काल्पनिक बल

See also: Mechanics of planar particle motion

एक काल्पनिक बल एक बल है जो एक द्रव्यमान पर कार्य करने के लिए प्रकट होता है जिसकी गति को एक गैर-आंतरिक संदर्भ फ्रेम का उपयोग करके वर्णित किया गया है। संदर्भ के गैर-औपनिवेशिक फ्रेम, जैसे कि एक त्वरित या घूर्णन संदर्भ फ्रेम । यह न्यूटन%27S_LAWS_OF_MOTION#सेकंड से संबंधित है। न्यूटन का दूसरा कानून गति का है, जो केवल एक वस्तु के लिए बलों का इलाज करता है। आगे की दिशा में तेज करने वाले एक वाहन में यात्रियों को लगता है कि वे उदाहरण के लिए अपनी सीटों के बैकरेस्ट की दिशा में ले जाने वाले बल द्वारा कार्रवाई की जाती हैं।एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम में एक उदाहरण यह धारणा हो सकती है कि यह एक बल है जो वस्तुओं को एक अपकेंद्रित्र या कैरोसेल के रिम की ओर बाहर की ओर ले जाने के लिए लगता है। काल्पनिक बल एक छद्म बल कहा जाता है जिसे निकाय बल के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है। यह किसी ऑब्जेक्ट की जड़ता के कारण होता है जब संदर्भ फ्रेम अब जड़ता से नहीं चलता है, लेकिन मुक्त ऑब्जेक्ट के सापेक्ष तेज करना शुरू कर देता है। यात्री वाहन के उदाहरण के संदर्भ में, एक छद्म बल कार में सीट के बैकरेस्ट को छूने से ठीक पहले सक्रिय लगता है। कार में एक व्यक्ति आगे की ओर झुकने से पहले पहले से ही तेजी से कार के संबंध में थोड़ा पीछे की ओर बढ़ता है, इससे पहले कि बैकरेस्ट को छूने से पहले। इस छोटी अवधि में गति सिर्फ व्यक्ति पर एक बल का परिणाम प्रतीत होती है, यह एक छद्म बल है। एक छद्म बल दो वस्तुओं के बीच किसी भी बल वाहक से उत्पन्न नहीं होता है, जैसे कि विद्युत या संपर्क बल। यह केवल भौतिक वस्तु के त्वरण ए का परिणाम है जो गैर-आंतरिक संदर्भ फ्रेम से जुड़ा हुआ है, अर्थात इस मामले में वाहन। संबंधित त्वरित फ्रेम के दृष्टिकोण से, निष्क्रिय वस्तु का एक त्वरण मौजूद प्रतीत होता है, जाहिरा तौर पर इसके लिए एक बल की आवश्यकता होती है।

जैसा कि IRO द्वारा कहा गया है:

Such an additional force due to nonuniform relative motion of two reference frames is called a pseudo-force.

— Harald Iro in A Modern Approach to Classical Mechanics p. 180

किसी वस्तु पर छद्म बल एक काल्पनिक प्रभाव के रूप में उत्पन्न होता है जब ऑब्जेक्ट की गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले संदर्भ के फ्रेम में एक गैर-उदासी फ्रेम की तुलना में तेजी होती है।छद्म बल बताते हैं, न्यूटन के दूसरे कानून यांत्रिकी का उपयोग करते हुए, कोई वस्तु न्यूटन के दूसरे कानून का पालन क्यों नहीं करती है और स्वतंत्र रूप से तैरती है जैसे कि वेटलेस।चूंकि एक फ्रेम किसी भी मनमानी तरीके से तेज हो सकता है, इसलिए छद्म बल भी मनमाना हो सकते हैं (लेकिन केवल फ्रेम के त्वरण के लिए सीधे प्रतिक्रिया में)। IRO द्वारा परिभाषित एक छद्म बल का एक उदाहरण कोरिओलिस बल है, शायद बेहतर कहा जा सकता है: कोरिओलिस प्रभाव; गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र भी एक काल्पनिक बल (छद्म बल) होगा, एक क्षेत्र मॉडल पर आधारित है जिसमें कण अपने द्रव्यमान के कारण अंतरिक्ष समय को विकृत करते हैं, जैसे कि सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में।

न्यूटन के प्रस्ताव के नियमों को मानते हुए | न्यूटन का दूसरा कानून फॉर्म में f & nbsp; = & nbsp; m a, काल्पनिक बल हमेशा द्रव्यमान m के लिए आनुपातिक होते हैं।

काल्पनिक बल जिसे एक जड़त्वीय बल कहा जाता है इसे एक d'Alembert के सिद्धांत के रूप में भी संदर्भित किया जाता है। D'Alembert बल, या कभी -कभी एक छद्म बल के रूप में। D'Alembert का सिद्धांत न्यूटन के गति के दूसरे नियम को तैयार करने का सिर्फ एक और तरीका है।यह आसान गणना के लिए, मास टाइम्स त्वरण के उत्पाद के नकारात्मक के रूप में एक जड़त्वीय बल को परिभाषित करता है।

(एक डी'एलबर्ट बल को दो वस्तुओं के बीच भौतिक बातचीत से उत्पन्न एक संपर्क बल के साथ भ्रमित नहीं किया जाना है, जो न्यूटन के तीसरे कानून का विषय है - 'कार्रवाई प्रतिक्रिया है'। उपरोक्त यात्री वाहन के उदाहरण के संदर्भ में, एक संपर्क बल तब उभरता है जब यात्री का शरीर कार में सीट के बैकरेस्ट को छूता है।यह तब तक मौजूद है जब तक कार में तेजी आती है।)

चार काल्पनिक बलों को आमतौर पर होने वाले तरीकों से त्वरित फ्रेम के लिए परिभाषित किया गया है:

• एक सीधी रेखा (रेक्टिलिनियर त्वरण ) में मूल के सापेक्ष किसी भी त्वरण के कारण; * दो शामिल रोटेशन: केन्द्रापसारक बल और कोरिओलिस बल
• और एक चौथा, जिसे रोटेशन की एक चर दर के कारण होने वाला यूलर बल कहा जाता है, ऐसा होना चाहिए।

पृष्ठभूमि

See also: Absolute space and time and Preferred frame

न्यूटोनियन यांत्रिकी में काल्पनिक बलों की भूमिका मैरी-एंटोनेट टोनलैट द्वारा वर्णित है:

For Newton, the appearance of acceleration always indicates the existence of absolute motion – absolute motion of matter where real forces are concerned; absolute motion of the reference system, where so-called fictitious forces, such as inertial forces or those of Coriolis, are concerned.

