गणितीय प्रमाण

पी. ऑक्सी। 29, यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों के सबसे पुराने जीवित अंशों में से एक, प्रूफ-राइटिंग तकनीक सिखाने के लिए सहस्राब्दियों से इस्तेमाल की जाने वाली पाठ्यपुस्तक। आरेख पुस्तक II, प्रस्ताव 5 के साथ आता है।^[1]

एक गणितीय प्रमाण एक गणितीय कथन के लिए एक आनुमानिक तर्क है, जो दर्शाता कि बताई गई मान्यताएँ तार्किक रूप से निष्कर्ष की प्रत्याभुति देती हैं। तर्क पहले से स्थापित अन्य कथनों का उपयोग कर सकता है, जैसे कि प्रमेय, लेकिन हर प्रमाण, सिद्धांत रूप में, केवल कुछ बुनियादी या मूल मान्यताओं का उपयोग करके निर्मित किया जा सकता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है,^[2]^[3]^[4] अनुमान के स्वीकृत नियमों के साथ। प्रमाण कटौतीत्मक तर्क के उदाहरण हैं जो तार्किक निश्चितता स्थापित करते हैं, अनुभवजन्य साक्ष्य तर्कों या गैर-संपूर्ण आगमनात्मक तर्क से अलग होने के लिए जो उचित अपेक्षा स्थापित करते हैं। ऐसे कई सदर्भ को प्रस्तुत करना जिनमें कथन मान्य है, एक प्रमाण के लिए पर्याप्त नहीं है, जो यह प्रदर्शित करे कि कथन सभी संभावित सदर्भ में सत्य है। एक प्रस्ताव जिसे सिद्ध नहीं किया गया है लेकिन माना जाता है कि यह सच है, एक अनुमान के रूप में जाना जाता है, या एक परिकल्पना के रूप में जाना जाता है, जिसे आगे के गणितीय कार्यों के लिए प्रायः एक धारणा के रूप में उपयोग किया जाता है।

प्रमाण प्राकृतिक भाषा के साथ-साथ गणितीय प्रतीकों में व्यक्त तर्क को नियोजित करते हैं जो सामान्यतः कुछ अस्पष्टता को स्वीकार करते हैं। अधिकांश गणितीय साहित्य में, प्रमाणों को कठोरता विषियों में अनौपचारिक तर्कशास्त्र के संदर्भ में लिखा जाता है। प्राकृतिक भाषा की भागीदारी के बिना पूरी तरह से प्रतीकात्मक भाषा (गणित) में लिखे गए विशुद्ध रूप से औपचारिक प्रमाण को प्रमाण सिद्धांत में माना जाता है। प्रमाण सिद्धांत # औपचारिक और अनौपचारिक प्रमाण के बीच अंतर ने वर्तमान और ऐतिहासिक गणितीय अभ्यास, गणित में अर्ध-अनुभववाद, और तथाकथित गणितीय लोककथाओं, मुख्यधारा के गणितीय समुदाय या अन्य संस्कृतियों में मौखिक परंपराओं की बहुत अधिक जांच की है। गणित का दर्शन प्रमाणों में भाषा और तर्क की भूमिका से संबंधित, गणित एक भाषा के रूप में है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

शब्द प्रमाण लैटिन संभावित (परीक्षण करने के लिए) से आता है। संबंधित आधुनिक शब्द अंग्रेजी "जांच", "परिवीक्षा" और "संभाव्यता", स्पेनिश प्रोबार (सूंघने या स्वाद के लिए, या कभी-कभी स्पर्श या परीक्षण करने के लिए),^[5] इतालवी प्रोवारे (प्रयास करने के लिए), और जर्मन प्रोबिरेन (प्रयास करने के लिए हैं)। कानूनी शब्द "सत्यनिष्ठा" का अर्थ, अधिकार या विश्वसनीयता, प्रतिष्ठा या स्थिति के व्यक्तियों द्वारा दिए जाने पर तथ्यों को प्रमाणित करने की गवाही की शक्ति है।^[6]

