श्वेत रव

गॉसियन श्वेत ध्वनि संकेत का तरंगरूप आलेख पर प्लॉट किया गया है।

सिग्नल प्रोसेसिंग में, श्वेत ध्वनि यादृच्छिक सिग्नल होता है जिसमें विभिन्न आवृत्तियों पर समान तीव्रता होती है, जो इसे स्थिर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व देता है।^[1] इस शब्द का उपयोग भौतिकी, ध्वनिक इंजीनियरिंग, दूरसंचार और सांख्यिकीय पूर्वानुमान सहित अनेक वैज्ञानिक और विधिक विषयों में, इस या समान अर्थ के साथ किया जाता है। इस प्रकार श्वेत ध्वनि किसी विशिष्ट सिग्नल के अतिरिक्त सिग्नल और सिग्नल स्रोतों के लिए सांख्यिकीय मॉडल को संदर्भित करता है। जिससे कि श्वेत ध्वनि का नाम श्वेत प्रकाशिकी से लिया गया है,^[2] चूँकि श्वेत दिखाई देने वाले प्रकाश में सामान्यतः दृश्यमान वर्णक्रम पर सपाट शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व नहीं होता है।

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श्वेत ध्वनि वाली छवि

असतत समय में, श्वेत ध्वनि असतत संकेत होता है जिसका नमूना (संकेत) शून्य माध्य (सांख्यिकी) और परिमित विचरण के साथ क्रमिक सहसंबंध यादृच्छिक चर के अनुक्रम के रूप में माना जाता है। इस प्रकार श्वेत ध्वनि का भी मनोभाव आकस्मिक झटका होता है। चूँकि संदर्भ के आधार पर, किसी को यह भी आवश्यकता हो सकती है कि नमूने सांख्यिकीय स्वतंत्रता वाले होते है और समान संभाव्यता वितरण होते है (दूसरे शब्दों में, आईआईडी श्वेत ध्वनि का सबसे सरल प्रतिनिधित्व होता है)।^[3] विशेष रूप से, यदि प्रत्येक नमूने में शून्य माध्य के साथ सामान्य वितरण होता है, तब संकेत को योगात्मक श्वेत गाऊसी ध्वनि कहा जाता है।^[4]

सामान्यतः श्वेत ध्वनि संकेत के नमूने समय में अनुक्रमिक हो सकते हैं, या अधिक स्थानिक आयामों के साथ व्यवस्थित हो सकते हैं। इस प्रकार डिजिटल छवि प्रसंस्करण में, श्वेत ध्वनि छवि के पिक्सेल सामान्यतः आयताकार ग्रिड में व्यवस्थित होते हैं, और कुछ अंतराल पर निरंतर समान वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर माने जाते हैं। इस अवधारणा को अधिक समष्टि कार्यक्षेत्र, जैसे कि गोले या टोरस्र्स में फैले संकेतों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

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कुछ श्वेत ध्वनि वाली ध्वनि (बहुत तेज़)

अनंत-बैंडविड्थ श्वेत ध्वनि संकेत विशुद्ध सैद्धांतिक निर्माण होता है। श्वेत ध्वनि की बैंडविड्थ व्यवहार में ध्वनि उत्पन्न करने के तंत्र, संचरण माध्यम और सीमित अवलोकन क्षमताओं द्वारा सीमित होते है। इस प्रकार, यादृच्छिक संकेतों को "श्वेत ध्वनि" माना जाता है यदि उन्हें संदर्भ के लिए प्रासंगिक आवृत्तियों की सीमा पर सपाट वर्णक्रम के रूप में देखा जाता है। सामान्यतः ऑडियो संकेत के लिए, प्रासंगिक सीमा श्रव्य ध्वनि आवृत्तियों का बैंड (20 और 20,000 हेटर्स के मध्य) होता है। ऐसा संकेत मानव कान द्वारा फुफकारने की ध्वनि के रूप में सुना जाता है, जो निरंतर आकांक्षा में /एच/ ध्वनि जैसा दिखता है। दूसरी ओर, "श" ध्वनि /ʃ/ राख में रंगीन ध्वनि होता है जिससे कि इसकी फॉर्मेंट संरचना होती है। इस प्रकार संगीत और ध्वनिकी में, "श्वेत ध्वनि" शब्द का उपयोग किसी भी सिग्नल के लिए किया जा सकता है जिसमें समान हिसिंग ध्वनि होती है।

