विभेदक (गणित)

This article is about अति सूक्ष्म अंतर की ऐतिहासिक अवधारणा से प्राप्त गणितीय धारणा. For अधिक सामान्य उपयोग, see विभेदक (बहुविकल्पी).

गणित में, विभेदक गणना के आरम्भिक दिनों से प्राप्त कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित करते है, एक परिशुद्ध आधार पर रखें, जैसे कि अत्यणु विभेदक और फलानो के व्युत्पन्न को संदर्भित करते है।

इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे गणना, विभेदक ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय सांस्थिति में किया जाता है।

परिचय

अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर-परिशुद्ध रूप से कुछ परिवर्ती मात्रा में एक अतिसूक्ष्म (अनंततः छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक चर है, तो x के मान में परिवर्तन को प्रायः Δx (उच्चारण डेल्टा x) कहा जाता है। विभेदक dx चर x में अनंततः छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। अनंततः छोटे या अनंततः धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई प्रकार हैं।

गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग गणितीय रूप से विभिन्न चरों के अनंततः छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि y, x का एक फलन है, तो y का विभेदक dy सूत्र द्वारा dx से संबंधित है

$$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,$$

जहां ${\frac {dy}{dx}}\,$x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न विभेदक Δy/Δx के अनुपात की सीमा है क्योंकि Δx अत्यल्प हो जाता है।

मूलभूत धारणाएं

• गणना में, विभेदक किसी फलन के रैखिकीकरण में परिवर्तन को दर्शाते है।
  • कुल विभेदक कई चर के फलानो के लिए इसका सामान्यीकरण है।
• गणना के पारंपरिक दृष्टिकोण में, विभेदक (जैसे dx, dy, dt, आदि) की व्याख्या अतिसूक्ष्म के रूप में की जाती है।
• अतिसूक्ष्म को परिशुद्ध से परिभाषित करने के कई प्रकार हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, पूर्णतः वैसे ही जैसे एक अनंततः बड़ी संख्या किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ी होती है।
• विभेदक Rⁿ से R^m तक एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न के जैकबियन आव्यूह का दूसरा नाम है (विशेष रूप से जब इस आव्यूह को एक रैखिक मानचित्र के रूप में देखा जाता है)।
• अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, सुचारू बहुरूपता और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करते है। पुलबैक की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है।
• प्रसंभाव्य गणना प्रसंभाव्य विभेदक की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है।
• स्टील्जे समाकल में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक यथार्थत: एक विभेदक के रूप में व्यवहार करता है: इस प्रकार, स्टेल्टजेस समाकल के लिए भागों के सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापन और एकीकरण द्वारा एकीकरण, क्रमशः श्रृंखला नियम और विभेदक के लिए उत्पाद नियम के अनुरूप होता है।

इतिहास और उपयोग

See also: गणना का इतिहास

गणना के विकास में अतिसूक्ष्म मात्रा ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। आर्किमिडीज ने उनका उपयोग किया, यद्यपि वह यह नहीं मानता था कि अतिसूक्ष्म से जुड़े तर्क कठोर थे। आइजैक न्यूटन ने उन्हें प्रवाह के रूप में संदर्भित किया। हालाँकि, यह गॉटफ्रीड लीबनिज थे जिन्होंने अतिसूक्ष्म मात्राओं के लिए विभेदक शब्द सृष्ट और उनके लिए संकेतन प्रस्तावित किया जो आज भी उपयोग किया जाता है।

लीबनिज के संकेतन में, यदि x एक चर मात्रा है, तो dx चर x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। इस प्रकार, यदि y, x का एक फलन है, तो x के संबंध में y के व्युत्पन्न को प्रायः dy/dx के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे अन्यथा (न्यूटन या लाग्रेंज के संकेतन में) ẏ या y′ के रूप में निरूपित किया जाएगा। इस रूप में विभेदक के उपयोग ने बहुत आलोचना को आकर्षित किया, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट विश्लेषक में है। फिर भी, संकेतन लोकप्रिय बना हुआ है क्योंकि यह दृढ़ता से इस विचार का सुझाव देता है कि x पर y का व्युत्पन्न परिवर्तन की तात्कालिक दर है (लेखाचित्र की स्पर्श रेखा का ढलान), जो अनुपात Δy/Δx की सीमा लेकर प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि Δx स्वेच्छतः छोटा हो जाता है। विभेदक भी आयामी विश्लेषण के साथ संगत होते हैं, जहां एक विभेदक जैसे dx के चर x के समान आयाम होते हैं।

