असतत समूह: Difference between revisions
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सांस्थितिक समूह G का एक [[उपसमूह]] H एक ' | सांस्थितिक समूह G का एक [[उपसमूह]] H एक 'असंतत उपसमूह' है यदि G से [[प्रेरित टोपोलॉजी|प्रेरित सांस्थितिक]] के साथ संपन्न होने पर H असंतत है। दूसरे शब्दों में G में तत्समक का एक निकटवर्ती है जिसमें H का कोई अन्य अवयव नहीं है। उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक]], 'Z', [[वास्तविक संख्या]], 'R' (मानक [[मीट्रिक स्थान|मीटरी स्थान]] के साथ) का असंतत उपसमूह बनाते हैं, परन्तु परिमेय संख्याएँ, 'Q', ऐसा नहीं करते हैं। | ||
किसी भी समूह को [[असतत टोपोलॉजी| | किसी भी समूह को [[असतत टोपोलॉजी|असंतत सांस्थितिक]] से संपन्न किया जा सकता है, जिससे यह एक असंतत सांस्थितिक समूह बन जाता है। चूंकि एक अलग स्थान से प्रत्येक प्रतिचित्र [[निरंतर (टोपोलॉजी)|निरंतर (सांस्थितिक)]] है, असंतत समूहों के बीच सांस्थितिक समरूपता वस्तुतः अंतर्निहित समूहों के बीच समूह समरूपता हैं। इसलिए, [[समूहों की श्रेणी]] और असंतत समूहों की श्रेणी के बीच [[श्रेणियों की समरूपता]] है। असंतत समूहों को इसलिए उनके अंतर्निहित (गैर-सांस्थितिक) समूहों के साथ पहचाना जा सकता है। | ||
कुछ अवसर ऐसे होते हैं जब एक सांस्थितिक समूह या [[झूठ समूह|लाइ समूह]] उपयोगी रूप से | कुछ अवसर ऐसे होते हैं जब एक सांस्थितिक समूह या [[झूठ समूह|लाइ समूह]] उपयोगी रूप से असंतत सांस्थितिक, 'प्रकृति के विरुद्ध' के साथ संपन्न होता है। यह उदाहरण के लिए [[बोह्र संघनन]] के सिद्धांत में होता है, और लाइ समूहों के [[समूह कोहोलॉजी|समूह सह समरूपता]] सिद्धांत में होता है। | ||
असंतत [[आइसोमेट्री समूह|समदूरीकता समूह]] एक समदूरीकता समूह है जैसे कि मीटरी स्थान के प्रत्येक बिंदु के लिए समदूरीकता के अंतर्गत बिंदु के प्रतिचित्रों के समुच्चय एक [[असतत सेट|असंतत समुच्चय]] है। असंतत [[समरूपता समूह]] एक समरूपता समूह है जो असंतत समदूरीकता समूह है। | |||
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चूंकि सांस्थितिक समूह [[सजातीय स्थान]] हैं, इसलिए यह निर्धारित करने के लिए कि सांस्थितिक समूह | चूंकि सांस्थितिक समूह [[सजातीय स्थान]] हैं, इसलिए यह निर्धारित करने के लिए कि सांस्थितिक समूह असंतत है, किसी को मात्र एक बिंदु पर देखने की आवश्यकता है। विशेष रूप से, एक सांस्थितिक समूह मात्र तभी असंतत होता है, जब तत्समक वाला [[सिंगलटन (गणित)|एकल (गणित)]] एक [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] हो। | ||
एक | एक असंतत समूह एक शून्य-आयामी लाइ समूह के समान है ([[बेशुमार|अगणनीय]] असंतत समूह दूसरे-गणनीय नहीं हैं, इसलिए जिन लेखकों को इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने के लिए लाइ समूहों की आवश्यकता होती है, वे इन समूहों को लाइ समूह नहीं मानते हैं)। असंतत समूह का [[पहचान घटक|तत्समक घटक]] मात्र [[तुच्छ समूह|साधारण समूह]] है जबकि [[घटकों का समूह]] समूह के लिए ही समरूप है। | ||
चूंकि परिमित | चूंकि परिमित समुच्चय पर एकमात्र [[हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी|हॉसडॉर्फ़ सांस्थितिक]] असंतत है, एक परिमित हॉसडॉर्फ़ सांस्थितिक समूह को आवश्यक रूप से असंतत होना चाहिए। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि हॉसडॉर्फ़ समूह का प्रत्येक परिमित उपसमूह असंतत होता है। | ||
G का एक | G का एक असंतत उपसमूह H 'सह संहत' है, यदि G का एक [[कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय|संहत उपसमुच्चय]] K है जैसे कि HK = G। | ||