श्वेत ध्वनि शब्द का उपयोग कभी-कभी फ़ाइलोजेनेटिक तुलनात्मक विधियों के संदर्भ में तुलनात्मक डेटा में फ़ाइलोजेनेटिक पैटर्न की कमी को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।^[5] इसे कभी-कभी गैर-विधिक संदर्भों में सार्थक सामग्री के बिना यादृच्छिक बातचीत के अर्थ में समान रूप से उपयोग किया जाता है।^[6]^[7]

सांख्यिकीय गुण

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गुलाबी ध्वनि (बाएं) और श्वेत ध्वनि (दाएं) का वर्ण-क्रमलेखी यंत्र से प्राप्त चित्र , रैखिक आवृत्ति अक्ष (ऊर्ध्वाधर) बनाम समय अक्ष (क्षैतिज) के साथ दिखाया गया है।

मूल्यों का कोई भी वितरण संभव होता है (चूंकि इसमें शून्य डीसी घटक होता है)। यहां तक कि बाइनरी सिग्नल जो केवल 1 या 0 मान ले सकता है। वह श्वेत होता है यदि अनुक्रम सांख्यिकीय रूप से असंबद्ध होता है। इस प्रकार निरंतर वितरण वाला ध्वनि, जैसे कि सामान्य वितरण, निश्चित रूप से श्वेत हो सकता है।

यह अधिकांशतः गलत तरीके से माना जाता है कि गाऊसी ध्वनि (अर्थात्, गाऊसी आयाम वितरण के साथ ध्वनि) – सामान्य वितरण देख सकते है) आवश्यक रूप से श्वेत ध्वनि को संदर्भित करता है, फिर भी कोई भी संपत्ति दूसरे को नहीं दर्शाती है। इस प्रकार गाऊशियनिटी का तात्पर्य मूल्य के संबंध में संभाव्यता वितरण से होता है, इस संदर्भ में किसी विशेष आयाम सीमा के अंदर सिग्नल के गिरने की संभावना होती है, जबकि 'श्वेत' शब्द उस विधि को संदर्भित करता है जिस प्रकार सिग्नल शक्ति समय के साथ या आवृत्तियों के मध्य वितरित की जाती है (अर्थात्, स्वतंत्र रूप से)।

श्वेत ध्वनि वीनर प्रक्रिया या प्रकार कि गति का सामान्यीकृत माध्य-वर्ग व्युत्पन्न होता है।

अनंत आयामी स्थानों पर यादृच्छिक तत्व का सामान्यीकरण, जैसे कि यादृच्छिक क्षेत्र, परमाणु स्थान होता है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

संगीत

श्वेत ध्वनि का उपयोग सामान्यतः इलेक्ट्रॉनिक संगीत के उत्पादन में किया जाता है, सामान्यतः या तो सीधे या अन्य प्रकार के ध्वनि संकेत बनाने के लिए फ़िल्टर के इनपुट के रूप में इसका उपयोग बड़े पैमाने पर ऑडियो संश्लेषण में किया जाता है, सामान्यतः झांझ या ड्रम फन्दे जैसे ताल वाद्य यंत्रों को फिर से बनाने के लिए, जिनके आवृत्ति कार्यक्षेत्र में उच्च ध्वनि सामग्री होती है।^[8] इस प्रकार श्वेत ध्वनि का सरल उदाहरण अस्तित्वहीन रेडियो स्टेशन (स्थैतिक) होता है।

इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग

श्वेत ध्वनि का उपयोग विद्युत परिपथ, विशेष रूप से एम्पलीफायरों और अन्य ऑडियो उपकरणों की आवेग प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है। इसका उपयोग लाउडस्पीकरों के परीक्षण के लिए नहीं किया जाता है जिससे कि इसके वर्णक्रम में उच्च-आवृत्ति सामग्री बहुत अधिक मात्रा में होती है। इस प्रकार गुलाबी ध्वनि, जो श्वेत ध्वनि से भिन्न होता है, जिसमें प्रत्येक सप्तक में समान ऊर्जा होती है, इसका उपयोग लाउडस्पीकर और माइक्रोफोन जैसे ट्रांसड्यूसर के परीक्षण के लिए किया जाता है।

कंप्यूटिंग

श्वेत ध्वनि का उपयोग कुछ हार्डवेयर यादृच्छिक संख्या जनरेटर के आधार के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक.ओआरजी स्रोतों से यादृच्छिक अंक पैटर्न उत्पन्न करने के लिए वायुमंडलीय एंटीना की प्रणाली का उपयोग करता है जिसे श्वेत ध्वनि द्वारा अच्छी प्रकार से मॉडल किया जा सकता है।^[9]

टिनिटस उपचार

श्वेत ध्वनि सामान्य सिंथेटिक ध्वनि स्रोत होता है जिसका उपयोग टिनिटस मास्कर द्वारा ध्वनि मास्किंग के लिए किया जाता है।^[10] इस प्रकार श्वेत ध्वनि मशीनों और अन्य श्वेत ध्वनि स्रोतों को गोपनीयता बढ़ाने वाले और नींद सहायक (संगीत और नींद देखें) और टिनिटस को छिपाने के लिए बेचा जाता है।^[11] चूँकि मार्पैक स्लीप-मेट पहली घरेलू उपयोग वाली श्वेत ध्वनि मशीन होती थी जिसे सन्न 1962 में ट्रैवलिंग सेल्समैन जिम बकवाल्टर द्वारा बनाया गया था।^[12] वैकल्पिक रूप से, अप्रयुक्त आवृत्तियों ("स्थैतिक") पर ट्यून किए गए एफएम रेडियो का उपयोग श्वेत ध्वनि का सरल और अधिक निवेश प्रभावी स्रोत होता है।^[13] चूँकि, अप्रयुक्त आवृत्ति पर ट्यून किए गए सामान्य वाणिज्यिक रेडियो रिसीवर से उत्पन्न श्वेत ध्वनि, नकली संकेतों से दूषित होने के लिए अत्यधिक संवेदनशील होता है, जैसे कि आसन्न रेडियो स्टेशन, गैर-आसन्न रेडियो स्टेशनों से हार्मोनिक्स, प्राप्त करने वाले एंटीना के आसपास के विद्युत उपकरण जो हस्तक्षेप उत्पन्न करते हैं, या यहां तक कि सौर फ्लेयर्स और विशेष रूप से विद्युत जैसी वायुमंडलीय घटनाएं भी होती है।

कार्य वातावरण

संज्ञानात्मक कार्य पर श्वेत ध्वनि का प्रभाव मिश्रित होता है। हाल ही में, छोटे से अध्ययन में पाया गया है कि श्वेत ध्वनि पृष्ठभूमि उत्तेजना ध्यान घाटे सक्रियता विकार (एडीएचडी) वाले माध्यमिक छात्रों के मध्य संज्ञानात्मक कार्यप्रणाली में सुधार करती है, जबकि गैर-एडीएचडी छात्रों के प्रदर्शन में कमी आती है।^[14]^[15] इस प्रकार अन्य कार्यों से संकेत मिलता है कि यह पृष्ठभूमि कार्यालय के ध्वनि को छुपाकर श्रमिकों के मूड और प्रदर्शन को उत्तम बनाने में प्रभावी होती है,^[16] किन्तु समष्टि कार्ड सॉर्टिंग कार्यों में संज्ञानात्मक प्रदर्शन कम हो जाता है।^[17]