चित्रों और उपमाओं जैसे अनुमानी उपकरणों का उपयोग करते हुए संभाव्यता तर्क सख्त गणितीय प्रमाण से पहले थे।^[7]यह संभव है कि किसी निष्कर्ष को प्रदर्शित करने का विचार सबसे पहले ज्यामिति के संबंध में उत्पन्न हुआ, जिसकी उत्पत्ति भूमि मापन की व्यावहारिक समस्याओं से हुई।^[8] गणितीय प्रमाण का विकास मुख्य रूप से ग्रीक गणित का उत्पाद है, और इसकी सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक है।^[9] थेल्स (624-546 ईसा पूर्व) और चिओस के हिप्पोक्रेट्स (सी. 470-410 ईसा पूर्व) ने ज्यामिति में प्रमेयों के कुछ पहले ज्ञात प्रमाण दिए। कनिडस के यूडोक्सस (408-355 ईसा पूर्व) और थेएटेटस (गणितज्ञ) (417-369 ईसा पूर्व) ने प्रमेय तैयार किए लेकिन उन्हें सिद्ध नहीं किया। अरस्तू (384-322 ई.पू.) ने कहा कि परिभाषाओं को पहले से ज्ञात अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणा का वर्णन करना चाहिए।

यूक्लिड (300 ईसा पूर्व) द्वारा गणितीय प्रमाण में क्रांति ला दी गई थी, जिसने आज भी उपयोग में आने वाली स्वयंसिद्ध पद्धति की शुरुआत की। यह अपरिभाषित शर्तों और स्वयंसिद्धों के साथ शुरू होता है, अपरिभाषित शब्द से संबंधित प्रस्ताव जो स्वयं-स्पष्ट रूप से सत्य (ग्रीक "अक्ष" से, कुछ योग्य) माना जाता है। इस आधार से, विधि निगमनात्मक तर्क का उपयोग करके प्रमेयों को सिद्ध करती है। यूक्लिड की पुस्तक, यूक्लिड के तत्व, 20वीं शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में शिक्षित माने जाने वाले किसी भी व्यक्ति द्वारा पढ़ी गई थी।^[10] ज्यामिति के प्रमेयों के अलावा, जैसे पाइथागोरस प्रमेय, तत्वों में संख्या सिद्धांत भी सम्मिलित है, जिसमें एक प्रमाण सम्मिलित है कि दो का वर्गमूल अपरिमेय संख्या है और एक प्रमाण है कि अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

मध्यकालीन इस्लाम में गणित के क्षेत्र में और प्रगति हुई। जबकि पहले ग्रीक प्रमाण बड़े पैमाने पर ज्यामितीय प्रदर्शन थे, इस्लामी गणितज्ञों द्वारा अंकगणित और बीजगणित के विकास ने ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर निर्भरता के बिना अधिक सामान्य प्रमाणों की अनुमति दी थी। 10 वीं शताब्दी सीई में, इराकी गणितज्ञ अल-हाशमी ने संख्या के साथ काम किया, जिसे "रेखाएं" कहा जाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसे ज्यामितीय वस्तुओं के माप के रूप में माना जाए, ताकि अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व सहित गुणन, विभाजन आदि से संबंधित बीजगणितीय प्रस्तावों को प्रमाणित किया जा सके। ^[11] गैराज द्वारा अल-फखरी (1000) में अंकगणितीय प्रगति के लिए एक गणितीय आगमन पेश किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग द्विपद प्रमेय और पास्कल के त्रिकोण के गुणों को प्रमाणित करने के लिए किया था। यूक्लिडियन ज्यामिति समानांतर अभिधारणा को प्रमाणित करने के पहले प्रयास के रूप में, अल्हज़ेन ने विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि भी विकसित की।^[12]

आधुनिक प्रमाण सिद्धांत प्रमाणों को आगमनात्मक रूप से परिभाषित डेटा संरचनाओं के रूप में मानता है, इस धारणा की आवश्यकता नहीं है कि स्वयंसिद्ध किसी भी अर्थ में सत्य हैं। यह समानांतर गणितीय सिद्धांतों को दी गई सहज अवधारणा के औपचारिक प्रतिरूप के रूप में अनुमति देता है, जो स्वयंसिद्धों के वैकल्पिक सेटों पर आधारित है, उदाहरण के लिए स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति।

