स्मूथनेस

"सी अनंत" redirects here. For the extended complex plane $\mathbb {C} _{\infty }$, see रीमैन क्षेत्र.

"C^n" redirects here. For $\mathbb {C} ^{n}$, see जटिल समन्वय स्थान.

For संख्या सिद्धांत में सहजता, see सहज संख्या.

कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ टक्कर समारोह एक स्मूद फंक्शन है।

गणितीय विश्लेषण में, एक फलन (गणित) की स्मूथता एक ऐसा गुण है जिसे उसके किसी प्रक्षेत्र पर सतत अवकलज की संख्या से मापा जाता है, जिसे अवकलनीयता वर्ग कहा जाता है। बहुत कम ही, (इसलिए सतत) एक फलन को स्मूथ माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो। दूसरे छोर पर, यह अपने प्रक्षेत्र में सभी अनुक्रमो के अवकलज भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से अलग-अलग कहा जाता है और इसे सी-अनंत फलन (या $C^{\infty }$ फलन ) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

विभेदीकरण वर्ग

अवकलनीयता वर्ग उनके अवकलज के गुणों के अनुसार फलनो का वर्गीकरण है। यह अवकलज के उच्चतम क्रम का एक माप है जो मौजूद है और एक फलन के लिए सतत है।

वास्तविक रेखा पर एक खुले समुच्चय $U$ पर विचार करें और वास्तविक मानों के साथ $U$ पर परिभाषित फलन $f$ पर विचार करें। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। फलन $f$ को $C^{k}$ का अवकालनीयता वर्ग कहा जाता है ,यदि अवकलज $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ मौजूद हैं और $U$ पर सतत है। यदि $f$ , $k$ दोनों $U$ पर अवकलनीय है , तो यह कम से कम कक्षा $C^{k-1}$ में है क्योंकि $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$, $U$ सतत हैं। फलन $f$ को असीम रूप से अलग करने योग्य, स्मूथ या वर्ग $C^{\infty }$ कहा जाता है, अगर इसमें सभी ऑर्डर के अवकलज हैं $U$. (इसलिए ये सभी अवकलज सतत फलन हैं $U$.) फलनक्रम $f$ वर्ग का बताया गया है $C^{\omega }$, या विश्लेषणात्मक फलन, यदि $f$ स्मूथ है (यानी, $f$ कक्षा में है $C^{\infty }$) और इसके प्रक्षेत्र में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में फलन में परिवर्तित हो जाता है। $C^{\omega }$ इस प्रकार सख्ती से निहित है $C^{\infty }$. बम्प फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं $C^{\infty }$ लेकिन अंदर नहीं $C^{\omega }$.

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, class $C^{0}$ सभी सतत फलनों से मिलकर बनता है। कक्षा $C^{1}$ सभी अवकलनीय फलन होते हैं जिनका व्युत्पन्न सतत है; ऐसे फलनों को सतत अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक $C^{1}$ फंक्शन वास्तव में एक फंक्शन है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और कक्षा $C^{0}$का है. सामान्य तौर पर, कक्षाएं $C^{k}$ घोषित करके प्रत्यावर्तन परिभाषित किया जा सकता है $C^{0}$ सभी सतत फलनों का समुच्चय होना और घोषणा करना $C^{k}$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ उन सभी अलग-अलग फलनों का समुच्चय होने के लिए जिनका व्युत्पन्न है $C^{k-1}$. विशेष रूप से, $C^{k}$ में निहित है $C^{k-1}$ हरएक के लिए $k>0$, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त है ($C^{k}\subsetneq C^{k-1}$). कक्षा $C^{\infty }$ असीम रूप से भिन्न फलनों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है $C^{k}$ जैसा $k$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण.

उदाहरण, सतत (C⁰) लेकिन अवकलनीय नहीं

सी⁰ समारोह f(x) = x के लिये x ≥ 0 और 0 अन्यथा।

फ़ाइल, X^2sin(x^-1).svg|thumb|फलनक्रम g(x) = x² sin(1/x) के लिये x > 0.

