द्विघात पूर्णांक

संख्या सिद्धांत में, द्विघात पूर्णांक द्विघात क्षेत्रों के लिए सामान्य पूर्णांकों का एक सामान्यीकरण है। द्विघात पूर्णांक डिग्री दो के बीजगणितीय पूर्णांक होते हैं, अर्थात, फॉर्म के समीकरणों के समाधान

x 2 + bx + c = 0

साथ $b$ और $c$ (सामान्य) पूर्णांक। जब बीजगणितीय पूर्णांकों पर विचार किया जाता है, तो सामान्य पूर्णांकों को प्रायः परिमेय पूर्णांक कहा जाता है।

द्विघात पूर्णांकों के सामान्य उदाहरण तर्कसंगत पूर्णांकों के वर्गमूल हैं, जैसे $\sqrt 2$ , और सम्मिश्र संख्या $i = \sqrt -1$ , जो गाऊसी पूर्णांक उत्पन्न करता है। एक अन्य सामान्य उदाहरण एकता की गैर-वास्तविक संख्या घनमूल है $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}−1 + √−3/2$ , जो आइज़ेंस्टीन पूर्णांक उत्पन्न करता है।

द्विघात पूर्णांक कई डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान में होते हैं, जैसे कि पेल के समीकरण, और अभिन्न द्विघात रूपों से संबंधित अन्य प्रश्न। द्विघात पूर्णांकों के वलयों का अध्ययन बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के कई प्रश्नों के लिए बुनियादी है।

इतिहास

मध्यकालीन भारतीय गणित ने उसी के द्विघात पूर्णांकों के गुणन की खोज पहले ही कर ली थी $D$ , जिसने उन्हें पेल के समीकरण के कुछ संदर्भ को हल करने की अनुमति दी।

परिभाषा

एक द्विघात पूर्णांक डिग्री दो का एक बीजगणितीय पूर्णांक है। अधिक स्पष्ट रूप से, यह एक जटिल संख्या है $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}$ , जो फॉर्म के समीकरण को हल करता है $x 2 + bx + c = 0$ , b और c पूर्णांकों के साथ। प्रत्येक द्विघात पूर्णांक जो पूर्णांक नहीं है, परिमेय संख्या नहीं है—अर्थात्, यह एक वास्तविक अपरिमेय संख्या है यदि $b 2 - 4 c > 0$ और गैर वास्तविक यदि $b 2 - 4 c < 0$ -और एक विशिष्ट रूप से निर्धारित द्विघात क्षेत्र में स्थित है $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ , का विस्तार $\mathbb {Q}$ अद्वितीय वर्ग-मुक्त पूर्णांक के वर्गमूल के माध्यम से उत्पन्न $D$ जो संतुष्ट करता है $b 2 - 4 c = De 2$ कुछ पूर्णांक के लिए $e$ . यदि $D$ धनात्मक है, द्विघात पूर्णांक वास्तविक है। यदि $D < 0$ , यह काल्पनिक है (अर्थात, जटिल और अवास्तविक)।

द्विघात पूर्णांक (साधारण पूर्णांक सहित) जो द्विघात क्षेत्र से संबंधित हैं $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ एक पूर्णांकीय प्रांत बनाते हैं जिसे पूर्णांकों का वलय कहा जाता है $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$

यद्यपि किसी दिए गए द्विघात क्षेत्र से संबंधित द्विघात पूर्णांक एक वलय (गणित) बनाते हैं, सभी द्विघात पूर्णांकों का समुच्चय एक वलय नहीं है क्योंकि यह जोड़ या गुणन के तहत बंद नहीं होता है। उदाहरण के लिए, $1+{\sqrt {2}}$ और ${\sqrt {3}}$ द्विघात पूर्णांक हैं, किन्तु $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ और $(1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}$ नहीं हैं, क्योंकि उनके न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) में बहुपद चार की डिग्री है।

स्पष्ट प्रतिनिधित्व

यहाँ और निम्नलिखित में, जिन द्विघात पूर्णांकों को द्विघात क्षेत्र से संबंधित माना जाता है $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),$ यहाँ $D$ वर्ग रहित पूर्णांक है। यह समानता के रूप में सामान्यता को प्रतिबंधित नहीं करता है $\sqrt a 2 D = a \sqrt D$ (किसी भी धनात्मक पूर्णांक के लिए $a$ ) तात्पर्य $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).$