प्रकृति और उद्देश्य

जैसा कि अभ्यास किया जाता है, एक प्रमाण प्राकृतिक भाषा में व्यक्त किया जाता है और एक कठोर तर्क है जिसका उद्देश्य दर्शकों को किसी कथन की सच्चाई को समझाना है। कठोरता का मानक पूर्ण नहीं है और पूरे इतिहास में भिन्न है। इच्छित दर्शकों के आधार पर एक प्रमाण को अलग-अलग तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है। स्वीकृति प्राप्त करने के लिए, एक प्रमाण को कठोरता के सांप्रदायिक मानकों को पूरा करना होता है; अस्पष्ट या अपूर्ण माने जाने वाले तर्क को अस्वीकार किया जा सकता है।

प्रमाण की अवधारणा को गणितीय तर्क के क्षेत्र में औपचारिक रूप दिया गया है।^[13] एक औपचारिक प्रमाण प्राकृतिक भाषा के बजाय औपचारिक भाषा में लिखा जाता है। एक औपचारिक प्रमाण एक औपचारिक भाषा में अच्छी तरह से गठित सूत्र का एक क्रम है, जो एक धारणा से शुरू होता है, और प्रत्येक बाद के सूत्र के साथ पूर्ववर्ती का एक तार्किक परिणाम होता है। यह परिभाषा अध्ययन के लिए प्रमाण की अवधारणा को उत्तरदायी बनाती है। वास्तव में, प्रमाण सिद्धांत का क्षेत्र औपचारिक प्रमाणों और उनके गुणों का अध्ययन करता है, सबसे प्रसिद्ध और आश्चर्यजनक यह है कि लगभग सभी स्वयंसिद्ध प्रणालियाँ कुछ स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) उत्पन्न कर सकती हैं जो प्रणाली के भीतर सिद्ध नहीं हो सकती हैं।

एक औपचारिक प्रमाण की परिभाषा का उद्देश्य गणित के अभ्यास में लिखी गई प्रमाणों की अवधारणा को ग्रहण करना है। इस परिभाषा की मजबूती इस विश्वास के बराबर है कि एक प्रकाशित प्रमाण, सिद्धांत रूप में, एक औपचारिक प्रमाण में परिवर्तित हो सकता है। हालांकि, स्वचालित प्रूफ सहायकों के क्षेत्र के बाहर, व्यवहार में ऐसा अनुमानतः ही कभी किया जाता है। दर्शनशास्त्र में एक उत्कृष्ट प्रश्न पूछता है कि क्या गणितीय प्रमाण विश्लेषणात्मक तर्कवाक्य हैं या संश्लिष्ट तर्कवाक्य। इम्मैनुएल कांत, जिन्होंने विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक भेद पेश किया, का मानना था कि गणितीय प्रमाण सिंथेटिक हैं, जबकि विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन ने अपने 1951 के अनुभववाद के दो हठधर्मिता में तर्क दिया कि ऐसा भेद अस्थिर है।^[14]

उनके गणितीय सौंदर्य के लिए प्रमाणों की प्रशंसा की जा सकती है। गणितज्ञ पॉल एर्डोस उन प्रमाणों का वर्णन करने के लिए जाने जाते थे जिन्हें उन्होंने "द बुक" से आने के रूप में विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण पाया, प्रत्येक प्रमेय को प्रमाणित करने के लिए सबसे सुंदर विधि (ओं) से युक्त एक काल्पनिक ग्रंथ। 2003 में प्रकाशित पुस्तक पुस्तक से प्रमाण, 32 प्रमाणों को प्रस्तुत करने के लिए समर्पित है, जो इसके संपादकों को विशेष रूप से भाते हैं।

