अपचायक समूह: Difference between revisions
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एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के लिए, [[पूर्ण गैलोज़ समूह|निरपेक्ष गैलोज़ समूह]] Gal(k<sub>''s''</sub>/k) G के पूर्ण डायनकिन आरेख पर (निरंतर) कार्य करता है, जो कि एक वियोज्य संवरक k<sub>s</sub> पर G का डायनकिन आरेख है (जो एक बीजगणितीय संवृत <math>{\overline k}</math> पर G का डायनकिन आरेख भी है )। G के टिट्स सूचकांक में G<sub>''k''<sub>''s''</sub></sub> का मूल आधार, इसके डायनकिन आरेख पर गैलोज़ क्रिया और डाइकिन आरेख के शीर्षों का एक गैलोज़-निश्चर उपसमुच्चय होता है। परंपरागत रूप से, दिए गए उपसमुच्चय में गैलोज़ कक्षाओं के चक्कर लगाकर टिट्स सूचकांक तैयार किया जाता है। | एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के लिए, [[पूर्ण गैलोज़ समूह|निरपेक्ष गैलोज़ समूह]] Gal(k<sub>''s''</sub>/k) G के पूर्ण डायनकिन आरेख पर (निरंतर) कार्य करता है, जो कि एक वियोज्य संवरक k<sub>s</sub> पर G का डायनकिन आरेख है (जो एक बीजगणितीय संवृत <math>{\overline k}</math> पर G का डायनकिन आरेख भी है )। G के टिट्स सूचकांक में G<sub>''k''<sub>''s''</sub></sub> का मूल आधार, इसके डायनकिन आरेख पर गैलोज़ क्रिया और डाइकिन आरेख के शीर्षों का एक गैलोज़-निश्चर उपसमुच्चय होता है। परंपरागत रूप से, दिए गए उपसमुच्चय में गैलोज़ कक्षाओं के चक्कर लगाकर टिट्स सूचकांक तैयार किया जाता है। | ||
इन प्रतिबंधों में अर्ध-विभाजित समूहों का पूर्ण वर्गीकरण है। अर्थात्, डायनकिन आरेख पर एक क्षेत्र k के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की प्रत्येक क्रिया के लिए, दिए गए क्रिया के साथ एक अद्वितीय अर्ध-विभाजित अर्ध-विभाजित समूह H पर k है। (अर्ध-विभाजित समूह के लिए, डायनकिन आरेख में प्रत्येक गैलोज़ कक्षा परिक्रमा की जाती है।) इसके अतिरिक्त , दी गई क्रिया के साथ कोई अन्य सरल रूप से संयोजित अर्ध-सरल समूह G, अर्ध-विभाजित समूह H का एक [[आंतरिक रूप]] है, जिसका अर्थ है कि G है [[गैलोइस कोहोलॉजी]] सम्मुचय H<sup>1</sup> के एक अवयव से सम्बद्ध समूह (k,H/Z), जहां Z, H का केंद्र है। दूसरे शब्दों में, G कुछ H/Z-टॉर्सर पर k से सम्बद्ध H का घुमाव है, जैसा कि अगले भाग में चर्चा की गई है। | इन प्रतिबंधों में अर्ध-विभाजित समूहों का पूर्ण वर्गीकरण है। अर्थात्, डायनकिन आरेख पर एक क्षेत्र k के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की प्रत्येक क्रिया के लिए, दिए गए क्रिया के साथ एक अद्वितीय अर्ध-विभाजित अर्ध-विभाजित समूह H पर k है। (अर्ध-विभाजित समूह के लिए, डायनकिन आरेख में प्रत्येक गैलोज़ कक्षा परिक्रमा की जाती है।) इसके अतिरिक्त , दी गई क्रिया के साथ कोई अन्य सरल रूप से संयोजित अर्ध-सरल समूह G, अर्ध-विभाजित समूह H का एक [[आंतरिक रूप]] है, जिसका अर्थ है कि G है [[गैलोइस कोहोलॉजी|गाल्वा सह समरूपता]] सम्मुचय H<sup>1</sup> के एक अवयव से सम्बद्ध समूह (k,H/Z), जहां Z, H का केंद्र है। दूसरे शब्दों में, G कुछ H/Z-टॉर्सर पर k से सम्बद्ध H का घुमाव है, जैसा कि अगले भाग में चर्चा की गई है। | ||
उदाहरण: मान लीजिए कि n ≥ 5 के साथ 2 नहीं विशेषता वाले क्षेत्र k पर 2n सम विमा का गैर- अपभ्रष्ट द्विघात रूप है। (इन प्रतिबंधों से बचा जा सकता है।) G को साधारण समूह SO(q) से अधिक k होने दें। G का निरपेक्ष डायनकिन आरेख प्रकार D<sub>''n''</sub> का है, और इसलिए इसका स्वसमाकृतिकता समूह क्रम 2 का है, जो D<sub>''n''</sub> आरेख के दो "पैरों" को बदल रहा है। डायनकिन आरेख पर k के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की क्रिया नगण्य है यदि और मात्र यदि k*/(k *)<sup>2</sup> में q का हस्ताक्षरित विभेदक d नगण्य है। यदि d असतहीय है, तो यह डायनकिन आरेख पर गाल्वा क्रिया में विकोडित किया गया है: गाल्वा समूह का सूचकांक -2 उपसमूह जो तत्समक के रूप में कार्य करता है, वह <math>\operatorname{Gal}(k_s/k(\sqrt{d}))\subset \operatorname{Gal}(k_s/k)</math>है। समूह G को विभाजित किया जाता है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक n है, जो अधिकतम संभव है, और G अर्ध-विभाजित है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक कम से कम n − 1 है।