तत्व $x$ का $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ एक द्विघात पूर्णांक है यदि और एकमात्र यदि दो पूर्णांक हैं $a$ और $b$ ऐसा भी

x=a+b{\sqrt {D}},

या यदि

D - 1

का गुणज है

4

x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},

साथ

a

और

b

दोनों समता (गणित)

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक द्विघात पूर्णांक लिखा जा सकता है $a + ωb$ , कहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, और यहाँ $ω$ के माध्यम से परिभाषित किया गया है

\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}

(जैसा $D$ स्थितियों को वर्ग-मुक्त माना गया है $D\equiv 0{\pmod {4}}$ असंभव है, क्योंकि इसका अर्थ यही होगा $D$ वर्ग संख्या 4 से विभाज्य है)।^[1]

नॉर्म और संयुग्मन

में एक द्विघात पूर्णांक $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ लिखा जा सकता है

a + b \sqrt D

,

यहाँ $a$ और $b$ या तो दोनों पूर्णांक हैं, या एकमात्र यदि हैं $D \equiv 1 (mod 4)$ , दोनों आधा पूर्णांक है। ऐसे द्विघात पूर्णांक का मानदंड है

N (a + b \sqrt D) = a 2 - Db 2

.

द्विघात पूर्णांक का मानदंड हमेशा एक पूर्णांक होता है। यदि $D < 0$ , द्विघात पूर्णांक का मानदंड एक सम्मिश्र संख्या के रूप में इसके निरपेक्ष मान का वर्ग है (यह गलत है यदि $D > 0$ ). मानदंड एक पूरी तरह से गुणात्मक कार्य है, जिसका अर्थ है कि द्विघात पूर्णांकों के गुणनफल का मान हमेशा उनके मानदंडों का गुणनफल होता है।

प्रत्येक द्विघात पूर्णांक $a + b \sqrt D$ का एक संयुग्म है

{\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.

एक द्विघात पूर्णांक का मानदंड उसके संयुग्म के समान होता है, और यह मानदंड द्विघात पूर्णांक और उसके संयुग्म का गुणनफल होता है। योग का संयुग्म या द्विघात पूर्णांकों का गुणनफल संयुग्मों का योग या गुणनफल (क्रमशः) होता है। इसका तात्पर्य यह है कि संयुग्मन के पूर्णांकों की रिंग का एक ऑटमॉर्फिज़म है $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ -देखना § द्विघात पूर्णांक के छल्ले, नीचे।

द्विघात पूर्णांक छल्ले

प्रत्येक वर्ग-मुक्त पूर्णांक (0 और 1 से भिन्न) $D$ एक द्विघात पूर्णांक वलय को परिभाषित करता है, जो कि अभिन्न डोमेन है जिसमें बीजगणितीय पूर्णांक सम्मलित हैं $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ यह सेट है $Z [ω] = {a + ωb : a, b \in Z},$ यहाँ $\omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ यदि $D = 4 k + 1$ , और $ω = \sqrt D$ अन्यथा। इसे प्रायः निरूपित किया जाता है ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ , क्योंकि यह के पूर्णांकों का वलय है $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ , जो का अभिन्न समापन है $Z$ में $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ रिंग $Z [ω]$ सभी समीकरणों के बहुपद के सभी मूल होते हैं $x 2 + Bx + C = 0$ जिसका भेद करनेवाला $B 2 - 4 C$ का उत्पाद है $D$ एक पूर्णांक के वर्ग के माध्यम से। विशेष रूप से √D से संबंधित $Z [ω]$ , समीकरण की जड़ होने के नाते $x 2 - D = 0$ , जो है $4 D$ इसके विवेचक के रूप में।

किसी भी पूर्णांक का वर्गमूल एक द्विघात पूर्णांक होता है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को लिखा जा सकता है $n = m 2 D$ , यहाँ $D$ एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक है, और इसका वर्गमूल एक मूल है $x 2 - m 2 D = 0$ .