प्रमाण के तरीके

प्रत्यक्ष प्रमाण

प्रत्यक्ष प्रमाण में, निष्कर्ष तार्किक रूप से स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पहले के प्रमेयों को जोड़कर स्थापित किया जाता है।^[15] उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष प्रमाण का उपयोग यह प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है कि दो सम (गणित) पूर्णांकों का योग हमेशा सम होता है:

दो सम पूर्णांकों x और y पर विचार कीजिए। चूँकि वे सम हैं, उन्हें कुछ पूर्णांक a और b के लिए क्रमशः x = 2a और y = 2b के रूप में लिखा जा सकता है। फिर योग x + y = 2a + 2b = 2(a+b) है। इसलिए x+y में कारक के रूप में 2 है और, परिभाषा के अनुसार, सम है। अतः किन्हीं भी दो सम पूर्णांकों का योग सम होता है।

यह प्रमाण सम पूर्णांकों की परिभाषा, योग और गुणन के अंतर्गत संवरण के पूर्णांक गुणों और वितरण गुण का उपयोग करता है।

गणितीय आगमन द्वारा उत्पत्ति

अपने नाम के बावजूद, गणितीय आगमन निगमन का एक तरीका है, आगमनात्मक तर्क का एक रूप नहीं। गणितीय आगमन के प्रमाण में, एक एकल "आधार मामला" सिद्ध होता है, और एक "प्रेरण नियम" सिद्ध होता है जो यह स्थापित करता है कि कोई भी मनमाना मामला अगले मामले में दर्शाता है। चूंकि सिद्धांत रूप में आगमन नियम को बार-बार लागू किया जा सकता है (प्रमाणित आधार मामले से शुरू करके), यह इस प्रकार है कि सभी (सामान्यतः असीम रूप से) मामले सिद्ध होते हैं।^[16] यह प्रत्येक मामले को अलग-अलग प्रमाणित करने से बचा जाता है। गणितीय प्रेरण का एक प्रकार अनंत वंश द्वारा प्रमाण है, जिसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, दो के वर्गमूल की तर्कहीनता को प्रमाणित करने के लिए।

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह प्रमाणित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है: [17] मान लीजिए N = {1, 2, 3, 4, ...} प्राकृतिक का समुच्चय है संख्याएँ, और P(n) एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n सम्मिलित है ।

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह प्रमाणित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है:^[17] मान लीजिए $N = {1, 2, 3, 4, ...$ } प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हो, और $P (n)$ एक गणितीय कथन बनें $n$ $N$ एक गणितीय कथन है जिसमें N से संबंधित प्राकृतिक संख्या n सम्मिलित है कि

(i) $P (1)$ सत्य है, अर्थात् $P (n)$ के लिए सत्य है $n = 1$ .
(ii) $P (n +1)$ सच है जब भी $P (n)$ सत्य है, अर्थात् $P (n)$ सत्य है का तात्पर्य है $P (n +1)$ सच हैं।
फिर $P (n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है $n$ .

उदाहरण के लिए, हम आगमन द्वारा सिद्ध कर सकते हैं कि 2n − 1 के रूप के सभी धनात्मक पूर्णांक विषम हैं। मान लीजिए कि P(n) "2n - 1 विषम है" को निरूपित करता है:

(i) n = 1 के लिए, 2n - 1 = 2(1) - 1 = 1, और 1 विषम है, क्योंकि यह 2 से विभाजित करने पर 1 शेष छोड़ता है। इस प्रकार P(1) सत्य है। (ii) किसी भी n के लिए, यदि 2n - 1 विषम (P(n)) है, तो (2n - 1) + 2 भी विषम होना चाहिए, क्योंकि किसी विषम संख्या में 2 जोड़ने पर विषम संख्या प्राप्त होती है। लेकिन (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1, इसलिए 2(n+1) − 1 विषम है (P(n+1))। अतः P(n) का तात्पर्य P(n+1) से है। इस प्रकार सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए 2n − 1 विषम है।

छोटा वाक्यांश "प्रेरण द्वारा प्रमाण" प्रायः "गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण" के बजाय प्रयोग किया जाता है^[18]