फ़ाइल: फलन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|फलनक्रम $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ साथ $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ के लिये $x\neq 0$ तथा $f(0)=0$ अवकलनीय है। हालाँकि, यह फलन लगातार भिन्न नहीं होता है।

एक स्मूथ फलन जो विश्लेषणात्मक नहीं है।

फलन

$$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}$$

सतत है, x = 0 पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह वर्ग, C⁰ का है, लेकिन वर्ग C^{1 का है नहीं}

$$g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$$

अवकलनीय है, व्युत्पन्न के साथ

$$g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}$$

इसलिये $\cos(1/x)$ के रूप में हिलता है x → 0, $g'(x)$ शून्य पर सतत नहीं है। इसलिए, $g(x)$ अवकलनीय है लेकिन वर्ग C का नहीं है^{1</उप>। इसके अलावा अगर कोई लेता है $g(x)=x^{4/3}\sin(1/x)$ (x ≠ 0) इस उदाहरण में, यह दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि एक अलग-अलग फलन के व्युत्पन्न फलन को कॉम्पैक्ट समुच्चय पर असीमित किया जा सकता है और इसलिए, कॉम्पैक्ट समुच्चय पर एक अलग-अलग फलन स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ सतत नहीं हो सकता है।}

फलन

$$f(x)=|x|^{k+1}$$

कहाँ पे k सम है, सतत हैं और k बार अलग-अलग x. लेकिन पर x = 0 वो नहीं हैं (k + 1) समय अवकलनीय है, इसलिए वे कक्षा C के हैं^k, लेकिन कक्षा C का नहीं^j कहाँ j > k.

घातीय फलन विश्लेषणात्मक है, और इसलिए कक्षा सी में आता है^ω. त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ उन्हें परिभाषित किया जाता है।

टक्कर समारोह

$$f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$$

चिकनी है, इसलिए कक्षा सी की है^∞, लेकिन यह विश्लेषणात्मक नहीं है x = ±1, और इसलिए कक्षा सी का नहीं है^ω. फलनक्रम f कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक स्मूथ फलन का एक उदाहरण है।

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग

एक समारोह $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ एक खुले समुच्चय पर परिभाषित $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$ कहा जाता है कि वर्ग का होना $C^{k}$ पर $U$, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, यदि सभी आंशिक अवकलज

$${\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$$

मौजूद हैं और सतत हैं, प्रत्येक के लिए $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक, जैसे कि $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k$, और हर $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U$. समान रूप से, $f$ वर्ग का है $C^{k}$ पर $U$ अगर $k$-वें क्रम के फ्रेचेट का व्युत्पन्न $f$ मौजूद है और के हर बिंदु पर सतत है $U$. फलनक्रम $f$ वर्ग का बताया गया है $C$ या $C^{0}$ अगर यह लगातार चालू है $U$. वर्ग के फलन $C^{1}$ सतत अवकलनीय भी कहा जाता है।

एक समारोह $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, एक खुले समुच्चय पर परिभाषित $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$वर्ग का बताया जाता है $C^{k}$ पर $U$, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, यदि इसके सभी घटक

$$f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m$$

वर्ग के हैं $C^{k}$, कहाँ पे $\pi _{i}$ प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं (रैखिक बीजगणित) $\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $\pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}$. क्लास का बताया जाता है $C$ या $C^{0}$ यदि यह सतत है, या समतुल्य है, यदि सभी घटक $f_{i}$ सतत हैं, चालू हैं $U$.

सी का स्थान^{के </सुप> फलन}

होने देना $D$ वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय बनें। सभी का समुच्चय $C^{k}$ वास्तविक-मूल्यवान फलनों को परिभाषित किया गया है $D$ सेमिनोर्म्स के गणनीय परिवार के साथ एक फ्रेचेट स्पेस|फ्रेचेट वेक्टर स्पेस है

$$p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|$$

कहाँ पे $K$ सघन समुच्चयों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका संघ (समुच्चय सिद्धांत) है $D$, तथा $m=0,1,\dots ,k$.

