सदिश गुणनफल

This article is about त्रि-आयामी यूक्लिडियन क्षेत्र में दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद के रूप में होता है. For other uses, see सदिश गुणनफल (disambiguation).

गणित में, क्रॉस उत्पाद या सदिश उत्पाद कभी-कभी क्षेत्र उत्पाद को निर्देशित करता है, इसके ज्यामितीय महत्व पर जोर देने के लिए यहां एक त्रि-आयामी ओरिएंटेशन यूक्लिडियन सदिश स्पेस में दो वैक्टरों पर एक बाइनरी ऑपरेशन $E$ के रूप में होता है और इसे $\times$.प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है दो रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश a तथा b, क्रॉस उत्पाद के रूप में दिए गए हैं a × b, एक सदिश के रूप में है, जो a तथा b दोनों के लिए लंबवत रूप में होता है और इस प्रकार उन्हें रखने वाले समतल के लिए सामान्य ज्यामिति के रूप में होते है। इसके गणित भौतिकी अभियांत्रिकी और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में कई अनुप्रयोग के रूप में होते है। इसे डॉट उत्पाद प्रक्षेपण उत्पाद के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

यदि दो सदिशों की दिशा समान रूप में होती है या एक दूसरे से बिल्कुल विपरीत दिशा में होती है, अर्थात वे रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं होते है या यदि किसी एक की लंबाई शून्य होती है, तो उनका अनुप्रस्थ गुणनफल शून्य होता है। अधिक सामान्यतः उत्पाद का परिमाण पक्षों के लिए सदिश के साथ समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है; विशेष रूप से दो लंब सदिशों के गुणनफल का परिमाण उनकी लंबाई का गुणनफल होता है।

क्रॉस उत्पाद एंटी क्रमविनिमेयता के रूप में होते है, अर्थात a × b = − b × a) और योग पर वितरण होते है, अर्थात a × (b + c) = a × b + a × c).के रूप में होते है क्रॉस उत्पाद एक क्षेत्र पर $E$ वास्तविक संख्याओं पर एक बीजगणित रूप में होता है, जो न तो क्रम विनिमेय और न ही साहचर्य के रूप में होता है, लेकिन एक लाई बीजगणित में होता है, जिसमें क्रॉस उत्पाद लाई ब्रैकेट के रूप में होता है।

डॉट उत्पाद की तरह, यह यूक्लिडियन स्पेस के मीट्रिक स्थान पर निर्भर करता है, लेकिन डॉट प्रोडक्ट के विपरीत यह स्पेस के ओरिएंटेशन गणित या दाहिने हाथ का नियम के विकल्प पर भी निर्भर करता है, यही कारण है कि ओरिएंटेड स्पेस की आवश्यकता होती है और क्रॉस उत्पाद के संबंध में सदिश के बाहरी बीजगणित का उपयोग यादृच्छिक आयामों में किया जाता है तथा एक 2सदिश या 2-प्रपत्र परिणाम के साथ और क्षेत्र के ओरिएंटेशन से स्वतंत्र रूप में होते है।

पारंपरिक 3-आयामी क्रॉस उत्पाद के लिए ओरिएंटेशन और मीट्रिक संरचना का उपयोग करके उत्पाद को विभिन्न विधियों से सामान्यीकृत किया जाता है, कोई n आयाम, का उत्पाद n − 1 सदिश का गुणनफल उन सभी के लिए लंबवत सदिश के रूप में होते है। लेकिन यदि उत्पाद सदिश परिणामों के साथ गैर-तुच्छ बाइनरी उत्पादों तक सीमित होते है, तो यह केवल तीन और सात आयामों में उपलब्ध होते है। सात-आयामी क्रॉस उत्पाद में अवांछनीय गुण होते हैं, उदाहरण के लिए यह सात-आयामी क्रॉस उत्पाद जैकोबी सर्वसमिका को संतुष्ट करने के लिए अष्टक से संबंध होते है, चूंकि बहुआयामी स्पेस समय के रूप में इसका उपयोग गणितीय भौतिकी में राशियो का प्रतिनिधित्व करने के लिए नहीं किया जाता है क्रॉस उत्पाद सामान्यीकरण, अन्य आयामों के लिए नीचे दिखाया गया है।

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दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली के संबंध में क्रॉस उत्पाद

परिभाषा

File:Right hand rule cross product.svg

दाहिने हाथ के नियम द्वारा क्रॉस उत्पाद की दिशा ज्ञात करना

दो सदिश ए और बी का क्रॉस उत्पाद केवल त्रि-आयामी क्षेत्र में परिभाषित किया गया है और इसे a × b.के रूप में निरूपित किया गया है, भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में, वेज नोटेशन a ∧ b का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है, सदिश उत्पाद नाम के संयोजन के साथ होता है, चूंकि शुद्ध गणित में इस तरह के अंकन सामान्यतः केवल बाहरी उत्पाद के रूप में आरक्षित होते हैं, सदिश उत्पाद का एक सार n आयाम के रूप में होता है।

क्रॉस उत्पाद a × b एक सदिश सी के रूप में परिभाषित किया गया है, जो दाएं हाथ के नियम द्वारा दी गई दिशा के साथ ए और बी दोनों के लिए लंबवत ऑर्थोगोनल रूप में होते है और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर परिमाण रूप में होते है, जो सदिश स्पैन के रूप में होते है।

क्रॉस उत्पाद सूत्र द्वारा इसे परिभाषित किया गया है

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\ \mathbf {n}$

जहाँ पे:

• θ उन्हें समाहित करने वाले तल में 'a' और 'b' के बीच का कोण होता है, इसलिए यह 0° और 180° के बीच होता है
• ‖'a'‖ और ‖'b'‖ सदिश 'a' और 'b' के परिमाण (सदिश ) के रूप में होते है
• और 'एन' दाहिने हाथ के नियम सचित्र द्वारा दी गई दिशा में 'ए' और 'बी' युक्त स्पेस के लंबवत एक इकाई सदिश के रूप में होते है।

यदि सदिश a और b समांतर रूप में होते है, अर्थात उनके बीच का कोण θ या तो 0° या 180° के बीच होता है, उपरोक्त सूत्र के अनुसार, a और b का क्रॉस गुणनफल शून्य सदिश 0 के रूप में होता है।

दिशा

File:Cross product.gif

क्रॉस उत्पाद a × b (ऊर्ध्वाधर, बैंगनी रंग में) सदिश a (नीला) और b (लाल) के बीच के कोण में परिवर्तन के रूप में बदलता है। क्रॉस उत्पाद निरंतर दोनों वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनल होता है, और जब सदिश समानांतर होते हैं और अधिकतम परिमाण a‖‖b‖ होते हैं, जब वे ऑर्थोगोनल होते हैं, तो परिमाण शून्य होता है।

परिपाटी के अनुसार, सदिश n की दिशा दाएँ हाथ के नियम द्वारा दी गई है, जहाँ केवल दाहिने हाथ की तर्जनी को a की दिशा में और मध्यमा को b की दिशा में इंगित करता है। फिर सदिश n अंगूठे की दिशा में इंगित करता है। आसन्न चित्र में दिखाया गया है'। इस नियम का उपयोग करने का अर्थ है कि क्रॉस उत्पाद एंटीकोम्यूटेटिविटी के रूप में होते है। एंटी-कम्यूटेटिव, b × a = −(a × b). तर्जनी को पहले b की ओर इंगित करके और फिर मध्य उंगली को a की ओर इंगित करते हुए, अंगूठे को विपरीत दिशा में इंगित करती है।, उत्पाद सदिश के चिह्न को उलट दिया जाता है।

जैसा कि क्रॉस उत्पाद ऑपरेटर सामान्य रूप से सदिश स्पेस के ओरिएंटेशन पर निर्भर करता है, जैसा कि ऊपर की परिभाषा में स्पष्ट होता है कि दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद एक वास्तविक सदिश के रूप में नहीं होता है, बल्कि एक स्यूडोसदिश के रूप में होता है। अधिक विवरण के लिए § यादृच्छिक के रूप में दिखाया गया है'।

नाम और उत्पत्ति

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सर्रस नियम के अनुसार, 3×3 आव्यूह के निर्धारक में पार किए गए विकर्णों द्वारा पहचाने गए आव्यूह तत्वों के बीच गुणन सम्मलित होता है