विक्षेपण द्वारा प्रमाण

विरोधाभास द्वारा प्रमाण "यदि P तो q" तार्किक रूप से समतुल्य विरोधाभासी बयान की स्थापना करके "यदि q नहीं तो P नहीं " कथन का अनुमान लगाता है।

उदाहरण के लिए, गर्भनिरोधक का उपयोग यह स्थापित करने के लिए किया जा सकता है कि एक पूर्णांक $x$ , यदि $x^{2}$ सम है, तो $x$ सम है:

मान लीजिए

x

सम नहीं है। फिर

x

विषम है। अतः दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है

x^{2}=x\cdot x

विषम है। इस प्रकार

x^{2}

सम नहीं है। इस प्रकार, यदि

x^{2}

सम है, तो अनुमान झूठा होना चाहिए, इसलिए

x

सम होना चाहिए।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण

विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, जिसे लैटिन वाक्यांश रिडक्टियो एड बेतुका (बेतुके को कम करके) के रूप में भी जाना जाता है, यह दिखाया गया है कि यदि कुछ कथन को सत्य मान लिया जाता है, तो एक तार्किक विरोधाभास होता है, इसलिए कथन गलत होना चाहिए। एक प्रसिद्ध उदाहरण में यह प्रमाण सम्मिलित है कि ${\sqrt {2}}$ एक अपरिमेय संख्या है:

मान लो कि

{\sqrt {2}}

एक परिमेय संख्या थी। तब इसे निम्नतम शब्दों

{\sqrt {2}}={a \over b}

में लिखा जा सकता है जहाँ a और b सहअभाज्य के साथ गैर-शून्य पूर्णांक हैं। इस प्रकार,

b{\sqrt {2}}=a

. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2b = a² प्राप्त होता है । चूँकि 2 बायीं ओर के व्यंजक को विभाजित करता है, 2 को दायीं ओर के समान व्यंजक को भी विभाजित करना होगा। वह² सम है, जिसका अर्थ है कि a को भी सम होना चाहिए, जैसा कि ऊपर दिए गए प्रस्ताव में देखा गया है (#विरोधाभास द्वारा प्रमाण)। अतः हम a = 2c लिख सकते हैं, जहाँ c भी एक पूर्णांक है। मूल समीकरण में प्रतिस्थापन से 2b प्राप्त होता है² = (2सी)² = 4सी²। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर b प्राप्त होता है² = 2सी²। लेकिन फिर, पहले की तरह उसी तर्क से, 2 b को विभाजित करता है², इसलिए b सम होना चाहिए। हालाँकि, यदि a और b दोनों सम हैं, तो उनके पास 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारे पिछले बयान का खंडन करता है कि ए और बी में कोई सामान्य कारक नहीं है, इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए

{\sqrt {2}}

एक अपरिमेय संख्या है।

व्याख्या करना: यदि कोई लिख सकता है ${\sqrt {2}}$ भिन्न के रूप में, इस भिन्न को कभी भी निम्नतम शब्दों में नहीं लिखा जा सकता है, क्योंकि 2 को अंश और हर से हमेशा गुणनखंडित किया जा सकता है।

निर्माण द्वारा प्रमाण

निर्माण द्वारा प्रमाण, या उदाहरण के द्वारा प्रमाण, एक संपत्ति के साथ एक ठोस उदाहरण का निर्माण है, यह दिखाने के लिए कि उस संपत्ति में कुछ मौजूद है। उदाहरण के लिए, जोसेफ लिउविल ने ने एक स्पष्ट उदाहरण बनाकर पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व को सिद्ध किया। इसका उपयोग एक प्रस्ताव का खंडन करने के लिए एक विरोध उदाहरण बनाने के लिए भी किया जा सकता है कि सभी तत्वों की एक निश्चित संपत्ति होती है।