के समुच्चय $C^{\infty }$ फलन समाप्त $D$ एक फ्रेचेट स्पेस भी बनाता है। सिवाय इसके कि ऊपर के समान सेमिनोर्म का उपयोग किया जाता है $m$ सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों की सीमा की अनुमति है।

उपरोक्त रिक्त स्थान उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से होते हैं जहां कुछ ऑर्डर के अवकलज वाले फलन आवश्यक होते हैं; हालाँकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के बजाय काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।

सततता

शर्तें पैरामीट्रिक सततता (सी^k) और ज्यामितीय सततता (Gⁿ) को ब्रायन ए. बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि गति पर प्रतिबंधों को हटाकर वक्र की स्मूथई को मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है।

पैरामीट्रिक सततता

पैरामीट्रिक सततता (सी^k) पैरामीट्रिक वक्रों पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की स्मूथई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र $s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ वर्ग सी का बताया जाता है^{कश्मीर}, अगर $\textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}$ मौजूद है और लगातार चालू है $[0,1]$, जहां अंत-बिंदुओं पर अवकलज हैं $0,1\in [0,1]$ अर्ध-भिन्नता के लिए लिया जाता है (यानी, पर $0$ दाईं ओर से और पर $1$ बाएं से)।

इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C होना चाहिए¹ सततता और इसका पहला व्युत्पन्न अवकलनीय है—ऑब्जेक्ट के लिए परिमित त्वरण है। चिकनी गति के लिए, जैसे फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, पैरामीट्रिक सततता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।

पैरामीट्रिक सततता का क्रम

दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो कि केवल C है⁰ सतत

दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे सी हैं¹ सतत

पैरामीट्रिक सततता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

• $C^{0}$: शून्य अवकलज सतत है (वक्र सतत हैं)
• $C^{1}$: शून्यवाँ और प्रथम अवकलज संतत हैं
• $C^{2}$: शून्य, पहला और दूसरा अवकलज सतत हैं
• $C^{n}$: 0-वें के माध्यम से $n$-वें अवकलज सतत हैं

ज्यामितीय सततता

जी के साथ घटता है¹-संपर्क (वृत्त, रेखा)

$(1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0$
जी के साथ शांकव वर्गों की पेंसिल²-संपर्क: पी फिक्स, $\varepsilon$ चर
($\varepsilon =0$: घेरा,$\varepsilon =0.8$: अंडाकार, $\varepsilon =1$: परवलय, $\varepsilon =1.2$: हाइपरबोला)

ज्यामितीय सततता या ज्यामितीय सततता की अवधारणा (जीⁿ) मुख्य रूप से गॉटफ्रीड लीबनिज, जोहान्स केप्लर और जीन-विक्टर पोंसेलेट जैसे गणितज्ञों द्वारा शांकव वर्गों (और संबंधित आकृतियों) पर लागू किया गया था। अवधारणा बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था, एक पैरामीट्रिक फलन के माध्यम से व्यक्त सतत फलन की अवधारणा। <रेफरी नाम = टेलर 1911, पीपी। 674-675>Taylor, Charles (1911). "Geometrical Continuity" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica (in English). Vol. 11 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 674–675.</रेफरी>