— Marie-Antoinette Tonnelat in The Principles of Electromagnetic Theory and Relativity, p.113

शास्त्रीय यांत्रिकी में काल्पनिक बल उत्पन्न होते हैं और सभी गैर-आंतरिक फ्रेम में विशेष सापेक्षता होती है। जड़त्वीय फ्रेम को गैर-आंतरिक फ्रेम पर पसंदीदा फ्रेम किया जाता है क्योंकि उनके पास भौतिकी नहीं होती है, जिनके कारण सिस्टम के बाहर होते हैं, जबकि गैर-आंतरिक फ्रेम करते हैं।काल्पनिक बल, या भौतिकी जिसका कारण प्रणाली के बाहर है, अब सामान्य सापेक्षता में आवश्यक नहीं हैं, क्योंकि इन भौतिकी को स्पेसटाइम की सामान्य सापेक्षता में भू-शराबी के साथ समझाया गया है: सभी संभावित स्पेस-टाइम नल जियोडेसिक्स या फोटॉन पथों का क्षेत्र एकजुट हो जाता हैअंतरिक्ष-समय में पूर्ण स्थानीय गैर-रोटेशन मानक।।

पृथ्वी पर

See also: Centrifugal force, Coriolis force, and Euler force

पृथ्वी की सतह एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम है। शास्त्रीय यांत्रिकी समस्याओं को एक पृथ्वी-बाउंड संदर्भ फ्रेम में बिल्कुल हल करने के लिए, तीन काल्पनिक बलों को पेश किया जाना चाहिए: कोरिओलिस बल, केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) (नीचे वर्णित) और यूलर बल। यूलर बल को आमतौर पर नजरअंदाज कर दिया जाता है क्योंकि पृथ्वी की घूर्णन सतह के कोणीय वेग में भिन्नता आमतौर पर महत्वहीन होती है। अन्य काल्पनिक ताकतें रोजमर्रा की जिंदगी में अधिकांश विशिष्ट बलों की तुलना में कमजोर हैं, लेकिन उन्हें सावधानीपूर्वक परिस्थितियों में पता लगाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लियोन फौकॉल्ट ने अपने फौकॉल्ट पेंडुलम का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि एक कोरिओलिस बल पृथ्वी के रोटेशन से परिणाम देता है। यदि पृथ्वी को बीस गुना तेजी से घुमाना था (प्रत्येक दिन केवल ~ 72 मिनट लंबा), तो लोगों को आसानी से यह आभास हो सकता है कि इस तरह के काल्पनिक बल उन पर खींच रहे थे, जैसे कि एक कताई हिंडोला पर; समशीतोष्ण और उष्णकटिबंधीय अक्षांशों में लोगों को, वास्तव में, केन्द्रापसारक बल द्वारा कक्षा में लॉन्च किए जाने से बचने के लिए पकड़ रखने की आवश्यकता होगी।

गैर-आंतरिक संदर्भ फ्रेम का पता लगाना

See also: Inertial frame of reference

एक बंद बॉक्स के अंदर पर्यवेक्षक जो एक निरंतर वेग के साथ चल रहा है, वह अपनी गति का पता नहीं लगा सकता है;हालांकि, एक त्वरित संदर्भ फ्रेम के भीतर पर्यवेक्षक यह पता लगा सकते हैं कि वे काल्पनिक बलों से एक गैर-आंतरिक संदर्भ फ्रेम में हैं जो उत्पन्न होते हैं।उदाहरण के लिए, सीधी-रेखा त्वरण के लिए व्लादिमीर अर्नोल्ड निम्नलिखित प्रमेय प्रस्तुत करता है:

In a coordinate system K which moves by translation relative to an inertial system k, the motion of a mechanical system takes place as if the coordinate system were inertial, but on every point of mass m an additional "inertial force" acted: F = −ma, where a is the acceleration of the system K.

अन्य त्वरण भी काल्पनिक बलों को जन्म देते हैं, जैसा कि काल्पनिक बलों की गणितीय रूप से #Mathematical व्युत्पत्ति का वर्णन किया गया है।एक जड़त्वीय फ्रेम में गतियों की शारीरिक व्याख्या सबसे सरल है, जिसमें कोई काल्पनिक बलों की आवश्यकता नहीं है: काल्पनिक बल शून्य हैं, जो दूसरों से जड़त्वीय फ्रेम को अलग करने के लिए एक साधन प्रदान करते हैं। एक गैर-आंतरिक, घूर्णन संदर्भ फ्रेम का पता लगाने का एक उदाहरण एक फौकॉल्ट पेंडुलम की पूर्वता है।पृथ्वी के गैर-आंतरिक फ्रेम में, टिप्पणियों को समझाने के लिए काल्पनिक कोरिओलिस बल आवश्यक है।पृथ्वी के बाहर एक जड़त्वीय फ्रेम में, ऐसा कोई काल्पनिक बल आवश्यक नहीं है।

परिपत्र गति से संबंधित उदाहरण

See also: Centrifugal force and Coriolis force

संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में (चित्र का ऊपरी भाग), काली गेंद एक सीधी रेखा में चलती है।हालांकि, पर्यवेक्षक (भूरा डॉट) जो संदर्भ के घूर्णन/गैर-शत्रुतापूर्ण फ्रेम में खड़ा है (चित्र का निचला हिस्सा) इस फ्रेम में मौजूद कोरिओलिस या केन्द्रापसारक बलों के कारण एक घुमावदार पथ के रूप में ऑब्जेक्ट को देखता है।

