सघन समूह

This article is about गणित. For आकाशगंगाओं का खगोल विज्ञान, see आकाशगंगा समूह.

File:Circle as Lie group.svg

जटिल तल में केंद्र 0 और त्रिज्या 1 का वृत्त जटिल गुणन वाला सघन लाई समूह है।

गणित में, सघन (टोपोलॉजिकल) समूह टोपोलॉजिकल समूह होता है जिसकी टोपोलॉजी इसे सघन समिष्ट के रूप में अनुभूत करती है (जब समूह का तत्व संचालित होता है, तो परिणाम भी समूह के अंदर होता है)। सघन समूह असतत टोपोलॉजी के साथ परिमित समूहों का प्राकृतिक सामान्यीकरण है और इसमें ऐसे गुण होते हैं जो महत्वपूर्ण प्रकार से आगे बढ़ते हैं। समूह क्रियाओं और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संबंध में, सघन समूहों के निकट उचित प्रकार से समझा जाने वाला सिद्धांत है।

निम्नलिखित में हम मान लेंगे कि सभी समूह हॉसडॉर्फ़ समिष्ट हैं।

सघन लाई समूह

लाई समूह टोपोलॉजिकल समूहों का वर्ग बनाते हैं, और सघन लाई समूहों में विशेष रूप से उचित प्रकार से विकसित सिद्धांत होता है। सघन लाई समूहों के मूलभूत उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

• वृत्त समूह T और टोरस समूह Tⁿ,
• लंबकोणीय समूह O(n), विशेष लंबकोणीय समूह SO(n) और इसका कवरिंग स्पिन समूह स्पिन(n),
• एकात्मक समूह U(n) और विशेष एकात्मक समूह SU(n),
• असाधारण लाई समूहों के संक्षिप्त रूप: G₂, F₄, E₆, E₇, और E₈ हैं।

सघन लाई समूहों के वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि परिमित विस्तार और परिमित कवर तक यह उदाहरणों की सूची को समाप्त कर देता है (जिसमें पूर्व से ही कुछ अतिरेक सम्मिलित हैं)। इस वर्गीकरण को अगले उपधारा में अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है।

वर्गीकरण

किसी भी सघन लाई समूह G को देखते हुए कोई इसका आइडेंटिटी घटक G₀ ले सकता है जो समिष्ट से जुड़ा हुआ है। भागफल समूह G/G₀ घटकों π₀(G) का समूह है जो परिमित होना चाहिए क्योंकि G सघन है। इसलिए हमारे पास सीमित विस्तार है:

$1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.$

इस मध्य, सम्बंधित सघन लाई समूहों के लिए, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं:

प्रमेय: प्रत्येक सम्बंधित सघन लाई समूह सरल रूप से सम्बंधित सघन लाई समूह और टोरस के उत्पाद के परिमित केंद्रीय उपसमूह का भागफल है।

इस प्रकार, सम्बंधित सघन लाई समूहों के वर्गीकरण को सैद्धांतिक रूप से उनके केंद्रों के विषय में सूचना के साथ-साथ सरल रूप से सम्बंधित सघन लाई समूहों के ज्ञान तक कम किया जा सकता है। (केंद्र के विषय में सूचना के लिए, मौलिक समूह और केंद्र पर नीचे दिया गया अनुभाग देखें।)

अंत में, प्रत्येक सघन, सम्बंधित, सरल रूप से-सम्बंधित लाई समूह K, सीमित रूप से कई सघन, सम्बंधित, सरल रूप से-सम्बंधित सरल लाई समूह K_i का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक निम्नलिखित में से किसी एक के लिए समरूपी है:

• सघन सहानुभूति समूह $\operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1$
• विशेष एकात्मक समूह $\operatorname {SU} (n),\,n\geq 3$
• स्पिन समूह $\operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7$

या पाँच असाधारण समूहों G₂, F₄, E₆, E₇, और E₈ में से है। n पर प्रतिबंध n के छोटे मानों के लिए विभिन्न परिवारों के मध्य विशेष समरूपता से बचने के लिए हैं। इनमें से प्रत्येक समूह के लिए, केंद्र स्पष्ट रूप से जाना जाता है। वर्गीकरण संबंधित रूट प्रणाली ( निश्चित अधिकतम टोरस के लिए) के माध्यम से होता है, जिसे विपरीत में उनके डिनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।

सघन, सरलता से सम्बंधित लाई समूहों का वर्गीकरण जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। वास्तव में, यदि K सरल रूप से सम्बंधित सघन लाई समूह है, तो K के लाई बीजगणित की जटिलता अर्धसरल है। इसके विपरीत, प्रत्येक जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित में सघन, सरल रूप से सम्बंधि लाई समूह के लाई बीजगणित के लिए सघन वास्तविक रूप आइसोमोर्फिक होता है।

