चर परिवर्तन: Difference between revisions
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=== समन्वय परिवर्तन === | === समन्वय परिवर्तन === | ||
ध्रुवीय निर्देशांक | ध्रुवीय निर्देशांक को बदलने पर कुछ प्रणालियों को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए समीकरण पर विचार करें | ||
:<math>U(x, y) := (x^2 + y^2) \sqrt{ 1 - \frac{x^2}{x^2 + y^2} } = 0.</math> | :<math>U(x, y) := (x^2 + y^2) \sqrt{ 1 - \frac{x^2}{x^2 + y^2} } = 0.</math> | ||
यह किसी | यह किसी समस्या के संभावित ऊर्जा का फलन हो सकता है। यदि किसी को तुरंत निराकरण नहीं दिखता है, तो वह प्रतिस्थापन का प्रयास कर सकता है। | ||
:<math>\displaystyle (x, y) = \Phi(r, \theta)</math> द्वारा दिए गए <math>\displaystyle \Phi(r,\theta) = (r \cos(\theta), r \sin(\theta)).</math> | :जबकि यह वैज्ञानिकों <math>\displaystyle (x, y) = \Phi(r, \theta)</math> द्वारा दिए गए <math>\displaystyle \Phi(r,\theta) = (r \cos(\theta), r \sin(\theta)).</math>समीकरण हैं। | ||
माना <math>\theta</math> ए के बाहर चलता है <math>2\pi</math>-लंबाई अंतराल, जैसे - <math>[0, 2\pi]</math>, वो नक्शा <math>\Phi</math> अब विशेषण नहीं है इसलिए, <math>\Phi</math> तक सीमित होना चाहिए, उदाहरण <math>(0, \infty] \times [0, 2\pi)</math>. <math>r = 0</math> के लिए बहिष्कृत है <math>\Phi</math> <math>\theta</math> पर मैप किया जाएगा। फिर इसके द्वारा निर्धारित नई [[अभिव्यक्ति (गणित)]] मूल चर की सभी घटनाओं को प्रतिस्थापित करना <math>\Phi</math> और पहचान का उपयोग करना <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math>, हम सीखते हैं। | |||
:<math>V(r, \theta) = r^2 \sqrt{ 1 - \frac{r^2 \cos^2 \theta}{r^2} } = r^2 \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = r^2\left|\sin\theta\right|. </math> | :<math>V(r, \theta) = r^2 \sqrt{ 1 - \frac{r^2 \cos^2 \theta}{r^2} } = r^2 \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = r^2\left|\sin\theta\right|. </math> | ||
अब | अब निराकरण आसानी से हो सकता हैं। <math>\sin(\theta) = 0</math>, इसलिए <math>\theta = 0</math> या <math>\theta = \pi</math> का विलोम <math>\Phi</math> दिखाता है कि यह बराबर है <math>y = 0</math> जबकि <math>x \not= 0</math> देख पाते हैं कि <math>y = 0</math> गायब हो जाता है। | ||
ध्यान दें, | ध्यान दें, <math>r = 0</math> मूल भी एक निराकरण होता जबकि, यह मूल समस्या का निराकरण नहीं है। यहाँ की वस्तुनिष्ठता <math>\Phi</math> अत्यंत महत्वपूर्ण है।इसलिए निरपेक्ष मान समारोह हमेशा सकारात्मक होता है ( <math>x,y\in\reals</math>). | ||
=== भेद === | === भेद === | ||
Revision as of 19:56, 9 February 2023
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गणित में, चरों का परिवर्तन एक बुनियादी तकनीक है जिसका प्रयोग समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर (गणित) को अन्य चरों के फलन (गणित) से बदल दिया जाता है। आशय है कि जब नए चरों में बदल दिया जाता है, तो समस्या सरल हो सकती है, या बेहतर समझी जाने वाली समस्या के बराबर हो सकती है।
चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन (बीजगणित) से संबंधित है। जबकि ये अलग-अलग कार्यवाही क्षेत्र हैं, जैसा कि भेदभाव (श्रृंखला नियम) या अलग-अलग प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण पर विचार करते समय देखा जा सकता है।
उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण है।जो छठी डिग्री बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में बदल जाता है।
मूल परिवर्तनवादी में छठी-डिग्री के बहुपद समीकरणों को हल करना आम तौर पर असंभव है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। जबकि यह विशेष समीकरण है।
यह बहुपद अपघटन की एक साधारण स्थित है। जो एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है। . द्वारा x को प्रतिस्थापित करके बहुपद में बदल जाता है।
जो दो निराकरण के साथ एक द्विघात समीकरण है।
मूल चर के संदर्भ में x को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। जो बैक इन फॉर यू देता है।
- जबकि वास्तविक समस्या निराकरण पर बल देती है।
वास्तविक संख्या निराकरण में रुचि रखता है, यह मूल समीकरण है।