स्मूथनेस

"C infinity" redirects here. For the extended complex plane $\mathbb {C} _{\infty }$, see Riemann sphere.

"C^n" redirects here. For $\mathbb {C} ^{n}$, see Complex coordinate space.

For smoothness in number theory, see smooth number.

कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ टक्कर समारोह एक स्मूद फंक्शन है।

गणितीय विश्लेषण में, एक फ़ंक्शन (गणित) की सुगमता एक गुण है जिसे निरंतर फ़ंक्शन डेरिवेटिव (गणित) की संख्या से मापा जाता है, जो कि कुछ डोमेन पर होता है, जिसे 'भिन्नता वर्ग' कहा जाता है। बहुत कम से कम, एक फ़ंक्शन को सुचारू माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो (इसलिए निरंतर)। दूसरे छोर पर, यह एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन में व्युत्पत्ति के सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से अलग-अलग कहा जाता है और सी-इन्फिनिटी फ़ंक्शन (या) के रूप में संदर्भित किया जाता है। $C^{\infty }$ समारोह)।

भिन्नता वर्ग

अवकलनीयता वर्ग उनके यौगिक के गुणों के अनुसार कार्यों का वर्गीकरण है। यह डेरिवेटिव के उच्चतम क्रम का एक माप है जो मौजूद है और एक फ़ंक्शन के लिए निरंतर है।

एक खुले सेट पर विचार करें $U$ वास्तविक रेखा और एक समारोह पर $f$ पर परिभाषित $U$ वास्तविक मूल्यों के साथ। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। कार्यक्रम $f$ विभेदीयता वर्ग का कहा जाता है $C^{k}$ अगर डेरिवेटिव $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ मौजूद हैं और निरंतर कार्य कर रहे हैं $U$. यदि $f$ है $k$-विभेद्य पर $U$, तो यह कम से कम कक्षा में है $C^{k-1}$ जबसे $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$ लगातार चालू हैं $U$. कार्यक्रम $f$ कहा जाता है कि यह असीम रूप से भिन्न, चिकना या वर्ग का है $C^{\infty }$, अगर इसमें सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं $U$. (इसलिए ये सभी डेरिवेटिव निरंतर कार्य हैं $U$.) कार्यक्रम $f$ वर्ग का बताया गया है $C^{\omega }$, या विश्लेषणात्मक कार्य, यदि $f$ चिकना है (यानी, $f$ कक्षा में है $C^{\infty }$) और इसके डोमेन में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में कार्य में परिवर्तित हो जाता है। $C^{\omega }$ इस प्रकार सख्ती से निहित है $C^{\infty }$. बम्प फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं $C^{\infty }$ लेकिन अंदर नहीं $C^{\omega }$.

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, class $C^{0}$ सभी निरंतर कार्यों से मिलकर बनता है। कक्षा $C^{1}$ सभी अलग-अलग कार्यों के होते हैं जिनका व्युत्पन्न निरंतर है; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, ए $C^{1}$ कार्य वास्तव में एक कार्य है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और कक्षा का है $C^{0}$. सामान्य तौर पर, कक्षाएं $C^{k}$ घोषित करके प्रत्यावर्तन परिभाषित किया जा सकता है $C^{0}$ सभी निरंतर कार्यों का सेट होना और घोषणा करना $C^{k}$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ उन सभी अलग-अलग कार्यों का सेट होने के लिए जिनका व्युत्पन्न है $C^{k-1}$. विशेष रूप से, $C^{k}$ में निहित है $C^{k-1}$ हरएक के लिए $k>0$, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त है ($C^{k}\subsetneq C^{k-1}$). कक्षा $C^{\infty }$ असीम रूप से भिन्न कार्यों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है $C^{k}$ जैसा $k$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण

सी⁰ समारोह f(x) = x के लिये x ≥ 0 और 0 अन्यथा।

फ़ाइल:X^2sin(x^-1).svg|thumb|कार्यक्रम g(x) = x² sin(1/x) के लिये x > 0.

