टेन्सर क्षेत्र

Not to be confused with क्षेत्रों का टेन्सर उत्पाद.

गणित और भौतिकी में, टेन्सर क्षेत्र गणितीय स्थान के प्रत्येक बिंदु (सामान्यतः यूक्लिडियन स्थान या कई गुना) के लिए टेन्सर प्रदान करता है। टेंसर क्षेत्र का उपयोग अंतर ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति, सामान्य सापेक्षता, पदार्थ में तनाव (भौतिकी) और तनाव टेंसर के विश्लेषण में और भौतिक विज्ञान में कई अनुप्रयोगों में किया जाता है। टेन्सर अदिश (भौतिकी) (शुद्ध संख्या जो मान का प्रतिनिधित्व करती है, उदाहरण के लिए गति) और यूक्लिडियन सदिश (शुद्ध संख्या और दिशा, वेग की तरह) का सामान्यीकरण है, टेन्सर क्षेत्र एक अदिश क्षेत्र का सामान्यीकरण है जो स्थान के प्रत्येक बिंदु के लिए क्रमशः एक अदिश या सदिश निर्दिष्ट करता है। यदि एक टेंसर A को मॉड्यूल M पर X(M) समुच्चय सदिश क्षेत्र पर परिभाषित किया गया है, तो हम A को M पर टेंसर क्षेत्र कहते हैं।

टेंसर कहलाने वाली कई गणितीय संरचनाएं भी टेंसर क्षेत्र हैं। उदाहरण के लिए, रीमैन वक्रता टेन्सर टेंसर क्षेत्र है क्योंकि यह टेंसर को रीमैनियन कई गुना के प्रत्येक बिंदु से जोड़ता है, जो स्थलीय स्थान है।

ज्यामितीय परिचय

सहज रूप से, सदिश क्षेत्र को क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु से जुड़े तीर के रूप में देखा जाता है, जिसमें चर लंबाई और दिशा होती है। घुमावदार स्थान पर सदिश क्षेत्र का उदाहरण मौसम मानचित्र है जो पृथ्वी की सतह के प्रत्येक बिंदु पर क्षैतिज पवन वेग दिखाता है।

अब और अधिक जटिल क्षेत्रों पर विचार करें। उदाहरण के लिए, यदि मैनिफोल्ड रीमैनियन है, तो उसके पास मीट्रिक क्षेत्र $g$ है, जैसे कोई भी दो सदिश $v,w$ बिंदु पर $x$ दिए गए हैं, उनका आंतरिक उत्पाद $g_{x}(v,w)$ है। क्षेत्र $g$ आव्यूह रूप में दिया जा सकता है, किन्तु यह निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करता है। इसके अतिरिक्त इसे प्रत्येक बिंदु पर त्रिज्या 1 के दीर्घवृत्त के रूप में दिया जा सकता है, जो कि समन्वय-मुक्त है। पृथ्वी की सतह पर प्रायुक्त, यह तंतु का सूचक है।

सामान्यतः, हम टेंसर क्षेत्र्स को समन्वय-स्वतंत्र विधियों से निर्दिष्ट करना चाहते हैं: यह अक्षांश और देशांतर से स्वतंत्र रूप से उपस्थित होना चाहिए, या जो भी विशेष कार्टोग्राफिक प्रक्षेपण हम संख्यात्मक निर्देशांक प्रस्तुत करने के लिए उपयोग कर रहे हैं।

समन्वय संक्रमण के माध्यम से

स्काउटन (1951) और मैककोनेल (1957) के बाद, टेन्सर की अवधारणा एक संदर्भ फ्रेम (या समन्वय प्रणाली) की अवधारणा पर निर्भर करती है, जिसे तय किया जा सकता है (कुछ पृष्ठभूमि संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष), किन्तु सामान्यतः इसकी अनुमति दी जा सकती है इन समन्वय प्रणालियों के परिवर्तनों के कुछ वर्ग के अन्दर भिन्न होते हैं।

उदाहरण के लिए, एन-आयामी वास्तविक समन्वय स्थान से संबंधित निर्देशांक $\mathbb {R} ^{n}$ स्वैच्छिक विधि से परिवर्तन के अधीन हो सकते हैं:

$x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}$

(एन-आयामी सूचकांकों के साथ, आइंस्टीन योग सम्मेलन)। सहसंयोजक सदिश, या कोसदिश, फलनों $v_{k}$ की प्रणाली है जो नियम से इस सजातीय परिवर्तन के अंतर्गत रूपांतरित होता है

$v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.$

कार्तीय निर्देशांक आधार सदिशों की सूची $\mathbf {e} _{k}$ सजातीय परिवर्तन के तहत, कोसदिश $\mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}$ के रूप में रूपांतरित करता है। एक प्रतिपरिवर्ती सदिश निर्देशांकों के $v^{k}$ फलनों की एक प्रणाली है, जो इस तरह के एक संबधित परिवर्तन के तहत एक परिवर्तन से गुजरती है

$v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.$

यह निश्चित रूप से यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक आवश्यकता है कि मात्रा $v^{k}\mathbf {e} _{k}$ एक अपरिवर्तनीय वस्तु है जो चुनी गई समन्वय प्रणाली पर निर्भर नहीं करती है। अधिक सामान्यतः, वैलेंस के एक टेंसर (p,q) में p नीचे के सूचकांक और q ऊपर के सूचकांक होते हैं, परिवर्तन नियम के साथ

