विस्तृत कार्डिनल

समुच्चय सिद्धान्त के गणितीय क्षेत्र में, एक बड़ा कार्डिनल संपत्ति एक निश्चित प्रकार की संपत्ति है जो पारलौकिक बुनियादी संख्या की है। इस तरह के गुणों वाले कार्डिनल, जैसा कि नाम से पता चलता है, आम तौर पर बहुत "बड़ा" होता है (उदाहरण के लिए, कम से कम α से बड़ा होता है जैसे कि α=ωα)। प्रस्ताव है कि इस तरह के कार्डिनल मौजूद है, सेट सिद्धांत के सबसे सामान्य स्वयंसिद्ध में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, अर्थात् ZFC, और इस तरह के प्रस्तावों को ZFC से परे "कितना" मापने के तरीकों के रूप में देखा जा सकता है, किसी को कुछ वांछित साबित करने में सक्षम होने की आवश्यकता है परिणाम। दूसरे शब्दों में, उन्हें डाना स्कॉट के वाक्यांश में, इस तथ्य को मापने के रूप में देखा जा सकता है कि "यदि आप अधिक चाहते है तो आपको अधिक ग्रहण करना होगा"।

एक मोटा सम्मेलन है कि केवल ZFC से सिद्ध होने वाले परिणाम परिकल्पना के बिना बताए जा सकते है, लेकिन अगर प्रमाण के लिए अन्य मान्यताओं (जैसे बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व) की आवश्यकता होती है, तो इन्हें कहा जाना चाहिए। क्या यह केवल एक भाषाई सम्मेलन है, या कुछ और, अलग-अलग दार्शनिक विद्यालयों के बीच एक विवादास्पद बिंदु है (नीचे प्रेरणा और महामारी की स्थिति देखें)।

एक बड़ा कार्डिनल स्वयंसिद्ध एक स्वयंसिद्ध है जिसमें कहा गया है कि कुछ निर्दिष्ट बड़ी कार्डिनल संपत्ति के साथ एक कार्डिनल (या शायद उनमें से कई) मौजूद है।

अधिकांश कामकाजी सेट सिद्धांतकारों का मानना है कि वर्तमान में जिन बड़े कार्डिनल सिद्धांतों पर विचार किया जा रहा है, वे ZFC के अनुरूप है। ये स्वयंसिद्ध ZFC की निरंतरता को दर्शाने के लिए पर्याप्त मजबूत है। इसका परिणाम है (गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय के माध्यम से) कि ZFC के साथ उनकी निरंतरता ZFC में सिद्ध नहीं की जा सकती है (यह मानते हुए कि ZFC संगत है)।

एक बड़ी कार्डिनल संपत्ति क्या है, इसकी कोई आम तौर पर सहमत सटीक परिभाषा नहीं है, हालांकि अनिवार्य रूप से सभी सहमत है कि बड़े कार्डिनल गुणों की सूची में बड़े कार्डिनल गुण है।

आंशिक परिभाषा

कार्डिनल नंबरों की संपत्ति के लिए एक बड़ी कार्डिनल संपत्ति होने के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि ऐसे कार्डिनल का अस्तित्व ZF के साथ असंगत नहीं है और ऐसा कार्डिनल Κ एक बेशुमार प्रारंभिक क्रमसूचक होगा जिसके लिए L_Κ एक मॉडल है जेडएफसी। यदि ZFC संगत है, तो ZFC का अर्थ यह नहीं है कि इस तरह के बड़े कार्डिनल मौजूद है।

स्थिरता शक्ति का पदानुक्रम

बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के बारे में एक उल्लेखनीय अवलोकन यह है कि वे स्थिरता शक्ति द्वारा सख्त रैखिक क्रम में प्रकट होते है। अर्थात्, निम्नलिखित के लिए कोई अपवाद ज्ञात नहीं है: दो बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों A₁ और A₂ को देखते हुए, तीन चीजों में से एक होता है:

1. जब तक ZFC असंगत न हो, ZFC+A₁ संगत है अगर और केवल अगर ZFC+A₂ संगत है;
2. ZFC+A₁ साबित करता है कि ZFC+A₂ संगत है; या
3. ZFC+A₂ साबित करता है कि ZFC+A₁ संगत है।

ये परस्पर अनन्य है, जब तक कि विचाराधीन सिद्धांतों में से एक वास्तव में असंगत न हो।

स्थिति 1 में, हम कहते है कि A₁ और A₂ समानता है। मामले 2 में, हम कहते है कि A₁ स्थिरता के लिहाज से A₂ से अधिक मजबूत है (इसके विपरीत मामले 3 के लिए)। यदि A₂, A₁ से अधिक मजबूत है, तो ZFC+A₁ साबित नहीं कर सकता कि ZFC+A₂ संगत है, यहां तक कि अतिरिक्त परिकल्पना के साथ भी कि ZFC+A₁ स्वयं संगत है (बशर्ते कि यह वास्तव में है)। यह गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय से आता है।

अवलोकन कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों को स्थिरता शक्ति द्वारा रैखिक रूप से आदेश दिया जाता है, यह केवल एक अवलोकन है, प्रमेय नहीं है। (बड़ी कार्डिनल संपत्ति की स्वीकृत परिभाषा के बिना, यह सामान्य अर्थों में प्रमाण के अधीन नहीं है।) साथ ही, यह हर मामले में ज्ञात नहीं है कि तीन मामलों में से कौन सा है। सहारन शेलाह ने पूछा है, "[i] क्या कोई प्रमेय इसे समझा रहा है, या क्या हमारी दृष्टि हमारे एहसास से कहीं अधिक समान है?" वुडिन, हालांकि, इसे Ω-अनुमान से घटाते है, जो उनके Ω-तर्क की मुख्य अनसुलझी समस्या है। यह भी उल्लेखनीय है कि कई संयोजी बयान उनके बीच मध्यवर्ती होने के बजाय, कुछ बड़े कार्डिनल के साथ बिल्कुल समतुल्य है।

स्थिरता शक्ति का क्रम जरूरी नहीं कि एक बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध के सबसे छोटे गवाह के आकार के क्रम के समान हो। उदाहरण के लिए, एक सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल के अस्तित्व की तुलना में, एक विशाल कार्डिनल का अस्तित्व स्थिरता शक्ति के मामले में बहुत मजबूत है, लेकिन यह मानते हुए कि दोनों मौजूद है, पहला विशाल पहले सुपरकॉम्पैक्ट से छोटा है।

प्रेरणा और महामारी की स्थिति

बड़े कार्डिनल्स को वॉन न्यूमैन ब्रह्माण्ड V के संदर्भ में समझा जाता है, जो सत्ता स्थापित ऑपरेशन के ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा बनाया गया है, जो किसी दिए गए सेट के सभी सबसेट को एक साथ इकट्ठा करता है। आमतौर पर, मॉडल सिद्धांत जिसमें बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध विफल होते है, कुछ प्राकृतिक तरीके से उन लोगों के सबमॉडल के रूप में देखे जा सकते है जिनमें स्वयंसिद्ध है। उदाहरण के लिए, यदि कोई दुर्गम कार्डिनल है, तो पहले ऐसे कार्डिनल की ऊंचाई पर ब्रह्मांड को काटने से एक ब्रह्मांड (गणित) उत्पन्न होता है जिसमें कोई दुर्गम कार्डिनल नहीं होता है। या यदि कोई औसत दर्जे का कार्डिनल है, तो पूर्ण के बजाय परिभाषित पावरसेट ऑपरेशन को दोहराते हुए गोडेल के रचनात्मक ब्रह्मांड, एल, जो इस कथन को संतुष्ट नहीं करता है कि एक औसत दर्जे का कार्डिनल है (भले ही इसमें औसत दर्जे का कार्डिनल एक क्रमसूचक के रूप में हो)।