एक काल्पनिक बल का प्रभाव तब भी होता है जब एक कार गोलाकार गति लेती है। कार से जुड़े संदर्भ के एक गैर-आंतरिक फ्रेम से मनाया जाता है, काल्पनिक बल जिसे सेंट्रीफ्यूगल फोर्स (काल्पनिक) कहा जाता है। जैसे ही कार एक बाएं मोड़ में प्रवेश करती है, एक सूटकेस पहले बाएं रियर सीट पर दाईं ओर की सीट पर स्लाइड करता है और फिर तक जारी रहता है जब तक कि यह दाईं ओर बंद दरवाजे के संपर्क में नहीं आता है। यह गति काल्पनिक केन्द्रापसारक बल के चरण को चिह्नित करती है क्योंकि यह सूटकेस की जड़ता है जो आंदोलन के इस टुकड़े में एक भूमिका निभाता है। ऐसा लग सकता है कि इस आंदोलन के लिए एक बल जिम्मेदार होना चाहिए, लेकिन वास्तव में, यह आंदोलन सूटकेस की जड़ता के कारण उत्पन्न होता है, जो कि पहले से ही संदर्भ के एक तेज फ्रेम के भीतर एक 'मुक्त वस्तु' है। सूटकेस कार के बंद दरवाजे के संपर्क में आने के बाद, संपर्क बल के उद्भव के साथ स्थिति वर्तमान हो जाती है। कार पर सेंट्रिपेटल बल अब सूटकेस में स्थानांतरित कर दिया गया है और न्यूटन के तीसरे कानून की स्थिति खेलने में आती है, एक्शन पार्ट के रूप में सेंट्रिपेटल फोर्स के साथ और तथाकथित प्रतिक्रियाशील केन्द्रापसारक बल के साथ प्रतिक्रिया भाग के रूप में। प्रतिक्रियाशील केन्द्रापसारक बल भी सूटकेस की जड़ता के कारण है। अब हालांकि जड़ता अपनी गति की स्थिति में परिवर्तन के लिए एक प्रकट प्रतिरोध के रूप में दिखाई देती है। मान लीजिए कि कुछ मील आगे कार लगातार गति से एक राउंडअबाउट की यात्रा कर रही है, बार -बार, तो रहने वालों को ऐसा लगेगा जैसे कि उन्हें (प्रतिक्रियाशील) केन्द्रापसारक बल द्वारा वाहन के बाहर धकेल दिया जा रहा है, के केंद्र से दूर है।मोड़।

स्थिति को जड़त्वीय के साथ-साथ गैर-आंतरिक फ्रेम से भी देखा जा सकता है।

• सड़क के संबंध में एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम स्टेशनरी के दृष्टिकोण से, कार सर्कल के केंद्र की ओर बढ़ रही है।यह तेज हो रहा है, क्योंकि कार की निरंतर गति होने के बावजूद वेग की दिशा बदल रही है।इस आवक त्वरण को सेंट्रिपेटल त्वरण कहा जाता है, इसे परिपत्र गति को बनाए रखने के लिए एक केन्द्राभिमुख शक्ति की आवश्यकता होती है।यह बल पहियों पर, इस मामले में, पहियों और सड़क के बीच के घर्षण से जमीन से बाहर निकाला जाता है। असंतुलित बल के कारण कार तेज हो रही है, जिसके कारण यह एक सर्कल में स्थानांतरित हो जाता है।(बैंक की बारी भी देखें।)
• एक घूर्णन फ्रेम के दृष्टिकोण से, कार के साथ चलते हुए, एक काल्पनिक केन्द्रापसारक बल कार को सड़क के बाहर की ओर धकेलते हुए दिखाई देता है (और कार के बाहर की ओर रहने वालों को धक्का देता है)।केन्द्रापसारक बल पहियों और सड़क के बीच घर्षण को संतुलित करता है, जिससे कार को इस गैर-आंतरिक फ्रेम में स्थिर हो जाता है।

गोलाकार गति में एक काल्पनिक बल का एक क्लासिक उदाहरण एक कॉर्ड द्वारा बंधे हुए क्षेत्रों को घुमाने और द्रव्यमान के उनके केंद्र के चारों ओर घूमने का प्रयोग है।इस मामले में, संदर्भ के एक घूर्णन, गैर-आंतरिक फ्रेम की पहचान काल्पनिक बलों के गायब होने पर आधारित हो सकती है।एक जड़त्वीय फ्रेम में, काल्पनिक बलों को क्षेत्रों में शामिल होने वाले स्ट्रिंग में तनाव को समझाने के लिए आवश्यक नहीं है।एक घूर्णन फ्रेम में, कोरिओलिस और केन्द्रापसारक बलों को मनाया तनाव की भविष्यवाणी करने के लिए पेश किया जाना चाहिए।

पृथ्वी की सतह पर माना जाने वाला घूर्णन संदर्भ फ्रेम में, एक केन्द्रापसारक बल अक्षांश के आधार पर, एक हजार में लगभग एक भाग से गुरुत्वाकर्षण के स्पष्ट बल को कम करता है।यह कमी ध्रुव पर शून्य है, भूमध्य रेखा पर अधिकतम।

Animation: object released from a carousel

Map and spin frame perspectives of physical (red) and fictitious (blue) forces for an object released from a carousel For someone in the map perspective only one force is sufficient to explain the motion: the red arrow: centripetal force. After release, the number of forces is zero. For someone in the spinning frame the object moves in a complicated way that needs a centrifugal force: the blue arrow.Note: With some browsers, hitting [Esc] will freeze the motion for more detailed analysis. However, the page may have to be reloaded to restart.

