संरक्षण बल

भौतिक विज्ञान में, एक संरक्षी बल एक ऐसा बल है जिसके गुण के अनुसार किसी कण को ​​दो बिंदुओं के बीच ले जाने में किया गया कुल कार्य (भौतिकी) लिए गए पथ से स्वतंत्र होता है। समतुल्य रूप से, यदि कोई कण एक बंद लूप में यात्रा करता है, तो एक रूढ़िवादी बल द्वारा किया गया कुल कार्य (विस्थापन (ज्यामिति) द्वारा गुणा पथ के साथ काम करने वाले बल का योग) शून्य है। एक संरक्षी बल केवल वस्तु की स्थिति पर निर्भर करता है। यदि कोई बल रूढ़िवादी है, तो किसी भी बिंदु पर स्केलर क्षमता के लिए संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करना संभव है और इसके विपरीत, जब कोई वस्तु एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाती है, तो बल वस्तु की संभावित ऊर्जा को उस राशि से बदलता है जो निर्भर नहीं करता है रास्ते पर, यांत्रिक ऊर्जा और ऊर्जा के समग्र संरक्षण में योगदान। यदि बल रूढ़िवादी नहीं है, तो स्केलर क्षमता को परिभाषित करना संभव नहीं है, क्योंकि अलग-अलग पथ लेने से प्रारंभ और अंत बिंदुओं के बीच परस्पर विरोधी संभावित अंतर हो सकते हैं।

गुरुत्वाकर्षण संरक्षी बल का उदाहरण है, जबकि घर्षण बल असंरक्षी बल का उदाहरण है।

संरक्षी बलों के अन्य उदाहरण हैं: हुक का नियम, दो विद्युत आवेशों के बीच विद्युतस्थैतिक बल, और दो चुंबकीय ध्रुवों के बीच चुंबकीय बल । अंतिम दो बलों को केंद्रीय बल कहा जाता है क्योंकि वे दो आवेशित/चुंबकीय पिंडों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के साथ कार्य करते हैं। एक केंद्रीय बल संरक्षी होता है यदि और केवल यदि यह गोलाकार रूप से सममित हो।

अनौपचारिक परिभाषा

अनौपचारिक रूप से, एक रूढ़िवादी बल को एक बल के रूप में माना जा सकता है जो यांत्रिक ऊर्जा को संरक्षित करता है। मान लीजिए कि एक कण बिंदु A पर शुरू होता है, और उस पर एक बल F कार्य करता है। फिर कण अन्य बलों द्वारा चारों ओर ले जाया जाता है, और अंत में फिर से ए पर समाप्त होता है। हालांकि कण अभी भी गतिमान हो सकता है, उस पल में जब वह फिर से बिंदु A से गुजरता है, तो उसने एक बंद पथ की यात्रा की है। यदि इस बिंदु पर F द्वारा किया गया शुद्ध कार्य 0 है, तो F बंद पथ परीक्षण पास करता है। कोई भी बल जो सभी संभावित बंद पथों के लिए बंद पथ परीक्षण पास करता है, उसे रूढ़िवादी बल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

गुरुत्वाकर्षण बल , हुक का नियम, चुंबकीय बल (कुछ परिभाषाओं के अनुसार, नीचे देखें) और विद्युत बल (कम से कम एक समय-स्वतंत्र चुंबकीय क्षेत्र में, विवरण के लिए फैराडे का प्रेरण का नियम देखें) रूढ़िवादी बलों के उदाहरण हैं, जबकि घर्षण और वायु ड्रैग गैर-रूढ़िवादी ताकतों के शास्त्रीय उदाहरण हैं।

गैर-रूढ़िवादी बलों के लिए, यांत्रिक ऊर्जा जो खो जाती है (संरक्षित नहीं) को ऊर्जा के संरक्षण से कहीं और जाना पड़ता है। आम तौर पर ऊर्जा गर्मी में बदल जाती है, उदाहरण के लिए घर्षण से उत्पन्न गर्मी। गर्मी के अलावा, घर्षण भी अक्सर कुछ ध्वनि ऊर्जा पैदा करता है। एक चलती हुई नाव पर पानी का खिंचाव नाव की यांत्रिक ऊर्जा को न केवल ऊष्मा और ध्वनि ऊर्जा में परिवर्तित करता है, बल्कि इसके वेक (भौतिकी) के किनारों पर तरंग ऊर्जा को भी परिवर्तित करता है। ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम के कारण ये और अन्य ऊर्जा नुकसान अपरिवर्तनीय हैं।

पथ स्वतंत्रता

बंद पथ परीक्षण का एक सीधा परिणाम यह है कि किसी दो बिंदुओं के बीच गतिमान कण पर संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य कण द्वारा लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।

इसे दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है: किसी वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य केवल उसकी ऊंचाई में परिवर्तन पर निर्भर करता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल संरक्षी होता है। एक संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य उस प्रक्रिया के दौरान संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के ऋणात्मक के बराबर होता है। प्रमाण के लिए, दो पथ 1 और 2 की कल्पना करें, दोनों बिंदु A से बिंदु B तक जा रहे हैं। कण के लिए ऊर्जा की भिन्नता, पथ 1 को A से B तक ले जाना और फिर पथ 2 को B से A तक ले जाना, 0 है; इस प्रकार, कार्य पथ 1 और 2 में समान है, अर्थात, कार्य अनुसरण किए गए पथ से स्वतंत्र है, जब तक वह A से B तक जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई बच्चा घर्षण रहित स्लाइड को नीचे की ओर स्लाइड करता है, तो स्लाइड के शुरू होने से अंत तक बच्चे पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य स्लाइड के आकार से स्वतंत्र होता है; यह केवल बच्चे के ऊर्ध्वाधर विस्थापन पर निर्भर करता है।

