एकात्मक समूह

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गणित में, डिग्री n का एकात्मक समूह, जिसे U(n) द्वारा निरूपित किया जाता है, n × n एकात्मक आव्यूहों का समूह है, जिसमें आव्यूह गुणन का समूह संचालन होता है। एकात्मक समूह सामान्य रैखिक समूह GL(n, C) का एक उपसमूह है।

गणित में, डिग्री n का एकात्मक समूह, जिसे U(n) द्वारा निरूपित किया जाता है, n × n एकात्मक मैट्रिक्स का समूह (गणित) है,जिसमें आव्यूह गुणन का समूह संचालन होता है। एकात्मक समूह सामान्य रेखीय समूह GL(n, C) का एक उपसमूह है.ह्यपेरोरथोगोनल समूह एकात्मक समूह के लिए एक पुरातन नाम है, विशेष रूप से परिमित क्षेत्र में। निर्धारक 1 के साथ एकात्मक मैट्रिसेस के समूह के लिए, विशेष एकात्मक समूह देखें।

साधारण मामले में n = 1, समूह U(1) सर्कल समूह से मेल खाता है, जिसमें गुणन के तहत जटिल संख्या निरपेक्ष मान और दूरी 1 के साथ सभी जटिल संख्याएँ शामिल हैं। सभी एकात्मक समूहों में इस समूह की प्रतियां होती हैं।

एकात्मक समूह U(n) आयाम n2 का एक वास्तविक लाई समूह है। U(n) के ^{लाई बीजगणित में कम्यूटेटर द्वारा दिए गए लाई ब्रैकेट के साथ शामिल हैं n × n तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स होते हैं।}

सामान्य एकात्मक समूह (जिसे एकात्मक उपमाओं का समूह भी कहा जाता है) में सभी मैट्रिक्स (गणित) ऐसे होते हैं कि ए^∗ पहचान मैट्रिक्स का एक शून्येतर गुणक है, और पहचान मैट्रिक्स के सभी सकारात्मक गुणकों के समूह के साथ एकात्मक समूह का गुणनफल है।

गुण

चूंकि एकात्मक मैट्रिक्स का निर्धारक मानदंड के साथ एक जटिल संख्या है 1, निर्धारक एक समूह समरूपता देता है

$\det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).$

इस समरूपता का कर्नेल (समूह सिद्धांत) निर्धारक के साथ एकात्मक मैट्रिसेस का सेट है 1. इस उपसमूह को विशेष एकात्मक समूह कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है SU(n). फिर हमारे पास लाई समूहों का एक संक्षिप्त सटीक क्रम है:

$1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.$

उपरोक्त नक्शा U(n) को U(1) एक खंड है: हम देख सकते हैं U(1) के उपसमूह के रूप में U(n) जिसके साथ विकर्ण हैं e^iθ ऊपरी बाएँ कोने में और 1 शेष विकर्ण पर। इसलिए U(n) का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है U(1) साथ SU(n).

एकात्मक समूह U(n) के लिए एबेलियन समूह नहीं है n > 1. के एक समूह का केंद्र U(n) अदिश आव्यूहों का समुच्चय है λI साथ λ ∈ U(1); यह शूर के लेम्मा से आता है। केंद्र तब आइसोमोर्फिक है U(1). के केंद्र के बाद से U(n) एक है 1-आयामी एबेलियन सामान्य उपसमूह U(n), एकात्मक समूह सेमीसिंपल बीजगणितीय समूह नहीं है, लेकिन यह रिडक्टिव समूह है।

टोपोलॉजी

एकात्मक समूह U(n) के उपसमुच्चय के रूप में सापेक्ष टोपोलॉजी से संपन्न है M(n, C), सभी का सेट n × n जटिल मैट्रिसेस, जो स्वयं 2n के लिए होमियोमॉर्फिक है²-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष ।

टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में, यू (एन) कॉम्पैक्ट जगह और जुड़ा हुआ स्थान दोनों है। यह दिखाने के लिए कि U(n) जुड़ा हुआ है, याद रखें कि किसी भी एकात्मक मैट्रिक्स A को अन्य एकात्मक मैट्रिक्स S द्वारा विकर्णित किया जा सकता है। किसी भी विकर्ण एकात्मक मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर निरपेक्ष मान 1 की जटिल संख्याएँ होनी चाहिए। इसलिए हम लिख सकते हैं

$A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.$

यू (एन) में पहचान से ए तक एक पथ (टोपोलॉजी) तब दिया जाता है

$t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->S\mathrm{diag}<!--\; \; -->\left(e^{it{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1},\dots <!--\; \dots \; -->,e^{it{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n}\right)$