थकावट से प्रमाण

थकावट द्वारा प्रमाण में, निष्कर्ष को सीमित संख्या में सदर्भ में विभाजित करके और प्रत्येक को अलग-अलग प्रमाणित करके स्थापित किया जाता है। सदर्भ की संख्या कभी-कभी बहुत बड़ी हो सकती है। उदाहरण के लिए, चार रंग प्रमेय का पहला प्रमाण 1,936 सदर्भ के साथ थकावट का प्रमाण था। यह प्रमाण विवादास्पद था क्योंकि अधिकांश सदर्भ की जाँच कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा की गई थी, हाथ से नहीं। 2011 तक चार रंग प्रमेय का सबसे छोटा ज्ञात प्रमाण अभी भी 600 से अधिक मामले हैं।^[19]

संभाव्य प्रमाण

एक संभाव्यता प्रमाण वह है जिसमें संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके एक उदाहरण को निश्चित रूप से मौजूद दिखाया गया है। संभाव्य प्रमाण, जैसे निर्माण द्वारा प्रमाण, अस्तित्व प्रमेयों को सिद्ध करने के कई तरीकों में से एक है।

संभाव्य पद्धति में, एक व्यक्ति एक दी गई संपत्ति वाले वस्तु की तलाश करता है, जो उम्मीदवारों के एक बड़े समूह से शुरू होता है। एक प्रत्येक उम्मीदवार को चुने जाने के लिए एक निश्चित संभावना प्रदान करता है, और फिर यह प्रमाणित करता है कि एक गैर-शून्य संभावना है कि एक चुने हुए उम्मीदवार के पास वांछित संपत्ति होगी। यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि किस उम्मीदवार के पास संपत्ति है, लेकिन कम से कम एक के बिना संभावना सकारात्मक नहीं हो सकती।

एक संभाव्य प्रमाण को एक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए कि एक प्रमेय 'अनुमानतः' सत्य है, एक 'संभावना तर्क' है। कोलाज अनुमान पर काम दिखाता है कि वास्तविक प्रमाण से कितनी दूर की संभावना है। जबकि अधिकांश गणितज्ञ यह नहीं सोचते हैं कि किसी दिए गए वस्तु के गुणों के लिए संभाव्य साक्ष्य एक वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में गिना जाता है, कुछ गणितज्ञों और दार्शनिकों ने तर्क दिया है कि कम से कम कुछ प्रकार के संभाव्य साक्ष्य (जैसे कि राबिन के प्रारंभिक परीक्षण के लिए संभाव्यता कलन विधि ) इस प्रकार हैं वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में अच्छा है।^[20]^[21]

मिश्रित प्रमाण

एक संयोजक प्रमाण अलग-अलग अभिव्यक्तियों की समानता को यह दिखा कर स्थापित करता है कि वे एक ही वस्तु को अलग-अलग तरीकों से गिनते हैं। प्रायः दो समुच्चय (गणित) के बीच एक आपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि उनके दो आकारों के भाव समान हैं। वैकल्पिक रूप से, एक दोहरी गिनती (प्रमाण तकनीक) एकल समुच्चय के आकार के लिए दो अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ प्रदान करती है, फिर से दिखाती है कि दो अभिव्यक्तियाँ समान हैं।

अरचनात्मक प्रमाण

एक गैर-रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि एक निश्चित संपत्ति के साथ एक गणितीय वस्तु मौजूद है - बिना यह बताए कि ऐसी वस्तु कैसे पाई जा सकती है। बहुधा यह अंतर्विरोध द्वारा एक प्रमाण का रूप ले लेता है जिसमें वस्तु का न होना असम्भव सिद्ध होता है। इसके विपरीत, एक रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि किसी विशेष वस्तु को खोजने का एक तरीका प्रदान करके मौजूद है। एक अरचनात्मक प्रमाण के निम्नलिखित प्रसिद्ध उदाहरण से पता चलता है कि दो अपरिमेय संख्याएँ a और b मौजूद हैं $a^{b}$ एक परिमेय संख्या है। यह प्रमाण उसका उपयोग करता है ${\sqrt {2}}$ अपरिमेय है (यूक्लिड के बाद से एक आसान प्रमाण जाना जाता है), लेकिन ऐसा नहीं है कि $StartRoot 2 EndRoot Superscript StartRoot 2 EndRoot$

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