व्रेथ गुणनफल

समूह सिद्धांत में, व्रेथ गुणनफल अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल पर आधारित दो समूह (गणित) का एक विशेष संयोजन है। यह एक समूह की क्रिया (समूह सिद्धांत) द्वारा दूसरे समूह की कई प्रतियों पर बनता है, जो कुछ हद तक घातांक के अनुरूप होता है। व्रेथ उत्पादों का उपयोग क्रमचय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है और समूहों के रोचक उदाहरणों के निर्माण का एक तरीका भी प्रदान करता है।

$A$ और $H$ दो समूह दिए गए हैं (कभी-कभी नीचे और ऊपर के रूप में जाना जाता है), व्रेथ गुणनफल के दो रूप उपस्थित हैं: अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल $A{\text{ Wr }}H$ और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल $A{\text{ wr }}H$। सामान्य रूप, जिसे क्रमशः $A{\text{ Wr}}_{\Omega }H$ या $A{\text{ wr}}_{\Omega }H$ द्वारा निरूपित किया जाता है उनके लिए आवश्यक है कि $H$ कुछ सम्मुच्चय $\Omega$ पर समूह क्रिया (गणित) करे। जब अनिर्दिष्ट होता है, सामान्यतः $\Omega =H$ (एक नियमित व्रेथ गुणनफल), हालांकि एक अलग $\Omega$ कभी-कभी निहित होता है। जब $A$, $H$, और $\Omega$ सभी परिमित होते हैं, तब दो भिन्नताएं मेल खाती हैं। अन्यतर भिन्नता को $A\wr H$ (लाटेक्स प्रतीक के लिए \wr के साथ) या $A\wr H$ (एकल कूट U+2240) के रूप में भी दर्शाया जाता है।

यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और परिमित अर्धसमूहों क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण है।

परिभाषा

मान लीजिये A एक समूह है और H एक सम्मुच्चय पर कार्य करने वाला $\Omega$ समूह है। $A$ का प्रत्यक्ष उत्पादन $A^{\Omega }$ स्वयम् $\Omega$ द्वारा अनुक्रमित क्रम ${\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }$ $A$ में $\Omega$ द्वारा अनुक्रमित बिंदुवार गुणन द्वारा दिए गए समूह संचालन का समुच्चय है। $\Omega$ पर $H$ की क्रिया को $A^{\Omega }$ पर एक क्रिया के लिए रीइन्डेक्सिंग द्वारा विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात् निम्नलिखित को परिभाषित करके

$h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }$

सभी $h\in H$ के लिए और सभी $(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }$ के लिए है।

फिर $H$द्वारा $A$ का अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल $A{\text{ Wr}}_{\Omega }H$ अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल $A^{\Omega }\rtimes H$ ऊपर दिए गए $A^{\Omega }$ पर $H$ की क्रिया है। उपसमूह $A^{\Omega }$ को $A^{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}⋊<!--\; ⋊\; -->$