स्थानत: संहत समष्टि

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, टोपोलॉजिकल समष्टि को स्थानत: संहत कहा जाता है, यदि सामान्यतः कहें तो, समष्टि का प्रत्येक छोटा भाग संहत समष्टि के छोटे भाग जैसा दिखता है। अधिक स्पष्ट रूप से, यह टोपोलॉजिकल समष्टि है जिसमें प्रत्येक बिंदु का संहत नेबरहुड (गणित) होता है।

गणितीय विश्लेषण में स्थानत: संहत समष्टि जो हॉसडॉर्फ़ समष्टि हैं, विशेष रुचि रखते हैं; इन्हें एलसीएच समष्टि के रूप में संक्षिप्त किया गया है।^[1]

औपचारिक परिभाषा

X को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। सामान्यतः X को 'स्थानत: संहत' कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु X में संहत नेबरहुड (टोपोलॉजी) है, अर्थात, ओपन समुच्चय U और संहत समुच्चय के उपस्थित है, जैसे कि $x\in U\subseteq K$ .

अन्य सामान्य परिभाषाएँ हैं: यदि X हॉसडॉर्फ समष्टि (या पूर्व-नियमित) है जिससे वे सभी समतुल्य हैं। किन्तु वे सामान्यतः समकक्ष नहीं हैं:

1. X के प्रत्येक बिंदु का संहत नेबरहुड (टोपोलॉजी) है।

2. X के प्रत्येक बिंदु का सवृत समुच्चय संहत नेबरहुड है।

2′. X के प्रत्येक बिंदु का नेबरहुड अपेक्षाकृत संहत है।

2″. X के प्रत्येक बिंदु पर अपेक्षाकृत संहत नेबरहुड का स्थानीय आधार है।

3. X के प्रत्येक बिंदु पर संहत नेबरहुड का स्थानीय आधार है।

4. X के प्रत्येक बिंदु पर सवृत संहत नेबरहुड का स्थानीय आधार है।

5. X हॉसडॉर्फ है और पिछली नियमो में से किसी भी (या समकक्ष, सभी) को संतुष्ट करता है।

नियमो के बीच तार्किक संबंध:^[2]

प्रत्येक नियम का तात्पर्य (1) है।
नियमें (2), (2′), (2″) समतुल्य हैं।
स्थिति (2), (3) में से कोई भी दूसरे का तात्पर्य नहीं है।
नियम (4) का तात्पर्य (2) और (3) से है।
संहतता का तात्पर्य नियमो (1) और (2) से है, किन्तु (3) या (4) से नहीं है।

नियम (1) संभवतः सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली परिभाषा है, क्योंकि यह सबसे कम प्रतिबंधात्मक है और जब X हॉसडॉर्फ समष्टि है तो अन्य इसके बराबर हैं। यह तुल्यता इस तथ्य का परिणाम है कि हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि के संहत उपसमुच्चय सवृत हैं, और संहत रिक्त समष्टि के सवृत उपसमूह संहत हैं। संतोषजनक समष्टि (1) को कभी-कभी 'भी कहा जाता है स्थानीय रूप से अशक्त सघन,^[3] क्योंकि वे यहां की सबसे अशक्त परिस्थितियों को भी संतुष्ट करते हैं।

जैसा कि उन्हें अपेक्षाकृत संहत समुच्चय के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, (2), (2'), (2) को संतुष्ट करने वाले स्थानों को विशेष रूप से स्थानत: अपेक्षाकृत संहत कहा जा सकता है।^[4]^[5] स्टीन और सीबैक ^[6] कॉल (2), (2'), (2) संपत्ति (1) के विपरीत दृढ़ता से स्थानत: संहत, जिसे वे स्थानत: संहत कहते हैं।

रिक्त समष्टि संतोषजनक स्थिति (4) बिल्कुल हैं स्थानीय रूप से सघन नियमित रिक्त स्थान.^[7]^[2] वास्तव में, ऐसा समष्टि नियमित है, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर सवृत नेबरहुड का स्थानीय आधार होता है। इसके विपरीत, नियमित स्थानत: संहत समष्टि में बिंदु मान लीजिए $x$ संहत नेबरहुड $K$ है . नियमितता से, इच्छानुसार नेबरहुड दिया गया $U$ का $x$ , सवृत नेबरहुड है $V$ का $x$ में निहित $K\cap U$ और $V$ संहत समुच्चय में सवृत समुच्चय के रूप में संहत है।