अधिकतम टोरी और मूल प्रक्रिया

See also: अधिकतम टोरस and मूल प्रक्रिया

सम्बंधित सघन लाई समूह K के अध्ययन में महत्वपूर्ण विचार अधिकतम टोरस की अवधारणा है, जो कि K का उपसमूह T है जो कि कई प्रतियों के उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है। $S^{1}$ और वह इस प्रकार के किसी भी बड़े उपसमूह में सम्मिलित नहीं है। मूलभूत उदाहरण स्थिति $K=\operatorname {SU} (n)$ है, जिस स्थिति में हम ले सकते हैं $T$ में विकर्ण तत्वों का समूह $K$ होना चाहिए। मूल परिणाम टोरस प्रमेय है जो बताता है कि प्रत्येक तत्व $K$ अधिकतम टोरस से संबंधित है और सभी अधिकतम टोरी संयुग्मित हैं।

सघन समूह में अधिकतम टोरस जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित में कार्टन उपबीजगणित के समान भूमिका निभाता है। विशेष रूप से, अधिकतम टोरस $T\subset K$ चयन किया गया है, कोई भी मूल प्रक्रिया और वेइल समूह को परिभाषित कर सकता है, जैसा कि अर्धसरल लाई बीजगणित के लिए होता है। ये संरचनाएं सम्बंधित सघन समूहों (ऊपर वर्णित) के वर्गीकरण और निश्चित ऐसे समूह (नीचे वर्णित) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत दोनों में आवश्यक भूमिका निभाती हैं।

सरल रूप से सम्बंधित सघन समूहों के वर्गीकरण में दिखने वाले सरल सघन समूहों से जुड़ी मूल प्रक्रिया इस प्रकार हैं:

• विशेष एकात्मक समूह $\operatorname {SU} (n)$ मूल प्रक्रिया $A_{n-1}$के अनुरूप है।
• विषम स्पिन समूह $\operatorname {Spin} (2n+1)$ मूल प्रक्रिया $B_{n}$ के अनुरूप है।
• सघन सहानुभूति समूह $\operatorname {Sp} (n)$ मूल प्रक्रिया $C_{n}$ के अनुरूप है।
• सम स्पिन समूह $\operatorname {Spin} (2n)$ मूल प्रक्रिया $D_{n}$ के अनुरूप है।
• असाधारण सघन लाई समूह पांच असाधारण मूल प्रक्रिया G₂, F₄, E₆, E₇, या E₈ के अनुरूप हैं।

मौलिक समूह और केंद्र

See also: मौलिक समूह लाई समूह

यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या सम्बंधित सघन लाई समूह सरल रूप से सम्बंधित है, और यदि नहीं, तो इसके मौलिक समूह को निर्धारित करने के लिए होता है। सघन लाई समूहों के लिए, मौलिक समूह की गणना करने के लिए दो मूलभूत दृष्टिकोण हैं। प्रथम दृष्टिकोण शास्त्रीय सघन समूहों पर प्रारम्भ होता है $\operatorname {SU} (n)$, $\operatorname {U} (n)$, $\operatorname {SO} (n)$, और $\operatorname {Sp} (n)$ और प्रेरण $n$ द्वारा आगे बढ़ता है। दूसरा दृष्टिकोण मूल प्रक्रिया का उपयोग करता है और सभी सम्बंधित सघन लाई समूहों पर प्रारम्भ होता है।

सम्बंधित सघन लाई समूह के केंद्र को जानना भी महत्वपूर्ण है। शास्त्रीय समूह का केंद्र $G$ की गणना सरलता से "हाथ से" की जा सकती है, और अधिकतर स्थितियों में इसमें आइडेंटिटी की जो भी $G$ जड़ें हैं, वे सम्मिलित होती हैं। (समूह SO(2) अपवाद है - केंद्र पूर्ण समूह है, भले ही अधिकांश तत्व आइडेंटिटी की जड़ें नहीं हैं।) इस प्रकार, उदाहरण के लिए, का केंद्र $\operatorname {SU} (n)$ में एकता गुणा आइडेंटिटी की nवीं मूलों से मिलकर बनता है, क्रम का चक्रीय समूह $n$ होता है।

सामान्यतः, केंद्र को अधिकतम टोरस के लिए रूट जाली और घातीय मानचित्र के कर्नेल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य विधि से ज्ञात होता है कि असाधारण मूल प्रक्रिया के अनुरूप सरल रूप से सम्बंधित सघन समूह $G_{2}$ तुच्छ केंद्र है। इस प्रकार, सघन $G_{2}$ समूह अधिक अल्प सरल सघन समूहों में से है जो सरलता से जुड़े हुए हैं और केंद्र मुक्त हैं। (अन्य $F_{4}$और $E_{8}$हैं।)

