विविध पर घनत्व

गणित में, और विशेष रूप से अंतर ज्यामिति में, घनत्व एक अवकलनीय बहुविध पर एक अलग-अलग भिन्न मात्रा है जो एक स्थानिक तरीके से अभिन्न हो सकता है। संक्षेप में, घनत्व एक निश्चित रेखा समूह का एक खंड (तंतु समूह) होता है, जिसे घनत्व समूह कहा जाता है। x पर घनत्व समूह का तत्व एक ऐसा कार्य है जो x पर दिए गए स्पर्शरेखा सदिशों द्वारा n द्वारा विस्तारित किये गए समानांतर चतुर्भुज के लिए आयतन निर्दिष्ट करता है।

संचालन के दृष्टिकोण से, एक घनत्व समन्वय तालिका पर कार्यों का एक संग्रह है जो निर्देशांक के परिवर्तन में जैकबियन निर्धारक के निरपेक्ष मूल्य से गुणा हो जाता है। घनत्वों को s-घनत्वों में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिनके निर्देशांक निरूपण जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान की s-th शक्ति से गुणा हो जाते हैं। एक उन्मुख बहुविध पर, 1-घनत्व को विहित रूप से M पर अंतरीय विधि के साथ पहचाना जा सकता है। गैर-उन्मुख बहुविध पर यह पहचान नहीं की जा सकती है, क्योंकि घनत्व समूह 'M' के उन्मुखीकरण समूह और T के n-वें बाहरी उत्पाद समूह M का प्रदिश उत्पाद है। (स्यूडोटेंसर देखें)।

प्रेरणा (सदिश रिक्त स्थान में घनत्व)

सामान्यतः, सदिश v₁, ..., v_n द्वारा एक n-आयामी सदिश समष्टि V में उत्पन्न समांतरोटोप के लिए घनफल की प्राकृतिक अवधारणा उपस्थित नहीं होती है। हालाँकि, यदि कोई एक फलन μ : V × ... × V → R को परिभाषित करना चाहता है जो ऐसे किसी समांतर चतुर्भुज के लिए आयतन निर्दिष्ट करता है, उसे निम्नलिखित गुणों को पूरा करना चाहिए:

• यदि कोई सदिश v_k λ ∈ R से गुणा किया जाता है, तो घनफल को |λ| से गुणा किया जाना चाहिए।
• यदि सदिश v1, ..., vj−1, vj+1, ..., vn का कोई रैखिक संयोजन सदिश vj में जोड़ा जाता है, तो आयतन अपरिवर्तनीय रहना चाहिए।

ये स्थितियाँ इस कथन के समतुल्य हैं कि μ V पर एक अनुवाद-अपरिवर्तनीय उपाय द्वारा दिया गया है, और इन्हें फिर से परिभाषित किया जा सकता है

$\mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).$

ऐसी कोई प्रतिचित्रण μ : V × ... × V → R को सदिश स्थान V पर घनत्व कहा जाता है। ध्यान दें कि अगर ( v₁, ..., m_n) V के लिए कोई आधार है, तो μ(v1, .. ।, vn) μ को पूरी तरह से ठीक कर देगा; यह इस प्रकार है कि V पर सभी घनत्वों का सम्मुच्चय आयतन (V) एक आयामी सदिश दिक् बनाता है। V पर कोई भी n-रूप ω एक घनत्व को परिभाषित करता है |ω|

$|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.$

सदिश दिक् पर स्थिति निर्धारण

सभी कार्यों का सम्मुच्चय या (V)। o : V × ... × V → R जो निम्न को संतुष्ट करता है

$o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)$

एक आयामी सदिश स्थान बनाता है, और 'V' पर एक अभिविन्यास दो तत्वों o ∈ Or(V) में से एक है। यह ऐसा है कि |o(v₁, ..., v_n)| = 1 किसी भी रैखिक रूप से स्वतंत्र v₁, ..., v_n के लिए है। V पर कोई गैर-शून्य एन-विधि ω एक o ∈ Or(V) अभिविन्यास परिभाषित करता है। यह ऐसा है कि

$o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{n}),$

और इसके विपरीत, कोई भी o ∈ Or(V) और कोई घनत्व μ ∈ Vol(V) द्वारा V पर एक n-रूप ω परिभाषित करें

$\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).$

प्रदिश उत्पाद के संदर्भ में,

$\operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.$

सदिश स्थान पर s-घनत्व

V पर S-घनत्व कार्य μ : V × ... × V → R इस प्रकार हैं कि

$\mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).$

घनत्वों की तरह, S-घनत्व एक आयामी सदिश स्थल Vol^s(V) बनाते हैं, और V पर कोई भी n-रूप ω एक s-घनत्व |ω| V पर निम्न द्वारा परिभाषित करता है

${|\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}|}^s(v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n):={}^{}$