उदाहरण के लिए, नियम (5) का उपयोग बॉर्बकी में किया जाता है।^[8] कोई भी समष्टि जो स्थानत: संहत है (नियम (1) के अर्थ में) और हॉसडॉर्फ स्वचालित रूप से उपरोक्त सभी नियमो को पूरा करता है। चूंकि अधिकांश अनुप्रयोगों में स्थानत: संहत समष्टि भी हॉसडॉर्फ हैं, इसलिए ये स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ (एलसीएच) समष्टि वे समष्टि होंगे जिनके बारे में यह लेख मुख्य रूप से चिंतित है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

संहत हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान

प्रत्येक संहत हॉसडॉर्फ समष्टि स्थानत: संहत भी है, और संहत समष्टि के कई उदाहरण लेख संहत समष्टि में पाए जा सकते हैं।

यहाँ हम केवल उल्लेख करते हैं:

स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ समष्टि जो संहत नहीं हैं

यूक्लिडियन समष्टि Rⁿ (और विशेष रूप से वास्तविक रेखा आर) हेइन-बोरेल प्रमेय के परिणामस्वरूप स्थानत: संहत हैं।
टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड यूक्लिडियन रिक्त समष्टि के स्थानीय गुणों को साझा करते हैं और इसलिए सभी स्थानत: संहत भी होते हैं। इसमें लंबी लाइन (टोपोलॉजी) जैसे परा-सुसंहत मैनिफ़ोल्ड भी सम्मिलित हैं।
सभी अलग-अलग समष्टि स्थानत: संहत और हॉसडॉर्फ हैं (वे केवल 0 (संख्या)-आयामी मैनिफोल्ड हैं)। ये केवल तभी संहत होते हैं जब वे परिमित होंते है।
स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ समष्टि के सभी ओपन उपसमुच्चय या सवृत उपसमुच्चय सबसमष्टि टोपोलॉजी में स्थानत: संहत होते हैं। यह यूक्लिडियन रिक्त समष्टि के स्थानत: संहत उपसमुच्चय के कई उदाहरण प्रदान करता है, जैसे यूनिट डिस्क (या तो ओपन या सवृत संस्करण) है।
समष्टि Q_p P-एडिक संख्या स्थानत: संहत है, क्योंकि यह कैंटर समुच्चय माइनस पॉइंट के लिए होम्योमॉर्फिक है। इस प्रकार स्थानत: संहत समष्टि पी-एडिक विश्लेषण में उतने ही उपयोगी हैं जितने मौलिक गणितीय विश्लेषण में होते है।

हॉसडॉर्फ़ समष्टि जो स्थानत: संहत नहीं हैं

जैसा कि निम्नलिखित अनुभाग में बताया गया है, यदि हॉसडॉर्फ़ समष्टि स्थानत: संहत है, तो यह टाइकोनोफ़ समष्टि भी है। इस कारण से, हॉसडॉर्फ़ रिक्त समष्टि के उदाहरण जो स्थानत: संहत होने में विफल रहते हैं क्योंकि वे टाइकोनॉफ़ समष्टि नहीं हैं, टाइकोनॉफ़ समष्टि को समर्पित लेख में पाए जा सकते हैं।

किन्तु टाइकोनोफ़ रिक्त समष्टि के ऐसे उदाहरण भी हैं जो स्थानत: संहत होने में विफल रहते हैं, जैसे:

परिमेय संख्याओं का समष्टि Q (R से टोपोलॉजी से संपन्न), क्योंकि किसी भी नेबरहुड में अपरिमेय संख्या के अनुरूप कॉची अनुक्रम होता है, जिसका Q में कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं होता है;
उपसमष्टि $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ का $\mathbf {R} ^{2}$ , चूंकि मूल में कोई संहत नेबरहुड नहीं है;
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर निचली सीमा टोपोलॉजी या ऊपरी सीमा टोपोलॉजी (एकतरफा सीमाओं के अध्ययन में उपयोगी);
कोई भी T₀, इसलिए हॉसडॉर्फ, टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि जो अनंत-आयाम है, जैसे अनंत-आयामी हिल्बर्ट समष्टि है।

