क्रॉस-सहप्रसरण

संभाव्यता और सांख्यिकी में, दो क्रॉस-सहप्रसरण प्रक्रियाएं दी गई हैं $\left\{X_{t}\right\}$ और $\left\{Y_{t}\right\}$, क्रॉस-सहप्रसरण एक कार्य है जो बिंदुओं के जोड़े पर एक प्रक्रिया का दूसरी प्रकिया के साथ विवरण देता है, तथा सामान्य संकेतन के साथ $\operatorname {E}$ अपेक्षित मूल्य संचालक (गणित) के लिए, प्रक्रियाओं में माध्य कार्य करता हैं तथा$\mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]$ और $\mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]$, प्रतिकूल-विवरण द्वारा दिया जाता है

$\operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,$

क्रॉस-सहप्रसरण क्रॉस-सहसंबंध से संबंधित है।

दो यादृच्छिक सदिशों के स्थान में $\mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}$ और $\mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}$, क्रॉस- विवरण में एक होगा $p\times q$ आव्यूह $\operatorname {K} _{XY}$ (अधिकतर दर्शाया जाता है $\operatorname {cov} (X,Y)$) प्रविष्टियों के साथ $\operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,$है इस प्रकार अवधारणा को एक यादृच्छिक सदिश के सहप्रसरण से अलग करने लिए प्रतिकूल-सहप्रसरण शब्द का उपयोग किया जाता है जिसे $\mathbf {X}$ अदिश घटकों में सहप्रसरण आव्यूह $\mathbf {X}$को यह किया जाता है।

संकेत में आगे बढ़ाना प्रतिकूल विवरण को अधिकतर क्रॉस-सहसंबंध कहा जाता है और यह दो संकेत (सूचना सिद्धांत) की एक समानता माप है, जिसका उपयोग अधिकतर किसी अज्ञात संकेत में किसी ज्ञात संकेत से तुलना करके सुविधाओं को खोजने के लिए किया जाता है। यह संकेतों के बीच सापेक्ष समय का एक कार्य है, इसे कभी-कभी स्लाइडिंग डॉट उत्पाद कहा जाता है और इस संकेत में पहचान और क्रिप्ट विश्लेषण में अनुप्रयोग होते हैं।

यादृच्छिक सदिशों का क्रॉस-सहप्रसरण

Main article: क्रॉस-कोवेरिएंस आव्यूह

प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं का प्रतिकूल-विवरण

यादृच्छिक सदिशों के प्रतिकूल-विवरण की परिभाषा को निम्नानुसार प्रसंभाव्य प्रक्रिया में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिभाषा

$\{X(t)\}$ और $\{Y(t)\}$ विवरण प्रक्रियाओं को निरूपित करें फिर प्रक्रियाओं का प्रतिकूल-विवरण फंक्शन $K_{XY}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

${\mathrm{K}}_{XY}<!--\; \; -->(t_1,t_2)\stackrel{\mathrm{d}}{=}$