सशर्त अपेक्षा

प्रायिकता सिद्धांत में, नियमबद्ध अपेक्षा, नियमबद्ध अपेक्षित मूल्य, या यादृच्छिक चर का नियमबद्ध कारण इसका अपेक्षित मूल्य है बड़ी संख्या में होने वाली घटनाओं के नियम पर यह "औसतन" मान लेगा यह देखते हुए कि नियमो का निश्चित समुच्चय है होने के लिए जाना जाता है। यदि यादृच्छिक चर केवल मूल्यों की एक सीमित संख्या में ले सकता है, तो "नियमं" हैं कि चर केवल उन मानों का सबसमुच्चय ले सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, उस स्थिति में जब यादृच्छिक चर को असतत प्रायिकता स्पेस पर परिभाषित किया जाता है, तो नियमं इस प्रायिकता स्पेस के समुच्चय का विभाजन होती हैं।

संदर्भ के आधार पर, नियमबद्ध अपेक्षा या तो यादृच्छिक चर या कार्य हो सकती है। यादृच्छिक चर $E(X\mid Y)$ नियमबद्ध प्रायिकता के अनुरूप निरूपित किया जाता है। फलन फॉर्म को या तो निरूपित किया जाता है। $E(X\mid Y=y)$ या अलग फलन प्रतीक जैसे $f(y)$ को $E(X\mid Y)=f(Y)$ अर्थ के साथ प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण

उदाहरण 1: डाइस रोलिंग

एक निष्पक्ष पासे के रोल पर विचार करें और मान लें कि A = 1 यदि संख्या सम है (अर्थात, 2, 4, या 6) और A = 0 अन्यथा इसके अतिरिक्त B = 1 दें यदि संख्या प्रमुख है (अर्थात, 2, 3, या 5) और B = 0 अन्यथा है।

	1	2	3	4	5	6
A	0	1	0	1	0	1
B	0	1	1	0	1	0

A की बिना नियम अपेक्षा $E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2$ है। किंतु B = 1 पर नियमबद्ध A की अपेक्षा (अर्थात, नियमबद्ध पर डाइ रोल 2, 3, या 5) है $E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3$, और B = 0 पर नियमबद्ध A की अपेक्षा (अर्थात, डाई रोल 1, 4, या 6 होने पर नियमबद्ध) $E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3$ है। इसी तरह, A = 1 पर नियमबद्ध B की अपेक्षा है। $E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3$, और A = 0 पर नियमबद्ध B की अपेक्षा $E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3$ है।

उदाहरण 2: वर्षा डेटा

मान लीजिए कि हमारे पास 1 जनवरी, 1990 से 31 दिसंबर, 1999 तक दस-वर्ष (3652-दिन) की अवधि के प्रत्येक दिन मौसम केंद्र द्वारा एकत्रित दैनिक वर्षा डेटा (प्रति दिन वर्षा का मिमी) है। अनिर्दिष्ट दिन उन 3652 दिनों के लिए वर्षा की मात्रा का औसत है। मार्च के महीने में एक अन्यथा अनिर्दिष्ट दिन के लिए वर्षा की नियमबद्ध अपेक्षा (नियमबद्ध होने पर) दस साल की अवधि के सभी 310 दिनों में दैनिक वर्षा का औसत है जो मार्च में पड़ता है। और 2 मार्च के दिनों में वर्षा की नियमबद्ध अपेक्षा उस विशिष्ट तिथि के साथ दस दिनों में हुई वर्षा की मात्रा का औसत है।

इतिहास

नियमबद्ध प्रायिकता की संबंधित अवधारणा कम से कम पियरे-साइमन लाप्लास के समय की है \ जिन्होंने नियमबद्ध वितरण की गणना की यह एंड्री निकोलाइविच कोलमोगोरोव थे | जिन्होंने 1933 में रेडॉन-निकोडायम प्रमेय का उपयोग करके इसे औपचारिक रूप दिया था। पॉल हेल्मोस के कार्यों में और जोसेफ एल. डूब गया था। 1953 से, सिग्मा-बीजगणित उप-σ-अल्जेब्रा का उपयोग करके इसकी आधुनिक परिभाषा के लिए नियमबद्ध अपेक्षा को सामान्यीकृत किया गया था।

परिभाषाएँ

एक घटना पर कंडीशनिंग

यदि A ${\mathcal {F}}$ में गैर-शून्य प्रायिकता के साथ एक घटना है, और X असतत यादृच्छिक चर है, तो X दिए गए A की नियमबद्ध अपेक्षा है।

$\begin{array}{rl}\mathrm{E}<!--\; \; -->(X\mid <!--\; \mid \; -->A)& =\underset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}xP(\end{array}$