इस प्रकार, कई सेट सिद्धांतकारों (विशेष रूप से कबाल की परंपरा से प्रेरित) द्वारा आयोजित एक निश्चित दृष्टिकोण से, बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध "कहते है" कि हम उन सभी सेटों पर विचार कर रहे है जिन पर हम "माना" जा रहे है, जबकि उनके निषेध "प्रतिबंधात्मक" है और कहते है कि हम उनमें से केवल कुछ सेटों पर विचार कर रहे है। इसके अलावा बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के परिणाम प्राकृतिक पैटर्न में आते प्रतीत होते है (देखें मैडी, "बिलीविंग द एक्सिओम्स, II")। इन कारणों से, इस तरह के सेट सिद्धांतकार ZFC के एक्सटेंशन के बीच एक पसंदीदा स्थिति के लिए बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों पर विचार करते है, एक जो कम स्पष्ट प्रेरणा के स्वयंसिद्धों (जैसे मार्टिन के स्वयंसिद्ध) या अन्य लोगों द्वारा साझा नहीं किया जाता है, जिन्हें वे सहज रूप से असंभावित मानते है (जैसे V = एल)। इस समूह में कट्टर यथार्थवादी अधिक सरलता से कहेंगे कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध सत्य है।

यह दृष्टिकोण किसी भी तरह से सेट सिद्धांतकारों के बीच सार्वभौमिक नहीं है। कुछ औपचारिकतावादी यह दावा करेंगे कि मानक सेट सिद्धांत ZFC के परिणामों के अध्ययन की परिभाषा के अनुसार है, और जब वे अन्य प्रणालियों के परिणामों का अध्ययन करने के लिए सिद्धांत रूप में विरोध नहीं कर सकते है, तो वे बड़े कार्डिनल को पसंद करने का कोई कारण नहीं देखते है। ऐसे यथार्थवादी भी है जो इस बात से इनकार करते है कि सत्तामूलक अधिकतावाद एक उचित प्रेरणा है, और यहाँ तक कि यह भी मानते है कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध झूठे है। और अंत में, कुछ ऐसे है जो इस बात से इनकार करते है कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों की उपेक्षा प्रतिबंधात्मक है, यह इंगित करते हुए कि (उदाहरण के लिए) L में एक सकर्मक सेट मॉडल हो सकता है जो मानता है कि एक औसत दर्जे का कार्डिनल मौजूद है, भले ही L स्वयं संतुष्ट न हो प्रस्ताव।

यह भी देखें

• बड़े कार्डिनल गुणों की सूची

संदर्भ

• Drake, F. R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Kanamori, Akihiro; Magidor, M. (1978), "The evolution of large cardinal axioms in set theory" (PDF), Higher Set Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 669, Springer Berlin / Heidelberg, pp. 99–275, doi:10.1007/BFb0103104, ISBN 978-3-540-08926-1, retrieved September 25, 2022
• Maddy, Penelope (1988). "Believing the Axioms, I". Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520. JSTOR 2274520.
• Maddy, Penelope (1988). "Believing the Axioms, II". Journal of Symbolic Logic. 53 (3): 736–764. doi:10.2307/2274569. JSTOR 2274569. S2CID 16544090.
• Shelah, Saharon (2002). "The Future of Set Theory". arXiv:math/0211397.
• Solovay, Robert M.; William N. Reinhardt; Akihiro Kanamori (1978). "Strong axioms of infinity and elementary embeddings" (PDF). Annals of Mathematical Logic. 13 (1): 73–116. doi:10.1016/0003-4843(78)90031-1.
• Woodin, W. Hugh (2001). "The continuum hypothesis, part II". Notices of the American Mathematical Society. 48 (7): 681–690.

बाहरी संबंध

• "Large Cardinals and Determinacy" at the Stanford Encyclopedia of Philosophy