${T_{i_{1}\cdots i_{p}}}^{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{q}}.$

टेंसर क्षेत्र की अवधारणा को अनुमत समन्वय परिवर्तनों को सुचारू फलन (या अलग-अलग फलन, विश्लेषणात्मक फलन, आदि) होने के लिए विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। एक कोसदिश क्षेत्र निर्देशांक का एक फलन $v_{k}$ हैं जो संक्रमण फलनों (दिए गए वर्ग में) के जैकबियन आव्यूह द्वारा परिवर्तित होते हैं। इसी प्रकार, प्रतिपरिवर्ती सदिश क्षेत्र $v^{k}$ व्युत्क्रम जैकबियन द्वारा रूपांतरित होता है।

टेंसर बंडल

टेन्सर बंडल फाइबर बंडल है जहां फाइबर स्पर्शरेखा स्थान की किसी भी संख्या की प्रतियों का टेंसर उत्पाद है और/या आधार स्थान का कॉटैंगेंट स्थान है, जो कि कई गुना है। जैसे, फाइबर सदिश स्थल है और टेंसर बंडल विशेष प्रकार का सदिश बंडल है।

सदिश बंडल पैरामीटर पर निरंतर (या आसानी से) निर्भर करता है सदिश स्पेस का प्राकृतिक विचार है - पैरामीटर कई गुना एम के बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, कोण के आधार पर आयाम का सदिश स्पेस मोबियस स्ट्रिप या वैकल्पिक रूप से दिख सकता है सिलेंडर (ज्यामिति) की तरह। एम पर सदिश बंडल वी दिया गया है, संबंधित क्षेत्र अवधारणा को बंडल का खंड कहा जाता है: एम के लिए एम से भिन्न, सदिश का विकल्प

v_mमें V_m,

जहां V_mm पर सदिश स्थान है।

चूंकि टेन्सर उत्पाद अवधारणा आधार के किसी भी विकल्प से स्वतंत्र है, एम पर दो सदिश बंडलों के टेन्सर उत्पाद लेना नियमित है। स्पर्शरेखा बंडल (स्पर्शरेखा रिक्त स्थान का बंडल) से प्रारंभ करते हुए पूरे उपकरण को टेन्सर के घटक-मुक्त उपचार पर समझाया गया है - फिर से स्वतंत्र रूप से निर्देशांक के रूप में, जैसा कि परिचय में बताया गया है।

इसलिए हम 'टेंसर क्षेत्र' की परिभाषा दे सकते हैं, अर्थात् कुछ टेंसर बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के रूप में। (ऐसे सदिश बंडल हैं जो टेंसर बंडल नहीं हैं: उदाहरण के लिए मोबियस बैंड।) इसके बाद यह ज्यामितीय पदार्थ की गारंटी है, क्योंकि सब कुछ आंतरिक विधियों से किया गया है। अधिक सटीक रूप से, टेंसर क्षेत्र स्थान में कई गुना टेंसर के किसी दिए गए बिंदु को निर्दिष्ट करता है

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},$

जहाँ V उस बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान है और V^∗ कॉटैंजेंट स्पेस है। टेंगेंट बंडल और स्पर्शरेखा बंडल भी देखें।

दो टेन्सर बंडलों E → M और F → M को देखते हुए, रेखीय मानचित्र A: Γ(E) → Γ(F) E के अनुभागों के स्थान से F के अनुभागों तक स्वयं को टेंसर अनुभाग के रूप में माना जा सकता है $\scriptstyle E^{*}\otimes F$ यदि और केवल यदि यह Γ(E) में प्रत्येक खंड s के लिए A(fs) = fA(s) को संतुष्ट करता है और M पर प्रत्येक सुचारू फलन करता है। इस प्रकार टेन्सर अनुभाग न केवल वर्गों के सदिश स्थान पर रैखिक नक्शा है, किन्तु C^∞(M)-खंडों के मॉड्यूल (गणित) पर रैखिक मानचित्र हैं। उदाहरण के लिए, इस गुण का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि चाहे लाई व्युत्पन्न और सहसंयोजक व्युत्पन्न टेंसर नहीं हैं, मरोड़ टेंसर और उनसे निर्मित एफ़िन संबंध हैं।

नोटेशन

टेन्सर क्षेत्र्स के लिए संकेतन कभी-कभी भ्रामक रूप से टेंसर स्पेस के संकेतन के समान हो सकते हैं। इस प्रकार, स्पर्शरेखा बंडल TM = T(M) को कभी-कभी इस रूप में लिखा जा सकता है

$T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM$

इस बात पर जोर देने के लिए कि स्पर्शरेखा बंडल कई गुना एम पर (1,0) टेंसर क्षेत्र्स (अर्थात्, सदिश क्षेत्र्स) की रेंज स्पेस है। इसे बहुत समान दिखने वाले नोटेशन से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए

$T_{0}^{1}(V)$;

बाद वाले स्थिति में, हमारे पास केवल टेंसर स्पेस है, जबकि पूर्व में, हमारे पास कई गुना एम में प्रत्येक बिंदु के लिए टेंसर स्पेस परिभाषित है।

कर्ली (लिपि) अक्षरों का उपयोग कभी-कभी एम पर अनंत रूप से अलग-अ