असंतत [[सामान्य उपसमूह]] समूहों को आच्छादित करने और [[स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक समूह]]ों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। एक जुड़े हुए अंतरिक्ष समूह G का एक असंतत सामान्य उपसमूह आवश्यक रूप से G के [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] में स्थित है और इसलिए [[एबेलियन समूह]] है। | |||
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*एक अलग समूह [[कॉम्पैक्ट समूह]] है यदि और मात्र यदि यह परिमित है। | *एक अलग समूह [[कॉम्पैक्ट समूह|संहत समूह]] है यदि और मात्र यदि यह परिमित है। | ||
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* [[फ्रीज़ समूह]] और [[वॉलपेपर समूह]] यूक्लिडियन विमान के | * [[फ्रीज़ समूह]] और [[वॉलपेपर समूह]] यूक्लिडियन विमान के समदूरीकता समूह के असंतत उपसमूह हैं। वॉलपेपर समूह सह-संहत हैं, परन्तु फ्रीज़ समूह नहीं हैं। | ||
* एक [[क्रिस्टलोग्राफिक समूह]] का अर्थ आमतौर पर कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के | * एक [[क्रिस्टलोग्राफिक समूह]] का अर्थ आमतौर पर कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के समदूरीकताज़ का एक कोसंहत, असंतत उपसमूह होता है। कभी-कभी, हालांकि, एक क्रिस्टलोग्राफिक समूह एक नाइलपोटेंट या सॉल्व करने योग्य लाइ समूह का एक कोसंहत असंतत उपसमूह हो सकता है। | ||
* प्रत्येक [[त्रिभुज समूह]] T गोले के | * प्रत्येक [[त्रिभुज समूह]] T गोले के समदूरीकता समूह का असंतत उपसमूह है (जब T परिमित है), यूक्लिडियन तल (जब T में एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का 'Z' + 'Z' उपसमूह है), या अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष। | ||
* फुचियन समूह, परिभाषा के अनुसार, अतिशयोक्तिपूर्ण तल के | * फुचियन समूह, परिभाषा के अनुसार, अतिशयोक्तिपूर्ण तल के समदूरीकता समूह के असंतत उपसमूह हैं। | ||
** एक फ्यूचियन समूह जो हाइपरबोलिक प्लेन के ऊपरी आधे-प्लेन मॉडल पर अभिविन्यास को संरक्षित करता है और कार्य करता है, लाई समूह PSL(2,'R') का | ** एक फ्यूचियन समूह जो हाइपरबोलिक प्लेन के ऊपरी आधे-प्लेन मॉडल पर अभिविन्यास को संरक्षित करता है और कार्य करता है, लाई समूह PSL(2,'R') का असंतत उपसमूह है, जो ऊपरी आधे-प्लेन के समदूरीकता को संरक्षित करने वाले ओरिएंटेशन का समूह है। अतिशयोक्तिपूर्ण विमान का मॉडल। | ||
** एक फ्यूचियन समूह को कभी-कभी [[क्लेनियन समूह]] के एक विशेष मामले के रूप में माना जाता है, हाइपरबॉलिक विमान को आइसोमेट्रिक रूप से त्रि-आयामी हाइपरबॉलिक अंतरिक्ष में एम्बेड करके और पूरे अंतरिक्ष में विमान पर समूह क्रिया को विस्तारित करके। | ** एक फ्यूचियन समूह को कभी-कभी [[क्लेनियन समूह]] के एक विशेष मामले के रूप में माना जाता है, हाइपरबॉलिक विमान को आइसोमेट्रिक रूप से त्रि-आयामी हाइपरबॉलिक अंतरिक्ष में एम्बेड करके और पूरे अंतरिक्ष में विमान पर समूह क्रिया को विस्तारित करके। | ||
** [[मॉड्यूलर समूह]] PSL(2,'Z') को PSL(2,'R') के | ** [[मॉड्यूलर समूह]] PSL(2,'Z') को PSL(2,'R') के असंतत उपसमूह के रूप में माना जाता है। मॉड्यूलर समूह पीएसएल (2, 'आर') में एक जाली है, परन्तु यह कोसंहत नहीं है। | ||
* क्लेयनियन समूह, परिभाषा के अनुसार, [[अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान]] के | * क्लेयनियन समूह, परिभाषा के अनुसार, [[अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान]] के समदूरीकता समूह के असंतत उपसमूह हैं। इनमें [[अर्ध-फ्यूचियन समूह]] शामिल हैं। | ||
