फेजर

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विशिष्ट के लिए श्रृंखला आरएलसी सर्किट और संबंधित फेजर आरेख का उदाहरण ω. ऊपरी आरेख में तीर फ़ैसर हैं, जो फ़ैसर आरेख (दिखाए गए धुरी के बिना जटिल विमान) में खींचे गए हैं, जिन्हें निचले आरेख में तीरों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो वोल्टेज के लिए संदर्भ ध्रुवीयता और विद्युत के लिए संदर्भ दिशा हैं ।

भौतिकी और अभियांत्रिकी में (चरण सदिश का पोर्टमैंटू ) साइन लहर का प्रतिनिधित्व करने वाली जटिल संख्या है जिसका आयाम (A), कोणीय आवृत्ति (ω), और चरण (तरंगें) (θ) समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली हैं समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह विश्लेषणात्मक संकेत नामक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है, जो समय और आवृत्ति के आधार पर जटिल स्थिरांक और कारक के उत्पाद में साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है, और (पुराने पाठ्य में) सिनर या यहां तक ​​कि जटिल कहा जाता है।

प्रत्यावर्ती धारा द्वारा संचालित विद्युत नेटवर्क में सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के रैखिक संयोजन को चरणों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है) और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है।

फेजर शब्द की उत्पत्ति सही ही बताती है कि यूक्लिडियन वेक्टर के लिए संभव के समान (डायग्रामेटिक) गणना फेजर के लिए भी संभव है। फेजर ट्रांसफॉर्म की महत्वपूर्ण अतिरिक्त विशेषता यह है कि साइनसॉइडल संकेत के व्युत्पन्न और अभिन्न (स्थिर आयाम, अवधि और चरण वाले) फेजर्स पर सरल बीजगणितीय संचालन से मेल खाते हैं; चरण रूपांतरण इस प्रकार आरएलसी सर्किट के वैकल्पिक वर्तमान स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) के नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) (गणना) को अंतर समीकरण को हल करने के अतिरिक्त फेजर डोमेन में सरल बीजगणितीय समीकरण (यद्यपि जटिल गुणांक के साथ) को हल करके (वास्तविक के साथ) की अनुमति देता है। संख्या गुणांक समय डोमेन मे चरण परिवर्तन के प्रवर्तक 19वीं शताब्दी के अंत में सामान्य विद्युतीय में काम कर रहे चार्ल्स प्रोटियस स्टेनमेट्ज़ थे।

कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को लाप्लास रूपांतरण के विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसके अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए। चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।

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अंजीर 2. जब फलन $A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}$ जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता हैπ/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है t = 0 (और कम से t = n 2π/ω के सभी पूर्णांक मानों के लिए n).

संकेतन

See also: वेक्टर अंकन

फेजर संकेतन (एंगल संकेतन के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग और विद्युत अभियन्त्रण में प्रयोग होने वाला गणितीय संकेतन है। $1\angle \theta$ यूक्लिडियन वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है $(\cos \theta ,\,\sin \theta )$ या जटिल संख्या $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$, साथ $i^{2}=-1$, दोनों में 1 का परिमाण (गणित) है। सदिश जिसका ध्रुवीय निर्देशांक जटिल संख्याएं परिमाण हैं $A$ और कोण $\theta$ लिखा है $A\angle \theta .$

कोण को डिग्री (कोण) में डिग्री से कांति में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए $1\angle 90$ माना जाएगा $1\angle 90^{\circ },$ जो वेक्टर है $(0,\,1)$ या संख्या $e^{i\pi /2}=i.$

परिभाषा

निरंतर आयाम, आवृत्ति और चरण के साथ वास्तविक मूल्यवान साइनसॉइड का रूप है:

$A\cos(\omega t+\theta ),$

जहां केवल पैरामीटर $t$ समय-भिन्न है। काल्पनिक भाग का समावेश:

$i\cdot A\sin(\omega t+\theta )$

यूलर के सूत्र के अनुसार, लेड पैराग्राफ में वर्णित फैक्टरिंग संपत्ति देता है:

$A\cos(\omega t+\theta )+i\cdot A\sin(\omega t+\theta )=Ae^{i(\omega t+\theta )}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t},$

जिसका वास्तविक भाग मूल साइनसॉइड है। जटिल प्रतिनिधित्व का लाभ यह है कि अन्य जटिल प्रस्तुतियों के साथ रैखिक संचालन जटिल परिणाम उत्पन्न करता है जिसका वास्तविक भाग अन्य जटिल साइनसॉइड के वास्तविक भागों के साथ समान रैखिक संचालन को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त , सभी गणित सिर्फ चरणों के साथ किया जा सकता है $Ae^{i\theta },$ और सामान्य कारक $e^{i\omega t}$ परिणाम के वास्तविक भाग से पहले पुन: सम्मिलित किया जाता है।

कार्यक्रम $Ae^{i(\omega t+\theta )}$ का विश्लेषणात्मक निरूपण कहा जाता है $A\cos(\omega t+\theta ).$ चित्र 2 इसे जटिल तल में घूमते हुए सदिश के रूप में दर्शाता है। कभी-कभी संपूर्ण कार्य को चरण के रूप में संदर्भित करना सुविधाजनक होता है, जैसा कि हम अगले भाग में करते हैं। लेकिन फेजर शब्द का अर्थ सामान्यतः पर केवल स्थिर जटिल संख्या होता है $Ae^{i\theta }.$

अंकगणित

See also: सम्मिश्र संख्या संबंध और संचालन

स्थिर (अदिश) द्वारा गुणा

चरण का गुणन $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ जटिल स्थिरांक द्वारा,