1842 में, विलियम रोवन हैमिल्टन ने चतुष्कोणीय के बीजगणित और गैर-कम्यूटेटिव हैमिल्टन उत्पाद की खोज की। विशेष रूप से, जब दो सदिशों का हैमिल्टन उत्पाद, जो कि शून्य अदिश भाग के साथ शुद्ध चतुष्कोणों का प्रदर्शन किया जाता है, तो इसका परिणाम एक अदिश और सदिश भाग के साथ एक चतुर्भुज रूप में होता है। इस हैमिल्टन उत्पाद का अदिश और सदिश भाग दो वैक्टरों के डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद के नकारात्मक से मेल खाता है।

1881 में, योशिय्याह विलार्ड गिब्स और स्वतंत्र रूप से ओलिवर हीविसाइड ने एक अवधि का उपयोग करते हुए डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद दोनों के लिए नोटेशन की शुरुआत की (a ⋅ b) और एक × (a × b), क्रमशः, उन्हें निरूपित करने के लिए होता है।

1877 में, इस विषय पर जोर देने के लिए कि एक डॉट उत्पाद का परिणाम एक अदिश गणित के रूप में है, जबकि एक क्रॉस उत्पाद का परिणाम एक यूक्लिडियन सदिश के रूप में है, विलियम किंगडन क्लिफोर्ड ने दो कार्यों के लिए वैकल्पिक नाम अदिश उत्पाद और सदिश उत्पाद को गढ़ा है। ये वैकल्पिक नाम अभी भी साहित्य में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

दोनों क्रॉस नोटेशन (a × b) और नाम क्रॉस उत्पाद संभवतः इस तथ्य से प्रेरित थे कि, a × b के प्रत्येक अदिश घटक की गणना ए और बी के गैर-संगत घटकों को गुणा करके गणना की जाती है। इसके विपरीत, एक डॉट उत्पाद a ⋅ b में ए और बी के संबंधित घटकों के बीच गुणन रूप में सम्मलित होते है। जैसा कि समझाया गया है, क्रॉस उत्पाद को विशेष 3 × 3 आव्यूह के निर्धारक के रूप में व्यक्त किया जाता है। सरस नियम के अनुसार, इसमें क्रॉस किए गए विकर्णों द्वारा पहचाने गए आव्यूह तत्वों के बीच गुणन रूप में सम्मलित होते है।

कम्प्यूटिंग

समन्वय संकेतन

File:3D Vector.svg

मानक आधार सदिश i, j, k, इ1, इ2, इ3 को भी निरूपित करते हैं और एएक्स एवाई एजेड के सदिश घटक, ए1, ए2, ए3 को भी निरूपित करते हैं

यदि (i, j,k) एक धनात्मक रूप से ओरिएंटेशन ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में है, तो आधार सदिश निम्नलिखित समानता को संतुष्ट करते हैं

:${\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}$ जिसका अर्थ है, क्रॉस उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी से है, जैसा दिखाया गया है'

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}$

क्रॉस उत्पाद और रैखिक स्वतंत्र की स्पष्ट कमी के रूप में होती है, जो एंटीकॉम्यूटेटिविटी का भी अर्थ है

$\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0}$ (शून्य सदिश )।

क्रॉस उत्पाद की वितरण और रैखिकता के साथ ये समानताएं के रूप में होती है, चूंकि ऊपर दी गई परिभाषा से आसानी से अनुसरण नहीं करती हैं, किसी भी दो सदिश ए और बी के क्रॉस उत्पाद को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त होते है। प्रत्येक सदिश को मानक आधार सदिश के समानांतर तीन ऑर्थोगोनल घटकों के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है,

${\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}$

उनका क्रॉस उत्पाद a × b वितरण का उपयोग करके विस्तार किया जाता है

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}$

इसे a × b के अपघटन के रूप में व्याख्यायित किया जाता है i, j, या k के साथ संरेखित सदिशों को सम्मलित करते हुए नौ सरल क्रॉस उत्पादों के योग के रूप में दिखाया गया है। इन नौ क्रॉस उत्पादों में से प्रत्येक दो सदिश पर काम करता है, जिन्हें संभालना आसान होता है क्योंकि वे एक दूसरे के समानांतर या ऑर्थोगोनल रूप में होते हैं। इस अपघटन से, उपर्युक्त कोऑर्डिनेट नोटेशन का उपयोग करके और समान शब्दों को एकत्रित करके हम प्राप्त करते है

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \\\end{aligned}}$

जिसका अर्थ है कि परिणामी सदिश s = s₁i + s₂j + s₃k = a × b के तीन अदिश घटक के रूप में है

${\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}$

कॉलम सदिश का उपयोग करके, हम उसी परिणाम का प्रतिनिधित्व इस प्रकार कर सकते हैं

${\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}$

आव्यूह संकेतन

File:Sarrus rule cross product ab.svg

ए और बी के क्रॉस उत्पाद को खोजने के लिए सरस के नियम का उपयोग

क्रॉस उत्पाद को औपचारिक गणना निर्धारक के रूप में भी व्यक्त किया जाता है,

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

इस निर्धारक की गणना सर्रस के नियम या कॉफ़ेक्टर विस्तार का उपयोग करके की जाती है। सर्रस के नियम का उपयोग करते हुए, इसका विस्तार होता है

${\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}$

इसके अतिरिक्त पहली पंक्ति के साथ माइनर रैखिक बीजगणित विस्तार का उपयोग करते हुए, इसका विस्तार होता है

${\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} ,\end{aligned}}$

जो परिणामी सदिश के घटकों के रूप में सीधे देता है।

लेवी-सिविता टेंसर्स का उपयोग करना

• किसी भी आधार पर, क्रॉस-उत्पाद $a\times b$ को टेंसोरियल फॉर्मूला $E_{ijk}a^{i}b^{j}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ पे $E_{ijk}$ सहपरिवर्ती लेवी-सिविता टेंसर के रूप में होते है, जिसे हम सूचकांकों की स्थिति पर ध्यान देते हैं। यह बाहरी उत्पाद के रूप में दिए गए आंतरिक सूत्र से मेल खाता है।
• $a\times b$ क्षेत्र के समान ओरिएंटेशन वाले ऑर्थोनॉर्मल आधार पर छद्म-तन्य सूत्र $\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}$द्वारा दिया गया है, जहाँ पे $\varepsilon _{ijk}$ लेवी-सिविटा प्रतीक के रूप में है, जो एक छद्म टेंसर है। रोजमर्रा की भौतिकी के लिए यही सूत्र उपयोग किया जाता है लेकिन यह केवल आधार के इस विशेष विकल्प के लिए काम करता है।
• किसी भी ऑर्थोनॉर्मल आधार पर, $a\times b$ छद्म-तन्य $(-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}$ सूत्र द्वारा दिया गया है, जहाँ पे $(-1)^{B}=\pm 1$ इंगित करता है कि किस आधार की दिशा के समान ओरिएंटेशन है या नहीं।

जब हम एक ऑर्थोनॉर्मल आधार को उलटते हैं, तो बाद वाला फॉर्मूला क्षेत्र के ओरिएंटेशन को बदलने से बचता है।

गुण

ज्यामितीय अर्थ

See also: ट्रिपल उत्पाद

File:Cross product parallelogram.svg

चित्रा 1. क्रॉस उत्पाद के परिमाण के रूप में समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

File:Parallelepiped volume.svg

चित्र 2. एक समानांतर चतुर्भुज को परिभाषित करने वाले तीन सदिश

क्रॉस उत्पाद के यूक्लिडियन मानदंड की व्याख्या समांतर चतुर्भुज के धनात्मक क्षेत्र के रूप में की जाती है, जिसमें ए और बी पक्षों के रूप में होते हैं, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है

$$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.$$

वास्तव में, एक क्रॉस उत्पाद और एक डॉट उत्पाद के संयोजन का उपयोग करके किनारों के रूप में 'ए', 'बी' और 'सी' वाले समांतर चतुर्भुज के वॉल्यूम वी की गणना कर सकते हैं, जिसे अदिश ट्रिपल उत्पाद कहा जाता है, जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

चूंकि अदिश ट्रिपल उत्पाद का परिणाम नकारात्मक होता है, समानांतर चतुर्भुज का आयतन इसके निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

क्योंकि क्रॉस उत्पाद का परिमाण इसके तर्कों के बीच के कोण की ज्या से होता है, क्रॉस उत्पाद को लंबवतता के माप के रूप में उसी तरह माना जाता है, जैसे कि डॉट उत्पाद समानता का एक उपाय है। दो इकाई सदिश दिए गए हैं, उनके क्रॉस उत्पाद का परिमाण 1 है यदि दोनों लंबवत हैं और शून्य का परिमाण है यदि दोनों समानांतर हैं। दो इकाई सदिश का डॉट उत्पाद बिल्कुल विपरीत व्यवहार करता है, यह शून्य होता है जब इकाई सदिश लंबवत होते हैं और यदि 1 इकाई सदिश समानांतर रूप में होते हैं।