पहले दो उदाहरण दिखाते हैं कि स्थानत: संहत समष्टि के सबसमुच्चय को स्थानत: संहत होने की आवश्यकता नहीं है, जो पिछले अनुभाग में ओपन और सवृत सबसमुच्चय के विपरीत है।अंतिम उदाहरण पिछले अनुभाग में यूक्लिडियन रिक्त समष्टि के विपरीत है; अधिक विशिष्ट होने के लिए, हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि स्थानत: संहत होता है यदि और केवल यदि यह परिमित-आयामी है (जिस स्थिति में यह यूक्लिडियन समष्टि है)।

यह उदाहरण संहत समष्टि के उदाहरण के रूप में हिल्बर्ट क्यूब से भी भिन्न है; इसमें कोई विरोधाभास नहीं है क्योंकि घन हिल्बर्ट समष्टि में किसी भी बिंदु का नेबरहुड नहीं हो सकता है।

गैर-हॉसडॉर्फ उदाहरण

परिमेय संख्या Q का एक-बिंदु संघनन संहत है और इसलिए इंद्रियों (1) और (2) में स्थानत: संहत है किन्तु यह इंद्रियों (3) या (4) में स्थानत: संहत नहीं है।
किसी भी अनंत समुच्चय पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी इंद्रियों (1) और (3) में स्थानत: संहत होती है, किन्तु इंद्रियों (2) या (4) में नहीं, क्योंकि किसी भी नेबरहुड का सवृत होना संपूर्ण समष्टि है, जो गैर-संहत है।
उपरोक्त दो उदाहरणों का असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) अर्थ (1) में स्थानत: संहत है, किन्तु अर्थ (2), (3) या (4) में नहीं है।
वास्तविक रेखा पर सही क्रम की टोपोलॉजी इंद्रियों (1) और (3) में स्थानत: संहत है, किन्तु इंद्रियों (2) या (4) में नहीं, क्योंकि किसी भी नेबरहुड का सवृत होना संपूर्ण गैर-संहत समष्टि है।
सिएरपिंस्की समष्टि स्थानत: इंद्रियों (1), (2) और (3) में संहत है, और साथ ही संहत भी है, किन्तु यह हॉसडॉर्फ या नियमित (या यहां तक कि प्रीरेगुलर) नहीं है, इसलिए यह इंद्रियों (4) या में स्थानत: संहत नहीं है। (5). सिएरपिंस्की समष्टि की अनगिनत प्रतियों का असंयुक्त संघ गैर-संहत समष्टि है जो अभी भी इंद्रियों (1), (2) और (3) में स्थानत: संहत है, किन्तु (4) या (5) में नहीं है।
अधिक सामान्यतः, बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी इंद्रियों (1), (2) और (3) में स्थानत: संहत है, और संहत है, किन्तु इंद्रियों (4) या (5) में स्थानत: संहत नहीं है।
अनंत समुच्चय पर सहपरिमित टोपोलॉजी इंद्रियों (1), (2), और (3) में स्थानत: संहत है, और संहत भी है, किन्तु यह हॉसडॉर्फ या नियमित नहीं है इसलिए यह इंद्रियों (4) या में स्थानत: (5) संहत नहीं है .
कम से कम दो तत्वों वाले समुच्चय पर अविवेकी टोपोलॉजी स्थानत: इंद्रियों (1), (2), (3), और (4) में संहत है, और संहत भी है, किन्तु यह हॉसडॉर्फ नहीं है इसलिए यह स्थानत: संहत नहीं है अर्थ में (5) है.

उदाहरणों के सामान्य वर्ग

अलेक्जेंडर टोपोलॉजी वाला प्रत्येक समष्टि इंद्रियों (1) और (3) में स्थानत: संहत है।^[9]

गुण

प्रत्येक स्थानत: संहत पूर्व नियमित समष्टि , वास्तव में, पूरी तरह से नियमित समष्टि है।^[10]^[11] इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ़ समष्टि टाइकोनॉफ़ समष्टि है।^[12] चूंकि सीधी नियमितता या तो पूर्व-नियमितता (जो सामान्यतः अशक्त होती है) या पूर्ण नियमितता (जो सामान्यतः सशक्त होती है) की तुलना में अधिक परिचित स्थिति है, स्थानत: संहत प्रीरेगुलर रिक्त समष्टि को सामान्यतः गणितीय साहित्य में स्थानत: संहत नियमित समष्टि के रूप में संदर्भित किया जाता है। इसी प्रकार स्थानत: संहत टाइकोनॉफ रिक्त समष्टि को सामान्यतः स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि के रूप में संदर्भित किया जाता है।

