प्रवाह (गणित)

लंगर के अंतर समीकरण द्वारा निर्दिष्ट चरण स्थान में प्रवाह है। क्षैतिज अक्ष पर, पेंडुलम की स्थिति, और ऊर्ध्वाधर पर इसका वेग।

गणित में, प्रवाह द्रव में कणों की गति के विचार को औपचारिक रूप देता है। अभियांत्रिकी और भौतिकी सहित विज्ञान में प्रवाह सर्वव्यापी हैं। साधारण अवकल समीकरणों के अध्ययन के लिए प्रवाह की धारणा आधारभूत है। अनौपचारिक रूप से, प्रवाह को समय के साथ बिंदुओं की निरंतर गति के रूप में देखा जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, प्रवाह एक समुच्चय (गणित) पर वास्तविक संख्याओं की समूह क्रिया (गणित) है।

सदिश प्रवाह का विचार, अर्थात, सदिश क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह, अंतर सांस्थिति (टोपोलॉजी), रीमैनियन ज्यामिति और लाई समूहों के क्षेत्रों में होता है। सदिश प्रवाह के विशिष्ट उदाहरणों में जियोडेसिक प्रवाह, हैमिल्टनियन प्रवाह, रिक्की प्रवाह, माध्य वक्रता प्रवाह और एनोसोव प्रवाह सम्मिलित हैं। यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की प्रणालियों के लिए प्रवाह को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एर्गोडिक डायनेमिक सिस्टम के अध्ययन में होता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध शायद बरनौली प्रवाह है।

औपचारिक परिभाषा

समुच्चय X पर प्रवाह X वास्तविक संख्याओं के योगात्मक समूह की एक समूह क्रिया हैI अधिक स्पष्ट रूप से, प्रवाह एक प्रतिचित्रण (मैपिंग_गणित) है

$\varphi :X\times \mathbb {R} \to X$

ऐसा कि, सभी के लिए x ∈ X और सभी वास्तविक संख्याएँ s और t,

${\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}$

यह प्रथागत φ^t(x) के बदले में φ(x, t), ताकि उपरोक्त समीकरणों को व्यक्त किया जा सके $\varphi ^{0}={\text{Id}}$ (तत्समक फलन) और $\varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}$ (समूह नियम) है। फिर, सभी के लिए $t\in \mathbb {R} ,$ मानचित्रण $\varphi ^{t}:X\to X$ व्युत्क्रम के साथ आक्षेप है $\varphi ^{-t}:X\to X.$ यह उपरोक्त परिभाषा और वास्तविक प्राचल से अनुसरण करता है t कार्य पुनरावृत्ति के रूप में सामान्यीकृत कार्यात्मक शक्ति के रूप में लिया जा सकता है।

प्रवाह को साधारणतया समुच्चय पर प्रस्तुत गणितीय संरचनाओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है X. विशेष रूप से, अगर X तब एक टोपोलॉजिकल स्पेस से समविभव है φ साधारणतया निरंतर कार्य करने की आवश्यकता होती है। अगर X एक अलग करने योग्य कई गुना से समविभव है, फिर φ साधारणतया अलग-अलग फलन की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का एक-प्राचल समूह बनाता है।

कुछ स्थितियों में स्थानीय प्रवाहों पर भी विचार किया जा सकता है, जो केवल कुछ उपसमुच्चय में परिभाषित हैं

$\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}$

φ का प्रवाह प्रभावक्षेत्र कहा जाता है। सदिश क्षेत्रों के प्रवाह के मामले में प्रायः ऐसा होता है।

वैकल्पिक अंकन

अभियांत्रिकी, भौतिकी और अंतर समीकरणों के अध्ययन सहित कई क्षेत्रों में यह बहुत आम है, एक संकेतन का उपयोग करने के लिए जो प्रवाह को अंतर्निहित बनाता है। इस प्रकार, x(t) के लिए लिखा गया है $\varphi ^{t}(x_{0}),$ और कोई कह सकता है कि चर x समय पर निर्भर करता है t और प्रारंभिक स्थिति x = x₀. उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

सदिश क्षेत्र फ्लो कर्व्स के मामले में V एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर X, प्रवाह को प्रायः इस तरह से निरूपित किया जाता है कि इसके जनरेटर को स्पष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए,

$\Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).$

परिक्रमा

दिया गया x में X, समुच्चय $\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$ की कक्षा (गतिकी) कहलाती है x अंतर्गत φ. अनौपचारिक रूप से, इसे एक कण के प्रक्षेपवक्र के रूप में माना जा सकता है जो प्रारंभ में स्थित था x. यदि प्रवाह एक सदिश क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होता है, तो इसकी कक्षाएँ इसके अभिन्न वक्रों की छवियां होती हैं।

उदाहरण

बीजगणितीय समीकरण

$f:\mathbb {R} \to X$ एक समय-निर्भर प्रक्षेपवक्र हो जो एक विशेषण कार्य है, अर्थात, गैर-आवधिक कार्य है। तब एक प्रवाह द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$\varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).$

साधारण अंतर समीकरणों की स्वायत्त प्रणाली

होने देना ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ एक (समय-स्वतंत्र) सदिश क्षेत्र बनें और ${\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathit{x}}(t)=\mathit{F}(\mathit{x}(t)),\mathit{x}$