द्विघात सूत्र

Not to be confused with quadratic function or quadratic equation.

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात सूत्र एक सूत्र है जो द्विघात समीकरण का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय एक द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे कि गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहन, गुणनखंडन # द्विघात एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, एक फलन का ग्राफ और अन्य।

प्रपत्र के एक सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए

$ax^{2}+bx+c=0$

साथ x एक अज्ञात का प्रतिनिधित्व करते हुए, के साथ a, b तथा c निरंतर (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हुए, और साथ a ≠ 0, द्विघात सूत्र है:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \$

जहाँ धन–ऋण चिह्न|धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो हल हैं। अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{or}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण के फलन |मूल (या शून्य) का शून्य भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये जड़ें प्रतिनिधित्व करती हैं x-मान जिस पर कोई परवलय, स्पष्ट रूप से दिया गया है y = ax² + bx + c, पार करता है x-एक्सिस। साथ ही एक सूत्र होने के नाते जो किसी भी पैराबोला के शून्य उत्पन्न करता है, क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का उपयोग पैराबोला की समरूपता के अक्ष की पहचान के लिए भी किया जा सकता है, और द्विघात समीकरण में वास्तविक संख्या शून्य की संख्या होती है। अभिव्यक्ति बी² − 4ac को विवेचक के रूप में जाना जाता है। यदि b² − 4ac ≥ 0 तब विवेचक का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी; अन्यथा यह एक सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b, और c तब वास्तविक संख्याएँ हैं

1. अगर बी² − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं ax² + bx + c = 0.
2. अगर बी² − 4ac = 0 तो हमारे पास एक बारंबार वास्तविक समाधान है।
3. अगर बी² − 4ac < 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।

समतुल्य फॉर्मूलेशन

द्विघात सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ ,$

जिसे सरल बनाया जा सकता है

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ .$

सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर का उपयोग करते समय जड़ों को खोजना आसान बनाता है।

मामले में जब भेदभाव करनेवाला $b^{2}-4ac$ ऋणात्मक है, सम्मिश्र संख्याएँ जड़ें शामिल हैं। द्विघात सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$x=-{\frac {\ b}{2a}}\pm i{\sqrt {\left|\left({\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\right|}}\ .$

मुलर की विधि

एक कम ज्ञात द्विघात सूत्र, जिसका प्रयोग मुलर की विधि में किया जाता है और जिसे विएटा के सूत्रों से पाया जा सकता है, प्रदान करता है (मानते हुए) a ≠ 0, c ≠ 0) समान जड़ें समीकरण के माध्यम से:

$x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ .$

वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन पर आधारित सूत्रीकरण

द्विघात समीकरण का मानक पैरामीट्रिजेशन है

$ax^{2}+bx+c=0\ .$

कुछ स्रोत, विशेष रूप से पुराने स्रोत, द्विघात समीकरण के वैकल्पिक पैरामीटरीकरण का उपयोग करते हैं जैसे कि

$ax^{2}-2b_{1}x+c=0$, कहाँ पे $b_{1}=-b/2$,

या

$ax^{2}+2b_{2}x+c=0$, कहाँ पे $b_{2}=b/2$.

इन वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन के परिणामस्वरूप समाधान के लिए थोड़ा अलग रूप होते हैं, लेकिन जो अन्यथा मानक पैरामीट्रिजेशन के बराबर होते हैं।

सूत्र की व्युत्पत्ति

साहित्य में द्विघात सूत्र को प्राप्त करने के लिए कई अलग-अलग तरीके उपलब्ध हैं। मानक एक पूर्ण वर्ग तकनीक का एक सरल अनुप्रयोग है। वैकल्पिक विधियाँ कभी-कभी वर्ग को पूरा करने की तुलना में सरल होती हैं, और गणित के अन्य क्षेत्रों में दिलचस्प अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकती हैं।

'पूरा वर्ग' तकनीक का उपयोग करके

मानक विधि

द्वारा द्विघात समीकरण को विभाजित करें ${\displaystyle }$