प्रत्येक स्थानत: संहत नियमित स्थान, विशेष रूप से प्रत्येक स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ स्थान, बाहर स्थान है।^[13]^[14] अर्थात्, बेयर श्रेणी प्रमेय का निष्कर्ष यह है: कहीं भी घने उपसमुच्चय के प्रत्येक गणनीय संघ का आंतरिक (टोपोलॉजी) ओपन नहीं है।

स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ समष्टि Y का उपसमष्टि (टोपोलॉजी) X स्थानत: संहत है यदि और केवल यदि X स्थानत: Y में सवृत है (अर्थात, Y का). विशेष रूप से, स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ समष्टि में प्रत्येक सवृत समुच्चय और प्रत्येक ओपन समुच्चय स्थानत: संहत है। इसके अलावा, परिणाम के रूप में, स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ समष्टि Y का संहत (टोपोलॉजी) उप-समष्टि अभी भी Y में स्थानत: सवृत होना चाहिए, चूँकि इसका विपरीत (तर्क) सामान्य रूप से मान्य नहीं है।

हॉसडॉर्फ परिकल्पना के बिना, इनमें से कुछ परिणाम स्थानत: संहत की अशक्त धारणाओं के साथ टूट जाते हैं। अशक्त रूप से स्थानत: संहत समष्टि (उपरोक्त परिभाषाओं में स्थिति (1)) में प्रत्येक सवृत समुच्चय अशक्त रूप से स्थानत: संहत है। किन्तु अशक्त स्थानत: संहत समष्टि में प्रत्येक ओपन समुच्चय अशक्त रूप से स्थानत: संहत नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक-बिंदु संघनन $\mathbb {Q} ^{*}$ तर्कसंगत संख्याओं का $\mathbb {Q}$ संहत है, और इसलिए स्थानत: अशक्त रूप से संहत है। किन्तु इसमें सम्मिलित है $\mathbb {Q}$ ओपन समुच्चय के रूप में जो अशक्त रूप से स्थानत: संहत नहीं है।

स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि के भागफल समष्टि (टोपोलॉजी) संहत रूप से उत्पन्न समष्टि हैं।

इसके विपरीत, प्रत्येक संहत रूप से उत्पन्न हॉसडॉर्फ़ समष्टि कुछ स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ़ समष्टि का भागफल है।

स्थानत: संहत समष्टि पर परिभाषित कार्यों के लिए, स्थानीय समान अभिसरण संहत अभिसरण के समान है।

अनंत पर बिंदु

यह खंड स्थानत: संहत स्थानों के संघनन (गणित) का पता लगाता है। प्रत्येक संहत समष्टि का अपना संहतीकरण होता है। इसलिए सामान्यतः से बचने के लिए नीचे यह माना गया है कि समष्टि X संहत नहीं है।

चूँकि प्रत्येक स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ़ समष्टि $b(X)$ स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन का उपयोग करता है। किन्तु वास्तव में, स्थानत: संहत मामले में सरल विधि उपलब्ध है; एक-बिंदु कॉम्पेक्टिफिकेशन X को संहत हॉसडॉर्फ समष्टि में एम्बेड करेगा $a(X)$ सिर्फ अतिरिक्त अंक के साथ. (एक-बिंदु संघनन को अन्य स्थानों पर लागू किया जा सकता है, किन्तु $a(X)$ हॉसडॉर्फ़ होगा यदि और केवल यदि X स्थानत: संहत और हॉसडॉर्फ़ है।) इस प्रकार स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ़ रिक्त समष्टि को संहत हॉसडॉर्फ़ रिक्त समष्टि के ओपन उपसमुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