ज्यामितीय सततता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु खंड वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि विलक्षणता (गणित) शून्य तक पहुँचती है, या एक परवलय के रूप में यह एक तक पहुँचती है; और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर जाता है क्योंकि सनकीपन एक की ओर गिरता है; यह रेखा (ज्यामिति) को प्रतिच्छेद करने के लिए भी प्रवृत्त हो सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच सततता थी। इन विचारों ने सततता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार की दो अभिव्यक्तियाँ हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में सोचा जा सकता है। ऐसा होने के लिए, बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद करना होगा $x=\infty$ सर्कल पर एक बिंदु होने के लिए, और के लिए $x=+\infty$ तथा $x=\neg \infty$ समान होना। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फलन के सतत फलन के विचार और के विचार को गढ़ने में उपयोगी थे $\infty$ (अधिक जानकारी के लिए अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)। <रेफरी नाम = टेलर 1911, पीपी। 674-675 />

ज्यामितीय सततता का क्रम

एक वक्र या सतह (टोपोलॉजी) को $G^{n}$ सततता होने के रूप में वर्णित करता है, जिसमें $n$ स्मूथ का बढ़ता माप है। एक वक्र पर एक बिंदु के दोनों ओर खंडों पर विचार करें,

• $G^{0}$, वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
• $G^{1}$, वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं।
• $G^{2}$, वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं।

सामान्य तौर पर, $G^{n}$ सततता मौजूद होती है यदि वक्रों को $C^{n}$ (प्राचलिक) सततता रखने के लिए पुनर्मूल्यांकित किया जा सकता है। वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है.जिसमे केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।

समतुल्य रूप से, दो सदिश फलन $f(t)$ तथा $g(t)$ में $G^{n}$ सततता है यदि $f^{(n)}(t)\neq 0$ तथा $f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)$, एक अदिश $k>0$ के लिए सततता है (अर्थात, यदि दो सदिशों की दिशा समान हो, लेकिन जरूरी नहीं कि परिमाण बराबर हो)।

हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि वक्र की आवश्यकता होगी $G^{1}$ चिकनी दिखने के लिए सततता, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन में इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय सततता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार की बॉडी में प्रतिबिंब तब तक स्मूथ नहीं दिखेंगे जब तक कि बॉडी में ऐसा न हो $G^{2}$ सततता।

ए rounded rectangle (चारों कोनों पर नब्बे डिग्री के वृत्ताकार चापों के साथ) है $G^{1}$ सततता, लेकिन नहीं है $G^{2}$ सततता। ए के लिए भी यही सच है rounded cube, इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ क्वार्टर-सिलेंडर हैं। यदि एक संपादन योग्य वक्र के साथ $G^{2}$ सततता की आवश्यकता होती है, फिर घन splines आमतौर पर चुने जाते हैं; ये वक्र अक्सर औद्योगिक डिजाइन में उपयोग किए जाते हैं।

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

जबकि सभी विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ होते हैं (अर्थात सभी अवकलज सतत हैं) उस समुच्चय जिस पर वे विश्लेषणात्मक होते हैं, उभार फ़ंक्शंस (ऊपर उल्लिखित) जैसे उदाहरण दिखाते हैं जैसे कि बातचीत वास्तविक फलनो के लिए सही नहीं है, वहाँ स्मूथ वास्तविक फलन मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। फलनो के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक स्मूथ फलन हैं लेकिन किसी भी बिंदु पर विश्लेषणात्मक नहीं हैं, फोरियर श्रेणी के माध्यम से बनाए जा सकते हैं, फैबियस फलन एक अन्य उदाहरण है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि ऐसे फलन नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ लोगों के बीच बहुत कम बिखरे हुए हैं, अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ फलनों का एक छोटा उपसमुच्चय बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे स्मूथ फलन मौजूद हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं ।.

वास्तविक रेखा पर पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता से स्थिति की तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और स्मूथ फलनों के समुच्चय दोनों पर, उदाहरण हम पहले विचार (बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्या और विश्लेषणात्मक फलनों) के साथ आते हैं, अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार किया जाता है, पारलौकिक संख्याएँ और कहीं भी विश्लेषणात्मक फलनों का पूर्ण माप नहीं है (उनके पूरक अल्प हैं)।

इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल भिन्नात्मक फलनों के विपरीत है। यदि एक जटिल फलन एक खुले समुच्चय पर केवल एक बार अलग-अलग होता है, तो यह उस समुच्चय पर असीम रूप से भिन्न और विश्लेषणात्मक दोनों होता है.

