अपचायक समूह: Difference between revisions

Revision as of 23:23, 6 May 2023

गणित में, एक अपचायक समूह एक क्षेत्र (गणित) पर रैखिक बीजगणितीय समूह का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का प्रत्यक्ष योग है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे सामान्य रैखिक समूह GL(n) व्युत्क्रम आव्यूह, विशेष लंब कोणीय समूह SO(n) , और सममिती समूह Sp(2n)। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं।

क्लाउड चेवेली ने दिखाया कि किसी भी बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि वास्तविक संख्या R या एक संख्या क्षेत्र के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह G(k) के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह G के तर्कसंगत बिंदु क्षेत्र के, या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है।

अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध निरूपण सिद्धांत है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र k पर एक अपचायक समूह G के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो k-सदिश रिक्त समष्टि पर G की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह G(k) के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब k एक परिमित क्षेत्र है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-विमीय एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के स्वसमाकृतिक निरूपण है। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर GL(n) की एक समृणीकृत पद्धति संवृत समूह पद्धति के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k पर एक समृणीकृत संबंध पद्धति समूह पद्धति है।

एकांगी मूलक के साथ

एक संयोजित समष्टि रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र को अर्द्धसरल कहा जाता है यदि प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित हल करने योग्य समूह का सामान्य उपसमूह $G$ नगण्य है। अधिक सामान्यतः, एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक कहा जाता है यदि $G$ के सबसे बड़े समृणीकृत रूप से संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह सामान्य उपसमूह नगण्य है।^[1] इस सामान्य उपसमूह को एकांगी मूलक कहा जाता है और इसे $R_{u}(G)$ के रूप में दर्शाया जाता है। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए अपचायक समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक स्वेच्छ क्षेत्र k पर एक समूह $G$ को अर्द्धसरल या अपचायक कहा जाता है यदि पद्धतिओं के तन्तु उत्पाद $G_{\overline {k}}$ �

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 & 0 & 0 & *
 \end{bmatrix} \right \}</math>
-परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' का एक परवलयिक उपसमूह ''P'' एक समृणीकृत ''k''-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार ''G''/P 'K' पर [[उचित योजना|उचित पद्धति]] है, या 'K' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'G' के लिए [[सामान्यीकृत ध्वज विविधता]] के वर्गीकरण के बराबर है (समृणीकृत स्थिरक समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के ''K'' के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। ''GL''(''n'') के लिए, ये ध्वज प्रकार हैं, दिए गए विमाओं ''a''<sub>1</sub>,...,a<sub>''i''</sub> के रैखिक उप-स्थानों के प्राचलीकरण अनुक्रम विमा n:
+परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' का एक परवलयिक उपसमूह ''P'' एक समृणीकृत ''k''-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार ''G''/P 'K' पर [[उचित योजना|उचित पद्धति]] है, या 'K' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'G' के लिए [[सामान्यीकृत ध्वज विविधता|सामान्यीकृत चिह्‍नक विविधता]] के वर्गीकरण के बराबर है (समृणीकृत स्थिरक समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के ''K'' के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। ''GL''(''n'') के लिए, ये चिह्‍नक प्रकार हैं, दिए गए विमाओं ''a''<sub>1</sub>,...,a<sub>''i''</sub> के रैखिक उप-स्थानों के प्राचलीकरण अनुक्रम विमा n:
 :<math>0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V</math> के एक निश्चित सदिश समष्टि V में समाहित है
-लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, जो किसी दिए गए द्विघात रूप या सममिती रूप के संबंध में समानुवर्ती उप-समष्टि ध्वज की प्रकार के रूप में होता है। बोरेल उपसमूह B के साथ किसी भी अपचायक समूह G के लिए, G/B को 'ध्वज प्रकार' या 'ध्वज कई गुना' कहा जाता है।
+लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, जो किसी दिए गए द्विघात रूप या सममिती रूप के संबंध में समानुवर्ती उप-समष्टि चिह्‍नक की प्रकार के रूप में होता है। बोरेल उपसमूह B के साथ किसी भी अपचायक समूह G के लिए, G/B को 'चिह्‍नक प्रकार' या 'चिह्‍नक कई गुना' कहा जाता है।
 == विभाजित अपचायक समूह का वर्गीकरण ==
-[[File:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|thumb|संयोजित डायनकिन आरेख]]शेवाली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है।<ref>Chevalley (2005); Springer (1998), 9.6.2 and 10.1.1.</ref> विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह संयोजित आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub>, F<sub>4</sub>, G<sub>2</sub> के सरल समूह हैं। यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन द्वारा संहत लाई समूहों या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के विमा, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि अपचायक समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं।
+[[File:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|thumb|संयोजित डायनकिन आरेख]]चेवेली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है।<ref>Chevalley (2005); Springer (1998), 9.6.2 and 10.1.1.</ref> विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह संयोजित आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub>, F<sub>4</sub>, G<sub>2</sub> के सरल समूह हैं। यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन द्वारा संहत लाई समूहों या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के विमा, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि अपचायक समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं।
 प्रकार G<sub>2</sub> और E<sub>6</sub> के [[असाधारण समूह]] G का निर्माण कम से कम सार समूह G (K) के रूप में लियोनार्ड यूजीन डिक्सन द्वारा किया गया था। उदाहरण के लिए, समूह G<sub>2</sub> k पर एक [[ऑक्टोनियन बीजगणित|अष्टकैक बीजगणित]] का [[ऑटोमोर्फिज्म समूह|स्वसमाकृतिकता समूह]] है। इसके विपरीत, धनात्मक विशेषताओं के क्षेत्र में F<sub>4</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub> प्रकार के शेवाले समूह पूर्ण रूप से नवीन थे।
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 एक संयोजित वास्तविक अपचायक समूह G के लिए, [[अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह|अधिकतम संहत उपसमूह]] ''K'' द्वारा G का भागफल कई गुना ''G''/''K'' गैर-संहत प्रकार का एक [[सममित स्थान|सममित]] समष्टि है। वस्तुतः, गैर-संहत प्रकार का प्रत्येक सममित समष्टि इस प्रकार से उत्पन्न होता है। ये गैर-धनात्मक [[अनुभागीय वक्रता]] के साथ कई गुना के रीमैनियन ज्यामिति में केंद्रीय उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, ''SL''(2,R)/''SO''(2) [[ अतिशयोक्तिपूर्ण विमान |अतिपरवलयिक तल]] है, और ''SL''(2,C)/''SU''(2) अतिपरवलयिक 3-समष्टि है।
-एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' के लिए जो [[असतत मूल्यांकन]] (जैसे p-एडिक संख्या Q<sub>''p''</sub>) के संबंध में पूर्ण है, G का सजातीय निर्माण X सममित स्थान की भूमिका निभाता है। अर्थात, ''X'' ''G''(''k'') की क्रिया के साथ एक साधारण परिसर है, और ''G''(''k'') गैर-धनात्मक वक्रता वाले मापीय का रेखीय सजातीय 'X' पर [[CAT(0)]] मापीय को संरक्षित करता है। सजातीय निर्माण की विमा G का ''के''-पद है। उदाहरण के लिए, ''SL'' (2, क्यू<sub>''p''</sub>) एक [[पेड़ (ग्राफ सिद्धांत)|पेड़ (आरेख सिद्धांत)]] है।
+एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' के लिए जो [[असतत मूल्यांकन]] (जैसे p-एडिक संख्या Q<sub>''p''</sub>) के संबंध में पूर्ण है, G का सजातीय निर्माण X सममित स्थान की भूमिका निभाता है। अर्थात, ''X'' ''G''(''k'') की क्रिया के साथ एक साधारण परिसर है, और ''G''(''k'') गैर-धनात्मक वक्रता वाले मापीय का रेखीय सजातीय 'X' पर [[CAT(0)]] मापीय को संरक्षित करता है। सजातीय निर्माण की विमा G का ''K''-पद है। उदाहरण के लिए, ''SL'' (2, Q<sub>''p''</sub>) एक [[पेड़ (ग्राफ सिद्धांत)|ट्री (आरेख सिद्धांत)]] है।
 == अपचायक समूहों का निरूपण ==
-एक क्षेत्र k पर एक विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G (बीजगणितीय समूह के रूप में) के अलघुकरणीय निरूपण को प्रमुख भार द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है, जिसे भार जालक X(T) ≅ 'Z' के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है।<sup>n</sup> 'R' में एक उत्तल शंकु (एक [[वेइल कक्ष]]) के साथ<sup>n</sup>। विशेष रूप से, यह पैरामीट्रिजेशन k की विशेषता से स्वतंत्र है। अधिक विस्तार से, एक विभाजित अधिकतम टोरस और एक बोरेल उपसमूह, टी ⊂ बी ⊂ G को ठीक करें। फिर बी एक समृणीकृत संयोजित एकांगी उपसमूह यू के साथ टी का सेमीडायरेक्ट उत्पाद है। G पर के निरूपण वी में 'उच्चतम भार सदिश' परिभाषित करें k एक गैर-शून्य सदिश v होना चाहिए जैसे कि B स्वयं में v द्वारा फैलाई गई रेखा को मैप करता है। फिर बी उस रेखा पर अपने भागफल समूह टी के माध्यम से भार जालक एक्स (टी) के कुछ अवयव λ द्वारा कार्य करता है। शेवाली ने दिखाया कि G के प्रत्येक इर्रिडिएबल निरूपण में स्केलर तक एक अद्वितीय उच्चतम भार सदिश होता है; संबंधित उच्चतम भार λ प्रमुख है; और प्रत्येक प्रमुख भार λ, समरूपता तक G के एक अद्वितीय इरेड्यूसबल निरूपण L(λ) का उच्चतम भार है।<ref>Milne (2017), Theorem 22.2.</ref>
+एक क्षेत्र k पर एक विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G (बीजगणितीय समूह के रूप में) के अलघुकरणीय निरूपण को प्रमुख भार द्वारा प्राचलीकरण किया जाता है, जिसे R<sup>n</sup> में एक उत्तल शंकु (एक [[वेइल कक्ष]]) के साथ भार जालक X(T) ≅ 'Z<sup>n</sup>' के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। विशेष रूप से, यह प्राचलीकरण k की विशेषता से स्वतंत्र है। अधिक विस्तार से, एक विभाजित अधिकतम टोरस और एक बोरेल उपसमूह, T ⊂ B ⊂ G को ठीक करें। फिर B एक समृणीकृत संयोजित एकांगी उपसमूह U के साथ T का अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद है। G पर के निरूपण V में 'उच्चतम भार सदिश' परिभाषित करें k एक गैर-शून्य सदिश v होना चाहिए जैसे कि B स्वयं में v द्वारा फैलाई गई रेखा को प्रतिचित्रित करता है। फिर B उस रेखा पर अपने भागफल समूह T के माध्यम से भार जालक X (T) के कुछ अवयव λ द्वारा कार्य करता है। चेवेली ने दिखाया कि G के प्रत्येक अखंडनीय निरूपण में अदिश तक एक अद्वितीय उच्चतम भार सदिश होता है; संबंधित उच्चतम भार λ प्रमुख है; और प्रत्येक प्रमुख भार λ, समरूपता तक G के एक अद्वितीय अखंडनीय निरूपण L(λ) का उच्चतम भार है।<ref>Milne (2017), Theorem 22.2.</ref>
-दिए गए उच्चतम भार के साथ अलघुकरणीय निरूपण का वर्णन करने की समस्या बनी हुई है। विशेषता शून्य के k के लिए, अनिवार्य रूप से पूर्ण उत्तर हैं। एक प्रमुख भार λ के लिए, 'शूर मॉड्यूल' को परिभाषित करें ∇(λ) जी-इक्विवेरिएंट [[उलटा शीफ|व्युत्क्रम शीफ]] के वर्गों के के-सदिश समष्टि के रूप में फ्लैग कई गुना जी/बी पर λ से संयोजित है; यह G का एक निरूपण है। विशेषता शून्य के k के लिए, बोरेल-वील प्रमेय का कहना है कि अलघुकरणीय निरूपण L(λ) शूर मॉड्यूल ∇(λ) के लिए आइसोमॉर्फिक है। इसके अतिरिक्त , वेइल चरित्र सूत्र इस निरूपण के [[चरित्र सिद्धांत]] (और विशेष रूप से विमा) देता है।