काल्पनिक कोरिओलिस बल, जो घूर्णी फ्रेम में देखा जाता है, आमतौर पर केवल बहुत बड़े पैमाने पर गति में दिखाई देता है जैसे कि लंबी दूरी की बंदूकों की प्रक्षेप्य गति या पृथ्वी के वातावरण के संचलन (रॉस्बी नंबर देखें)।वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए, भूमध्य रेखा पर 50 मीटर ऊंचे टॉवर से गिरा दी गई एक वस्तु नीचे की ओर 7.7 मिलीमीटर की दूरी पर गिर जाएगी, जहां इसे कोरिओलिस बल के कारण गिरा दिया गया है।

काल्पनिक बल और काम

काल्पनिक बलों को यांत्रिक कार्य करने के लिए माना जा सकता है, बशर्ते कि वे एक वस्तु को एक प्रक्षेपवक्र पर स्थानांतरित करें जो अपनी ऊर्जा को संभावित ऊर्जा से गतिज ऊर्जा में बदल देता है।उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति को घूर्णन कुर्सी पर एक व्यक्ति पर विचार करें, जो उनके बाहर के हाथ में वजन पकड़े हुए है।यदि वे अपने हाथ को अपने शरीर की ओर खींचते हैं, तो घूर्णन संदर्भ फ्रेम के दृष्टिकोण से, उन्होंने केन्द्रापसारक बल के खिलाफ काम किया है।जब वजन को जाने दिया जाता है, तो यह अनायास घूमने वाले संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष बाहर की ओर उड़ता है, क्योंकि केन्द्रापसारक बल वस्तु पर काम करता है, अपनी संभावित ऊर्जा को गतिज में परिवर्तित करता है।एक जड़त्वीय दृष्टिकोण से, निश्चित रूप से, वस्तु उनसे दूर उड़ जाती है क्योंकि इसे अचानक एक सीधी रेखा में स्थानांतरित करने की अनुमति दी जाती है।यह दर्शाता है कि किसी वस्तु की कुल क्षमता और गतिज ऊर्जा की तरह किया गया कार्य, एक गैर-अनिच्छा फ्रेम में एक जड़त्वीय की तुलना में भिन्न हो सकता है।

एक काल्पनिक बल के रूप में गुरुत्वाकर्षण

Main article: General relativity

काल्पनिक बल की धारणा आइंस्टीन के सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में आती है। सभी काल्पनिक बल उस वस्तु के द्रव्यमान के लिए आनुपातिक हैं जिस पर वे कार्य करते हैं, जो गुरुत्वाकर्षण के लिए भी सही है।

Ref> Motz और Weaver, Motz, Lloyd; Weaver, Jefferson Hane (11 November 2013). Example train and gravity, p 101. ISBN 9781489963338.</ref> इसने अल्बर्ट आइंस्टीन को आश्चर्यचकित किया कि क्या गुरुत्वाकर्षण एक काल्पनिक बल था।उन्होंने कहा कि एक बंद बॉक्स में एक निर्बाध गिरावट िंग पर्यवेक्षक गुरुत्वाकर्षण के बल का पता लगाने में सक्षम नहीं होगा;इसलिए, फ्रीफॉलिंग संदर्भ फ़्रेम एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (तुल्यता सिद्धांत) के बराबर हैं।इस अंतर्दृष्टि के बाद, आइंस्टीन एक काल्पनिक बल के रूप में गुरुत्वाकर्षण के साथ एक सिद्धांत को तैयार करने में सक्षम था और स्पेसटाइम की वक्रता के लिए गुरुत्वाकर्षण के स्पष्ट त्वरण को विशेषता देता था।यह विचार आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत को रेखांकित करता है।Eötvös प्रयोग देखें।

Animation: ball that rolls off a cliff

Error creating thumbnail: Rain and shell frame perspectives of physical (red) and fictitious (blue) forces for an object that rolls off a cliff. Note: The rain frame perspective here, rather than being that of a raindrop, is more like that of a trampoline jumper whose trajectory tops out just as the ball reaches the edge of the cliff. The shell frame perspective may be familiar to planet dwellers who rely minute by minute on upward physical forces from their environment, to protect them from the geometric acceleration due to curved spacetime.

काल्पनिक बलों की गणितीय व्युत्पत्ति

File:Moving coordinate system.PNG

चित्र 2: x पर स्थित एक वस्तु_A जड़त्वीय फ्रेम में एक स्थान 'x' पर स्थित है_B फ्रेम बी में तेजी लाने में फ्रेम बी की उत्पत्ति 'एक्स' पर स्थित है_AB फ्रेम ए में फ्रेम बी का अभिविन्यास यूनिट वैक्टर द्वारा इसके समन्वय दिशाओं के साथ निर्धारित किया जाता है, 'यू'_j J = 1, 2, 3. इन अक्षों का उपयोग करते हुए, फ़्रेम B के अनुसार ऑब्जेक्ट के निर्देशांक 'x' हैं_B = ( x ₁, एक्स₂, एक्स₃)।

सामान्य व्युत्पत्ति

कई समस्याओं के लिए गैर -संदर्भ संदर्भ फ़्रेम के उपयोग की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, उपग्रहों को शामिल करने वाले और कण त्वरक। चित्रा 2 द्रव्यमान एम और स्थिति (वेक्टर) वेक्टर (ज्यामितीय) 'एक्स' के साथ एक कण दिखाता है_A(टी) एक विशेष जड़त्वीय फ्रेम में ए। एक गैर-अनन्तिक फ्रेम बी पर विचार करें, जिसका मूल जड़त्वीय के सापेक्ष 'एक्स' द्वारा दिया गया है_AB(टी)।फ्रेम बी में कण की स्थिति को 'x' होने दें_B(टी)।फ्रेम बी के समन्वय प्रणाली में व्यक्त कण पर बल क्या है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, बी में समन्वय अक्ष को यूनिट वैक्टर यू द्वारा दर्शाया जाना चाहिए_j j के साथ {& thinsp; 1, & thinsp; 2, & thinsp; 3 & thinsp;} तीन समन्वय कुल्हाड़ियों के लिए।फिर

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.$

इस समीकरण की व्याख्या यह है कि x_B कण का वेक्टर विस्थापन है जैसा कि समय टी में फ्रेम बी में निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।फ्रेम से एक कण पर स्थित है:

$\mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.$

एक तरफ के रूप में, यूनिट वैक्टर {& thinsp; यू_j& thinsp;} परिमाण को नहीं बदल सकता है, इसलिए इन वैक्टर के डेरिवेटिव केवल समन्वय प्रणाली बी के रोटेशन को व्यक्त करते हैं। दूसरी ओर, वेक्टर एक्स_AB बस फ्रेम ए के सापेक्ष फ्रेम बी की उत्पत्ति का पता लगाता है, और इसलिए फ्रेम बी के रोटेशन को शामिल नहीं किया जा सकता है।

एक समय व्युत्पन्न लेते हुए, कण का वेग है:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.$