एकता के स्मूथ विभाजन

दिए गए बंद समर्थन (गणित) के साथ स्मूथ फलनो का उपयोग एकता के स्मूथ विभाजन के निर्माण में किया जाता है (देखें एकता का विभाजन और टोपोलॉजी शब्दावली), ये स्मूथ बहुसंख्यक के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रिमेंनियन मापीय को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करते हुए विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक उभार (बम्प) फलन का है,अर्थात एक स्मूथ फलन f , जो एक अंतराल [a,b] के बाहर मान 0 लेता है ,ठीक ऐसा

$$f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,$$

लाइन पर कई अतिव्यापी अंतराल दिए गए हैं, उनमें से प्रत्येक पर उभार फलन का निर्माण किया जा सकता है,और अर्ध-अनंत अंतरालों $(-\infty ,c]$ तथा $[d,+\infty )$ पर पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि फलनो का योग हमेशा 1 होता है।

जो अभी कहा गया है, एकता के विभाजन पूर्णसममितिक फलन पर लागू नहीं होते हैं, अस्तित्व और विश्लेषणात्मक सततता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शीफ (गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, स्मूथ फलनो के शीशों में अधिक सामयिक जानकारी नहीं होती है।

बहुसंख्यक और उनके बीच में स्मूथ फलन

आयाम का $m,$ और एक एटलस (टोपोलॉजी) ${\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha }$ का एक स्मूथ बहुसंख्यक $M$ दिया गया ,तो एक मानचित्र $f:M\to \mathbb {R}$ पर स्मूथ है यदि सभी $M$ के लिए एक तालिका $p\in M$ मौजूद है $(U,\phi )\in {\mathfrak {U}},$ जैसे कि $p\in U,$ तथा $f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R}$ ,$\phi (p)$ में $\mathbb {R} ^{m}$ से $\mathbb {R}$ के प्रतिवैस से एक स्मूथ फलन है (दिए गए क्रम तक सभी आंशिक अवकलज सतत हैं)। एटलस के किसी भी तालिका (टोपोलॉजी) के संबंध में स्मूथनेस की जाँच की जा सकती है जिसमें $p$ शामिल है, क्योंकि तालिका के बीच संक्रमण फलनों पर स्मूथनेस की आवश्यकता यह सुनिश्चित करती हैं कि यदि $f$ एक तालिका $p$ के पास स्मूथ है तो यह किसी अन्य तालिका में $p$ के पास स्मूथ होगा।

यदि $F:M\to N$, $M$ से एक $n$-आयामी अनेक $N$ का मानचित्र है , तो $F$ स्मूथ है यदि, प्रत्येक $p\in M$ के लिए, एक तालिका $(U,\phi )$ है जिसमें $p,$ और एक तालिका $(V,\psi )$ है जिसमें $F(p)$ ऐसा है जैसे कि $F(U)\subset V,$ तथा $\psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$, $\mathbb {R} ^{n}$ से एक स्मूथ फलन है।

बहुसंख्यक के बीच स्मूथ मानचित्र स्पर्शरेखा समष्टियो के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं, $F:M\to N$ के लिए, प्रत्येक बिंदु पर पुशफॉरवर्ड (अंतर) (या अवकलन) $p$ पर स्पर्शरेखा सदिशों $F(p)$$F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$, पर स्पर्शरेखा सदिशों में मानचित्रित करता है, और स्पर्शरेखा समूह के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक सदिश समूह समरूपता $F_{*}:TM\to TN$ है। पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो $N$ पर कोसदिशो को खींचता है, $M$ कोसदिशो पर वापस जाता है, तथा $k$-रूप को इस $F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M)$$k$-रूप में। इस तरह बहुसंख्यक के बीच स्मूथ फलन स्थानीय डेटा को परिवहन कर सकते हैं, जैसे सदिश क्षेत्र और अवकलन रूप, एक बहुसंख्यक से दूसरे तक, या नीचे यूक्लिडियन समष्टि तक, जहाँ एकीकरण जैसी संगणनाएँ अच्छी तरह से समझी जाती हैं।