+दिए गए उच्चतम भार के साथ अलघुकरणीय निरूपण का वर्णन करने की समस्या बनी हुई है। विशेषता शून्य के k के लिए, अनिवार्य रूप से पूर्ण उत्तर हैं। एक प्रमुख भार λ के लिए, 'शूर मॉड्यूल' ∇(λ) को λ से संयोजित चिह्‍नक कई गुना G/B पर परिभाषित करें जी-समतुल्य [[उलटा शीफ|व्युत्क्रम शीफ]] के वर्गों के के-सदिश समष्टि के रूप में है; यह G का एक निरूपण है। विशेषता शून्य के k के लिए, बोरेल-वील प्रमेय का कहना है कि अलघुकरणीय निरूपण L(λ) शूर मॉड्यूल ∇(λ) के लिए आइसोमॉर्फिक है। इसके अतिरिक्त , वेइल चरित्र सूत्र इस निरूपण के [[चरित्र सिद्धांत]] (और विशेष रूप से विमा) देता है।
+धनात्मक विशेषता के क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, स्थिति कहीं अधिक सूक्ष्म है, क्योंकि G का निरूपण सामान्यतः अखंडनीय्स का प्रत्यक्ष योग नहीं है। एक प्रमुख भार λ के लिए, अखंडनीय निरूपण L (λ) शूर मॉड्यूल ∇ (λ) का अद्वितीय सरल सबमॉड्यूल (सोकल (गणित)) है, परन्तु यह शूर मॉड्यूल के बराबर नहीं होना चाहिए। शूर मॉड्यूल का विमा और चरित्र [[जॉर्ज केम्फ]] द्वारा [[वेइल वर्ण सूत्र]] (विशेषता शून्य के रूप में) द्वारा दिया गया है।<ref>Jantzen (2003), Proposition II.4.5 and Corollary II.5.11.</ref> अलघुकरणीय अभ्यावेदन L(λ) के विमा और लक्षण सामान्य रूप से अज्ञात हैं, यद्यपि इन निरूपणों का विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत का एक बड़ा निकाय विकसित किया गया है। एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि L (λ) के विमा और चरित्र को तब जाना जाता है जब [[हेनिंग हाहर एंडरसन]], [[जेन्स कार्स्टन जैंटजेन]], और वोल्फगैंग सॉर्जेल द्वारा G के [[कॉक्सेटर संख्या|कॉक्सम्मुचयर संख्या]] की तुलना में के की विशेषता पी बहुत बड़ी है ([[जॉर्ज लुसिग]] के अनुमान को साबित करना) उस मामले में)। पी लार्ज के लिए उनका वर्ण सूत्र कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों पर आधारित है, जो मिश्रित रूप से जटिल हैं।<ref>Jantzen (2003), section II.8.22.</ref> किसी भी प्राइम पी के लिए, साइमन रिचे और [[जिओर्डी विलियमसन]] ने पी-कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के संदर्भ में एक अपचायक समूह के अखंडनीय वर्णों का अनुमान लगाया, जो कि और भी जटिल हैं, परन्तु कम से कम संगणनीय हैं।<ref>Riche & Williamson (2018), section 1.8.</ref>
-धनात्मक विशेषता के क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, स्थिति कहीं अधिक सूक्ष्म है, क्योंकि G का निरूपण सामान्यतः अखंडनीय्स का प्रत्यक्ष योग नहीं है। एक प्रमुख भार λ के लिए, अखंडनीय निरूपण L (λ) शूर मॉड्यूल ∇ (λ) का अद्वितीय सरल सबमॉड्यूल (सोकल (गणित)) है, परन्तु यह शूर मॉड्यूल के बराबर नहीं होना चाहिए। शूर मॉड्यूल का विमा और चरित्र [[जॉर्ज केम्फ]] द्वारा [[वेइल वर्ण सूत्र]] (विशेषता शून्य के रूप में) द्वारा दिया गया है।<ref>Jantzen (2003), Proposition II.4.5 and Corollary II.5.11.</ref> अलघुकरणीय अभ्यावेदन L(λ) के विमा और लक्षण सामान्य रूप से अज्ञात हैं, यद्यपि इन निरूपणों का विश्लेषण करने के लिए सिद्धांत का एक बड़ा निकाय विकसित किया गया है। एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि L (λ) के विमा और चरित्र को तब जाना जाता है जब [[हेनिंग हाहर एंडरसन]], [[जेन्स कार्स्टन जैंटजेन]], और वोल्फगैंग सॉर्जेल द्वारा G के [[कॉक्सेटर संख्या|कॉक्सम्मुचयर संख्या]] की तुलना में के की विशेषता पी बहुत बड़ी है ([[जॉर्ज लुसिग]] के अनुमान को साबित करना) उस मामले में)। पी लार्ज के लिए उनका वर्ण सूत्र कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों पर आधारित है, जो मिश्रित रूप से जटिल हैं।<ref>Jantzen (2003), section II.8.22.</ref> किसी भी प्राइम पी के लिए, साइमन रिचे और [[जिओर्डी विलियमसन]] ने पी-कज़्दान-लुज़्ज़टिग बहुपदों के संदर्भ में एक अपचायक समूह के इरेड्यूसबल वर्णों का अनुमान लगाया, जो कि और भी जटिल हैं, परन्तु कम से कम संगणनीय हैं।<ref>Riche & Williamson (2018), section 1.8.</ref>
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 == यह भी देखें ==
 *[[झूठ प्रकार का समूह|लाई प्रकार का समूह]] परिमित क्षेत्रों पर सरल बीजगणितीय समूहों से निर्मित परिमित सरल समूह हैं।
-* सामान्यीकृत ध्वज प्रकार, ब्रुहट अपघटन, [[शुबर्ट किस्म|शुबर्ट प्रकार]], [[शुबर्ट कैलकुलस]]
+* सामान्यीकृत चिह्‍नक प्रकार, ब्रुहट अपघटन, [[शुबर्ट किस्म|शुबर्ट प्रकार]], [[शुबर्ट कैलकुलस]]
 * [[शूर बीजगणित]], डेलिग्ने-लुज़्ज़टिग सिद्धांत
 * [[वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत)|वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत)]]

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