जर्म (गणित)

गणित में, टोपोलॉजिकल समष्टि में/पर किसी वस्तु के जर्म की धारणा उस वस्तु और उसी प्रकार की अन्य वस्तुओं का एक समतुल्य वर्ग है जो उनके साझा समष्टिीय गुणों को पकड़ लेता है। विशेष रूप से, विचाराधीन वस्तुएँ अधिकतर फलन (गणित) (या मानचित्र (गणित)) और उपसमुच्चय हैं। इस विचार के विशिष्ट कार्यान्वयन में, विचाराधीन कार्यों या उपसमुच्चय में कुछ गुण होंगे, जैसे कि विश्लेषणात्मक या सुचारू होना, किंतु सामान्यतः इसकी आवश्यकता नहीं है (प्रश्नाधीन कार्यों को निरंतर कार्य करने की भी आवश्यकता नहीं है) चूँकि यह आवश्यक है कि जिस समष्टि पर/जिसमें वस्तु को परिभाषित किया गया है वह एक टोपोलॉजिकल समष्टि हो, जिससे समष्टिीय शब्द का कुछ अर्थ होता हो।

नाम

यह नाम शीफ (गणित) रूपक की निरंतरता में अनाज के जर्म से लिया गया है क्योंकि एक जर्म (समष्टिीय रूप से) एक कार्य का हृदय है जैसे कि यह एक अनाज के लिए है।

औपचारिक परिभाषा

मूल परिभाषा

टोपोलॉजिकल समष्टि X का एक बिंदु x और दो मानचित्र $f,g:X\to Y$ दिया गया है (जहाँ Y कोई समुच्चय है), तो f और g, x पर एक ही जर्म को परिभाषित करते हैं यदि x का निकटतम U है, जो U तक सीमित है, f और g समान हैं; जिसका अर्थ है कि U में सभी u के लिए $f(u)=g(u)$ है ।

इसी प्रकार, यदि S और T, X के कोई दो उपसमुच्चय हैं, तो वे x पर एक ही जर्म को परिभाषित करते हैं यदि फिर से x का निकटतम U है, जैसे कि

$S\cap U=T\cap U.$

यह देखना सीधा है कि समान जर्म को x पर परिभाषित करना एक समतुल्य संबंध है (चाहे वह मानचित्रों या समुच्चयों पर हो) और समतुल्य वर्गों को जर्म (मानचित्र-जर्म, या इसलिए समुच्चय-जर्म) कहा जाता है। तुल्यता संबंध सामान्यतः लिखा जाता है

$f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.$

X पर एक मानचित्र f दिया गया है, तो x पर इसका जर्म सामान्यतः [f ]_x दर्शाया जाता है। इसी प्रकार, समुच्चय S के x पर जर्म को [S]_x लिखा जाता है। इस प्रकार,

$[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.$

X में x पर एक मानचित्र जर्म जो X में बिंदु x को Y में बिंदु y तक मैप करता है, उसे इस रूप में दर्शाया गया है

$f:(X,x)\to (Y,y).$

इस नोटेशन का उपयोग करते समय, f को किसी भी प्रतिनिधि (गणित) मानचित्र के लिए समान अक्षर f का उपयोग करते हुए मानचित्रों के संपूर्ण समतुल्य वर्ग के रूप में अभिप्रेत किया जाता है।

ध्यान दें कि दो समुच्चय x पर जर्म-समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके संकेतक कार्य x पर जर्म-समतुल्य हैं:

$S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.$

अधिक सामान्यतः

मानचित्रों को सभी X पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, और विशेष रूप से उन्हें समान डोमेन की आवश्यकता नहीं है। चूँकि यदि f के पास डोमेन S है और g के पास डोमेन T है, जो X के दोनों उपसमुच्चय हैं, तो f और g, X में x पर जर्म समतुल्य हैं, यदि पहले S और T, x पर जर्म समतुल्य हैं, तो मान लीजिए $S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,$ और फिर इसके अतिरिक्त $f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}$, कुछ छोटे निकट के लिए V के साथ $x\in V\subseteq U$. यह दो समुच्चयिंग्स में विशेष रूप से प्रासंगिक है:

1. f को X की उप-विविधता V पर परिभाषित किया गया है, और
2. f में x पर किसी प्रकार का एक ध्रुव है, इसलिए इसे x पर भी परिभाषित नहीं किया गया है, उदाहरण के लिए एक तर्कसंगत फलन, जिसे एक उपविविधता से परिभाषित किया जाता है।