इकाई सदिश दो सुविधाजनक सर्वसमितियाँ के रूप में सक्षम होते है, दो इकाई वैक्टर के डॉट उत्पाद से कोज्या उत्पन्न होता है जो दो इकाई वैक्टर के बीच के कोण का धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। दो इकाई वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद का परिमाण ज्या उत्पन्न करता है, जो निरंतर धनात्मक रूप में होता है।

बीजगणितीय गुण

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क्रॉस उत्पाद अदिश गुणन। बायां: b का अपघटन a के समानांतर और लंबवत घटकों में। दाएं: एक धनात्मक वास्तविक संख्या r द्वारा लंबवत घटकों की स्केलिंग (यदि ऋणात्मक, बी और क्रॉस उत्पाद उलट हैं)।

File:Cross product distributivity.svg

सदिश जोड़ पर क्रॉस उत्पाद वितरण। वाम: सदिश b और c को a के समानांतर और लंबवत घटकों में हल किया जाता है। सही: समानांतर घटक क्रॉस उत्पाद में गायब हो जाते हैं, केवल लंबवत घटक स्पेस में लंबवत दिखाए जाते हैं।

File:Cross product triple.svg

तीन सदिश ए, बी, सी के दो गैर-समतुल्य ट्रिपल क्रॉस उत्पाद। प्रत्येक मामले में, दो सदिश एक स्पेस को परिभाषित करते हैं, दूसरा स्पेस से बाहर होता है और स्पेस को परिभाषित करने वाले सदिश के क्रॉस उत्पाद के समानांतर और लंबवत घटकों में विभाजित किया जा सकता है। इन घटकों को सदिश प्रक्षेपण और सदिश अस्वीकृति द्वारा पाया जा सकता है। ट्रिपल उत्पाद स्पेस में है और दिखाए गए अनुसार घुमाया जाता है।

यदि दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद शून्य सदिश के रूप में होता है, अर्थात, a × b = 0, तो या तो एक या दोनों इनपुट शून्य सदिश हैं, a = 0 या b = 0 या फिर वे समानांतर या विरोधी समानांतर के रूप में हैं a ∥ b जिससे की उनके बीच के कोण की ज्या शून्य (θ = 0° या θ = 180° तथा sin θ = 0).के रूप में होती है।

एक सदिश का स्व-क्रॉस उत्पाद शून्य सदिश के रूप में होता है,

$\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .$

क्रॉस उत्पाद एंटीकॉम्यूटेटिविटी के रूप में होता है,

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),$

इसके अतिरिक्त वितरण गुण ,

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),$

और अदिश गुणन के साथ संगत जिससे की

$(r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

यह सहयोगी नहीं है, लेकिन जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है,

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .$

वितरणशीलता, रैखिकता और जैकोबी पहचान दर्शाती है कि R³ यूक्लिडियन स्पेस असली समन्वय स्थान सदिश जोड़ और क्रॉस उत्पाद के साथ मिलकर एक लाई बीजगणित बनाता है, 3 आयामों में वास्तविक ऑर्थोगोनल समूह का लाई बीजगणित, एसओ(3) क्रॉस उत्पाद कैंसलेशन नियम का पालन नहीं करता है; वह a × b = a × c के साथ a ≠ 0 का अर्थ नहीं b = c, लेकिन केवल वह,

${\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{aligned}}$

यह वह स्थिति हो सकती है जहाँ b और c रद्द हो जाते हैं, लेकिन इसके अतिरिक्त जहाँ a और b − c समानांतर रूप में होते है; अर्थात्, वे एक स्केल फ़ैक्टर t से संबंधित हैं, जिसके कारण,

$\mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,$

कुछ अदिश टी के लिए है।

यदि इसके अतिरिक्त a × b = a × c तथा a ≠ 0 ऊपर के रूप में, यह स्थिति है कि a ⋅ b = a ⋅ c फिर

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}$

जैसा कि b − c क्रॉस उत्पाद के 0 होने के लिए एक साथ समानांतर नहीं हो सकता है और डॉट उत्पाद के लिए लंबवत 0 से a तक हो सकता है, यह स्थिति होना चाहिए कि b और c रद्द करें, : b = c के लिए

ज्यामितीय परिभाषा से, क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित अक्ष के बारे में उचित रोटेशन (गणित) के अनुसार अपरिवर्तनीय है a × b. सूत्र के रूप में दिखाया गया है',

$(R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$, जहाँ पे $R$ के साथ एक रोटेशन आव्यूह है $\det(R)=1$.

अधिक सामान्यतः , क्रॉस उत्पाद आव्यूह (गणित) परिवर्तनों के अनुसार निम्नलिखित पहचान का पालन करता है

$(M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

जहाँ पे $M$ एक 3-बाई-3 आव्यूह गणित है और $\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$ व्युत्क्रम आव्यूह का स्थानान्तरण है और $\operatorname {cof}$ सहकारक आव्यूह है। यह आसानी से देखा जा सकता है कि यह सूत्र पूर्व वाले को कैसे कम करता है $M$ एक रोटेशन आव्यूह के रूप में है। यदि $M$ एक सामान्य क्रॉस उत्पाद पर लागू एक 3-बाय -3 सममित आव्यूह के रूप में है $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$, निम्नलिखित संबंध सत्य है

$M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M\mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a}$

दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद के रिक्त स्थान में होता है 2 × 3 पंक्तियों के रूप में सदिश के साथ आव्यूह रूप में होता है

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).$

दो क्रॉस उत्पादों के योग के लिए, निम्नलिखित पहचान रखते है

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .$

अवकलन

Main article: वेक्टर वैल्यू फ़ंक्शन § व्युत्पन्न और वेक्टर गुणन

अवकलन कैलकुलस का उत्पाद नियम किसी भी बिलिनियर ऑपरेशन पर लागू होता है, और इसलिए क्रॉस उत्पाद पर भी लागू होता है,

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},$

जहाँ a और b सदिश के रूप में हैं, जो वास्तविक चर t पर निर्भर करते हैं।

ट्रिपल उत्पाद विस्तार

Main article: ट्रिपल उत्पाद

क्रॉस उत्पाद का उपयोग ट्रिपल उत्पाद के दोनों रूपों में किया जाता है। तीन सदिशों के अदिश त्रिक गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),$

यह ए, बी और सी किनारों के साथ समानांतर चतुर्भुज की हस्ताक्षरित राशि के रूप में है और इस तरह सदिश का उपयोग किसी भी क्रम में किया जा सकता है, जो उपरोक्त क्रम का एक भी क्रमपरिवर्तन है। इसलिए निम्नलिखित बराबर हैं,

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),$

सदिश ट्रिपल उत्पाद एक अन्य क्रॉस उत्पाद के परिणाम के साथ एक सदिश का क्रॉस उत्पाद के रूप में है और निम्न सूत्र द्वारा डॉट उत्पाद से संबंधित होती है

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}$

राइट हैंड सदस्य में सदिश के क्रम को याद रखने के लिए स्मरक बीएसी माइनस सीएबी का उपयोग किया जाता है। इस सूत्र का उपयोग भौतिकी में सदिश गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है। ढाल के संबंध में एक विशेष स्थिति और सदिश कलन में उपयोगी रूप में होते है

${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}$

जहाँ ∇² सदिश लाप्लासियन संचालिका के रूप में होते है।

अन्य पहचान क्रॉस उत्पाद को अदिश ट्रिपल उत्पाद से संबंधित होती है,

${\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}$

जहां आई पहचान आव्यूह के रूप में होता है।

वैकल्पिक सूत्रीकरण

क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद निम्न से संबंधित होता है।

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$

दाईं ओर ए और बी का ग्रामियन आव्यूह है, जो सदिश द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र का वर्ग होता है।। यह स्थिति क्रॉस उत्पाद के परिमाण को निर्धारित करती है। अर्थात, चूंकि डॉट गुणनफल दो सदिशों के बीच θ कोण के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जैसे

$\mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,$

ऊपर दिए गए संबंध को निम्नानुसार फिर से लिखा जाता है,

$\left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).$

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिका प्राप्त करने पर इस रूप में दिखती है

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,$

जो θ के संदर्भ में व्यक्त क्रॉस उत्पाद का परिमाण है, जो 'ए' और 'बी' द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है, ऊपर परिभाषा में दिखाया गया है)।

इस आवश्यकता और गुण का संयोजन जो क्रॉस उत्पाद अपने घटकों 'ए' और 'बी' के लिए ऑर्थोगोनल के रूप में होता है, जो क्रॉस उत्पाद की वैकल्पिक परिभाषा प्रदान करता है।