दूसरा शब्द योग कण का वेग है, v कहते हैं_B जैसा कि फ्रेम बी में मापा गया है:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

इस समीकरण की व्याख्या यह है कि फ्रेम ए में पर्यवेक्षकों द्वारा देखे गए कण का वेग फ्रेम बी में पर्यवेक्षक वेग को वेग कहते हैं, अर्थात् वी_B, फ्रेम-बी समन्वय कुल्हाड़ियों के परिवर्तन की दर से संबंधित दो अतिरिक्त शब्द।इनमें से एक केवल चलती मूल v का वेग है_AB।अन्य इस तथ्य के कारण वेग के लिए एक योगदान है कि गैर-संघीय फ्रेम में विभिन्न स्थानों में फ्रेम के रोटेशन के कारण अलग-अलग स्पष्ट वेग होते हैं;एक घूर्णन फ्रेम से देखे जाने वाले एक बिंदु में वेग का एक घूर्णी घटक होता है जो आगे से अधिक होता है, जो कि मूल से होता है।

त्वरण को खोजने के लिए, एक और समय भेदभाव प्रदान करता है:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.$

एक्स के समय व्युत्पन्न के लिए पहले से ही उपयोग किए गए समान सूत्र का उपयोग करना_B, दाईं ओर वेग व्युत्पन्न है:

${\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

फलस्वरूप, {{NumBlk||एक्स में बदलाव के कारण _j)।

बलों के संदर्भ में मामलों को रखने के लिए, कण द्रव्यमान द्वारा त्वरण को गुणा किया जाता है:

$\mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .$

बल फ्रेम बी, एफ में देखा गया_B = m'a '_B कण पर वास्तविक बल से संबंधित है, एफ_A, द्वारा

$\mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },$

कहाँ पे:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.$

इस प्रकार, हम यह मानकर फ्रेम बी में समस्याओं को हल कर सकते हैं कि न्यूटन का दूसरा कानून (उस फ्रेम में मात्रा के संबंध में) और एफ का इलाज करता है_fictitious एक अतिरिक्त बल के रूप में। नीचे काल्पनिक बलों के लिए इस परिणाम को लागू करने वाले कई उदाहरण दिए गए हैं।सेंट्रीफ्यूगल फोर्स पर लेख में अधिक उदाहरण पाए जा सकते हैं।

घूर्णन समन्वय प्रणाली

एक सामान्य स्थिति जिसमें गैर -संदर्भ संदर्भ फ़्रेम उपयोगी होते हैं जब संदर्भ फ्रेम घूम रहा होता है।क्योंकि इस तरह की घूर्णी गति गैर-संघीय है, किसी भी घूर्णी गति में मौजूद त्वरण के कारण, एक काल्पनिक बल को हमेशा संदर्भ के घूर्णी फ्रेम का उपयोग करके आमंत्रित किया जा सकता है।इस जटिलता के बावजूद, काल्पनिक बलों का उपयोग अक्सर शामिल गणनाओं को सरल बनाता है।

काल्पनिक बलों के लिए अभिव्यक्तियों को प्राप्त करने के लिए, समन्वित अक्षों के समय-भिन्नता को ध्यान में रखते हुए वैक्टर के परिवर्तन की स्पष्ट समय दर के लिए डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है।यदि फ्रेम 'बी' के रोटेशन को एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है, तो दाएं हाथ के नियम द्वारा दिए गए अभिविन्यास के साथ रोटेशन की धुरी के साथ इंगित किया जाता है, और द्वारा दिए गए परिमाण के साथ

$|{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),$

तब फ्रेम बी का वर्णन करने वाले तीन यूनिट वैक्टर में से किसी का समय व्युत्पन्न है

${\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),$

तथा

${\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],$

जैसा कि वेक्टर क्रॉस उत्पाद के गुणों का उपयोग करके सत्यापित किया गया है।ये व्युत्पन्न सूत्र अब एक जड़त्वीय फ्रेम में त्वरण के बीच संबंध पर लागू होते हैं, और यह कि एक समन्वय फ्रेम में समय-भिन्न कोणीय वेग ω (टी) के साथ घूमता है।पिछले अनुभाग से, जहां सबस्क्रिप्ट ए, जड़त्वीय फ्रेम और बी को घूर्णन फ्रेम को संदर्भित करता है, 'ए' सेटिंग करता है_AB = 0 किसी भी अनुवादात्मक त्वरण को हटाने के लिए, और केवल घूर्णी गुणों पर ध्यान केंद्रित करना (देखें #eq। 1 | Eq। 1):

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},$

${\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}$

शर्तों को एकत्र करना, परिणाम तथाकथित त्वरण परिवर्तन फार्मूला है:

$\mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.$

उचित त्वरण ए_A जड़त्वीय फ्रेम में पर्यवेक्षकों के कारण ऑब्जेक्ट पर एक वास्तविक बाहरी ताकतें कॉल हैं, इसलिए, केवल त्वरण 'ए' नहीं है_B घूर्णी फ्रेम बी में पर्यवेक्षकों द्वारा देखा गया है, लेकिन बी के रोटेशन के साथ जुड़े कई अतिरिक्त ज्यामितीय त्वरण शब्द हैं जैसा कि घूर्णी फ्रेम में देखा गया है, त्वरण ए_B कण को उपरोक्त समीकरण के पुनर्व्यवस्था द्वारा दिया जाता है:

$\mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

घूर्णन फ्रेम में पर्यवेक्षकों के अनुसार वस्तु पर शुद्ध बल एफ है_B = m'a '_B।यदि उनकी टिप्पणियों को न्यूटन के कानूनों का उपयोग करते समय वस्तु पर सही बल का परिणाम है, तो उन्हें यह विचार करना चाहिए कि अतिरिक्त बल एफ_fict मौजूद है, इसलिए अंतिम परिणाम एफ है_B = एफ_A + एफ_fict।इस प्रकार, न्यूटन के कानूनों से वस्तु का सही व्यवहार प्राप्त करने के लिए बी में पर्यवेक्षकों द्वारा उपयोग की जाने वाली काल्पनिक बल बराबर है:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

यहाँ, पहला शब्द कोरिओलिस बल है, दूसरा शब्द केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) है, और तीसरा शब्द यूलर बल है।