** एक क्लेयनियन समूह जो ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है और हाइपरबॉलिक 3-स्पेस के ऊपरी आधे अंतरिक्ष मॉडल पर कार्य करता है, लाई समूह पीएसएल (2,'सी') का एक | ** एक क्लेयनियन समूह जो ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है और हाइपरबॉलिक 3-स्पेस के ऊपरी आधे अंतरिक्ष मॉडल पर कार्य करता है, लाई समूह पीएसएल (2,'सी') का एक असंतत उपसमूह है, जो ऊपरी आधे स्थान के समदूरीकता को संरक्षित करने वाले अभिविन्यास का समूह है। [[अतिशयोक्तिपूर्ण 3-अंतरिक्ष]] का मॉडल। | ||
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गणित में, एक सांस्थितिक समूह G को 'असंतत समूह' कहा जाता है यदि इसमें कोई सीमा बिंदु नहीं है (अर्थात, G में प्रत्येक अवयव के लिए, एक निकटवर्ती होता है जिसमें मात्र वह अवयव होता है)। समतुल्य रूप से, समूह G असंतत है यदि और मात्र यदि इसकी तत्समक अवयव पृथक बिंदु है।[1]
सांस्थितिक समूह G का एक उपसमूह H एक 'असंतत उपसमूह' है यदि G से प्रेरित सांस्थितिक के साथ संपन्न होने पर H असंतत है। दूसरे शब्दों में G में तत्समक का एक निकटवर्ती है जिसमें H का कोई अन्य अवयव नहीं है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक, 'Z', वास्तविक संख्या, 'R' (मानक मीटरी स्थान के साथ) का असंतत उपसमूह बनाते हैं, परन्तु परिमेय संख्याएँ, 'Q', ऐसा नहीं करते हैं।
किसी भी समूह को असंतत सांस्थितिक से संपन्न किया जा सकता है, जिससे यह एक असंतत सांस्थितिक समूह बन जाता है। चूंकि एक अलग स्थान से प्रत्येक प्रतिचित्र निरंतर (सांस्थितिक) है, असंतत समूहों के बीच सांस्थितिक समरूपता वस्तुतः अंतर्निहित समूहों के बीच समूह समरूपता हैं। इसलिए, समूहों की श्रेणी और असंतत समूहों की श्रेणी के बीच श्रेणियों की समरूपता है। असंतत समूहों को इसलिए उनके अंतर्निहित (गैर-सांस्थितिक) समूहों के साथ पहचाना जा सकता है।
कुछ अवसर ऐसे होते हैं जब एक सांस्थितिक समूह या लाइ समूह उपयोगी रूप से असंतत सांस्थितिक, 'प्रकृति के विरुद्ध' के साथ संपन्न होता है। यह उदाहरण के लिए बोह्र संघनन के सिद्धांत में होता है, और लाइ समूहों के समूह सह समरूपता सिद्धांत में होता है।
असंतत समदूरीकता समूह एक समदूरीकता समूह है जैसे कि मीटरी स्थान के प्रत्येक बिंदु के लिए समदूरीकता के अंतर्गत बिंदु के प्रतिचित्रों के समुच्चय एक असंतत समुच्चय है। असंतत समरूपता समूह एक समरूपता समूह है जो असंतत समदूरीकता समूह है।
गुण
चूंकि सांस्थितिक समूह सजातीय स्थान हैं, इसलिए यह निर्धारित करने के लिए कि सांस्थितिक समूह असंतत है, किसी को मात्र एक बिंदु पर देखने की आवश्यकता है। विशेष रूप से, एक सांस्थितिक समूह मात्र तभी असंतत होता है, जब तत्समक वाला एकल (गणित) एक विवृत समुच्चय हो।
एक असंतत समूह एक शून्य-आयामी लाइ समूह के समान है (अगणनीय असंतत समूह दूसरे-गणनीय नहीं हैं, इसलिए जिन लेखकों को इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने के लिए लाइ समूहों की आवश्यकता होती है, वे इन समूहों को लाइ समूह नहीं मानते हैं)। असंतत समूह का तत्समक घटक मात्र साधारण समूह है जबकि घटकों का समूह समूह के लिए ही समरूप है।
चूंकि परिमित समुच्चय पर एकमात्र हॉसडॉर्फ़ सांस्थितिक असंतत है, एक परिमित हॉसडॉर्फ़ सांस्थितिक समूह को आवश्यक रूप से असंतत होना चाहिए। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि हॉसडॉर्फ़ समूह का प्रत्येक परिमित उपसमूह असंतत होता है।
G का एक असंतत उपसमूह H 'सह संहत' है, यदि G का एक संहत उपसमुच्चय K है जैसे कि HK = G।