मूलभूत गुण

यदि f और g x पर जर्म समकक्ष हैं, तो वे सभी समष्टिीय गुणों को साझा करते हैं, जैसे निरंतरता, भिन्नता इत्यादि, इसलिए एक अलग या विश्लेषणात्मक जर्म इत्यादि के बारे में बात करना समझ में आता है। इसी तरह उपसमुच्चय के लिए: यदि जर्म का एक प्रतिनिधि एक विश्लेषणात्मक समुच्चय है तो सभी प्रतिनिधि भी हैं, कम से कम x के कुछ निकट पर समुच्चय है।

लक्ष्य Y पर बीजीय संरचनाएँ Y में मान वाले जर्मओं के समूह द्वारा विरासत में मिली हैं। उदाहरण के लिए, यदि लक्ष्य Y एक समूह है, तो जर्मओं को गुणा करना समझ में आता है: [f]_x[g]_x को परिभाषित करने के लिए, पहले लें प्रतिनिधि एफ और जी, क्रमशः निकट U और वी पर परिभाषित हैं, और बिंदुवार उत्पाद मानचित्र fg के x पर जर्म होने के लिए [f]_x[g]_x, को परिभाषित करते हैं (जिसे $U\cap V$ पर परिभाषित किया गया है)। उसी तरह, यदि Y एक एबेलियन समूह, सदिश समष्टि या वलय है, तो जर्मओं का समूह भी ऐसा ही है।

X और Y तक के मानचित्रों के X पर जर्मओं के समुच्चय में असतत टोपोलॉजी को छोड़कर, कोई उपयोगी टोपोलॉजिकल समष्टि नहीं है। इसलिए जर्मओं के अभिसरण अनुक्रम के बारे में बात करना बहुत कम या कोई मतलब नहीं है। चूँकि यदि X और Y कई गुना हैं, तो जेट के रिक्त समष्टि (गणित) $J_{x}^{k}(X,Y)$ (मानचित्र के x पर परिमित क्रम टेलर श्रृंखला (-जर्म)) में टोपोलॉजी होती है क्योंकि उन्हें परिमित-आयामी वेक्टर समष्टिों से पहचाना जा सकता है।

शेवों से संबंध

शीव्स और प्रीशीव्स की परिभाषा के पीछे जर्मओं का विचार है। टोपोलॉजिकल समष्टि पर एबेलियन समूहों का प्रीशीफ ${\mathcal {F}}$ X, X में प्रत्येक विवर्त समुच्चय U के लिए एक एबेलियन समूह ${\mathcal {F}}(U)$ निर्दिष्ट करता है। यहां एबेलियन समूहों के विशिष्ट उदाहरण हैं: U पर वास्तविक मूल्यवान फलन , U पर अंतर रूप, U पर वेक्टर क्षेत्र, U पर होलोमोर्फिक फलन (जब x एक सम्मिश्र समष्टि है) U पर निरंतर फलन और U पर अंतर संचालक है।

तो एक प्रतिबंध मानचित्र $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ है जो कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करता है। एक निश्चित x के लिए, कोई कहता है कि तत्व $f\in {\mathcal {F}}(U)$ और $g\in {\mathcal {F}}(V)$ x पर समतुल्य हैं यदि x का निकट $W\subseteq U\cap V$ है जिसमें res_WU(f) = res_WV(g) (दोनों तत्व ${\mathcal {F}}(W)$ के हैं। समतुल्यता कक्षाएं प्रीशीफ़ ${\mathcal {F}}_{x}$के x पर डंठल ${\mathcal {F}}$ बनाती हैं। यह तुल्यता संबंध ऊपर वर्णित जर्म तुल्यता का एक अमूर्त है।

शिव्स के माध्यम से जर्मओं की व्याख्या करना जर्मओं के समुच्चय पर बीजगणितीय संरचनाओं की उपस्थिति के लिए एक सामान्य स्पष्टीकरण भी देता है। इसका कारण यह है कि डंठलों का निर्माण सीमित सीमाओं को बनाए रखता है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि T एक लॉवर सिद्धांत है और एक शीफ़ F एक T-बीजगणित है, तो कोई भी डंठल F_x यह भी एक टी-बीजगणित है।

उदाहरण

यदि $X$ और $Y$ अतिरिक्त संरचना होने पर, X से Y तक के सभी मानचित्रों के समुच्चय के उपसमुच्चय को परिभाषित करना संभव है या अधिक सामान्यतः किसी दिए गए प्रीशीफ़ ${\mathcal {F}}$ और संबंधित जर्मओं के उप-प्रीशेव्स: कुछ उल्लेखनीय उदाहरण अनुसरण करते हैं।

• यदि $X,Y$ दोनों टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि , उपसमुच्चय हैं

$C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$ :निरंतर कार्यों का निरंतर कार्यों के जर्मओं को परिभाषित करता है।

• यदि दोनों $X$ और $Y$ एक भिन्न संरचना, उपसमुच्चय को स्वीकार करें

$C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$ :का $k$