सहज रूप से, अतिरिक्त बिंदु $a(X)$ अनंत पर बिंदु के रूप में सोचा जा सकता है। अनंत के बिंदु को X के प्रत्येक संहत उपसमुच्चय के बाहर स्थित माना जाना चाहिए। इस विचार का उपयोग करके स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ स्थानों में अनंत की ओर प्रवृत्ति के बारे में कई सहज धारणाएं तैयार की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, सतत फलन (टोपोलॉजी) वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मूल्यवान फलन (गणित) एफ डोमेन (फलन) X के साथ कहा जाता है कि यदि कोई सकारात्मक संख्या दी जाती है तो अनंत पर विलुप्त हो जाती है ई, X का संहत उपसमुच्चय के इस प्रकार है $|f(x)|<e$ जब भी बिंदु (ज्यामिति) x K के बाहर स्थित होता है। यह परिभाषा किसी भी टोपोलॉजिकल समष्टि X के लिए समझ में आती है। यदि $a(X)=X\cup \{\infty \}$ जहाँ $g(\infty )=0.$

गेलफैंड प्रतिनिधित्व

स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ़ समष्टि X के लिए, समुच्चय $C_{0}(X)$ X पर सभी निरंतर जटिल-मूल्य वाले फलन जो अनंत पर विलुप्त हो जाते हैं, क्रमविनिमेय सी-स्टार बीजगणित है | सी *-बीजगणित वास्तव में, प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित समरूपी है $C_{0}(X)$ कुछ अद्वितीय (गणित) (होमियोमोर्फिज्म तक) के लिए स्थानत: संहत हॉसडॉर्फ समष्टि X इसे गेलफैंड प्रतिनिधित्व का उपयोग करके दिखाया गया है।

स्थानत: संहत समूह

टोपोलॉजिकल समूह के अध्ययन में स्थानीय संहतता की धारणा महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थानत: संहत समूह जी में प्राकृतिक माप सिद्धांत होता है जिसे हार माप कहा जाता है जो g पर परिभाषित अभिन्न मापनीय कार्यों की अनुमति देता है। लेब्सग्यू वास्तविक रेखा पर मापता है $\mathbb {R}$ इसका विशेष स्थिति है.

टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह A का पोंट्रीगिन दोहरी स्थानत: संहत है यदि और केवल यदि ए स्थानत: संहत है। अधिक स्पष्ट रूप से, पोंट्रीगिन द्वंद्व स्थानत: संहत एबेलियन समूहों के श्रेणी सिद्धांत के स्व-द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) को परिभाषित करता है। स्थानत: संहत एबेलियन समूहों का अध्ययन हार्मोनिक विश्लेषण की नींव है, ऐसा क्षेत्र जो तब से गैर-एबेलियन स्थानत: संहत समूहों तक फैल गया है।

यह भी देखें

उद्धरण

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संदर्भ

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[3] Breuckmann, Tomas; Kudri, Soraya; Aygün, Halis (2004). "About Weakly Locally Compact Spaces". सॉफ्ट कार्यप्रणाली और यादृच्छिक सूचना प्रणाली. Springer. pp. 638–644. doi:10.1007/978-3-540-44465-7_79. ISBN 978-3-540-22264-4.

[4] Lowen-Colebunders, Eva (1983), "On the convergence of closed and compact sets", Pacific Journal of Mathematics, 108 (1): 133–140, doi:10.2140/pjm.1983.108.133, MR 0709705, S2CID 55084221, Zbl 0522.54003

[5] Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław (2020). "सेमीलैटिस सबबेस के लिए वॉलमैन द्वैत". arXiv:2002.05943 [math.GN].

[6] Steen & Seebach, p. 20

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[8] Bourbaki, Nicolas (1989). सामान्य टोपोलॉजी, भाग I (reprint of the 1966 ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X.

[9] Speer, Timothy (16 August 2007). "अलेक्जेंड्रोफ़ स्पेस का एक संक्षिप्त अध्ययन". arXiv:0708.2136 [math.GN].Theorem 5

[FOOTNOTESchechter199617.14(d),_p._460-10] Schechter 1996, 17.14(d), p. 460.

[11] "सामान्य टोपोलॉजी - स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट प्रो रेगुलर स्पेस पूरी तरह से नियमित है". Mathematics Stack Exchange.

[FOOTNOTEWillard1970theorem_19.3,_p.136-12] Willard 1970, theorem 19.3, p.136.

[FOOTNOTEKelley1975Theorem_34,_p._200-13] Kelley 1975, Theorem 34, p. 200.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.18,_p._538-14] Schechter 1996, Theorem 20.18, p. 538.

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