फ़ाइल: फ़ंक्शन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|कार्यक्रम $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ साथ $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ के लिये $x\neq 0$ तथा $f(0)=0$ अवकलनीय है। हालाँकि, यह फ़ंक्शन लगातार भिन्न नहीं होता है।

एक सहज कार्य जो विश्लेषणात्मक नहीं है।

कार्यक्रम

$$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}$$

निरंतर है, लेकिन अलग-अलग नहीं है x = 0, तो यह कक्षा सी का है⁰, लेकिन कक्षा C का नहीं^{1</उप>।}

कार्यक्रम

$$g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$$

अवकलनीय है, व्युत्पन्न के साथ

$$g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}$$

इसलिये $\cos(1/x)$ के रूप में हिलता है x → 0, $g'(x)$ शून्य पर सतत नहीं है। इसलिए, $g(x)$ अवकलनीय है लेकिन वर्ग C का नहीं है^{1</उप>। इसके अलावा अगर कोई लेता है $g(x)=x^{4/3}\sin(1/x)$ (x ≠ 0) इस उदाहरण में, यह दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि एक अलग-अलग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न फ़ंक्शन को कॉम्पैक्ट सेट पर असीमित किया जा सकता है और इसलिए, कॉम्पैक्ट सेट पर एक अलग-अलग फ़ंक्शन स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हो सकता है।}

कार्य

$$f(x)=|x|^{k+1}$$

कहाँ पे k सम है, निरंतर हैं और k बार अलग-अलग x. लेकिन पर x = 0 वो नहीं हैं (k + 1) समय अवकलनीय है, इसलिए वे कक्षा C के हैं^k, लेकिन कक्षा C का नहीं^j कहाँ j > k.

घातीय कार्य विश्लेषणात्मक है, और इसलिए कक्षा सी में आता है^ω. त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ उन्हें परिभाषित किया जाता है।

टक्कर समारोह

$$f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$$

चिकनी है, इसलिए कक्षा सी की है^∞, लेकिन यह विश्लेषणात्मक नहीं है x = ±1, और इसलिए कक्षा सी का नहीं है^ω. कार्यक्रम f कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य का एक उदाहरण है।

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग

एक समारोह $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ एक खुले सेट पर परिभाषित $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$ कहा जाता है कि वर्ग का होना $C^{k}$ पर $U$, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव

$${\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$$

मौजूद हैं और निरंतर हैं, प्रत्येक के लिए $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक, जैसे कि $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k$, और हर $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U$. समान रूप से, $f$ वर्ग का है $C^{k}$ पर $U$ अगर $k$-वें क्रम के फ्रेचेट का व्युत्पन्न $f$ मौजूद है और के हर बिंदु पर निरंतर है $U$. कार्यक्रम $f$ वर्ग का बताया गया है $C$ या $C^{0}$ अगर यह लगातार चालू है $U$. वर्ग के कार्य $C^{1}$ निरंतर अवकलनीय भी कहा जाता है।

एक समारोह $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, एक खुले सेट पर परिभाषित $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$वर्ग का बताया जाता है $C^{k}$ पर $U$, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, यदि इसके सभी घटक

$$f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m$$

वर्ग के हैं $C^{k}$, कहाँ पे $\pi _{i}$ प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं (रैखिक बीजगणित) $\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $\pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}$. क्लास का बताया जाता है $C$ या $C^{0}$ यदि यह निरंतर है, या समतुल्य है, यदि सभी घटक $f_{i}$ निरंतर हैं, चालू हैं $U$.

सी का स्थान^{के </सुप> कार्य}

होने देना $D$ वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय बनें। सभी का सेट $C^{k}$ वास्तविक-मूल्यवान कार्यों को परिभाषित किया गया है $D$ सेमिनोर्म्स के गणनीय परिवार के साथ एक फ्रेचेट स्पेस|फ्रेचेट वेक्टर स्पेस है

$$p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|$$

कहाँ पे $K$ सघन समुच्चयों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका संघ (सेट सिद्धांत) है $D$, तथा $m=0,1,\dots ,k$.