गणितीय विवरण

एक बल क्षेत्र (भौतिकी) एफ, अंतरिक्ष में हर जगह परिभाषित (या अंतरिक्ष की एक सरल-जुड़े मात्रा के भीतर), एक रूढ़िवादी बल या रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र कहा जाता है, अगर यह इन तीन समकक्ष शर्तों में से किसी को पूरा करता है:

1. एफ का कर्ल (गणित) शून्य वेक्टर है:
   $${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\vec {0}}.$$
   जहां दो आयामों में यह कम हो जाता है:
   $${\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}=0$$
2. शून्य शुद्ध कार्य (भौतिकी) (डब्ल्यू) बल द्वारा किया जाता है जब एक कण को ​​​​एक ही स्थान पर शुरू और समाप्त होने वाले प्रक्षेपवक्र के माध्यम से ले जाया जाता है:
   $$W\equiv \oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0.$$
3. बल को एक संभावित ऊर्जा के नकारात्मक ढाल के रूप में लिखा जा सकता है, $\Phi$:
   $${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}\Phi .$$

Proof that these three conditions are equivalent when F is a force field

Main article: Conservative vector field

1 implies 2

Let C be any simple closed path (i.e., a path that starts and ends at the same point and has no self-intersections), and consider a surface S of which C is the boundary. Then Stokes' theorem says that

$$\int _{S}\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$$

If the curl of F is zero the left hand side is zero – therefore statement 2 is true.

2 implies 3

Assume that statement 2 holds. Let c be a simple curve from the origin to a point $x$ and define a function

$$\Phi (x)=-\int _{c}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}.$$

The fact that this function is well-defined (independent of the choice of c) follows from statement 2. Anyway, from the fundamental theorem of calculus, it follows that

$${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}\Phi .$$

So statement 2 implies statement 3 (see full proof).

3 implies 1

Finally, assume that the third statement is true. A well-known vector calculus identity states that the curl of the gradient of any function is 0. (See proof.) Therefore, if the third statement is true, then the first statement must be true as well. This shows that statement 1 implies 2, 2 implies 3, and 3 implies 1. Therefore, all three are equivalent, Q.E.D. (The equivalence of 1 and 3 is also known as (one aspect of) Helmholtz's theorem.)

रूढ़िवादी बल शब्द इस तथ्य से आता है कि जब एक रूढ़िवादी बल मौजूद होता है, तो यह यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण करता है। सबसे परिचित रूढ़िवादी बल हैं गुरुत्वाकर्षण , विद्युत बल (एक समय-स्वतंत्र चुंबकीय क्षेत्र में, फैराडे का प्रेरण का नियम | फैराडे का नियम देखें), और हुक का नियम।

कई बल (विशेष रूप से वे जो वेग पर निर्भर करते हैं) बल क्षेत्र (भौतिकी) नहीं हैं। इन मामलों में, उपरोक्त तीनों शर्तें गणितीय रूप से समतुल्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, चुंबकीय बल स्थिति 2 को संतुष्ट करता है (चूंकि आवेशित कण पर चुंबकीय क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है), लेकिन स्थिति 3 को संतुष्ट नहीं करता है, और स्थिति 1 भी परिभाषित नहीं है (बल एक सदिश क्षेत्र नहीं है, इसलिए कोई इसके कर्ल का मूल्यांकन नहीं कर सकता)। तदनुसार, कुछ लेखक चुंबकीय बल को रूढ़िवादी के रूप में वर्गीकृत करते हैं, जबकि अन्य नहीं करते। चुंबकीय बल एक असामान्य मामला है; अधिकांश वेग-निर्भर बल, जैसे कि घर्षण, तीन स्थितियों में से किसी को भी संतुष्ट नहीं करते हैं, और इसलिए स्पष्ट रूप से गैर-रूढ़िवादी हैं।

गैर-रूढ़िवादी बल

कुल ऊर्जा के संरक्षण के बावजूद, गैर-रूढ़िवादी बल शास्त्रीय भौतिकी में स्वतंत्रता की उपेक्षित डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) या समय-निर्भर क्षमता से उत्पन्न हो सकते हैं। कई गैर-रूढ़िवादी ताकतों को छोटे पैमाने की रूढ़िवादी ताकतों के मैक्रोस्कोपिक प्रभाव के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, व्यक्तिगत अणुओं की गति पर विचार करके ऊर्जा के संरक्षण का उल्लंघन किए बिना घर्षण का इलाज किया जा सकता है; हालाँकि, इसका मतलब है कि प्रत्येक अणु की गति को सांख्यिकीय विधियों के माध्यम से संभालने के बजाय उस पर विचार किया जाना चाहिए। मैक्रोस्कोपिक प्रणालियों के लिए गैर-रूढ़िवादी सन्निकटन स्वतंत्रता की लाखों डिग्री की तुलना में कहीं अधिक आसान है।

गैर-रूढ़िवादी ताकतों के उदाहरण घर्षण और गैर-लोचदार सामग्री तनाव (यांत्रिकी) हैं। घर्षण में कुछ ऊर्जा को निकायों के बड़े पैमाने पर गति से उनके इंटीरियर में छोटे पैमाने पर स्थानांतरित करने का प्रभाव होता है, और इसलिए बड़े पैमाने पर गैर-रूढ़िवादी दिखाई देता है।सामान्य सापेक्षता गैर-रूढ़िवादी है, जैसा कि सामान्य सापेक्षता के परीक्षणों में देखा गया है#बुध की कक्षा के पारा के पेरिहेलियन पुरस्सरण। हालाँकि, सामान्य सापेक्षता एक तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर का संरक्षण करती है।

यह भी देखें

• रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र
• रूढ़िवादी प्रणाली