इसी प्रकार, सीखने के माहौल में श्वेत ध्वनि के उपयोग के लाभों को देखने के लिए छियासठ स्वस्थ प्रतिभागियों पर प्रयोग किया गया है। इस प्रकार प्रयोग में प्रतिभागियों को पृष्ठभूमि में भिन्न-भिन्न ध्वनियों के साथ भिन्न-भिन्न छवियों की पहचान करना सम्मिलित होता था। चूँकि कुल मिलाकर प्रयोग से पता चलता है कि सीखने के संबंध में श्वेत ध्वनि का वास्तव में लाभ होता है। अतः प्रयोगों से पता चलता है कि श्वेत ध्वनि ने प्रतिभागियों की सीखने की क्षमताओं और उनकी पहचानने की स्मृति में थोड़ा सुधार किया।^[18]

गणितीय परिभाषाएँ

श्वेत ध्वनि सदिश

यादृच्छिक सदिश (अर्थात्, सदिश-मूल्यवान यादृच्छिक चर) को श्वेत ध्वनि सदिश या श्वेत यादृच्छिक सदिश कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक घटक में शून्य माध्य और परिमित विचरण के साथ संभाव्यता वितरण होता है, और सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं अर्थात, उनका संयुक्त संभाव्यता वितरण व्यक्तिगत घटकों के वितरण का उत्पाद होता है।^[19]

सामान्यतः दो चरों की सांख्यिकीय स्वतंत्रता के लिए आवश्यक (किन्तु, सामान्यतः, पर्याप्त नहीं) शर्त यह होती है कि वह सहसंबंध होता है। अर्थात् उनका सहप्रसरण शून्य होता है। इसलिए, एन तत्वों के साथ श्वेत ध्वनि सदिश डब्लू के घटकों का सहप्रसरण आव्युह आर एकल एन बटा एन विकर्ण आव्युह होता है, जहां प्रत्येक विकर्ण तत्व आर_आईआई घटक डब्लू_आई का विचरण होता है और सहसंबंध और निर्भरता सहसंबंध आव्युह एन बटा एन पहचान आव्युह होता है।

यदि, स्वतंत्र होने के अतिरिक्त, डब्लू में प्रत्येक चर का शून्य माध्य और समान विचरण के साथ सामान्य वितरण भी होता है $\sigma ^{2}$ , w को गॉसियन श्वेत ध्वनि सदिश कहा जाता है। उस स्थिति में, w का संयुक्त वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण होता है। इस प्रकार चरों के मध्य स्वतंत्रता का तात्पर्य यह होता है कि वितरण में एन-आयामी अंतरिक्ष में अण्डाकार वितरण होता है। इसलिए, सदिश के किसी भी ऑर्थोगोनल परिवर्तन के परिणामस्वरूप गॉसियन श्वेत यादृच्छिक सदिश होता है। विशेष रूप से, अधिकांश प्रकार के असतत फूरियर रूपांतरण के अनुसार, जैसे कि तेज फूरियर ट्रांसफॉर्म और असतत हार्टले परिवर्तन, डब्ल्यू का ट्रांसफॉर्म डब्ल्यू गाऊसी श्वेत ध्वनि सदिश भी होता है। अर्थात्, डब्लू के एन फूरियर गुणांक शून्य माध्य और समान विचरण के साथ स्वतंत्र गॉसियन चर $\sigma ^{2}$ होता है।

यादृच्छिक सदिश डब्लू के शक्ति वर्णक्रम पी को इसके फूरियर ट्रांसफॉर्म डब्लू के प्रत्येक गुणांक के वर्ग मापांक के अपेक्षित मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात्, पी_आई= ई(|डब्ल्यू_आई|²). उस परिभाषा के अनुसार, गाऊसी श्वेत ध्वनि सदिश में पी_आई= पी² सभी के लिए आई के साथ बिल्कुल सपाट पावर वर्णक्रम होता है।