के समुच्चय $C^{\infty }$ कार्य समाप्त $D$ एक फ्रेचेट स्पेस भी बनाता है। सिवाय इसके कि ऊपर के समान सेमिनोर्म का उपयोग किया जाता है $m$ सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों की सीमा की अनुमति है।

उपरोक्त रिक्त स्थान उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से होते हैं जहां कुछ ऑर्डर के डेरिवेटिव वाले फ़ंक्शन आवश्यक होते हैं; हालाँकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के बजाय काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।

निरंतरता

शर्तें पैरामीट्रिक निरंतरता (सी^k) और ज्यामितीय निरंतरता (Gⁿ) को ब्रायन ए. बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि गति पर प्रतिबंधों को हटाकर वक्र की चिकनाई को मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है।

पैरामीट्रिक निरंतरता

पैरामीट्रिक निरंतरता (सी^k) पैरामीट्रिक वक्रों पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की चिकनाई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र $s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ वर्ग सी का बताया जाता है^{कश्मीर}, अगर $\textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}$ मौजूद है और लगातार चालू है $[0,1]$, जहां अंत-बिंदुओं पर डेरिवेटिव हैं $0,1\in [0,1]$ अर्ध-भिन्नता के लिए लिया जाता है (यानी, पर $0$ दाईं ओर से और पर $1$ बाएं से)।

इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C होना चाहिए¹ निरंतरता और इसका पहला व्युत्पन्न अवकलनीय है—ऑब्जेक्ट के लिए परिमित त्वरण है। चिकनी गति के लिए, जैसे फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, पैरामीट्रिक निरंतरता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।

पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम

दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो कि केवल C है⁰ निरंतर

दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे सी हैं¹ निरंतर

पैरामीट्रिक निरंतरता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

• $C^{0}$: शून्य अवकलज सतत है (वक्र सतत हैं)
• $C^{1}$: शून्यवाँ और प्रथम अवकलज संतत हैं
• $C^{2}$: शून्य, पहला और दूसरा डेरिवेटिव निरंतर हैं
• $C^{n}$: 0-वें के माध्यम से $n$-वें डेरिवेटिव निरंतर हैं

ज्यामितीय निरंतरता

जी के साथ घटता है¹-संपर्क (वृत्त, रेखा)

$(1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0$
जी के साथ शांकव वर्गों की पेंसिल²-संपर्क: पी फिक्स, $\varepsilon$ चर
($\varepsilon =0$: घेरा,$\varepsilon =0.8$: अंडाकार, $\varepsilon =1$: परवलय, $\varepsilon =1.2$: हाइपरबोला)

ज्यामितीय निरंतरता या ज्यामितीय निरंतरता की अवधारणा (जीⁿ) मुख्य रूप से गॉटफ्रीड लीबनिज, जोहान्स केप्लर और जीन-विक्टर पोंसेलेट जैसे गणितज्ञों द्वारा शांकव वर्गों (और संबंधित आकृतियों) पर लागू किया गया था। अवधारणा बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था, एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त निरंतर कार्य की अवधारणा। <रेफरी नाम = टेलर 1911, पीपी। 674-675>Taylor, Charles (1911). "Geometrical Continuity" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica (in English). Vol. 11 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 674–675.</रेफरी>

ज्यामितीय निरंतरता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु खंड वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि विलक्षणता (गणित) शून्य तक पहुँचती है, या एक परवलय के रूप में यह एक तक पहुँचती है; और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर जाता है क्योंकि सनकीपन एक की ओर गिरता है; यह रेखा (ज्यामिति) को प्रतिच्छेद करने के लिए भी प्रवृत्त हो सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच निरंतरता थी। इन विचारों ने निरंतरता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार की दो अभिव्यक्तियाँ हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में सोचा जा सकता है। ऐसा होने के लिए, बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद करना होगा $x=\infty$ सर्कल पर एक बिंदु होने के लिए, और के लिए $x=+\infty$ तथा $x=\neg \infty$ समान होना। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फलन के निरंतर कार्य के विचार और के विचार को गढ़ने में उपयोगी थे $\infty$ (अधिक जानकारी के लिए अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)। <रेफरी नाम = टेलर 1911, पीपी। 674-675 />

ज्यामितीय निरंतरता का क्रम

एक वक्र या सतह (टोपोलॉजी) को होने के रूप में वर्णित किया जा सकता है $G^{n}$ निरंतरता, साथ $n$ चिकनाई के बढ़ते उपाय होने के नाते। एक वक्र पर एक बिंदु के दोनों ओर खंडों पर विचार करें:

• $G^{0}$: वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
• $G^{1}$: वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं।
• $G^{2}$: वक्र जोड़ बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र भी साझा करते हैं।