द्विघात पूर्णांकों के कई वलयों में अंकगणित का मौलिक प्रमेय सही नहीं है। चूंकि, आदर्श (रिंग थ्योरी) के लिए एक अनूठा गुणनखंड है, जो इस तथ्य से व्यक्त किया गया है कि बीजगणितीय पूर्णांकों का प्रत्येक वलय एक डेडेकिंड डोमेन है। बीजगणितीय पूर्णांकों का सबसे सरल उदाहरण होने के नाते, द्विघात पूर्णांक सामान्यतः बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के अधिकांश अध्ययनों के प्रारंभिक उदाहरण हैं।^[2]

द्विघात पूर्णांक वलय चिह्न के आधार पर दो वर्गों में विभाजित होते हैं $D$ . यदि $D > 0$ , के सभी तत्व ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ वास्तविक हैं, और वलय एक वास्तविक द्विघात पूर्णांक वलय है। यदि $D < 0$ , के एकमात्र वास्तविक तत्व ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ साधारण पूर्णांक हैं, और वलय एक जटिल द्विघात पूर्णांक वलय है।

वास्तविक द्विघात पूर्णांक वलयों के लिए, वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत)-जो अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता को मापता है- OEIS A003649 में दिया गया है; काल्पनिक स्थितियों के लिए, वे OEIS A000924 में दिए गए हैं।

इकाइयां

एक द्विघात पूर्णांक एक इकाई (रिंग थ्योरी) है जो पूर्णांकों के वलय में होती है $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ यदि और एकमात्र यदि इसका आदर्श है $1$ या $-1$ . पहली स्थिति में इसका गुणनात्मक प्रतिलोम इसका संयुग्म है। यह दूसरी स्थिति में इसके संयुग्मी का योज्य प्रतिलोम है।

यदि $D < 0$ , के पूर्णांकों की रिंग $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ अधिकतम छह इकाइयां हैं। गॉसियन पूर्णांकों के स्थितियों में ( $D = -1$ ), चार इकाइयां हैं $1, -1, \sqrt -1, - \sqrt -1$ . आइज़ेंस्टीन पूर्णांकों के स्थितियों में ( $D = -3$ ), छह इकाइयां हैं $\pm1, \pm1 \pm \sqrt -3 / 2$ . अन्य सभी नकारात्मक के लिए $D$ , एकमात्र दो इकाइयाँ हैं, जो $1$ और $-1$ हैं ।

यदि $D > 0$ , के पूर्णांकों की रिंग $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ के बराबर अपरिमित रूप से अनेक इकाइयाँ हैं $\pm u i$ , कहाँ $i$ एक मनमाना पूर्णांक है, और $u$ एक विशेष इकाई है जिसे मौलिक इकाई (संख्या सिद्धांत) कहा जाता है। एक मौलिक इकाई दी $u$ , तीन अन्य मौलिक इकाइयाँ हैं, इसकी संयुग्मी ${\overline {u}},$ और भी $-u$ और $-{\overline {u}}.$ सामान्यतः, मौलिक इकाई को अद्वितीय कहा जाता है जिसका निरपेक्ष मान 1 से अधिक (वास्तविक संख्या के रूप में) होता है। यह अद्वितीय मौलिक इकाई है जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है $a + b \sqrt D$ , साथ $a$ और $b$ धनात्मक (पूर्णांक या पूर्णांक का आधा)।

10 सबसे छोटे धनात्मक वर्ग मुक्त के लिए मूलभूत इकाइयाँ $D$ हैं $1 + \sqrt 2$ , $2 + \sqrt 3$ , $1 + \sqrt 5 / 2$ (अनुपात), $5 + 2 \sqrt 6$ , $8 + 3 \sqrt 7$ , $3 + \sqrt 10$ , $10 + 3 \sqrt 11$ , $3 + \sqrt 13 / 2$ , $15 + 4 \sqrt 14$ , $4 + \sqrt 15$ . बड़े के लिए $D$ , मौलिक इकाई के गुणांक बहुत बड़े हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, के लिए $D = 19, 31, 43$ , मूलभूत इकाइयाँ क्रमशः हैं

 $170 + 39 \sqrt 19$ ,  $1520 + 273 \sqrt 31$  और  $3482 + 531 \sqrt 43$ .