<ref name = "B234" /> | उदाहरण: मान लीजिए कि n ≥ 5 के साथ 2 नहीं विशेषता वाले क्षेत्र k पर 2n सम विमा का गैर- अपभ्रष्ट द्विघात रूप है। (इन प्रतिबंधों से बचा जा सकता है।) G को साधारण समूह SO(q) से अधिक k होने दें। G का निरपेक्ष डायनकिन आरेख प्रकार D<sub>''n''</sub> का है, और इसलिए इसका स्वसमाकृतिकता समूह क्रम 2 का है, जो D<sub>''n''</sub> आरेख के दो "पैरों" को बदल रहा है। डायनकिन आरेख पर k के निरपेक्ष गैलोज़ समूह की क्रिया नगण्य है यदि और मात्र यदि k*/(k *)<sup>2</sup> में q का हस्ताक्षरित विभेदक d नगण्य है। यदि d असतहीय है, तो यह डायनकिन आरेख पर गाल्वा क्रिया में विकोडित किया गया है: गाल्वा समूह का सूचकांक -2 उपसमूह जो तत्समक के रूप में कार्य करता है, वह <math>\operatorname{Gal}(k_s/k(\sqrt{d}))\subset \operatorname{Gal}(k_s/k)</math>है। समूह G को विभाजित किया जाता है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक n है, जो अधिकतम संभव है, और G अर्ध-विभाजित है यदि और मात्र यदि q का विट सूचकांक कम से कम n − 1 है।<ref name = "B234" /> | ||
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एक सजातीय समूह पद्धति ''G'' के लिए क्षेत्र ''k'' पर एक टॉर्सर का अर्थ है ''G'' की क्रिया (गणित) के साथ ''k'' पर सजातीय पद्धति ''X, जैसे कि <math>X_{\overline k}</math>'' समरूपी से <math>G_{\overline k}</math> ''पर बाएं अनुवाद द्वारा स्वयं <math>G_{\overline k}</math>'' की क्रिया के साथ। एक टॉर्सर को k पर fppf सांस्थिति के संबंध में k पर एक प्रमुख G- समूह के रूप में भी देखा जा सकता है, या इटेल सांस्थिति यदि G k पर समृणीकृत है। गाल्वा सह समरूपता की भाषा में, K पर G-टॉर्सर के समरूपता वर्गों के नुकीले सम्मुचय को H<sup>1</sup>(k,G), कहा जाता है। | एक सजातीय समूह पद्धति ''G'' के लिए क्षेत्र ''k'' पर एक टॉर्सर का अर्थ है ''G'' की क्रिया (गणित) के साथ ''k'' पर सजातीय पद्धति ''X, जैसे कि <math>X_{\overline k}</math>'' समरूपी से <math>G_{\overline k}</math> ''पर बाएं अनुवाद द्वारा स्वयं <math>G_{\overline k}</math>'' की क्रिया के साथ। एक टॉर्सर को k पर fppf सांस्थिति के संबंध में k पर एक प्रमुख G- समूह के रूप में भी देखा जा सकता है, या इटेल सांस्थिति यदि G k पर समृणीकृत है। गाल्वा सह समरूपता की भाषा में, K पर G-टॉर्सर के समरूपता वर्गों के नुकीले सम्मुचय को H<sup>1</sup>(k,G), कहा जाता है। | ||
जब भी कोई दिए गए बीजगणितीय वस्तु Y के 'रूपों' को एक क्षेत्र k पर वर्गीकृत करने का प्रयास करता है, तो टॉर्स उत्पन्न होते हैं, जिसका अर्थ है कि x से अधिक k पर वस्तुएँ जो k के बीजगणितीय संवृत होने पर Y के लिए समरूपी बन जाती हैं। अर्थात्, इस प्रकार के रूप (समरूपता तक) सम्मुचय H<sup>1</sup>(k, Aut (y)) के साथ एक-से-एक संगति में हैं। उदाहरण के लिए, (अनपभ्रष्ट) k पर विमा n के द्विघात रूपों को H<sup>1</sup>(k,O(n)) द्वारा वर्गीकृत किया गया है, और k पर घात n के केंद्रीय सरल बीजगणित को H<sup>1</sup>( | जब भी कोई दिए गए बीजगणितीय वस्तु Y के 'रूपों' को एक क्षेत्र k पर वर्गीकृत करने का प्रयास करता है, तो टॉर्स उत्पन्न होते हैं, जिसका अर्थ है कि x से अधिक k पर वस्तुएँ जो k के बीजगणितीय संवृत होने पर Y के लिए समरूपी बन जाती हैं। अर्थात्, इस प्रकार के रूप (समरूपता तक) सम्मुचय H<sup>1</sup>(k, Aut (y)) के साथ एक-से-एक संगति में हैं। उदाहरण के लिए, (अनपभ्रष्ट) k पर विमा n के द्विघात रूपों को H<sup>1</sup>(k,O(n)) द्वारा वर्गीकृत किया गया है, और k पर घात n के केंद्रीय सरल बीजगणित को H<sup>1</sup>(k,PGL(n)) द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। साथ ही, दिए गए बीजगणितीय समूह G के k-रूपों (जिन्हें कभी-कभी G का घुमाव कहा जाता है) को H<sup>1</sup>(k, Aut (G)) द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। ये समस्याएँ विशेष रूप से अपचायक समूह G के लिए, G-टॉर्सर के व्यवस्थित अध्ययन को प्रेरित करती हैं। | ||
