चिरसम्मत समूह

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गणित में चिरसम्मत समूहों को वास्तविक R पर विशेष रैखिक समूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है परिसर संख्या C और चतुष्कोण H एक साथ सममित या तिरछा-सममित द्विरेखीय रूपों के विशेष ऑटोमोर्फिज़्म समूहों और वास्तविक पर परिभाषित हर्मिटियन या तिरछा-हर्मिटियन सेस्क्विलिनियर रूपों के साथ परिसर और चतुष्कोणीय परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान इनमें से परिसर चिरसम्मत लाई समूह लाई समूहों के चार अनंत वर्ग हैं जो असाधारण समूहों के साथ सरल लाई समूहों के वर्गीकरण को समाप्त करते हैं। कॉम्पैक्ट चिरसम्मत समूह परिसर चिरसम्मत समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। चिरसम्मत समूहों के परिमित अनुरूप लाई प्रकार के चिरसम्मत समूह हैं। "चिरसम्मत समूह" शब्द हरमन वेइल द्वारा गढ़ा गया था यह उनके 1939 के मोनोग्राफ चिरसम्मत समूहों का शीर्षक था।

चिरसम्मत समूह रेखीय लाई समूहों के विषय का सबसे गहरा और सबसे उपयोगी भाग हैं। अधिकांश प्रकार के चिरसम्मत समूह चिरसम्मत और आधुनिक भौतिकी में आवेदन पाते हैं। कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं। घूर्णन समूह SO(3) यूक्लिडियन अंतरिक्ष और भौतिकी के सभी मूलभूत नियमों की एक समरूपता है, लोरेंत्ज़ समूह O(3,1) विशेष सापेक्षता के दिक्-काल का एक समरूपता समूह है। विशेष एकात्मक समूह SU(3) क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का समरूपता समूह है और सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(m) हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इसके क्वांटम यांत्रिक संस्करणों में अनुप्रयोग पाता है।

चिरसम्मत समूह

चिरसम्मत समूह R, Cऔर H पर पूर्ण रूप से सामान्य रैखिक समूह हैं साथ ही नीचे चर्चा की गई गैर-पतित रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूह भी हैं। ये समूह सामान्यतः अतिरिक्त रूप से उन उपसमूहों तक सीमित होते हैं जिनके तत्वों का निर्धारक 1 होता है जिससे उनके केंद्र असतत हों निर्धारक 1 नियम के साथ चिरसम्मत समूह नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं। अगली कड़ी में अधिकत्तम व्यापकता के हित में निर्धारक 1 स्थिति का निरन्तर उपयोग नहीं किया जाता है।

नाम	समूह	क्षेत्र	स्वरुप	अधिकत्तम से अधिक्तम कॉम्पैक्ट उपसमूह	झूठ बीजगणित	मूल प्रक्रिया
विशेष रैखिक	[[Special linear group|SL(n, R)]]	R	—	SO(n)
परिसर विशेष रैखिक	[[Special linear group|SL(n, C)]]	C	—	[[SU(n)|SU(n)]]	परिसर	[[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems|Am, n = m + 1]]
क्वाटरनियोनिक विशेष रैखिक	SL(n, H) = SU∗(2n)	H	—	Sp(n)
(अनिश्चितकालीन) विशेष ऑर्थोगोनल	[[Indefinite orthogonal group|SO(p, q)]]	R	सममित	S(O(p) × O(q))
परिसर विशेष ऑर्थोगोनल	[[Special orthogonal group|SO(n, C)]]	C	सममित	[[SO(n)|SO(n)]]	परिसर	$\color {Blue}{\begin{cases}B_{m},&n=2m+1\\D_{m},&n=2m\end{cases}}$
सहानुभूतिपूर्ण	[[Symplectic group|Sp(n, R)]]	R	तिरछा-सममित	U(n)
परिसर सहानुभूति	[[Symplectic group|Sp(n, C)]]	C	तिरछा-सममित	[[Sp(n)|Sp(n)]]	परिसर	[[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems|Cm, n = 2m]]
(अनिश्चित) विशेष एकात्मक	[[Special unitary group|SU(p, q)]]	C	हर्मिटियन	S(U(p) × U(q))
(अनिश्चितकालीन) चतुर्धातुक एकात्मक	Sp(p, q)	H	हर्मिटियन	Sp(p) × Sp(q)
क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल	SO∗(2n)	H	तिरछा-हर्मिटियन	SO(2n)

परिसर चिरसम्मत समूह SL(n, C), SO(n, C) और Sp(n, C). हैं। एक समूह इस आधार से परिसर होता है कि क्या इसका लाई बीजगणित परिसर है। वास्तविक चिरसम्मत समूह सभी चिरसम्मत समूहों को संदर्भित करता है क्योंकि कोई भी बीजगणित एक वास्तविक बीजगणित है। कॉम्पैक्ट चिरसम्मत समूह परिसर चिरसम्मत समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। ये बदले में, SU(n) SO(n) और Sp(n) हैं। कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का एक लक्षण लाई बीजगणित g के संदर्भ में है। यदि g = u + iu, u का जटिलीकरण, और यदि {exp(X): X ∈ u द्वारा उत्पन्न जुड़ा समूह K संहत है, तो K एक सघन वास्तविक रूप है।

चिरसम्मत समूहों को समान रूप से वास्तविक रूप का उपयोग करके एक अलग विधि से चित्रित किया जा सकता है। चिरसम्मत समूह (यहां निर्धारक 1 स्थिति के साथ किंतु यह आवश्यक नहीं है) निम्नलिखित हैं:

परिसर रेखीय बीजगणितीय समूह SL(n, C), SO(n, C), और Sp(n, C) उनके वास्तविक रूपों के साथ।

उदाहरण के लिए, SO^∗(2n) SO(2n, C) का वास्तविक रूप है, SU(p, q) SL(n, C) का वास्तविक रूप है, और SL(n, H) इसका वास्तविक रूप है SL(2n, C) निर्धारक 1 स्थिति के बिना विशेष रैखिक समूहों को लक्षण वर्णन में संबंधित सामान्य रैखिक समूहों के साथ बदलें। विचाराधीन बीजगणितीय समूह झूठसमूह हैं, किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है। समूह हैं किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है।

बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर फॉर्म

Main articles: द्विरेखीय रूप and सेस्क्विलिनियर रूप

चिरसम्मत समूहों को Rⁿ, Cⁿ, और Hⁿ पर परिभाषित रूपों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जहां R और C वास्तविक और परिसर संख्याओं के क्षेत्र हैं। चतुष्कोण H एक क्षेत्र का गठन नहीं करते हैं क्योंकि गुणन नहीं होता है; वे एक विभाजन वलय या तिरछा क्षेत्र या गैर-विनिमेय क्षेत्र बनाते हैं। चूँकि , आव्यूह क्वाटरनियोनिक समूहों को परिभाषित करना अभी भी संभव है। इस कारण से, सदिश समष्टि V को नीचे R, C और साथ ही H के ऊपर परिभाषित करने की अनुमति है। H के स्थिति में, V एक सही सदिश स्थान है, जो कि Rऔर C के लिए बाईं ओर से आव्यूह गुणन के रूप में समूह क्रिया के प्रतिनिधित्व को संभव बनाता है।

F = R, C या H पर कुछ परिमित-आयामी सही सदिश स्थान पर एक रूप φ: V × V → F द्विरेखीय है यदि

$\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.$ और यदि

$\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.$

इसे अर्ध-बिलिनियर रूप कहा जाता है यदि

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},y\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$