लाग्रेंज की आइडेंटिटी

सम्बन्ध:

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$

की तुलना एक अन्य संबंध से की जाती है, जिसमें दाहिना हाथ के रूप में सम्मलित है, अर्थात् लैग्रेंज की पहचान इस प्रकार व्यक्त की गई है

$\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}\ ,$

जहाँ a और b, n-विमीय सदिश के रूप में होते है। इससे यह पता चलता है कि सतहों के लिए रिमेंनियन वॉल्यूम फॉर्म सदिश कैलकुस से वॉल्यूम फॉर्म के रूप में होता है। जहां स्थिति में n = 3, इन दो समीकरणों के संयोजन से इसके घटकों के संदर्भ में क्रॉस उत्पाद के परिमाण का व्यंजक प्राप्त होता है,

${\begin{aligned}&\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\\equiv {}&\left(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)^{2}\ .\end{aligned}}$

एक ही परिणाम सीधे क्रॉस उत्पाद के घटकों का उपयोग करके पाया जाता है,

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.$

आर³ में, लैग्रेंज का समीकरण गुणन का एक विशेष स्थिति के रूप में होता है, |vw| = |v||w| चतुष्कोणीय बीजगणित आदर्श गुणों के रूप में है,

यह एक अन्य सूत्र का एक विशेष स्थिति है, जिसे कभी-कभी लैग्रेंज की पहचान भी कहा जाता है, जो कि बिनेट-कॉची पहचान का त्रि-आयामी स्थिति है

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).$

यदि a = c तथा b = d यह उपरोक्त सूत्र को सरल करता है।

घुमावों के अनंत जनरेटर

क्रॉस उत्पाद आर3 में रोटेशन गणित के अनंत जनरेटर का आसानी से वर्णन करता है। विशेष रूप से, यदि n, R3 में एक इकाई सदिश है और R(φ, 'n') कोण φ रेडियंस में मापा जाता है, वामावर्त जब 'n' की नोक से देखा जाता है, n द्वारा निर्दिष्ट मूल के माध्यम से धुरी के बारे में एक रोटेशन को दर्शाता है फिर,

$\left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {x}}$

R^{3 में प्रत्येक सदिश x के रूप में होती है। n के साथ क्रॉस उत्पाद इसलिए n के बारे में घुमावों के अनंत जनरेटर का वर्णन करता है। ये इनफिनिटिमल जेनरेटर घूर्णन समूह SO(3) के लाई अल्जेब्रा एसओ(3) बनाते हैं और हम परिणाम प्राप्त करते हैं कि लाई अल्जेब्रा आर3 क्रॉस उत्पाद के साथ लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक के रूप में होते है}

गणना करने के वैकल्पिक विधि

आव्यूह गुणा में रूपांतरण

सदिश क्रॉस उत्पाद को विषम सममित आव्यूह और सदिश के उत्पाद के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट ^T ट्रांज़ेक्शन ऑपरेशन को संदर्भित करता है और [ए]_× द्वारा परिभाषित किया जाता है

$$[\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.$$

कॉलम [ए]_×,i सदिश a के लिए विषम -सममित आव्यूह की गणना इकाई सदिशों के साथ क्रॉस उत्पाद की गणना करके भी प्राप्त की जा सकती है। वह इस प्रकार है ,

$$[\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}$$

या

$$[\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,$$

जहाँ पे $\otimes$ बाहरी उत्पाद ऑपरेटर के रूप में होते है।

यदि a स्वयं एक क्रॉस उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाता है,

$$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d}$$

फिर

$$[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.$$

Proof by substitution

क्रॉस उत्पाद का मूल्यांकन देता है

$$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ={\begin{pmatrix}c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}\\c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}\end{pmatrix}}$$

इसलिए, बायां हाथ पक्ष बराबर रूप में होता है

$$[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}$$

अब, दाहिने हाथ की ओर के लिए है,

$$\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{1}d_{2}&c_{1}d_{3}\\c_{2}d_{1}&c_{2}d_{2}&c_{2}d_{3}\\c_{3}d_{1}&c_{3}d_{2}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}$$

और इसका स्थानान्तरण है

$$\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{2}d_{1}&c_{3}d_{1}\\c_{1}d_{2}&c_{2}d_{2}&c_{3}d_{2}\\c_{1}d_{3}&c_{2}d_{3}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}$$

दाहिने हाथ की ओर का मूल्यांकन देता है

$$\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}$$

तुलना से पता चलता है कि बाएँ हाथ का भाग दाएँ पक्ष के बराबर होता है।

इस परिणाम को ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। विशेष रूप से किसी भी आयाम में द्विभाजक को विषम -सममित आव्यूह के साथ पहचाना जा सकता है, इसलिए एक विषम -सममित आव्यूह और सदिश के बीच का उत्पाद एक द्विभाजक और सदिश के उत्पाद के ग्रेड -1 भाग के बराबर होता है। तीन आयामों में बाइसदिश के लिए दोहरी सदिश के रूप में हैं, इसलिए उत्पाद अपने सदिश डुअल के अतिरिक्त बाइसदिश के साथ क्रॉस उत्पाद के बराबर होता है। उच्च आयामों में उत्पाद की गणना अभी भी की जा सकती है लेकिन बायसदिश में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होती है और वे सदिश के बराबर नहीं होते हैं।

इस नोटेशन के साथ काम करना भी अधिकांशतः बहुत आसान होता है, उदाहरण के लिए, अधिध्रुवीय ज्यामिति के रूप में होती है।

क्रॉस उत्पाद के सामान्य गुणों से तुरंत इसका अनुसरण होता है,

$$[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0}$$

तथा

$$\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0}$$

और इस तथ्य से कि [ए]_× विषम -सममित के रूप में है, यह इस प्रकार है

$$\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.$$

उपर्युक्त ट्रिपल उत्पाद विस्तार बीएसी-कैब नियम इस नोटेशन का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

जैसा ऊपर बताया गया है, लाई बीजगणित आर³ क्रॉस उत्पाद के साथ लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक रूप में है, इसलिए (एसओ3), जिसके तत्वों को 3×3 विषम -सममित आव्यूह के साथ पहचाना जा सकता है। और इसी तरह (एसओ3) मानचित्र a → [a]_× आर³ के बीच एक समरूपता प्रदान करता है। इस मानचित्र के अनुसार 3 सदिश का क्रॉस उत्पाद 3x3 विषम -सममित आव्यूह के कम्यूटेटर से मेल खाता है।

विहित आधार वैक्टर के साथ क्रॉस उत्पाद के लिए मैट्रिक्स रूपांतरण होता है

Denoting with $\mathbf {e} _{i}\in \mathbf {R} ^{3\times 1}$ the $i$-th canonical base vector, the cross product of a generic vector $\mathbf {v} \in \mathbf {R} ^{3\times 1}$ with $\mathbf {e} _{i}$ is given by: $\mathbf {v} \times \mathbf {e} _{i}=\mathbf {C} _{i}\mathbf {v}$, where $$\mathbf {C} _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{2}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{3}={\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$ These matrices share the following properties: $\mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=-\mathbf {C} _{i}$ (skew-symmetric); Both trace and determinant are zero; ${\text{rank}}(\mathbf {C} _{i})=2$; $\mathbf {C} _{i}\mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=\mathbf {P} _{\mathbf {e} _{i}}^{^{\perp }}$ (see below); The orthogonal projection matrix of a vector $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ is given by $\mathbf {P} _{\mathbf {v} }=\mathbf {v} \left(\mathbf {v} ^{\textrm {T}}\mathbf {v} \right)^{-1}\mathbf {v} ^{T}$. The projection matrix onto the orthogonal complement is given by $\mathbf {P} _{\mathbf {v} }^{^{\perp }}=\mathbf {I} -\mathbf {P} _{\mathbf {v} }$, where $\mathbf {I}$ is the identity matrix. For the special case of $\mathbf {v} =\mathbf {e} _{i}$, it can be verified that $$\mathbf {P} _{\mathbf {e} _{1}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{2}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{3}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$ For other properties of orthogonal projection matrices, see projection (linear algebra).