परिक्रमा समन्वय प्रणाली

File:Orbiter.PNG

चित्रा 3: एक परिक्रमा लेकिन फिक्स्ड ओरिएंटेशन समन्वय प्रणाली बी, जिसे तीन अलग -अलग समय पर दिखाया गया है।यूनिट वैक्टर 'यू'_j।एक्सिस 'जड़त्वीय फ्रेम ए की उत्पत्ति से गुजरता है, इसलिए फ्रेम बी की उत्पत्ति जड़त्वीय फ्रेम ए की उत्पत्ति से एक निश्चित दूरी आर है।

एक संबंधित उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि चलती समन्वय प्रणाली बी एक निरंतर कोणीय गति के साथ घूमती है, जो कि अमानवीय फ्रेम ए की निश्चित उत्पत्ति के बारे में त्रिज्या आर के एक सर्कल में है, लेकिन चित्रा 3 के रूप में, अभिविन्यास में तय किए गए अपने समन्वय अक्षों को बनाए रखता है।एक मनाया गया शरीर अब है (देखें #eq। 1 | Eq। 1):

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}$

जहां योग शून्य inasmuch हैं क्योंकि यूनिट वैक्टर के पास समय निर्भरता नहीं है।सिस्टम बी की उत्पत्ति फ्रेम ए के अनुसार स्थित है:

$\mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,$

फ्रेम बी की उत्पत्ति के वेग के लिए अग्रणी:

$\mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,$

बी की उत्पत्ति के त्वरण के लिए अग्रणी:

$\mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.$

क्योंकि पहला कार्यकाल, जो है

$$\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,$$

सामान्य केन्द्रापसारक बल अभिव्यक्ति के समान ही रूप का है:

$${\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,$$

यह मानक शब्दावली का एक प्राकृतिक विस्तार है (हालांकि इस मामले के लिए कोई मानक शब्दावली नहीं है) इस शब्द को एक केन्द्रापसारक बल कहने के लिए।जो भी शब्दावली अपनाई जाती है, फ्रेम बी में पर्यवेक्षकों को एक काल्पनिक बल का परिचय देना चाहिए, इस बार उनके पूरे समन्वय फ्रेम की कक्षीय गति से त्वरण के कारण, जो कि उनके समन्वय प्रणाली के मूल के रोटेशन के केंद्र से दूर की ओर है:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,$

और परिमाण का:

$|\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.$

ध्यान दें कि इस केन्द्रापसारक बल में एक घूर्णन फ्रेम के मामले से अंतर है।घूर्णन फ्रेम में केन्द्रापसारक बल फ्रेम बी की उत्पत्ति से वस्तु की दूरी से संबंधित है, जबकि एक परिक्रमा फ्रेम के मामले में, केन्द्रापसारक बल फ्रेम बी की उत्पत्ति से वस्तु की दूरी से स्वतंत्र है, लेकिनइसके बजाय रोटेशन के अपने केंद्र से फ्रेम बी की उत्पत्ति की दूरी पर निर्भर करता है, जिसके परिणामस्वरूप फ्रेम बी में देखी गई सभी वस्तुओं के लिए एक ही केन्द्रापसारक काल्पनिक बल होता है।

परिक्रमा और घूर्णन

See also: Clohessy-Wiltshire equations

File:Center-facing orbiting coordinate system.PNG

चित्रा 4: चित्रा 3 के समान एक परिक्रमा समन्वय प्रणाली बी, लेकिन किस यूनिट वैक्टर 'यू' में_j।

एक संयोजन उदाहरण के रूप में, चित्रा 4 एक समन्वय प्रणाली बी को दर्शाता है जो चित्रा 3 में एक समन्वय फ्रेम ए की परिक्रमा करता है, लेकिन फ्रेम बी में समन्वय कुल्हाड़ी इसलिए यूनिट वेक्टर 'यू' को बदल देती है₁ हमेशा रोटेशन के केंद्र की ओर इशारा करता है।यह उदाहरण एक अपकेंद्रित्र में एक परीक्षण ट्यूब पर लागू हो सकता है, जहां वेक्टर यू₁ ट्यूब के अक्ष के साथ अंक इसके शीर्ष पर इसके उद्घाटन की ओर।यह पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली से भी मिलता जुलता है, जहां चंद्रमा हमेशा पृथ्वी पर एक ही चेहरा प्रस्तुत करता है। इस उदाहरण में, यूनिट वेक्टर यू₃ एक निश्चित अभिविन्यास को बनाए रखता है, जबकि वैक्टर यू₁, यू₂ निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में एक ही दर पर घुमाएं।वह है,

$\mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\$& nbsp;$\mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.$

${\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;$& nbsp;$\ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .$

इसलिए, एक चलती वस्तु का त्वरण के रूप में व्यक्त किया जाता है (देखें #eq। 1 | eq। 1):

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}$

जहां कोणीय त्वरण शब्द रोटेशन की निरंतर दर के लिए शून्य है। क्योंकि पहला कार्यकाल, जो है

$$\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,$$

सामान्य केन्द्रापसारक बल अभिव्यक्ति के समान ही रूप का है:

$${\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,$$

यह मानक शब्दावली का एक प्राकृतिक विस्तार है (हालांकि इस मामले के लिए कोई मानक शब्दावली नहीं है) इस शब्द को केन्द्रापसारक बल को कॉल करने के लिए।इस शब्दावली को एक अपकेंद्रित्र में एक ट्यूब के उदाहरण के लिए लागू करना, यदि ट्यूब रोटेशन के केंद्र से काफी दूर है, तो x |_AB|= R ≫ | 'x'_B|, परीक्षण ट्यूब में सभी मामला एक ही त्वरण (एक ही केन्द्रापसारक बल) देखता है।इस प्रकार, इस मामले में, काल्पनिक बल मुख्य रूप से ट्यूब के अक्ष के साथ एक समान केन्द्रापसारक बल है, रोटेशन के केंद्र से दूर, एक मूल्य के साथ |_fict|= ओह² r, जहाँ r centrifuge के केंद्र से ट्यूब में मामले की दूरी है।यह केन्द्रापसारक बल प्रदान करने की अपनी क्षमता का अनुमान लगाने के लिए सेंट्रीफ्यूज के प्रभावी त्रिज्या का उपयोग करने के लिए एक अपकेंद्रित्र का मानक विनिर्देश है।इस प्रकार, एक सेंट्रीफ्यूज में केन्द्रापसारक बल का पहला अनुमान रोटेशन के केंद्र से ट्यूबों की दूरी पर आधारित हो सकता है, और यदि आवश्यक हो तो सुधार लागू किया जा सकता है। इसके अलावा, परीक्षण ट्यूब ट्यूब की लंबाई की दिशा में गति को सीमित करता है, इसलिए वी_B यू के विपरीत है₁ और कोरिओलिस बल यू के विपरीत है₂, यानी ट्यूब की दीवार के खिलाफ।यदि ट्यूब लंबे समय तक पर्याप्त है, तो वेग v_B एक संतुलन वितरण के लिए मामला आता है के रूप में शून्य हो जाता है।अधिक जानकारी के लिए, अवसादन और लैम समीकरण पर लेख देखें।

एक संबंधित समस्या पृथ्वी-चांद-सूर्य प्रणाली के लिए केन्द्रापसारक बलों की है, जहां तीन घुमाव दिखाई देते हैं: पृथ्वी के दैनिक रोटेशन इसके अक्ष के बारे में, पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली के चंद्र-महीने के रोटेशन के बारे में द्रव्यमान के केंद्र के बारे में, औरसूर्य के बारे में पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली की वार्षिक क्रांति।ये तीन गति ज्वार को प्रभावित करती है।

एक हिंडोला को पार करना

See also: Coriolis force § Tossed ball on a rotating carousel

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चित्रा 5: हिंडोला के केंद्र से उसके किनारे तक एक निरंतर गति से चलने वाले एक घूर्णन हिंडोला को पार करना, एक सर्पिल को जड़त्वीय फ्रेम में पता लगाया जाता है, जबकि हिंडोला के फ्रेम में एक साधारण सीधा रेडियल पथ देखा जाता है।

चित्रा 5 एक घूर्णन हिंडोला पर एक पर्यवेक्षक के साथ एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक के अवलोकन की तुलना में एक और उदाहरण दिखाता है। हिंडोला एक निरंतर कोणीय वेग पर घूमता है, जो वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है, जो हिंडोला पर एक राइडर एक निरंतर गति से उस पार रेडियल रूप से चलता है, जो वॉकर को दिखाई देता है, जो कि चित्रा 5 में 45 ° पर झुका हुआ सीधी रेखा पथ है। स्थिर पर्यवेक्षक के लिए, हालांकि, वॉकर एक सर्पिल पथ की यात्रा करता है।चित्र 5 में दोनों रास्तों पर पहचाने गए बिंदु समान समय अंतराल पर एक ही समय के अनुरूप हैं।हम पूछते हैं कि कैसे दो पर्यवेक्षक, एक हिंडोला पर और एक जड़त्वीय फ्रेम में, न्यूटन के कानूनों का उपयोग करके वे जो देखते हैं, उसे तैयार करते हैं।

जड़त्वीय पर्यवेक्षक

रेस्ट में ऑब्जर्वर एक सर्पिल के रूप में वॉकर द्वारा पीछा किए गए मार्ग का वर्णन करता है।चित्रा 5 में दिखाए गए समन्वय प्रणाली को अपनाते हुए, प्रक्षेपवक्र का वर्णन आर ( टी ) द्वारा किया गया है:

$\mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},$

जहां जोड़ा π/4 45 ° पर पथ कोण को सेट करने के लिए (दिशा का एक मनमाना पसंद), यू सेट करता है_R रेडियल दिशा में एक यूनिट वेक्टर है जो उस समय टी में हिंडोला के केंद्र से वॉकर तक इंगित करता है।रेडियल डिस्टेंस आर (टी) के अनुसार समय के साथ लगातार बढ़ता है:

$R(t)=st,$

चलने की गति के साथ।सिंपल किनेमेटीक्स के अनुसार, वेग तब प्रक्षेपवक्र का पहला व्युत्पन्न है:

${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}$

तुम्हारे साथ_θ यू के लिए एक इकाई वेक्टर लंबवत_R समय पर टी (जैसा कि यह ध्यान दिया जा सकता है कि रेडियल वेक्टर के साथ वेक्टर डॉट उत्पाद शून्य है) और यात्रा की दिशा में इंगित करता है। त्वरण वेग का पहला व्युत्पन्न है:

${\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}$

त्वरण में अंतिम शब्द परिमाण के रेडियल रूप से आवक है² r, जो इसलिए परिपत्र गति का तात्कालिक सेंट्रिपेटल बल है। पहला शब्द रेडियल दिशा के लंबवत है, और यात्रा की दिशा में इंगित करता है।इसका परिमाण 2s and है, और यह वॉकर के त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि हिंडोला के किनारे निकट है, और एक निश्चित समय में यात्रा किए गए सर्कल के चाप को बढ़ता है, जैसा कि समान समय के लिए बिंदुओं के बीच बढ़े हुए रिक्ति द्वारा देखा जा सकता है।चित्रा 5 में सर्पिल के रूप में हिंडोला के बाहरी किनारे से संपर्क किया जाता है।

न्यूटन के कानूनों को लागू करते हुए, वॉकर के द्रव्यमान द्वारा त्वरण को गुणा करते हुए, जड़त्वीय पर्यवेक्षक ने निष्कर्ष निकाला कि वॉकर दो बलों के अधीन है: आवक रेडियल निर्देशित सेंट्रिपेटल बल और एक अन्य बल रेडियल दिशा के लिए लंबवत है जो वॉकर की गति के लिए आनुपातिक है।