सामान्य रूप में, $G^{n}$ निरंतरता मौजूद है अगर वक्रों को फिर से परिभाषित किया जा सकता है $C^{n}$ (पैरामीट्रिक) निरंतरता। वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है; केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।

समतुल्य रूप से, दो वेक्टर फ़ंक्शन $f(t)$ तथा $g(t)$ पास होना $G^{n}$ निरंतरता अगर $f^{(n)}(t)\neq 0$ तथा $f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)$, एक अदिश के लिए $k>0$ (अर्थात, यदि दो सदिशों की दिशा, लेकिन जरूरी नहीं कि परिमाण बराबर हो)।

हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि वक्र की आवश्यकता होगी $G^{1}$ चिकनी दिखने के लिए निरंतरता, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन में इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय निरंतरता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार की बॉडी में प्रतिबिंब तब तक चिकने नहीं दिखेंगे जब तक कि बॉडी में ऐसा न हो $G^{2}$ निरंतरता।

ए rounded rectangle (चारों कोनों पर नब्बे डिग्री के वृत्ताकार चापों के साथ) है $G^{1}$ निरंतरता, लेकिन नहीं है $G^{2}$ निरंतरता। ए के लिए भी यही सच है rounded cube, इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ क्वार्टर-सिलेंडर हैं। यदि एक संपादन योग्य वक्र के साथ $G^{2}$ निरंतरता की आवश्यकता होती है, फिर घन splines आमतौर पर चुने जाते हैं; ये वक्र अक्सर औद्योगिक डिजाइन में उपयोग किए जाते हैं।

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

जबकि सभी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू हैं (अर्थात सभी डेरिवेटिव निरंतर हैं) उस सेट पर जिस पर वे विश्लेषणात्मक हैं, बम्प फ़ंक्शंस (ऊपर उल्लिखित) जैसे उदाहरण दिखाते हैं कि बातचीत वास्तविक कार्यों के लिए सही नहीं है: वहाँ चिकनी वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। कार्यों के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य हैं # एक सुचारू कार्य जो कहीं भी वास्तविक विश्लेषणात्मक नहीं है, फूरियर श्रृंखला के माध्यम से बनाया जा सकता है; फैबियस समारोह एक अन्य उदाहरण है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि ऐसे कार्य नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू लोगों के बीच बहुत कम बिखरे हुए हैं; अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू कार्यों का एक अल्प सेट सबसेट बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे सहज कार्य मौजूद हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं.

वास्तविक रेखा पर पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता से स्थिति की तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और सहज कार्यों के सेट दोनों पर, उदाहरण हम पहले विचार (बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्या और विश्लेषणात्मक कार्यों) के साथ आते हैं, अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार किया जाता है: पारलौकिक संख्या और कहीं भी विश्लेषणात्मक कार्यों का पूर्ण माप नहीं है (उनके पूरक अल्प हैं)।

इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल भिन्नात्मक कार्यों के विपरीत है। यदि एक जटिल कार्य एक खुले सेट पर केवल एक बार अलग-अलग होता है, तो यह उस सेट पर असीम रूप से भिन्न और विश्लेषणात्मक दोनों होता है.

एकता के चिकने विभाजन

दिए गए बंद समर्थन (गणित) के साथ चिकने कार्यों का उपयोग एकता के सुचारू विभाजन के निर्माण में किया जाता है (देखें एकता का विभाजन और टोपोलॉजी शब्दावली); ये चिकना कई गुना के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रिमेंनियन मीट्रिक को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करते हुए विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक बम्प फ़ंक्शन का है, जो कि एक सहज फ़ंक्शन f है, जो एक अंतराल [a,b] के बाहर मान 0 लेता है और ऐसा

$$f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,$$

लाइन पर कई अतिव्यापी अंतरालों को देखते हुए, उनमें से प्रत्येक पर और अर्ध-अनंत अंतरालों पर बम्प फ़ंक्शंस का निर्माण किया जा सकता है $(-\infty ,c]$ तथा $[d,+\infty )$ पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि कार्यों का योग हमेशा 1 होता है।

जो अभी कहा गया है, एकता के विभाजन होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन पर लागू नहीं होते हैं; अस्तित्व और विश्लेषणात्मक निरंतरता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शेफ (गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, चिकने कार्यों के शीशों में अधिक सामयिक जानकारी नहीं होती है।

