हिल्बर्ट का ग्रैंड होटल का विरोधाभास
-* बेशुमार समुच्चय
+* अपरिमित समुच्चय
 ==टिप्पणियाँ==

v t e संख्या प्रणाली
गणना योग्य सेट	प्राकृतिक संख्या ( $\mathbb {N}$ ) पूर्णांक ( $\mathbb {Z}$ ) तर्कसंगत संख्या ( $\mathbb {Q}$ ) निर्माण योग्य संख्या बीजगणितीय संख्या ( $\mathbb {A}$ ) अवधि कम्प्यूटेबल नंबर अंकगणितीय संख्या सेट-सिद्धांत रूप से निश्चित संख्या गाऊसी पूर्णांक
रचना बीजगणित	विभाजन बीजगणित: वास्तविक संख्या ( $\mathbb {R}$ ) जटिल संख्या ( $\mathbb {C}$ ) चतुर्भुज ( $\mathbb {H}$ ) ऑक्टोनियन ( $\mathbb {O}$ )
विभाजित करना प्रकार	ऊपर $\mathbb {R}$ : स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर स्प्लिट-क्वैटरन स्प्लिट-फैक्टियन ऊपर $\mathbb {C}$ : $\mathbb {C}$ : BICOMPLEX नंबर Biquaternion Bioctonion
अन्य हाइपरकम्प्लेक्स	दोहरी संख्या दोहरी चतुर्भुज दोहरी-कॉम्प्लेक्स नंबर हाइपरबोलिक चतुर्भुज सेडेनियन ( $\mathbb {S}$ ) स्प्लिट-ब्यूकटरन मल्टीकोम्प्लेक्स नंबर ज्यामितीय बीजगणित/क्लिफोर्ड बीजगणित भौतिक अंतरिक्ष का बीजगणित स्पेसटाइम बीजगणित
अन्य प्रकार	बुनियादी संख्या विस्तारित प्राकृतिक संख्या अपरिमेय संख्या फजी नंबर हाइपरियल नंबर लेवी-सिविटा फील्ड असली संख्या ट्रांसेंडेंटल नंबर क्रमसूचक संख्या [[पी-एडिक नंबर \|p-adicसंख्या]]p-adicसोलेनोइड्स]] अलौकिक संख्या सुपररेल नंबर सामान्य संख्या बंद-फॉर्म नंबर
वर्गीकरण सूची

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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