प्रचुर संख्या

भोजनालय की छड़ों के साथ, संख्या 12 की प्रचुरता का प्रदर्शन

संख्या सिद्धांत में, प्रचुर संख्या या अत्यधिक संख्या एक संख्या होती है जिसके लिए इसके उचित विभाजक का योग संख्या से अधिक होता है। पूर्णांक 12 प्रथम प्रचुर संख्या है। कुल 16 के लिए इसके उचित भाजक 1, 2, 3, 4 और 6 हैं। जिस राशि से योग संख्या से अधिक है वह बहुतायत है। उदाहरण के लिए, संख्या 12 में 4 की बहुतायत है।

परिभाषा

संख्या n जिसके लिए भाजकों का योग σ(n) > 2n, या, समकक्ष, उचित विभाजकों का योग (या विभाज्य योग) s(n) > n' है।

बहुतायत σ(n) - 2n (या s(n) - n) मान है।

उदाहरण

प्रथम 28 प्रचुर संख्याएँ हैं:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108 , 112, 114, 120, ... (sequence A005101 in the OEIS).

उदाहरण के लिए, 24 के उचित विभाजक 1, 2, 3, 4, 6, 8, और 12 हैं। जिनका योग 36 है, क्योंकि 36 24 से अधिक है, संख्या 24 प्रचुर मात्रा में है। इसकी बहुतायत 36 − 24 = 12 है।

गुण

• सबसे अल्प विषम प्रचुर संख्या 945 है।
• सबसे अल्प प्रचुर संख्या जो 2 या 3 से विभाज्य नहीं है, 5391411025 है जिसके विशिष्ट प्रमुख कारक 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं (sequence A047802 in the OEIS). 2005 में इयानुची द्वारा दिए गए एल्गोरिदम दिखाता है, कि कैसे सबसे अल्प प्रचुर मात्रा में संख्या की जानकरी प्राप्त करें, जो प्रथम k अभाज्य संख्या से विभाज्य न हो। । यदि $A(k)$ सबसे अल्प प्रचुर मात्रा में संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो प्रथम के अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है तत्पश्चात सभी के लिए $\epsilon >0$ हमारे निकट है।

$(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }$

पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए है।

• पूर्ण संख्या का प्रत्येक गुणक (स्वयं पूर्ण संख्या को त्यागकर) प्रचुर मात्रा में होता है। उदाहरण के लिए, 6 से अधिक 6 का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में है क्योंकि $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.$ है।
• प्रचुर संख्या का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में होता है। उदाहरण के लिए, 20 का प्रत्येक गुणक (स्वयं 20 सहित) प्रचुर मात्रा में है क्योंकि ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$ है।
• फलस्वरूप, अपरिमित रूप से अनेक सम और विषम संख्याएँ प्रचुर संख्याएँ विद्यमान हैं।

• इसके अतिरिक्त, प्रचुर मात्रा में संख्याओं के सेट में गैर-शून्य प्राकृतिक घनत्व होता है। मार्क डेलिग्लिस ने 1998 में दिखाया कि प्रचुर संख्या और पूर्ण संख्या के सेट का प्राकृतिक घनत्व 0.2474 और 0.2480 के मध्य है।

• प्रचुर संख्या जो एक प्रचुर संख्या या पूर्ण संख्या का गुणक नहीं है (अर्थात इसके सभी उचित विभाजक कम हैं) आदिम प्रचुर संख्या कहलाती है।
• बहुतायत संख्या जिसकी बहुतायत किसी भी कम संख्या से अधिक है, अत्यधिक प्रचुर संख्या कहलाती है, और जिसकी सापेक्ष बहुतायत (अर्थात s(n)/n ) किसी भी कम संख्या से अधिक होती है, उसे अतिप्रचुर संख्या कहा जाता है।
• 20161 से बड़े प्रत्येक पूर्णांक को दो प्रचुर संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
• प्रचुर संख्या जो अर्धपूर्ण संख्या नहीं है, एक विचित्र संख्या कहलाती है। प्रचुर मात्रा में 1 के साथ प्रचुर संख्या को अर्धपूर्ण संख्या कहा जाता है, चूंकि अभी तक कोई भी नहीं मिला है।
• प्रत्येक प्रचुर संख्या या तो पूर्ण संख्या या आदिम प्रचुर संख्या का गुणक है।

संबंधित अवधारणाएं

Euler diagram of abundant, primitive abundant, highly abundant, superabundant, colossally abundant, highly composite, superior highly composite, weird and perfect numbers under 100 in relation to deficient and composite numbers

वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या के समान होता है (जैसे 6 और 28) पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं, जबकि वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या से कम होता है, अपूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। निकोमाचस ने स्वयं अंकगणित के परिचय (लगभग 100 ईस्वी) में संख्याओं का प्रथम समान ज्ञात वर्गीकरण कम, पूर्ण या प्रचुर मात्रा में किया गया था, जिसमें अत्यधिक अंगों वाले विकृत जानवरों के जैसे प्रचुर संख्या का वर्णन किया गया था।

n का 'बहुतायत सूचकांक' σ(n)/n का अनुपात है। भिन्न संख्याएँ n₁, n₂, ... (चाहे प्रचुर मात्रा में हो या नहीं) बहुतायत सूचकांक के साथ अनुकूल संख्याएं कहलाती हैं।

कम से कम संख्या n का अनुक्रम (a_k) ऐसा है, कि जैसे σ(n) > kn, जिसमें a₂ = 12 प्रथम प्रचुर संख्या से मेल खाता है, अत्यधिक तीव्रता से बढ़ता है (sequence A134716 in the OEIS)।

बहुतायत सूचकांक 3 से अधिक के साथ सबसे अल्प विषम पूर्णांक 1018976683725 = 3³ × 5² × 7² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 है।

यदि p = (p₁, ..., p_n) अभाज्य संख्याओं की सूची है, तो 'p' को प्रचुर मात्रा में कहा जाता है, यदि 'p' में केवल संख्याओं से बना कोई पूर्णांक प्रचुर मात्रा में हो। इसके लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि p_i/(p_i − 1) का गुणनफल > 2 हो।

संदर्भ

• Tattersall, James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl 1071.11002.

बाहरी संबंध

• The Prime Glossary: Abundant number
• Weisstein, Eric W. "Abundant Number". MathWorld.
• Abundant number at PlanetMath.