17वीं शताब्दी CE के समय गणना गणित की एक अलग शाखा के रूप में विकसित हुआ, हालांकि प्राचीन काल में वापस जाने वाले पूर्ववर्ती थे। उदाहरण के लिए, न्यूटन, लीबनिज की प्रस्तुतियों को विभेदक, धाराप्रवाह और ''अनंततः छोटे'' जैसे शब्दों की गैर-कठोर परिभाषाओं द्वारा चिह्नित किया गया था। जबकि बिशप बर्कले के 1734 विश्लेषक में कई तर्क प्रकृति में धर्मशास्त्रीय हैं, आधुनिक गणितज्ञ विश्लेषक ''आवांछित प्रतिबिम्ब के दिवंगत मात्रा'' के प्रतिकूल उनके तर्क की वैधता को स्वीकार करते हैं; हालाँकि, आधुनिक दृष्टिकोणों में समान तकनीकी समस्याएँ नहीं हैं। कठोरता की कमी के बावजूद 17वीं और 18वीं शताब्दी में असीम प्रगति हुई हैं।19वीं शताब्दी में, कॉची और अन्य ने धीरे-धीरे एप्सिलॉन, निरंतरता, सीमा और व्युत्पन्न के लिए डेल्टा दृष्टिकोण विकसित किया, जिससे कलन के लिए एक ठोस वैचारिक आधार मिला हैं।

20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी गणना, विभेदक ज्यामिति, पुराने शब्दों के आशय को समाहित करती प्रतीत हुईं, विशेष रूप से विभेदक; विभेदक और अतिसूक्ष्म दोनों का उपयोग नए, अधिक कठोर, अर्थों के साथ किया जाता है।

विभेदक का उपयोगअभिन्न के लिए संकेतन में भी किया जाता है क्योंकि एक समाकल को अनंत मात्रा के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक लेखाचित्र के अंतर्गत क्षेत्र लेखाचित्र को अनंततः पतली पट्टियों में उप-विभाजित करके और उनके क्षेत्रों का योग करके प्राप्त किया जाता है। एक अभिव्यक्ति में जैसे

$$\int f(x)\,dx,$$

अभिन्न चिह्न (जो एक संशोधित लंबा s है) अनंत योग को दर्शाता है, f(x) एक पतली पट्टी की ''ऊंचाई'' को दर्शाता है, और विभेदक dx इसकी अनंततः पतली चौड़ाई को दर्शाता है।

दृष्टिकोण

गणितीय रूप से विभेदक की धारणा को सटीक बनाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं।

1. रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक यह दृष्टिकोण विभेदक ज्यामिति में कुल व्युत्पन्न और बाहरी व्युत्पन्न की परिभाषा को रेखांकित करता है।
2. क्रमविनिमेय वलयों के निलपोटेंट तत्वों के रूप में अवकलन है। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।
3. समुच्चय सिद्धांत के सुचारू प्रतिरूप में विभेदक है। इस दृष्टिकोण को संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति या सुचारू अत्यल्प विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, अतिरिक्त इसके किटोपोस सिद्धांत के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट अतिसूक्ष्म प्रस्तावित किए जाते हैं।
4. अति वास्तविक संख्या पद्धति में अतिसूक्ष्म के रूप में विभेदक, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें प्रतिलोम अतिसूक्ष्म और अनंततः बड़ी संख्याएं होती हैं। यह अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।

ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार सामान्य है, अर्थात् यह नहीं कह रहा है कि एक विभेदक अनंततः छोटा है, लेकिन यह कितना छोटा है।

रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक

भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल प्रकार है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग $\mathbb {R}$, $\mathbb {R} ^{n}$, एक हिल्बर्ट समष्टि, एक बनच समष्टि, या अधिक सामान्यतः, एक सांस्थितिक सदिश समष्टि पर किया जा सकता है। वास्तविक रेखा के प्रकरण की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के विभेदक को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है।