स्मूथ फलनो के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य रूप से, अतिरिक्त धारणाओं के बिना बहुसंख्यक नहीं होते हैं। नियमित बिंदुओं की प्रीइमेज (अर्थात, यदि प्रीइमेज पर अवकलन गायब नहीं होता है) बहुसंख्यक हैं, यह प्रीइमेज प्रमेय है। इसी तरह, अंत: स्थापन के साथ पुशफॉरवर्ड बहुसंख्यक होते हैं।

बहुसंख्यक के उपसमुच्चय के बीच स्मूथ फलन

बहुसंख्यक के यादृच्छिक उपसमुच्चय के लिए स्मूथ मानचित्र की एक समान धारणा है। यदि $f:X\to Y$ एक फलन (गणित) है जिसका प्रक्षेत्र और क्षेत्र क्रमशः बहुसंख्यक $X\subseteq M$ और$Y\subseteq N$ के उपसमुच्चय हैं । फलन $f$ को स्मूथ कहा जाता है यदि सभी $x\in X$ के लिए $x\in U$ के साथ एक खुला समुच्चय $U\subseteq M$ है और एक स्मूथ फंक्शन $F:U\to N$ ऐसा है कि सभी $F(p)=f(p)$ तथा $p\in U\cap X$ के लिए खुला समुच्चय है।

यह भी देखें

• अंतराल
• हैडमार्ड का स्वीकृत सिद्धांत
• गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य – Mathematical functions which are smooth but not analytic - गणितीय फलन जो स्मूथ हैं लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं हैं
• अर्ध-विश्लेषणात्मक कार्य- वह बिंदु जहां एक फलन, एक वक्र या अन्य गणितीय वस्तु नियमित रूप से व्यवहार नहीं करती है
• विलक्षणता (गणित)
• बल-तरंग-समान फलन पर दो बिंदुओं के बीच चाप की लंबाई और सीधी-रेखा की दूरी का अनुपात
• स्मूथ योजना
• सहज संख्या (संख्या सिद्धांत)-केवल छोटे अभाज्य गुणक वाले पूर्णांक (संख्या सिद्धांत)
• समरेखण
• पट्टी-बहुपदों द्वारा परिभाषित गणितीय फलन
• सोबोलेव मानचित्रण

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• रेलेक्स त्रिकोण
• अंक शास्त्र
• वक्रों का मरोड़
• अवरोधन (बहुविकल्पी)
• शंकुवृक्ष (गणित)
• एक समारोह की जड़
• बल
• क्वार्टिक के स्पर्शरेखाएँ
• अनंतस्पर्शी
• राग (ज्यामिति)
• सिसॉइड
• एकांकी उपाय
• पीछा करने का वक्र
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• समारोह (गणित)
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• व्युत्पत्ति का क्रम
• किसी फलन का प्रक्षेत्र
• खुला समुच्चय
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• घातांक प्रफलन
• त्रिकोणमितीय समारोह
• आंशिक अवकलज
• प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)
• आंशिक विभेदक समीकरण
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• रफ़्तार
• शंकु खंड
• अंडाकार
• अतिशयोक्ति
• RADIUS
• घेरा
• सौंदर्यशास्र
• फोरियर श्रेणी
• शेफ़ (गणित)
• पुशफॉरवर्ड (अंतर)
• वेक्टर बंडल समरूपता
• पुलबैक (अंतर ज्यामिति)
• बहुसंख्यक पर एकीकरण
• एक समारोह की सीमा