कई गुना के बीच और बीच में सुचारू कार्य करता है

एक अलग करने योग्य कई गुना दिया गया $M$, आयाम का $m,$ और एक एटलस (टोपोलॉजी) ${\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },$ फिर एक नक्शा $f:M\to \mathbb {R}$ चिकना है $M$ अगर सभी के लिए $p\in M$ एक चार्ट मौजूद है $(U,\phi )\in {\mathfrak {U}},$ ऐसा है कि $p\in U,$ तथा $f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R}$ के पड़ोस से एक सुचारू कार्य है $\phi (p)$ में $\mathbb {R} ^{m}$ प्रति $\mathbb {R}$ (दिए गए क्रम तक सभी आंशिक डेरिवेटिव निरंतर हैं)। स्मूदनेस को एटलस के किसी भी चार्ट (टोपोलॉजी) के संबंध में चेक किया जा सकता है $p,$ चूंकि चार्ट के बीच संक्रमण कार्यों पर चिकनाई की आवश्यकताएं सुनिश्चित करती हैं कि यदि $f$के पास चिकना है $p$ एक चार्ट में यह करीब चिकना होगा $p$ किसी अन्य चार्ट में।

यदि $F:M\to N$ का नक्शा है $M$ यदि $n$-आयामी कई गुना $N$, फिर $F$ चिकना है अगर, हर के लिए $p\in M,$ एक चार्ट है $(U,\phi )$ युक्त $p,$ और एक चार्ट $(V,\psi )$ युक्त $F(p)$ ऐसा है कि $F(U)\subset V,$ तथा $\psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$ से एक सुचारू कार्य है $\mathbb {R} ^{n}.$ मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने नक्शे स्पर्शरेखा स्थानों के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं: के लिए $F:M\to N$, प्रत्येक बिंदु पर Pushforward (अंतर) (या अवकलन) स्पर्शरेखा सदिशों को मानचित्रित करता है $p$ स्पर्शरेखा वैक्टर पर $F(p)$: $F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,$ और स्पर्शरेखा बंडल के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक सदिश बंडल समरूपता है: $F_{*}:TM\to TN.$ पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो कोवेक्टरों को खींचती है $N$ कोवेक्टर्स पर वापस $M,$ तथा $k$-रूप में $k$-रूप: $F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).$ इस तरह मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू कार्य शीफ (गणित) को परिवहन कर सकते हैं, जैसे वेक्टर क्षेत्र और विभेदक रूप, एक मैनिफोल्ड से दूसरे तक, या नीचे यूक्लिडियन स्पेस तक, जहाँ मैनिफोल्ड्स पर इंटीग्रेशन जैसी संगणनाएँ अच्छी तरह से समझी जाती हैं।

सहज कार्यों के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य रूप से, अतिरिक्त धारणाओं के बिना कई गुना नहीं होते हैं। नियमित बिंदुओं की प्रीइमेज (अर्थात, यदि प्रीइमेज पर डिफरेंशियल गायब नहीं होता है) कई गुना हैं; यह प्रीइमेज प्रमेय है। इसी तरह, एम्बेडिंग के साथ पुशफॉरवर्ड कई गुना होते हैं।

कई गुना के सबसेट के बीच सुचारू कार्य

मैनिफोल्ड्स के मनमाना सबसेट के लिए चिकने नक्शे की एक समान धारणा है। यदि $f:X\to Y$ एक फलन (गणित) है जिसका फलन का क्षेत्र और फलन का दायरा बहुगुणों का उपसमुच्चय है $X\subseteq M$ तथा $Y\subseteq N$ क्रमश। $f$ कहा जाता है कि अगर सभी के लिए चिकना हो $x\in X$ एक खुला सेट है $U\subseteq M$ साथ $x\in U$ और एक चिकना कार्य $F:U\to N$ ऐसा है कि $F(p)=f(p)$ सभी के लिए $p\in U\cap X.$

यह भी देखें

• Discontinuity
• Hadamard's lemma
• Non-analytic smooth function
• Quasi-analytic function
• Singularity (mathematics)
• Sinuosity
• Smooth scheme
• Smooth number (संख्या सिद्धांत)
• Smoothing
• Spline
• सोबोलेव मैपिंग

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