वृत्त समूह

गणित में, वृत्त समूह, द्वारा निरूपित किया जाता है $\mathbb {T}$ या $\mathbb {S} ^{1}$, निरपेक्ष मान जटिल संख्या 1 के साथ सभी सम्मिश्र संख्याओं का गुणक समूह है, जिससे, सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त या केवल इकाई सम्मिश्र संख्याएँ है

$$\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.$$

वृत्त समूह का $\mathbb {C} ^{\times }$ उपसमूह बनाता है $\mathbb {C} ^{\times }$, सभी अशून्य सम्मिश्र संख्याओं का गुणन समूह। तब से $\mathbb {C} ^{\times }$ एबेलियन समूह है, यह इस प्रकार है $\mathbb {T}$ साथ ही है।

वृत्त समूह में इकाई जटिल संख्या मूल के बारे में जटिल विमान के रोटेशन (गणित) का प्रतिनिधित्व करती है और इसे कोण माप $\theta$ द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है।

$$\theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

यह वृत्त समूह के लिए घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) है। वृत्त समूह पोंट्रीगिन द्वैत में और झूठ समूह के सिद्धांत में केंद्रीय भूमिका निभाता है।

अंकन $\mathbb {T}$ वृत्त समूह के लिए इस तथ्य से उपजा है कि, मानक टोपोलॉजी (नीचे देखें) के साथ, वृत्त समूह 1-टोरस्र्स है। सामान्यतः अधिक, $\mathbb {T} ^{n}$ (समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद $\mathbb {T}$ स्वयं के साथ $n$ टाइम्स) ज्यामितीय रूप से $n$-टोरस है।

वृत्त ग्रुप विशेष ऑर्थोगोनल ग्रुप के लिए ग्रुप $\mathrm {SO} (2)$ आइसोमोर्फिज्म है।

प्रारंभिक परिचय

वृत्त समूह पर गुणा कोणों के योग के बराबर है।

वृत्त समूह के बारे में सोचने का विधि यह है कि यह वर्णन करता है कि कोणों को कैसे जोड़ा जाए, जहाँ केवल 0° और 360° के बीच के कोण हों या $\in [0,2\pi )$ या $\in (-\pi ,+\pi ]$ अनुमति है। उदाहरण के लिए, आरेख दिखाता है कि 150° को 270° में कैसे जोड़ा जाए। उत्तर है 150° + 270° = 420°, लेकिन वृत्त समूह के संदर्भ में सोचते समय, हम इस तथ्य को भूल सकते हैं कि हमने वृत्त के चारों ओर लपेट लिया है। इसलिए, हम अपने उत्तर को 360° से समायोजित करते हैं, जो देता है 420° ≡ 60° (mod 360°).

अन्य विवरण साधारण (वास्तविक) जोड़ के संदर्भ में है, जहां केवल 0 और 1 के बीच की संख्या की अनुमति है (1 पूर्ण घुमाव के अनुरूप: 360° या $2\pi$), जिससे वास्तविक संख्याएँ पूर्णांकों को मापती हैं: $\mathbb{T}\cong <!--\; \cong \; -->$