जटिल द्विघात पूर्णांक छल्ले के उदाहरण

गॉसियन पूर्णांक

ईसेनस्टीन प्राइम्स

के लिए $D$ < 0, $ω$ एक जटिल (काल्पनिक संख्या या अन्यथा अवास्तविक) संख्या है। इसलिए, द्विघात पूर्णांक वलय को बीजगणितीय जटिल संख्याओं के समुच्चय के रूप में मानना स्वाभाविक है।

एक उत्कृष्ट उदाहरण है $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]$ , गॉसियन पूर्णांक, जिसे कार्ल गॉस ने 1800 के आसपास अपने द्विवर्गीय पारस्परिकता कानून को बताने के लिए समक्ष किया था।^[3]
में तत्व ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]$ आइज़ेंस्टीन पूर्णांक कहलाते हैं।

ऊपर बताए गए दोनों वलय चक्रीय क्षेत्र Q(ζ ₄) और क्यू(ζ ₃) तदनुसार:

इसके विपरीत, जेड [√−3] एक डेडेकाइंड डोमेन भी नहीं है।

उपरोक्त दोनों उदाहरण प्रमुख आदर्श वलय हैं और मानदंड के लिए यूक्लिडियन डोमेन भी हैं। स्थितियों के लिए ऐसा नहीं है

{\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],

जो कि एक अद्वितीय गुणनखण्ड डोमेन भी नहीं है। इसे इस प्रकार दिखाया जा सकता है।

में ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},$ अपने पास

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).

कारक 3, $2+{\sqrt {-5}}$ और $2-{\sqrt {-5}}$ अप्रासंगिक तत्व हैं, क्योंकि उनके पास 9 के सभी मानदंड हैं, और यदि वे अलघुकरणीय नहीं थे, तो उनके पास मानक 3 का एक कारक होगा, जो असंभव है, एक तत्व का मानदंड अलग है $\pm1$ कम से कम 4 होना। इस प्रकार 9 का अप्रासंगिक कारकों में गुणनखंड अद्वितीय नहीं है।

आदर्श (रिंग थ्योरी) $\langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle$ और $\langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle$ प्रमुख आदर्श नहीं हैं, क्योंकि एक साधारण संगणना से पता चलता है कि उनका उत्पाद 3 से उत्पन्न आदर्श है, और, यदि वे मूलधन थे, तो इसका अर्थ यह होगा कि 3 अप्रासंगिक नहीं होगा।

वास्तविक द्विघात पूर्णांक छल्ले के उदाहरण

सुनहरे अनुपात की शक्तियाँ

के लिए $D > 0$ , $ω$ एक धनात्मक अपरिमेय वास्तविक संख्या है, और संगत द्विघात पूर्णांक वलय बीजगणितीय वास्तविक संख्याओं का एक समूह है। पेल के समीकरण के समाधान $X 2 - DY 2 = 1$ , एक डायोफैंटाइन समीकरण जिसका व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है, इन छल्लों की इकाई (रिंग थ्योरी) हैं $D \equiv 2, 3 (mod 4)$ .

के लिए $D = 5$ , $ω = 1+ \sqrt 5 / 2$ सुनहरा अनुपात है। इस रिंग का अध्ययन पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने किया था। इसकी इकाइयों का रूप है $\pm ω n$ , कहाँ $n$ एक मनमाना पूर्णांक है। यह वलय यूक्लिडियन तल पर 5-गुना घूर्णी समरूपता का अध्ययन करने से भी उत्पन्न होता है, उदाहरण के लिए, पेनरोज़ टाइलिंग है।^[4]
भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने पेल के समीकरण का उपचार किया $X 2 - 61 Y 2 = 1$ , रिंग के अनुरूप है $Z [\sqrt 61]$ . कुछ परिणाम 1657 में पियरे फर्मेट के माध्यम से यूरोपीय समुदाय को प्रस्तुत किए गए थे।

द्विघात पूर्णांकों के प्रधान वलय

द्विघात पूर्णांकों के वलयों के लिए अद्वितीय गुणनखंडन गुण को हमेशा सत्यापित नहीं किया जाता है, जैसा कि ऊपर के स्थितियों में देखा गया है $Z [\sqrt -5]$ . चूंकि, प्रत्येक डेडेकाइंड डोमेन के लिए, द्विघात पूर्णांकों की एक रिंग एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है यदि और एकमात्र यदि यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है। यह तब होता है जब और एकमात्र यदि संबंधित द्विघात क्षेत्र का आदर्श वर्ग समूह एक होता है।

द्विघात पूर्णांकों के काल्पनिक वलय जो प्रमुख आदर्श वलय हैं, पूरी तरह से निर्धारित किए गए हैं। ये ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ के लिए

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163

.