टेंसर के लिए सूचकांक संकेतन

क्रॉस उत्पाद को वैकल्पिक रूप से लेवी-सिविटा टेंसर | लेवी-सिविटा टेंसर ई_ijk के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है और एक डॉट उत्पाद η^mi, जो टेन्सर अनुप्रयोगों के लिए सदिश नोटेशन को परिवर्तित करने में उपयोगी होते है,

$\mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}$

जहां सूचकांक i,j,k वेक्टर घटकों के अनुरूप होते है। क्रॉस उत्पाद के इस लक्षण वर्णन को अधिकांशतः आइंस्टीन सारांश सम्मेलन के रूप में अधिक कॉम्पैक्ट रूप से व्यक्त किया जाता है

$\mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}$

जिसमें दोहराए गए सूचकांकों को 1 से 3 तक के मानों में जोड़ दिया जाता है।

धनात्मक रूप से ओरिएंटेशन ऑर्थोनॉर्मल आधार η^mi = δ^mi में क्रोनकर डेल्टा और $E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}$ लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में होते है। उस स्थिति में, यह प्रतिनिधित्व क्रॉस उत्पाद के विषम -सममित प्रतिनिधित्व का दूसरा रूप है,

$[\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.$

मौलिक यांत्रिकी में: लेवी-सीविटा प्रतीक का उपयोग करके क्रॉस उत्पाद का प्रतिनिधित्व करने से यांत्रिक समरूपता स्पष्ट होती है, जब भौतिक प्रणालियां आइसोट्रोपिक रूप में होती हैं। एक उदाहरण हुक के नियम में एक कण को ​​तीन आयामों में स्वतंत्र रूप से तीन आयामों में दोलन करने की क्षमता पर विचार करते है, इनमें से कोई भी आयाम किसी भी अर्थ में विशेष रूप में नहीं होता है, इसलिए समरूपता क्रॉस उत्पाद में निहित होता है, जो कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करती है जो उपरोक्त लेवी सिविटा प्रतिनिधित्व द्वारा स्पष्ट किया गया है।

स्मृति सहायक

File:Cross product mnemonic.svg

सदिश रूप में एक क्रॉस उत्पाद की गणना करने के लिए निमोनिक

"Xyzzy (स्मृति सहायक)" redirects here. For other uses, see Xyzzy.

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा को याद रखने के लिए xyzzy शब्द का उपयोग किया जाता है।

यदि

$\mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

जहाँ पे,

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}$

फिर:

$a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}$

$a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}$

$a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.$

दूसरे और तीसरे समीकरणों को पहले से केवल अनुलंब रूप से सबस्क्रिप्ट को घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है, x → y → z → x. बशर्त, समस्या यह है कि पहले समीकरण को कैसे याद रखा जाए और इस उद्देश्य के लिए दो के रूप में विकल्प उपलब्ध होते है या तो सर्रस की योजना के प्रासंगिक दो विकर्णों को याद रखना, जिनमें i रूप में सम्मलित होते है या xyzzy अनुक्रम को याद रखने के लिए है।

चूंकि सर्रस की योजना में पहला विकर्ण क्रॉस उत्पाद आव्यूह नोटेशन उल्लेखित 3 × 3 आव्यूह का मुख्य विकर्ण के रूप में है, शब्द xyzzy के पहले तीन अक्षरों को बहुत आसानी से याद किया जा सकता है।

क्रॉस विज़ुअलाईज़ेशन

उपरोक्त स्मरक उपकरण के समान, समीकरण में दो वैक्टरों के बीच एक क्रॉस या एक्स को देखा जा सकता है। यह सही क्रॉस प्रोडक्ट फॉर्मूला याद रखने में मददगार होता है।

यदि

$\mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c}$

फिर:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.$

यदि हम $a_{x}$ के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं हम $b_{x}$बस छोड़ देते हैं तथा $c_{x}$ सूत्र से और अगले दो घटकों को नीचे ले जाते है

$a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.$

ऐसा करते समय $a_{y}$ अगले दो तत्वों को आव्यूह के चारों ओर लपेटना चाहिए जिससे की z घटक के बाद x घटक आ जाए। स्पष्टता के लिए, इस ऑपरेशन को करते समय $a_{y}$, अगले दो घटक z और x (उस क्रम में) होने चाहिए। जबकि इसके लिए $a_{z}$ अगले दो घटकों को x और y के रूप में लिया जाना चाहिए।

$a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}$

$a_{x}$ के लिये, यदि हम क्रॉस ऑपरेटर को बाईं ओर एक तत्व से दाईं ओर एक तत्व की ओर इंगित करते हुए देखते हैं, तो हम बाईं ओर पहला तत्व ले सकते हैं और उस तत्व से गुणा कर सकते हैं, जो दाहिने हाथ के आव्यूह में क्रॉस पॉइंट के रूप में होता है। इसके बाद हम अगले तत्व को बाईं ओर से घटाते हैं, उस तत्व से गुणा करते हैं जो यहां भी क्रॉस पॉइंट के रूप में होता है। इसका परिणाम हमारे $a_{x}$ सूत्र के रूप में होता है

$a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.$

हम इसे उसी तरह से कर सकते हैं $a_{y}$ तथा $a_{z}$ उनसे जुड़े सूत्र बनाने के लिए करते है।

अनुप्रयोग

क्रॉस उत्पाद में विभिन्न संदर्भों में अनुप्रयोग के रूप में होता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग कम्प्यूटेशनल ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग में किया जाता है। उदाहरणों एक गैर-विस्तृत सूची इस प्रकार है।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति

क्रॉस उत्पाद तीन आयामी क्षेत्र में एक दूसरे से एक ही स्पेस में नहीं दो तिरछी रेखाओं की दूरी की गणना में प्रयुक्त होता है।

क्रॉस उत्पाद का उपयोग त्रिभुज या बहुभुज के लिए सामान्य की गणना करने के लिए किया जा सकता है, एक ऑपरेशन जो अधिकांशतः कंप्यूटर ग्राफिक्स में किया जाता है। उदाहरण के लिए, बहुभुज के भीतर एक बिंदु के बारे में एक बहुभुज की दक्षिणावर्त या वामावर्त घुमाव की गणना बहुभुज को त्रिकोणित करके की जा सकती है, जैसे कि एक पहिया को घुमाकर और प्रत्येक कोण के चिह्न का ट्रैक रखने के लिए क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके स्पोक के बीच के प्रत्येक कोण का चिह्न के रूप में किया जाता है।

क्षेत्र के कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, क्रॉस उत्पाद का उपयोग तीन बिंदुओं $p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})$ तथा $p_{3}=(x_{3},y_{3})$.द्वारा परिभाषित तीव्र कोण के संकेत को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, यह दो जोड़ी बिंदुओं $(p_{1},p_{2})$ तथा $(p_{1},p_{3})$.द्वारा परिभाषित दो समतलीय सदिश (ज्यामिति) के क्रॉस उत्पाद की दिशा (ऊपर या नीचे) से मेल खाती है,

$P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),$ न्यूनकोण का चिह्न व्यंजक का चिह्न के रूप में है

जो दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद की हस्ताक्षरित लंबाई के रूप में होती है।

दाहिने हाथ की समन्वय प्रणाली में, यदि परिणाम 0 है, तो अंक संरेख होते हैं; यदि यह धनात्मक है तो तीन बिंदु चारों ओर घूमने का एक धनात्मक कोण $p_{1}$ से $p_{2}$ प्रति $p_{3}$ बनाते हैं, अन्यथा एक नकारात्मक कोण दूसरे दृष्टिकोण से, $P$ का संकेत बताता है कि क्या $p_{3}$ रेखा के बाईं ओर या दाईं ओर स्थित $p_{1},p_{2}.$के रूप में है।

क्रॉस उत्पाद का उपयोग पॉलीहेड्रॉन जैसे टेट्राहेड्रॉन या समांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना में किया जाता है।

कोणीय गति और टॉरगयु

कोणीय गति L किसी दिए गए मूल के बारे में एक कण के रूप में परिभाषित किया गया है,

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$

जहाँ पे r मूल के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश है, p कण का रैखिक संवेग है।

उसी तरह, क्षण भौतिकी M एक बल का F_B बिंदु A के चारों ओर बिंदु B पर लागू किया जाता है

$\mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,$

यांत्रिकी में बल के आघूर्ण को बल आघूर्ण भी कहा जाता है और इसे $\mathbf {\tau }$ इस प्रकार लिखा जाता है

पद के बाद से r, रेखीय संवेग p और बल F सभी वास्तविक सदिश हैं, दोनों कोणीय संवेग हैं L और एक बल का क्षण M स्यूडोसदिश या अक्षीय सदिश हैं।

रिजिड तत्व

क्रॉस उत्पाद अधिकांशतः रिजिड गतियों के विवरण में प्रयुक्त होता है। एक दृढ़ पिण्ड पर स्थित दो बिंदुओं P और Q को निम्न प्रकार से जोड़ा जा सकता है:

$\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,$

जहाँ $\mathbf {r}$ बिंदु की स्थिति है, $\mathbf {v}$ उसका वेग है और ${\boldsymbol {\omega }}$ पिण्ड का कोणीय वेग है।

स्थिति के बाद से $\mathbf {r}$ और वेग $\mathbf {v}$ ट्रू सदिश के रूप में हैं, कोणीय वेग ${\boldsymbol {\omega }}$ एक स्यूडोसदिश या अक्षीय सदिश के रूप में होते है।

लोरेंत्ज़ बल

See also: लोरेंत्ज़ बल

क्रॉस उत्पाद का उपयोग गतिमान विद्युत आवेश q_e:द्वारा अनुभव किए गए लोरेंत्ज़ बल का वर्णन करने के लिए किया जाता है

$\mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

चूँकि वेग v, बल F और विद्युत क्षेत्र E सभी ट्रू सदिश के रूप में हैं, चुंबकीय क्षेत्र B एक स्यूडोसदिश के रूप में हैं।

अन्य

सदिश कलन में, क्रॉस उत्पाद का उपयोग सदिश ऑपरेटर कर्ल गणित के सूत्र को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

एक आव्यूह गुणन के संदर्भ में एक अन्योन्य गुणन को फिर से लिखने की प्रकिया एपिपोलर ज्यामिति और बहु-दृश्य ज्यामिति में अधिकांशतः दिखाई देती है, विशेष रूप से मिलान बाधाओं को प्राप्त करते समय दिखाई देती है।

बाहरी उत्पाद के रूप में

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बाहरी उत्पाद के संबंध में क्रॉस उत्पाद। लाल रंग में ऑर्थोगोनल इकाई सदिश और पैरेलल इकाई बाइसदिश हैं।

क्रॉस उत्पाद को बाहरी उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इसे तीन आयामों के अतिरिक्त एक क्रॉस उत्पाद बाहरी उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह दृश्य क्रॉस उत्पाद की प्राकृतिक ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है। बाह्य बीजगणित में दो सदिशों का बाह्य गुणनफल द्विभाजक होता है। एक बाइसदिश एक ओरिएंटेड प्लेन एलिमेंट रूप में होता है, ठीक उसी तरह जिस तरह एक सदिश एक ओरिएंटेड लाई न एलिमेंट रूप में होता है। दो सदिश ए और बी को देखते हुए, बाइसदिश को देखा जा सकता है a ∧ b ए और बी द्वारा फैलाए गए ओरिएंटेशन समानांतर चतुर्भुज के रूप में होते है। क्रॉस उत्पाद तब बायवेक्टर ए ∧ बी के हॉज स्टार को ले कर प्राप्त किया जाता है, वैक्टरों के लिए 2-सदिश मैपिंग रूप में होते है

$a\times b=\star (a\wedge b).$

इसे बायसदिश के लंबवत ओरिएंटेशन बहु-आयामी तत्व के रूप में माना जा सकता है। केवल तीन आयामों में परिणाम एक ओरिएंटेशन एक-आयामी तत्व एक सदिश के रूप में होते है, जबकि, उदाहरण के लिए, चार आयामों में एक बायसदिश का हॉज ड्यूल द्वि-आयामी के रूप में होते है। तो, केवल तीन आयामों में ए और बी के सदिश क्रॉस उत्पाद को सदिश के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो द्विभाजक के लिए दोहरी है a ∧ b: यह बाइसदिश के लिए लंबवत है, समन्वय प्रणाली की हैंडनेस पर निर्भर ओरिएंटेशन के साथ और इकाई सामान्य सदिश के सापेक्ष समान परिमाण a ∧ b के रूप में होते है, इकाई बायसदिश के सापेक्ष ठीक ऊपर वर्णित गुण के रूप में है।

हैंडेडनेस

कंसिस्टेंटसी

जब भौतिकी के नियमों को समीकरणों के रूप में लिखा जाता है, तो समन्वय प्रणाली का एक यादृच्छिक विकल्प बनाना संभव होता है, जिसमें कंसिस्टेंटसी के रूप में सम्मलित होती है। किसी को कभी भी ऐसे समीकरण को लिखने के लिए सावधान नहीं रहना चाहिए जहां दोनों पक्ष उन सभी परिवर्तनों के अनुसार समान रूप से व्यवहार नहीं करते हैं जिन पर विचार करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण का एक पक्ष दो ध्रुवीय वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद है, तो यह ध्यान रखना चाहिए कि परिणाम एक स्यूडोसदिश के रूप में होते है। इसलिए, कंसिस्टेंटसी के लिए, दूसरा पक्ष भी एक अक्षीय सदिश होना चाहिए। और एक क्रॉस उत्पाद का परिणाम या तो एक ध्रुवीय सदिश या एक अक्षीय सदिश के रूप में हो सकता है, जो उसके संचालन के प्रकार ध्रुवीय सदिश या अक्षीय वैक्टर पर निर्भर करता है। अर्थात्, क्रॉस उत्पाद के अनुप्रयोग के अनुसार ध्रुवीय सदिश और अक्षीय सदिश निम्नलिखित विधियों से परस्पर जुड़े हुए होते है,

• ध्रुवीय सदिश × ध्रुवीय सदिश = अक्षीय सदिश
• अक्षीय सदिश × अक्षीय सदिश = अक्षीय सदिश
• ध्रुवीय सदिश × अक्षीय सदिश = ध्रुवीय सदिश
• अक्षीय सदिश × ध्रुवीय सदिश = ध्रुवीय सदिश

या प्रतीकात्मक रूप से

• ध्रुवीय × ध्रुवीय = अक्षीय
• अक्षीय × अक्षीय = अक्षीय
• ध्रुवीय × अक्षीय = ध्रुवीय
• अक्षीय × ध्रुवीय = ध्रुवीय

क्योंकि क्रॉस उत्पाद एक ध्रुवीय सदिश भी हो सकता है, यह दर्पण छवि परिवर्तन के साथ दिशा नहीं बदल सकता है। यह उपरोक्त संबंधों के अनुसार होता है, यदि एक ऑपरेंड एक ध्रुवीय सदिश है और दूसरा एक अक्षीय सदिश है, उदाहरण के लिए दो ध्रुवीय वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद के रूप में होता है। उदाहरण के लिए एक सदिश ट्रिपल उत्पाद जिसमें तीन ध्रुवीय सदिश के रूप में सम्मलित होते है

बाहरी बीजगणित का उपयोग करके एक हैंडनेस-मुक्त दृष्टिकोण संभव है।

ऑर्थोनॉर्मल आधार का विरोधाभास

मान लीजिए (i, j, k) एक अलौकिक आधार के रूप में है। सदिश i, j और k स्थान के ओरिएंटेशन पर निर्भर नहीं करते हैं। उन्हें किसी ओरिएंटेशन के अभाव में भी परिभाषित किया जा सकता है। इसलिए वे अक्षीय सदिश नहीं हो सकते। लेकिन यदि i और j ध्रुवीय सदिश हैं तो k i × j = k या j × i = k के लिए एक अक्षीय सदिश है। यह एक विरोधाभास है।

अक्षीय और ध्रुवीय भौतिक सदिशों के लिए भौतिक क्वालिफायर हैं; अर्थात, सदिश जो भौतिक राशियो जैसे वेग या चुंबकीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। सदिश i, j और k गणितीय सदिश हैं, न तो अक्षीय और न ही ध्रुवीय। गणित में, दो सदिशों का क्रॉस-उत्पाद एक सदिश होता है। कोई विरोधाभास नहीं है।

सामान्यीकरण

क्रॉस उत्पाद को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने के कई विधि के रूप में हैं।

लाई बीजगणित

Main article: लाई बीजगणित

क्रॉस उत्पाद को सबसे सरल लाई उत्पादों में से एक के रूप में देखा जा सकता है और इस प्रकार लाई बीजगणित द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जो कि बाइनरी उत्पादों के रूप में अभिगृहीत होते हैं, जो बहु-रेखीयता विषम -समरूपता और जैकोबी पहचान के एक्सिओम्स को संतुष्ट करते हैं। कई लाई बीजगणित के रूप में उपलब्ध होते है और उनका अध्ययन गणित का एक प्रमुख क्षेत्र है, जिसे लाई सिद्धांत कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, हाइजेनबर्ग बीजगणित एक और लाई बीजगणित संरचना $\mathbf {R} ^{3}.$ आधार में $\{x,y,z\},$ उत्पाद है $[x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.$देता है

चतुष्कोण

Further information: चतुष्कोण और स्थानिक रोटेशन के रूप में होते है

क्रॉस उत्पाद को चतुष्कोण के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। सामान्यतः, यदि एक सदिश [a₁, a₂, a₃] को चतुष्कोण के रूप में दर्शाया गया है a₁i + a₂j + a₃k, दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद उनके उत्पाद को चतुर्भुज के रूप में लेकर और परिणाम के वास्तविक भाग को हटाकर प्राप्त किया जाता है। वास्तविक भाग दो सदिश के डॉट उत्पाद का ऋणात्मक रूप में होता है।

ऑक्टोनियंस

See also: सात आयामी क्रॉस उत्पाद and ऑक्टोनियन

7-आयामी सदिशों के लिए एक क्रॉस उत्पाद उसी तरह प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें चतुष्कोणों के अतिरिक्त ऑक्टोनियन का उपयोग किया जा सकता है। अन्य आयामों में दो वैक्टरों के गैर-तुच्छ सदिश -मूल्यवान क्रॉस उत्पादों का गैर-अस्तित्व हर्विट्ज के प्रमेय सामान्य विभाजन बीजगणित के परिणाम से संबंधित होते है। हर्विट्ज़ का प्रमेय है कि केवल मानक विभाजन बीजगणित आयाम 1, 2, 4 और 8 के रूप में होते है .