जब संभव हो, तो [[ कोहोलॉजिकल इनवेरिएंट | | जब संभव हो, तो [[ कोहोलॉजिकल इनवेरिएंट |सह समरूपी निश्चर]] का उपयोग करके G-टॉर्सर को वर्गीकृत करने की अपेक्षा है, जो एबेलियन गुणांक समूहों M, H<sup>a</sup>(k, M) के साथ गाल्वा सह समरूपता में मान लेने वाले अपरिवर्तनीय हैं। इस दिशा में, स्टाइनबर्ग ने [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के अनुमान I को सिद्ध किया: अधिकतम 1, H<sup>1</sup>(k, G) = 1 पर के सह समरूपी विमा के एक पूर्ण क्षेत्र पर संयोजित रैखिक बीजीय समूह G के लिए क्षेत्र के एक आदर्श क्षेत्र पर।<ref>Steinberg (1965), Theorem 1.9.</ref> (परिमित क्षेत्र के स्थिति को पहले लैंग के प्रमेय के रूप में जाना जाता था।) उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि परिमित क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह अर्ध-विभाजित है। | ||
सेरे का अनुमान II (बीजगणित) | सेरे का अनुमान II भविष्यवाणी करता है कि अधिक से अधिक 2, H पर कोहोलॉजिकल विमा के एक क्षेत्र पर पूर्णतः संयोजित अर्ध-सरल समूह G के लिए<sup>1</sup>(k,G) = 1। अनुमान [[पूरी तरह से काल्पनिक संख्या क्षेत्र|पूर्ण रूप से काल्पनिक संख्या क्षेत्र]] के लिए जाना जाता है (जिसमें कोहोलॉजिकल विमा 2 है)। अधिक सामान्यतः, किसी भी संख्या क्षेत्र k के लिए, [[मार्टिन केनेसर]], गुंटर हार्डर और व्लादिमीर चेरनौसोव (1989) ने हासे सिद्धांत को सिद्ध किया: एक साधारण रूप से संयोजित अर्धसरल समूह G के लिए k, प्रतिचित्र | सेरे का अनुमान II (बीजगणित) | सेरे का अनुमान II भविष्यवाणी करता है कि अधिक से अधिक 2, H पर कोहोलॉजिकल विमा के एक क्षेत्र पर पूर्णतः संयोजित अर्ध-सरल समूह G के लिए<sup>1</sup>(k,G) = 1। अनुमान [[पूरी तरह से काल्पनिक संख्या क्षेत्र|पूर्ण रूप से काल्पनिक संख्या क्षेत्र]] के लिए जाना जाता है (जिसमें कोहोलॉजिकल विमा 2 है)। अधिक सामान्यतः, किसी भी संख्या क्षेत्र k के लिए, [[मार्टिन केनेसर]], गुंटर हार्डर और व्लादिमीर चेरनौसोव (1989) ने हासे सिद्धांत को सिद्ध किया: एक साधारण रूप से संयोजित अर्धसरल समूह G के लिए k, प्रतिचित्र | ||
:<math>H^1(k,G)\to \prod_{v} H^1(k_v,G)</math> | :<math>H^1(k,G)\to \prod_{v} H^1(k_v,G)</math> | ||
विशेषण है।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), Theorem 6.6.</ref> यहाँ v k, और k के सभी स्थानों (गणित) पर चलता है<sub>''v''</sub> संबंधित स्थानीय क्षेत्र है (संभवतः R या सी)। इसके अतिरिक्त , नुकीला सम्मुचय ''H''<sup>1</sup>(के<sub>''v''</sub>, G) प्रत्येक गैर-अर्चिमिडियन स्थानीय क्षेत्र k के लिए नगण्य है<sub>''v''</sub>, और इसलिए मात्र k के वास्तविक समष्टि मायने रखते हैं। धनात्मक विशेषता के एक [[वैश्विक क्षेत्र]] k के लिए अनुरूप परिणाम पहले हार्डर (1975) द्वारा सिद्ध किया गया था: प्रत्येक सरलता से संयोजित अर्द्धसरल समूह G पर k, H के लिए<sup>1</sup>(k,G) नगण्य है (क्योंकि k का कोई वास्तविक समष्टि नहीं है)।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), section 6.8.</ref> | विशेषण है।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), Theorem 6.6.