पडोवन अनुक्रम

संख्या सिद्धांत में, पडोवन अनुक्रम प्रारंभिक मानों द्वारा परिभाषित पूर्णांक P(n) का अनुक्रम है|

$P(0)=P(1)=P(2)=1,$

और पुनरावृत्ति संबंध

$P(n)=P(n-2)+P(n-3).$

P(n) के पहले कुछ मान हैं

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (sequence A000931 in the OEIS)

पाडोवन अभाज्य पाडोवन संख्या है जो कि यह अभाज्य संख्या है। प्रथम पदोवन अभाज्य हैं:

2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, 13091204281, 3093215881333057, 13630055524346660782174212846212799336271027808810533584 73, 1558877695141608507751098941899265975115403618621811951868598809164180630185566719, ... (sequence A100891 in the OEIS).

File:Padovan triangles (1).svg

भुजाओं की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुजों का सर्पिल जो पडोवन अनुक्रम का अनुसरण करता है।

पाडोवन अनुक्रम का नाम रिवेरिएबल पदोवन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने 1994 के निबंध डोम में इसकी खोज का श्रेय नीदरलैंड के वास्तुकार हंस वान डेर लान को दिया था। हंस वैन डेर लान: आधुनिक आदिम में से हैं । तथा इस अनुक्रम का वर्णन इयान स्टीवर्ट (गणितज्ञ) ने जून 1996 में अपने वैज्ञानिक अमेरिकी कॉलम गणितीय सत्कार में किया था। उन्होंने इसके बारे में अपनी किताब, मैथ हिस्टीरिया: फन गेम्स विद मैथमेटिक्स में भी लिखा गया है।

इसके उपरोक्त परिभाषा इयान स्टीवर्ट और मैथवर्ल्ड द्वारा दी गई है। इस प्रकार अन्य स्रोत किसी भिन्न स्थान पर अनुक्रम प्रारंभ कर सकते हैं, ऐसी स्थिति में इस आलेख में कुछ पहचानों को उचित ऑफसेट के साथ समायोजित किया जाना चाहिए।

पुनरावृत्ति संबंध

सर्पिल में, प्रत्येक त्रिभुज दो अन्य के साथ भुजा साझा करता है जो इसका दृश्य प्रमाण देता है पडोवन अनुक्रम पुनरावृत्ति संबंध को भी संतुष्ट किया करता है

$P(n)=P(n-1)+P(n-5)$

इससे प्रारंभ करके परिभाषित पुनरावृत्ति और अन्य पुनरावृत्तियों की खोज की जाती है, कोई बार-बार $P(m)$ को $P(m-2)+P(m-3)$ से प्रतिस्थापित करके अनंत संख्या में पुनरावृत्तियां बना सकता है।

पेरिन स्यूडोप्राइम पाडोवन अनुक्रम के समान पुनरावृत्ति संबंधों को संतुष्ट करता है चूंकि इसमें अलग-अलग प्रारंभिक मान होता हैं।

पेरिन अनुक्रम को पडोवन अनुक्रम से प्राप्त किया जा सकता है

निम्नलिखित सूत्र:

$\mathrm {Perrin} (n)=P(n+1)+P(n-10).\,$

ऋणात्मक मापदंडों का विस्तार

पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किसी भी अनुक्रम की तरह, m<0 के लिए पाडोवन संख्या P(m) को पुनरावृत्ति संबंध को फिर से लिखकर परिभाषित किया जा सकता है

$P(m)=P(m+3)-P(m+1),$

m = −1 से प्रारंभ करके और पीछे की ओर काम करते हुए, हम P(m) को नकारात्मक सूचकांक तक बढ़ाते हैं:

P−20

P−19

P−18

P−17

P−16

P−15

P−14

P−13

P−12

P−11

P−10

P−9

P−8

P−7

P−6

P−5

P−4

P−3

P−2

P−1

P0

P1

P2

7

−7

4

0

−3

4

−3

1

1

−2

2

−1

0

1

−1

1

0

0

1

0

1

1

1

शब्दों का योग

पदोवन अनुक्रम में पहले n पदों का योग P(n+5) से 2 कम है अर्थात।

$\sum _{m=0}^{n}P(m)=P(n+5)-2.$

वैकल्पिक पदों का योग प्रत्येक तीसरे पद का योग और प्रत्येक पांचवें पद का योग भी अनुक्रम के अन्य पदों से संबंधित हैं:

$\underset{m=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}P(2m)=P$