यह परिणाम पहले गॉस के माध्यम से अनुमान लगाया गया था और कर्ट हेगनर के माध्यम से गणितीय प्रमाण, चूंकि हेगनेर के प्रमाण पर तब तक विश्वास नहीं किया गया था जब तक हेरोल्ड स्टार्क ने 1967 में एक बाद का प्रमाण नहीं दिया था (देखें स्टार्क-हेगनेर प्रमेय।) यह प्रसिद्ध वर्ग संख्या समस्या का एक विशेष प्रयोजन है।

कई ज्ञात धनात्मक पूर्णांक हैं $D > 0$ , जिसके लिए द्विघात पूर्णांकों का वलय एक प्रमुख आदर्श वलय है। चूंकि, पूरी सूची ज्ञात नहीं है; यह भी ज्ञात नहीं है कि इन प्रमुख आदर्श वलयों की संख्या परिमित है या नहीं।

द्विघात पूर्णांकों के यूक्लिडियन वलय

जब द्विघात पूर्णांकों का एक वलय एक प्रमुख आदर्श प्रांत है, तो यह जानना दिलचस्प है कि क्या यह एक यूक्लिडियन डोमेन है। इस समस्या को पूरी तरह से हल किया गया है।

आदर्श से लैस

$N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|$ यूक्लिडियन समारोह के रूप में,

${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ नकारात्मक के लिए यूक्लिडियन डोमेन है $D$ जब

D = -1, -2, -3, -7, -11

,^[5] और, धनात्मक के लिए

D

, कब

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

(sequence A048981 in the OEIS).

यूक्लिडियन फ़ंक्शन के रूप में आदर्श के साथ यूक्लिडियन द्विघात पूर्णांक का कोई अन्य वलय नहीं है।^[6]

नकारात्मक के लिए $D$ , द्विघात पूर्णांकों का एक वलय यूक्लिडियन है यदि और एकमात्र यदि मानक इसके लिए एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन है। यह इस प्रकार है, के लिए

D = -19, -43, -67, -163

,

द्विघात पूर्णांकों के चार संगत वलय प्रमुख आदर्श डोमेन के दुर्लभ ज्ञात उदाहरणों में से हैं जो यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं।

दूसरी ओर, सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य है कि वास्तविक द्विघात पूर्णांकों का एक वलय जो कि एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, कुछ यूक्लिडियन फ़ंक्शन के लिए एक यूक्लिडियन डोमेन भी है, जो वास्तव में सामान्य मानदंड से भिन्न हो सकता है।^[7]

मान D = 14, 69 पहले थे जिनके लिए द्विघात पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन सिद्ध हुआ था, किन्तु नॉर्म-यूक्लिडियन नहीं।^[8]^[9]

↑ "Why is quadratic integer ring defined in that way?". math.stackexchange.com. Retrieved 2016-12-31.
↑ M. Artin, Algebra (2nd ed) Ch 13
↑ Dummit, pg. 229
↑ de Bruijn, N. G. (1981), "Algebraic theory of Penrose's non-periodic tilings of the plane, I, II" (PDF), Indagationes Mathematicae, 43 (1): 39–66
↑ Dummit, pg. 272
↑ LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. pp. II:57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.
↑ P. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers. In: Analytic Number Theory (St. Louis, 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.
↑ M. Harper, $\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ is Euclidean. Can. J. Math. 56(2004), 55–70.
↑ David A. Clark, A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean, Manuscripta Mathematica, 83(1994), 327–330 [1] Archived 2015-01-29 at the Wayback Machine

संदर्भ

Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematics. Translated by Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR 1290116.
Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg. Retrieved 5. August 2009
Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.
Artin, M, Algebra, 2nd ed., Ch 13.

अग्रिम पठन

J.S. Milne. Algebraic Number Theory, Version 3.01, September 28, 2008. online lecture notes

[1] "Why is quadratic integer ring defined in that way?". math.stackexchange.com. Retrieved 2016-12-31.

[2] M. Artin, Algebra (2nd ed) Ch 13

[3] Dummit, pg. 229

[4] Bruijn, N. G. (1981), "Algebraic theory of Penrose's non-periodic tilings of the plane, I, II" (PDF), Indagationes Mathematicae, 43 (1): 39–66

[5] Dummit, pg. 272

[6] LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. pp. II:57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

[7] P. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers. In: Analytic Number Theory (St. Louis, 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.

[8] M. Harper, $\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ is Euclidean. Can. J. Math. 56(2004), 55–70.

[9] David A. Clark, A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean, Manuscripta Mathematica, 83(1994), 327–330 [1] Archived 2015-01-29 at the Wayback Machine

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