</ref> यहाँ v k, और k के सभी स्थानों (गणित) पर चलता है<sub>''v''</sub> संबंधित स्थानीय क्षेत्र है (संभवतः R या सी)। इसके अतिरिक्त , नुकीला सम्मुचय ''H''<sup>1</sup>(के<sub>''v''</sub>, G) प्रत्येक गैर-अर्चिमिडियन स्थानीय क्षेत्र k के लिए नगण्य है<sub>''v''</sub>, और इसलिए मात्र k के वास्तविक समष्टि मायने रखते हैं। धनात्मक विशेषता के एक [[वैश्विक क्षेत्र]] k के लिए अनुरूप परिणाम पहले हार्डर (1975) द्वारा सिद्ध किया गया था: प्रत्येक सरलता से संयोजित अर्द्धसरल समूह G पर k, H के लिए<sup>1</sup>(k,G) नगण्य है (क्योंकि k का कोई वास्तविक समष्टि नहीं है)।<ref>Platonov & Rapinchuk (1994), section 6.8.</ref> | ||
एक संख्या क्षेत्र k पर एक निकटवर्ती समूह G के थोड़े अलग स्थिति में, हासे सिद्धांत एक कमजोर रूप में है: प्राकृतिक प्रतिचित्र | एक संख्या क्षेत्र k पर एक निकटवर्ती समूह G के थोड़े अलग स्थिति में, हासे सिद्धांत एक कमजोर रूप में है: प्राकृतिक प्रतिचित्र | ||
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Revision as of 19:19, 7 May 2023
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गणित में, एक अपचायक समूह एक क्षेत्र (गणित) पर रैखिक बीजगणितीय समूह का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का प्रत्यक्ष योग है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे सामान्य रैखिक समूह GL(n) व्युत्क्रम आव्यूह, विशेष लंब कोणीय समूह SO(n) , और सममिती समूह Sp(2n)। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं।
क्लाउड चेवेली ने दिखाया कि किसी भी बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि वास्तविक संख्या R या एक संख्या क्षेत्र के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह G(k) के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह G के तर्कसंगत बिंदु क्षेत्र के, या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है।
अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध निरूपण सिद्धांत है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह G के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो k-सदिश रिक्त समष्टि पर G की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह G(k) के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब k एक परिमित क्षेत्र है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-विमीय एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के स्वसमाकृतिक निरूपण है। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।
परिभाषाएँ
किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर GL(n) की एक समृणीकृत पद्धति संवृत समूह पद्धति के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k पर एक समृणीकृत संबंध पद्धति समूह पद्धति है।
एकांगी मूलक के साथ
एक संयोजित समष्टि रैखिक बीजगणितीय समूह एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र को अर्द्धसरल कहा जाता है यदि प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित हल करने योग्य समूह का सामान्य उपसमूह नगण्य है। अधिक सामान्यतः, एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक कहा जाता है यदि के सबसे बड़े समृणीकृत रूप से संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह सामान्य उपसमूह नगण्य है।[1] इस सामान्य उपसमूह को एकांगी मूलक कहा जाता है और इसे के रूप में दर्शाया जाता है। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए अपचायक समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक स्वेच्छ क्षेत्र k पर एक समूह को अर्द्धसरल या अपचायक कहा जाता है यदि पद्धतिओं के तन्तु उत्पाद अर्द्धसरल या अपचायक है, जहां k का बीजगणितीय संवरक है। (यह परिचय में अपचायक समूह की परिभाषा के बराबर है जब k उतम है।[2]) k पर कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह, जैसे गुणक समूह Gm, अपचायक होता है।