बाहरी उत्पाद

Main articles: बाहरी बीजगणित and वेक्टर बीजगणित और ज्यामितीय बीजगणित की तुलना § क्रॉस और बाहरी उत्पाद के रूप में होते है

सामान्य आयाम में, बाइनरी क्रॉस उत्पाद का कोई प्रत्यक्ष एनालॉग नहीं होता है जो विशेष रूप से एक सदिश उत्पन्न करता है। चूंकि बाहरी उत्पाद है, जिसमें समान गुण हैं, सिवाय इसके कि दो वैक्टरों का बाहरी उत्पाद अब एक साधारण सदिश के अतिरिक्त 2-सदिश के रूप में है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, क्रॉस उत्पाद को हॉज स्टार ऑपरेटर का उपयोग करके 2-सदिश को सदिश में मैप करने के लिए तीन आयामों में बाहरी उत्पाद के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। बाहरी उत्पाद का हॉज डुअल एक (n - 2) -वेक्टर उत्पन्न करता है, जो किसी भी संख्या में आयामों में क्रॉस उत्पाद का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण के रूप में होते है।

ज्यामितीय बीजगणित में ज्यामितीय बीजगणित बनाने के लिए बाहरी उत्पाद और डॉट उत्पाद को योग के माध्यम से जोड़ा जा सकता है।

बाहरी उत्पाद

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, क्रॉस उत्पाद को बाहरी उत्पाद के हॉज डुअल के रूप में तीन आयामों में व्याख्यायित किया जा सकता है। किसी भी परिमित n आयामों में, के बाहरी उत्पाद का हॉज ड्यूल n − 1 सदिश एक सदिश के रूप में है। इसलिए, बाइनरी ऑपरेशन के अतिरिक्त , यादृच्छिक परिमित आयामों में, क्रॉस उत्पाद को कुछ दिए गए बाहरी उत्पाद के हॉज दोहरे के रूप में सामान्यीकृत किया जाता है। n − 1 वैक्टर इस सामान्यीकरण को बाह्य उत्पाद कहते हैं।

कम्यूटेटर उत्पाद

Main articles: ज्यामितीय बीजगणित आंतरिक और बाहरी उत्पादों का विस्तार, क्रॉस प्रोडक्ट क्रॉस प्रोडक्ट और हैंडनेस, and क्रॉस उत्पाद लाई बीजगणित

द्वि-सदिश के रूप में बीजगणित के त्रि-आयामी सदिश क्षेत्र की व्याख्या करना है, त्रि-आयामी ज्यामितीय बीजगणित के श्रेणीबद्ध सदिश स्थल , जहां $\mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}}$, $\mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}}$, तथा $\mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}}$, क्रॉस उत्पाद बिल्कुल ज्यामितीय बीजगणित से मेल खाता है, ज्यामितीय बीजगणित में आंतरिक और बाहरी उत्पादों के विस्तार और दोनों एक ही प्रतीक का उपयोग करते हैं $\times$. कम्यूटेटर उत्पाद को 2-सदिश के लिए परिभाषित किया गया है $A$ तथा $B$ ज्यामितीय बीजगणित के रूप में होते है,

$A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)$

जहाँ पे $AB$ ज्यामितीय उत्पाद के रूप में है।

कम्यूटेटर उत्पाद को तीन आयामों में यादृच्छिक ढंग से मल्टीसदिश ज्यामितीय बीजगणित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप मल्टीसदिश में केवल ग्रेडेड 1 सदिश स्पेस 1 (1-सदिश /क्रॉस उत्पाद और हैंडनेस और 2 2-सदिश / स्यूडोसदिश के तत्व होते हैं। जबकि दो 1-सदिश का कम्यूटेटर उत्पाद वास्तव में बाहरी उत्पाद के समान होता है और 2-सदिश उत्पन्न करता है, 1-सदिश और 2-सदिश का कम्यूटेटर एक वास्तविक सदिश उत्पन्न करता है, जो कि ज्यामितीय बीजगणित के अतिरिक्त संगत रूप में होता है, यही वजह है कि कम्यूटेटर उत्पाद को 2-वैक्टर के लिए पहले स्थान पर परिभाषित किया गया है। इसके अतिरिक्त, तीन 2-वैक्टरों का कम्यूटेटर ट्रिपल उत्पाद वेक्टर बीजगणित में समान तीन स्यूडोवेक्टरों के वेक्टर ट्रिपल उत्पाद के समान है। चूंकि, ज्यामितीय बीजगणित में तीन 1-वैक्टर का कम्यूटेटर ट्रिपल उत्पाद इसके अतिरिक्त वेक्टर बीजगणित में समान तीन ट्रू वैक्टर के वेक्टर ट्रिपल उत्पाद का नकारात्मक रूप में होते है।

उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण उच्च-आयामी ज्यामितीय बीजगणित में 2-सदिश के समान कम्यूटेटर उत्पाद द्वारा प्रदान किया जाता है, लेकिन 2-सदिश अब छद्मसदिश नहीं हैं। जिस तरह तीन आयामों में 2-सदिश का कम्यूटेटर उत्पाद/क्रॉस उत्पाद क्रॉस उत्पाद # लाई बीजगणित, कम्यूटेटर उत्पाद से लैस उच्च आयामी ज्यामितीय बीजगणित के 2-सदिश उप-बीजगणित भी लाई बीजगणित के अनुरूप हैं। साथ ही तीन आयामों में, कम्यूटेटर उत्पाद को यादृच्छिक ढंग से मल्टीसदिश के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

बहुरेखीय बीजगणित

बहुरेखीय बीजगणित के संदर्भ में, क्रॉस उत्पाद को 3-आयामी आयतन रूप से प्राप्त (1,2) -टेंसर (एक मिश्रित टेन्सर, विशेष रूप से एक द्विरेखीय मानचित्र) के रूप में देखा जा सकता है, a (0,3)-टेंसर, सूचकांकों को बढ़ाने और घटाने के द्वारा होता है।

विस्तार से, 3-आयामी वॉल्यूम फॉर्म उत्पाद को परिभाषित करता है $V\times V\times V\to \mathbf {R} ,$ इन 3 सदिशों द्वारा दिए गए आव्यूह का सारणिक लेकर। दोहरे स्थान से, यह एक फलन के बराबर $V\times V\to V^{*},$ के रूप में होता है, किसी भी दो इनपुट को ठीक करने से एक फंक्शन $V\to \mathbf {R}$ मिलता है तीसरे इनपुट पर मूल्यांकन करते है और एक आंतरिक उत्पाद की उपस्थिति में जैसे डॉट उत्पाद; अधिक सामान्यतः एक गैर-पतित बिलिनियर रूप में होते है हमारे पास एक आइसोमोर्फिज्म है $V\to V^{*},$ और इस प्रकार यह एक नक्शा $V\times V\to V,$ उत्पन्न करता है, जो क्रॉस उत्पाद के रूप में होता है एक (0,3) -टेन्सर 3 सदिश इनपुट, अदिश आउटपुट को एक इंडेक्स बढ़ाकर (1,2) -टेन्सर 2 सदिश इनपुट, 1 सदिश आउटपुट में बदल दिया गया है।