उदाहरण

उन समूहों में से जो लाई समूह नहीं हैं, और इसलिए मैनिफोल्ड की संरचना नहीं रखते हैं, उदाहरण पी-एडिक पूर्णांकों के योगात्मक समूह Z_p और उससे निर्माण हैं। वास्तव में कोई भी अनंत समूह सघन समूह होता है। इसका तात्पर्य यह है कि गैलोज़ समूह सघन समूह हैं, जो अनंत डिग्री की स्थिति में बीजगणितीय विस्तार के सिद्धांत के लिए मूलभूत तथ्य है।

पोंट्रीगिन ड्यूलिटी सघन कम्यूटेटिव समूहों के उदाहरणों की बड़ी आपूर्ति प्रदान करता है। ये एबेलियन असतत समूहों के साथ ड्यूलिटी में हैं।

हार माप

See also: पीटर-वेइल प्रमेय

सभी सघन समूहों में हार माप होता है, जो बाएँ और दाएँ दोनों अनुवादों द्वारा अपरिवर्तनीय होगा (मापांक फलन सकारात्मक वास्तविकताओं (R⁺, ×), के लिए समरूपता होनी चाहिए और इसलिए 1 है।)। दूसरे शब्दों में, ये समूह एक-मॉड्यूलर हैं। वृत्त पर dθ/2π के अनुरूप, हार माप को संभाव्यता माप के रूप में सरलता से सामान्यीकृत किया जाता है।

ऐसे हार माप की गणना कई स्थितियों में सरल है; उदाहरण के लिए लंबकोणीय समूहों के लिए यह एडॉल्फ हर्विट्ज़ को ज्ञात था, और लाई समूह में स्थितियों को सदैव अपरिवर्तनीय अंतर रूप द्वारा दिया जा सकता है। अनंत स्थिति में परिमित सूचकांक के कई उपसमूह होते हैं, और सहसमुच्चय का हार माप सूचकांक का व्युत्क्रम होगा। इसलिए, अभिन्नों की गणना प्रायः सीधे तौर पर की जा सकती है, यह तथ्य संख्या सिद्धांत में निरंतर प्रस्तावित होता है।

यदि $K$ सघन समूह है और $m$ संबंधित हार माप है, पीटर-वेइल प्रमेय का अपघटन प्रदान करता है $L^{2}(K,dm)$ के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के लिए मैट्रिक्स प्रविष्टियों के परिमित-आयामी उप-स्थानों के लंबकोणीय प्रत्यक्ष योग के रूप में $K$ है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

सघन समूहों (आवश्यक नहीं कि लाई समूह हों और आवश्यक नहीं कि जुड़े हों) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया था। हरमन वेइल ने अधिकतम टोरस सिद्धांत के आधार पर सघन सम्बंधित लाई समूहों का विस्तृत वर्ण सिद्धांत दिया। परिणामी वेइल वर्ण सूत्र बीसवीं सदी के गणित के प्रभावशाली परिणामों में से था। पीटर-वेइल प्रमेय और वेइल वर्ण सूत्र के संयोजन ने वेइल को सम्बंधित सघन लाई समूह के अभ्यावेदन के पूर्ण वर्गीकरण के लिए प्रेरित किया; इस सिद्धांत का वर्णन अगले भाग में किया गया है।

वेइल के कार्य और कार्टन के प्रमेय का संयोजन सघन समूहों G के संपूर्ण प्रतिनिधित्व सिद्धांत का सर्वेक्षण देता है। अर्थात, पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा G के अपरिवर्तनीय एकात्मक प्रतिनिधित्व ρ एकात्मक समूह (परिमित आयाम के) और छवि में हैं सघनता द्वारा एकात्मक समूह का विवृत उपसमूह होगा। कार्टन के प्रमेय में कहा गया है कि Im(ρ) को एकात्मक समूह में स्वयं लाई उपसमूह होना चाहिए। यदि G स्वयं लाई समूह नहीं है, तो ρ में कर्नेल होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, परिमित-आयामी एकात्मक अभ्यावेदन के छोटे और छोटे ρ के कर्नेल के लिए व्युत्क्रम प्रणाली बनाई जा सकती है, जो G को सघन लाई समूहों की व्युत्क्रम सीमा के रूप में पहचानती है। यहां यह तथ्य है कि सीमा में G का विश्वसनीय प्रतिनिधित्व पाया जाता है, पीटर-वेइल प्रमेय का परिणाम है।

इस प्रकार, सघन समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अज्ञात भाग, सामान्यतः, परिमित समूहों के जटिल निरूपण पर वापस आ जाता है। यह सिद्धांत विस्तार में अधिक समृद्ध है, किन्तु गुणात्मक रूप से उचित प्रकार से समझा गया है।