यदि डब्लू श्वेत यादृच्छिक सदिश होता है, किन्तु गाऊसी नहीं होता है, तब इसका फूरियर गुणांक डब्लू_आई होता है, अतः दूसरे से पूर्णतः स्वतंत्र नहीं होते है। चूँकि बड़े एन और सामान्य संभाव्यता वितरण के लिए निर्भरताएँ अधिक सूक्ष्म होता हैं, और उनके जोड़ीदार सहसंबंध को शून्य माना जा सकता है।

अधिकांशतः सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र के अतिरिक्त सांख्यिकीय रूप से असंबद्ध अशक्त स्थिति का उपयोग श्वेत ध्वनि की परिभाषा में किया जाता है। चूँकि, श्वेत ध्वनि के कुछ सामान्य अपेक्षित गुण (जैसे सपाट शक्ति वर्णक्रम) इस अशक्त संस्करण के लिए उपयुक्त नहीं हो सकते हैं। इस धारणा के अनुसार, सख्त संस्करण को स्पष्ट रूप से स्वतंत्र श्वेत ध्वनि सदिश के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।^[20] अन्य लेखक इसके स्थान पर दृढ़तापूर्वक श्वेत और अशक्त श्वेत का उपयोग करते हैं।^[21]

यादृच्छिक सदिश का उदाहरण जो अशक्त अर्थ में गाऊसी श्वेत ध्वनि होते है किन्तु शक्तिशाली अर्थ में नहीं होते है $x=[x_{1},x_{2}]$ जहाँ $x_{1}$ शून्य माध्य वाला सामान्य यादृच्छिक चर होता है, और $x_{2}$ के सामान्तर होता है $+x_{1}$ या करने के लिए $-x_{1}$ , समान संभावना के साथ होता है। यह दो चर असंबंधित होते हैं और व्यक्तिगत रूप से सामान्य रूप से वितरित होता हैं, किन्तु वह संयुक्त रूप से सामान्य रूप से वितरित नहीं होते हैं और स्वतंत्र नहीं होते हैं। यदि $x$ 45 डिग्री तक घुमाया जाता है, इसके दो घटक अभी भी असंबद्ध होते है, किन्तु उनका वितरण वर्तमान सामान्य नहीं होता है।

कुछ स्थितियों में कोई व्यक्ति श्वेत यादृच्छिक सदिश के प्रत्येक घटक को अनुमति देकर परिभाषा में ढील दे सकता है। इस प्रकार गैर-शून्य $w$ अपेक्षित मान $\mu$ होता है, विशेष रूप से छवि प्रसंस्करण में, जहां नमूने सामान्यतः धनात्मक मूल्यों तक ही सीमित होते हैं, कोई अधिकांशतः $\mu$ लेता है। अधिकतम नमूना मूल्य का आधा होता है। उस स्थिति में, फूरियर गुणांक $W_{0}$ शून्य-आवृत्ति घटक के अनुरूप (अनिवार्य रूप से, इसका औसत $w_{i}$ ) का गैर-शून्य अपेक्षित मान $\mu {\sqrt {n}}$ भी होता है और शक्ति वर्णक्रम $P$ केवल गैर-शून्य आवृत्तियों पर समतल होता है।

असतत-समय श्वेत ध्वनि

पृथक-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $W(n)$ घटकों की सीमित संख्या से लेकर अनंत अनेक घटकों तक यादृच्छिक सदिशों का सामान्यीकरण होता है। इस प्रकार पृथक-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $W(n)$ इसे श्वेत ध्वनि कहा जाता है यदि इसका माध्य $n$ समय पर निर्भर नहीं करता है और शून्य के सामान्तर होता है, अर्थात् $\operatorname {E} [W(n)]=0$ और यदि ऑटोसहसंबंध $R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]$ कार्य करता है, अर्थात् केवल $R_{W} (n) = σ^{2} δ$

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