असंतत सामान्य उपसमूह समूहों को आच्छादित करने और स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक समूहों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। एक जुड़े हुए अंतरिक्ष समूह G का एक असंतत सामान्य उपसमूह आवश्यक रूप से G के केंद्र (समूह सिद्धांत) में स्थित है और इसलिए एबेलियन समूह है।
अन्य गुण:
- प्रत्येक असंतत समूह पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है
- असंतत समूह का प्रत्येक उपसमूह असंतत होता है।
- असंतत समूह का प्रत्येक भागफल समूह असंतत होता है।
- असंतत समूहों की सीमित संख्या का गुणनफल असंतत होता है।
- एक अलग समूह संहत समूह है यदि और मात्र यदि यह परिमित है।
- प्रत्येक असंतत समूह स्थानीय रूप से संहत समूह है।
- हॉसडॉर्फ़ समूह का प्रत्येक असंतत उपसमूह बंद है।
- संहत हॉसडॉर्फ़ समूह का प्रत्येक असंतत उपसमूह परिमित होता है।
उदाहरण
- फ्रीज़ समूह और वॉलपेपर समूह यूक्लिडियन विमान के समदूरीकता समूह के असंतत उपसमूह हैं। वॉलपेपर समूह सह-संहत हैं, परन्तु फ्रीज़ समूह नहीं हैं।
- एक क्रिस्टलोग्राफिक समूह का अर्थ आमतौर पर कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के समदूरीकताज़ का एक कोसंहत, असंतत उपसमूह होता है। कभी-कभी, हालांकि, एक क्रिस्टलोग्राफिक समूह एक नाइलपोटेंट या सॉल्व करने योग्य लाइ समूह का एक कोसंहत असंतत उपसमूह हो सकता है।
- प्रत्येक त्रिभुज समूह T गोले के समदूरीकता समूह का असंतत उपसमूह है (जब T परिमित है), यूक्लिडियन तल (जब T में एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का 'Z' + 'Z' उपसमूह है), या अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष।
- फुचियन समूह, परिभाषा के अनुसार, अतिशयोक्तिपूर्ण तल के समदूरीकता समूह के असंतत उपसमूह हैं।
- एक फ्यूचियन समूह जो हाइपरबोलिक प्लेन के ऊपरी आधे-प्लेन मॉडल पर अभिविन्यास को संरक्षित करता है और कार्य करता है, लाई समूह PSL(2,'R') का असंतत उपसमूह है, जो ऊपरी आधे-प्लेन के समदूरीकता को संरक्षित करने वाले ओरिएंटेशन का समूह है। अतिशयोक्तिपूर्ण विमान का मॉडल।
- एक फ्यूचियन समूह को कभी-कभी क्लेनियन समूह के एक विशेष मामले के रूप में माना जाता है, हाइपरबॉलिक विमान को आइसोमेट्रिक रूप से त्रि-आयामी हाइपरबॉलिक अंतरिक्ष में एम्बेड करके और पूरे अंतरिक्ष में विमान पर समूह क्रिया को विस्तारित करके।
- मॉड्यूलर समूह PSL(2,'Z') को PSL(2,'R') के असंतत उपसमूह के रूप में माना जाता है। मॉड्यूलर समूह पीएसएल (2, 'आर') में एक जाली है, परन्तु यह कोसंहत नहीं है।
- क्लेयनियन समूह, परिभाषा के अनुसार, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के समदूरीकता समूह के असंतत उपसमूह हैं। इनमें अर्ध-फ्यूचियन समूह शामिल हैं।
- एक क्लेयनियन समूह जो ओरिएंटेशन को संरक्षित करता है और हाइपरबॉलिक 3-स्पेस के ऊपरी आधे अंतरिक्ष मॉडल पर कार्य करता है, लाई समूह पीएसएल (2,'सी') का एक असंतत उपसमूह है, जो ऊपरी आधे स्थान के समदूरीकता को संरक्षित करने वाले अभिविन्यास का समूह है। अतिशयोक्तिपूर्ण 3-अंतरिक्ष का मॉडल।
- एक लाइ समूह में एक जाली (असंतत उपसमूह) एक असंतत उपसमूह है जैसे कि भागफल स्थान का हार माप परिमित है।
यह भी देखें
- क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह
- सर्वांगसमता उपसमूह
- अंकगणितीय समूह
- ज्यामितीय समूह सिद्धांत
- कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत
- स्वतंत्र रूप से बंद
- नि: शुल्क नियमित समुच्चय
उद्धरण
- ↑ Pontrjagin 1946, p. 54.
संदर्भ
- Pontrjagin, Leon (1946). Topological Groups. Princeton University Press.
- "Discrete group of transformations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- "Discrete subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