उपरोक्त बीजगणित का ज्यामिति में अनुवाद, द्वारा परिभाषित समानांतर चतुर्भुज का कार्य आयतन $(a,b,-)$(जहां पहले दो सदिश निश्चित हैं और अंतिम एक इनपुट है), जो एक फलन को परिभाषित करता है $V\to \mathbf {R}$, सदिश के साथ डॉट उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है, यह सदिश क्रॉस उत्पाद है $a\times b.$ इस दृष्टिकोण से, क्रॉस उत्पाद को अदिश ट्रिपल उत्पाद $\mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.$द्वारा परिभाषित किया जाता है,

उसी तरह, उच्च आयामों में कोई भी सामान्यीकृत क्रॉस उत्पादों को एन-आयामी वॉल्यूम फॉर्म के सूचकांकों को बढ़ाकर परिभाषित कर सकता है, जो कि एक है $(0,n)$-टेंसर क्रॉस उत्पाद का सबसे प्रत्यक्ष सामान्यीकरण या तो परिभाषित करना होता है

• एक $(1,n-1)$-टेंसर, जो इनपुट के रूप में लेता है $n-1$ वैक्टर, और आउटपुट के रूप में देता है 1 सदिश - ए $(n-1)$-एरी सदिश -मूल्यवान उत्पाद के रूप में होते है
• एक $(n-2,2)$-टेंसर, जो इनपुट 2 सदिश के रूप में लेता है और रैंक के आउटपुट विषम -सममित टेंसर के रूप में देता है n − 2 - रैंक के साथ एक द्विआधारी उत्पाद n − 2 टेंसर मान। कोई भी परिभाषित कर सकता है $(k,n-k)$अन्य k के लिए -टेन्सर के रूप में होते है।

ये उत्पाद सभी बहुरेखीय और विषम -सममित हैं, और इन्हें निर्धारक और समता (भौतिकी) के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। $(n-1)$th>-ary उत्पाद को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है, दिया गया $n-1$ सदिश $v_{1},\dots ,v_{n-1}$ में $\mathbf {R} ^{n},$ उनके सामान्यीकृत क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करते है $v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}$ जैसा,

• द्वारा परिभाषित हाइपरप्लेन के लंबवत $v_{i},$
• परिमाण द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज का आयतन है $v_{i},$ जिसकी गणना ग्राम निर्धारक के रूप में की जा सकती है $v_{i},$
• ओरिएंटेशन जिससे की $v_{1},\dots ,v_{n}$ धनात्मक रूप से ओरिएंटेशन है।

यह अद्वितीय मल्टीलाई नियर, वैकल्पिक उत्पाद है जो का मूल्यांकन करता है $e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}$, $e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},$ और इसी तरह सूचकांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के लिए।

निर्देशांक में, कोई इसके लिए एक सूत्र दे सकता है $(n-1)$आर . में क्रॉस उत्पाद का -एरी एनालॉगⁿ द्वारा:

$\bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.$

यह सूत्र संरचना में R . में सामान्य क्रॉस उत्पाद के लिए निर्धारक सूत्र के समान है³ सिवाय इसके कि आधार सदिशों की पंक्ति पहले की अतिरिक्त निर्धारक में अंतिम पंक्ति होती है। इसका कारण यह सुनिश्चित करना है कि आदेशित सदिश (v .)₁, ..., में_n−1, एल^n–1
_i=0v_i) के संबंध में एक धनात्मक ओरिएंटेशन (गणित) है (e .)₁, ..., तथा_n). यदि n विषम है, तो यह संशोधन मान को अपरिवर्तित छोड़ देता है, इसलिए यह सम्मेलन बाइनरी उत्पाद की सामान्य परिभाषा से सहमत है। इस मामले में कि n सम है, चूंकि , भेद को रखा जाना चाहिए। इस $(n-1)$-एरी फॉर्म सदिश क्रॉस उत्पाद के समान गुणों का आनंद लेता है: यह अपने तर्कों में वैकल्पिक रूप और रैखिक है, यह प्रत्येक तर्क के लिए लंबवत है, और इसका परिमाण तर्कों से घिरे क्षेत्र का हाइपरवॉल्यूम देता है। और सदिश क्रॉस उत्पाद की तरह, इसे एक समन्वय स्वतंत्र विधि से परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि तर्कों के पच्चर उत्पाद के हॉज दोहरे।

इतिहास

1773 में, जोसेफ-लुई लाग्रेंज ने तीन आयामों में चतुर्पाश्वीय का अध्ययन करने के लिए डॉट और क्रॉस उत्पादों दोनों के घटक रूप का उपयोग किया जाता है।

1843 में, विलियम रोवन हैमिल्टन ने क्वाटरनियन उत्पाद प्रस्तुत किया और इसके साथ सदिश और अदिश शब्द भी सम्मलित रूप में होते है। दो चतुर्भुज दिए गए [0, u] तथा [0, v], जहां u और v R³ . में सदिश के रूप में हैं, उनके चतुष्कोणीय उत्पाद को इस रूप में संक्षेपित किया जा सकता है [−u ⋅ v, u × v]. जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने अपने प्रसिद्ध मैक्सवेल के समीकरणों को विकसित करने के लिए हैमिल्टन के क्वाटरनियन टूल्स का उपयोग किया और इसके लिए और अन्य कारणों से एक समय के लिए क्वाटरनियन भौतिकी शिक्षा का एक अनिवार्य भाग के रूप में है ।

1844 में, हरमन ग्रासमैन ने एक ज्यामितीय बीजगणित प्रकाशित किया जो आयाम दो या तीन से बंधा नहीं था। ग्रासमैन कई उत्पादों को विकसित करता है, जिसमें एक क्रॉस उत्पाद भी सम्मलित है, जिसका प्रतिनिधित्व किया जाता है [uv]. इसे बाह्य बीजगणित के रूप में दर्शाते है। 1853 में, ग्रासमैन के समकालीन, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने बीजीय कुंजियों पर एक पेपर प्रकाशित किया, जिसका उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था और क्रॉस उत्पाद के समान गुणन गुण के रूप में थे।

1878 में, विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने गतिशील के तत्व प्रकाशित किया, जिसमें शब्द सदिश उत्पाद प्रमाणित के रूप में है। पुस्तक में, दो सदिशों के इस गुणनफल को समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर परिमाण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके वे दो पक्ष हैं और उनके तल के लम्बवत दिशा में होते है। (इसे क्लिफर्ड बीजगणित के रूप में दर्शाते है।)

1881 के व्याख्यान नोट्स में, योशिय्याह विलार्ड गिब्स क्रॉस उत्पाद का प्रतिनिधित्व $u\times v$ करते हैं और इसे विषम उत्पाद कहते हैं। 1901 में, गिब के छात्र एडविन बिडवेल विल्सन ने इन व्याख्यान नोट्स को पाठ्यपुस्तक सदिश विश्लेषण में संपादित और विस्तारित किया। विल्सन शब्द विषम उत्पाद रखता है, लेकिन देखता है कि वैकल्पिक शब्द उत्पाद को पार करते हैं और सदिश उत्पाद अधिक बार होते थे।

1908 में, सेसारे बुराली फोर्टी और ​​ रॉबर्टो मार्कोलोंगो ने सदिश उत्पाद नोटेशन प्रस्तुत किया u ∧ v प्रस्तुत किया है, यह इस दिन तक फ्रांस और अन्य क्षेत्रों में प्रतीक के रूप में प्रयोग किया जाता है $\times$ गुणन और कार्टेशियन गुणन उत्पाद को निरूपित करने के लिए पहले से ही प्रयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• कार्टेशियन उत्पाद - दो सेटों का उत्पाद
• ज्यामितीय बीजगणित: घूर्णन प्रणाली के रूप में होती है
• एकाधिक क्रॉस उत्पाद - तीन से अधिक सदिश वाले उत्पाद के रूप में होती है
• सदिशों का गुणन
• चौगुना उत्पाद
• × (प्रतीक)

ग्रन्थसूची

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. p. 134. ISBN 978-0-486-67766-8.
• Crowe, Michael J. (1994). A History of Vector Analysis. Dover. ISBN 0-486-67910-1.
• E. A. Milne (1948) Vectorial Mechanics, Chapter 2: Vector Product, pp 11 –31, London: Methuen Publishing.
• Wilson, Edwin Bidwell (1901). Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. Yale University Press.
• T. Levi-Civita; U. Amaldi (1949). Lezioni di meccanica razionale (in italiano). Bologna: Zanichelli editore.

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• अंदरूनी प्रोडक्ट
• पाठयपुस्तक
• गुणा
• सदिश का गुणन

बाहरी संबंध

• "Cross product", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A quick geometrical derivation and interpretation of cross products
• An interactive tutorial created at Syracuse University – (requires java)
• W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
• The vector product, Mathcentre (UK), 2009