घूर्णन पर्यवेक्षक

घूर्णन पर्यवेक्षक वॉकर को हिंडोला के केंद्र से परिधि तक एक सीधी रेखा की यात्रा करता है, जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। इसके अलावा, घूर्णन पर्यवेक्षक देखता है कि वॉकर उसी दिशा में एक निरंतर गति से चलता है, इसलिए न्यूटन के नियम को लागू करनाजड़ता, वॉकर पर शून्य बल है।ये निष्कर्ष जड़त्वीय पर्यवेक्षक से सहमत नहीं हैं।समझौते को प्राप्त करने के लिए, घूर्णन पर्यवेक्षक को काल्पनिक बलों को पेश करना होता है जो घूर्णन दुनिया में मौजूद दिखाई देते हैं, भले ही उनके लिए कोई स्पष्ट कारण नहीं है, कोई स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान, इलेक्ट्रिक चार्ज या आपके पास क्या है, जो इन काल्पनिक बलों के लिए जिम्मेदार हैं।

जड़त्वीय पर्यवेक्षक के साथ सहमत होने के लिए, वॉकर पर लागू बलों को ठीक ऊपर पाया जाना चाहिए।वे पहले से प्राप्त सामान्य सूत्रों से संबंधित हो सकते हैं, अर्थात्:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

इस उदाहरण में, घूर्णन फ्रेम में देखा गया वेग है:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},$

तुम्हारे साथ_R रेडियल दिशा में एक इकाई वेक्टर।हिंडोला पर देखा गया वॉकर की स्थिति है:

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},$

और ω का समय व्युत्पन्न समान कोणीय रोटेशन के लिए शून्य है।उस पर ध्यान देना

${\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }$

तथा

${\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,$

हम देखतें है:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.$

घूर्णन दुनिया में एक सीधी-रेखा गति प्राप्त करने के लिए, काल्पनिक बल के साइन में बिल्कुल विपरीत एक बल को वॉकर पर शुद्ध बल को शून्य करने के लिए लागू किया जाना चाहिए, इसलिए न्यूटन का कानून जड़ता का नियम एक सीधी रेखा गति की भविष्यवाणी करेगा, समझौते में।घूर्णन पर्यवेक्षक क्या देखता है।जो काल्पनिक बलों का मुकाबला किया जाना चाहिए वह है कोरिओलिस बल (पहला शब्द) और केन्द्रापसारक बल (दूसरा शब्द)।(ये शर्तें अनुमानित हैं।) इन दो काल्पनिक बलों का मुकाबला करने के लिए बलों को लागू करके, घूर्णन पर्यवेक्षक वॉकर पर ठीक उसी बलों को लागू करता है जो कि जड़ता द्वारा भविष्यवाणी की गई अवलोकन पर्यवेक्षक की आवश्यकता थी।

क्योंकि वे केवल लगातार चलने वाले वेग से भिन्न होते हैं, वॉकर और घूर्णी पर्यवेक्षक एक ही त्वरण देखते हैं।वॉकर के दृष्टिकोण से, काल्पनिक बल को वास्तविक के रूप में अनुभव किया जाता है, और इस बल का मुकाबला करना एक निरंतर गति को पकड़े एक सीधी रेखा रेडियल पथ पर रहने के लिए आवश्यक है।यह हिंडोला के किनारे पर फेंकने के दौरान एक क्रॉसविंड से जूझने जैसा है।

अवलोकन

ध्यान दें कि यह किनेमैटिक्स चर्चा उस तंत्र में नहीं आती है जिसके द्वारा आवश्यक बल उत्पन्न होते हैं।यह कैनेटीक्स (भौतिकी) का विषय है।हिंडोला के मामले में, गतिकी चर्चा में शायद वॉकर के जूते और घर्षण का एक अध्ययन शामिल होगा, जो उन्हें हिंडोला के फर्श के खिलाफ उत्पन्न करने की आवश्यकता होती है, या शायद स्केटबोर्डिंग की गतिशीलता यदि वॉकर स्केटबोर्ड द्वारा यात्रा करने के लिए स्विच किया जाता है।हिंडोला में यात्रा के साधन जो भी हो, ऊपर गणना की गई बलों को महसूस किया जाना चाहिए।एक बहुत ही मोटा सादृश्य आपके घर को गर्म कर रहा है: आपके पास आरामदायक होने के लिए एक निश्चित तापमान होना चाहिए, लेकिन चाहे आप गैस जलाकर या कोयले को जलाकर गर्म हो जाएं।किनेमेटिक्स थर्मोस्टेट सेट करता है, कैनेटीक्स भट्ठी को आग लगाता है।

यह भी देखें

• न्यूटन के गति के नियम
• जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम
• गैर-आंतरिक संदर्भ फ्रेम
• रोटेटिंग रेफरेंस फ्रेम
• कोरिओलिस बल
• केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक)
• गुरुत्वाकर्षण
• सामान्य सापेक्षता
• D'Alembert का निष्क्रिय ताकतों का सिद्धांत
• केन्द्राभिमुख शक्ति
• घूर्नन गति
• एकसमान वृत्तीय गति
• स्थिति-विज्ञान
• कैनेटीक्स (भौतिकी)
• गतिकी
• लागू यांत्रिकी
• विश्लेषणात्मक यांत्रिकी
• गतिशीलता (भौतिकी)
• शास्त्रीय यांत्रिकी
• सामान्यीकृत बल
• मुक्त गति समीकरण
• ऑर्थोगोनल निर्देशांक
• Curvilinear निर्देशांक
• सामान्यीकृत निर्देशांक
• फ्रेनेट -सेरेट सूत्र

अग्रिम पठन

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz (1976). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1 (3rd ed.). Butterworth-Heinenan. pp. 128–130. ISBN 0-7506-2896-0.
• Keith Symon (1971). Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Jerry B. Marion (1970). Classical Dynamics of Particles and Systems. Academic Press. ISBN 0-12-472252-0.
• Marcel J. Sidi (1997). Spacecraft Dynamics and Control: A Practical Engineering Approach. Cambridge University Press. Chapter 4.8. ISBN 0-521-78780-7.

बाहरी संबंध

• Q and A from Richard C. Brill, Honolulu Community College
• NASA's David Stern: Lesson Plans for Teachers #23 on Inertial Forces
• Coriolis Force
• Motion over a flat surface Java physlet by Brian Fiedler illustrating fictitious forces. The physlet shows both the perspective as seen from a rotating and from a non-rotating point of view.
• Motion over a parabolic surface Java physlet by Brian Fiedler illustrating fictitious forces. The physlet shows both the perspective as seen from a rotating and as seen from a non-rotating point of view.