सूचक फलन

This article is about the 0-1 indicator function. For the 0-infinity indicator function, see characteristic function (convex analysis).

एक सूचक फ़ंक्शन का त्रि-आयामी प्लॉट, एक वर्गाकार द्वि-आयामी डोमेन (सेट) पर दिखाया गया है X): उठा हुआ भाग उन द्वि-आयामी बिंदुओं को ओवरले करता है जो संकेतित उपसमुच्चय के सदस्य हैं (A).

गणित में, एक संकेतक फ़ंक्शन या सबसेट (गणित) के उपसमुच्चय का एक विशिष्ट फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन (गणित) होता है जो उपसमुच्चय के तत्वों को एक में मैप करता है, और अन्य सभी तत्वों को शून्य पर मैप करता है। अर्थात यदि A किसी समुच्चय का उपसमुच्चय है X, तब $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ अगर $x\in A,$ और $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ अन्यथा, कहां $\mathbf {1} _{A}$ सूचक फ़ंक्शन के लिए एक सामान्य संकेतन है। अन्य सामान्य संकेतन हैं $I_{A},$ और $\chi _{A}.$

का सूचक कार्य A से संबंधित संपत्ति का इवरसन ब्रैकेट है A; वह है,

$\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].$

उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के सबसेट के रूप में तर्कसंगत संख्याओं का संकेतक फ़ंक्शन है।

परिभाषा

किसी उपसमुच्चय का सूचक कार्य A एक सेट का X एक फ़ंक्शन है

$$\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}$$

के रूप में परिभाषित

$$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}$$

इवरसन ब्रैकेट समतुल्य अंकन प्रदान करता है, $[x\in A]$ या ⟦x ∈ A⟧, के स्थान पर उपयोग किया जाना है $\mathbf {1} _{A}(x)\,.$ कार्यक्रम $\mathbf {1} _{A}$ कभी-कभी निरूपित किया जाता है I_A, χ_A, K_A, या बस भी A.

नोटेशन और शब्दावली

संकेतन $\chi _{A}$ इसका उपयोग उत्तल विश्लेषण में विशेषता फ़ंक्शन (उत्तल विश्लेषण) को दर्शाने के लिए भी किया जाता है, जिसे संकेतक फ़ंक्शन की मानक परिभाषा के गुणक व्युत्क्रम का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।

सांख्यिकी में एक संबंधित अवधारणा एक डमी वैरिएबल (सांख्यिकी) की है। (इसे डमी वेरिएबल्स के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि यह शब्द आमतौर पर गणित में उपयोग किया जाता है, जिसे मुक्त चर और बाध्य चर भी कहा जाता है।)

विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) शब्द का संभाव्यता सिद्धांत में एक असंबंधित अर्थ है। इस कारण से, संभाव्यवादियों की सूची यहां परिभाषित फ़ंक्शन के लिए संकेतक फ़ंक्शन शब्द का उपयोग लगभग विशेष रूप से करती है, जबकि अन्य क्षेत्रों में गणितज्ञ विशेषता फ़ंक्शन शब्द का उपयोग करने की अधिक संभावना रखते हैं। उस फ़ंक्शन का वर्णन करने के लिए जो किसी सेट में सदस्यता को इंगित करता है।

फजी लॉजिक और अनेक-मूल्यवान तर्क|आधुनिक अनेक-मूल्यवान तर्क में, विधेय संभाव्यता वितरण के विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) हैं। अर्थात्, विधेय के सख्त सत्य/गलत मूल्यांकन को सत्य की डिग्री के रूप में व्याख्या की गई मात्रा से बदल दिया जाता है।

बुनियादी गुण

किसी उपसमुच्चय का सूचक या चारित्रिक कार्य (गणित)। A कुछ सेट का X मानचित्र (गणित) के तत्व X किसी फ़ंक्शन की रेंज तक $\{0,1\}$.

यह मानचित्रण केवल तभी आक्षेपात्मक होता है A का एक गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय है X. अगर $A\equiv X,$ तब $\mathbf {1} _{A}=1.$ इसी तरह के तर्क से, यदि $A\equiv \emptyset$ तब $\mathbf {1} _{A}=0.$ निम्नलिखित में, बिंदु गुणन का प्रतिनिधित्व करता है, $1\cdot 1=1,$ $1\cdot 0=0,$ आदि + और − जोड़ और घटाव का प्रतिनिधित्व करते हैं।$\cap$और$\cup$क्रमशः प्रतिच्छेदन और मिलन हैं।

अगर $A$ और $B$ के दो उपसमुच्चय हैं $X,$ तब

$${\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}$$

और के पूरक (सेट सिद्धांत) का सूचक कार्य $A$ अर्थात। $A^{C}$ है:

$$\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.$$

अधिक सामान्यतः, मान लीजिए $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ के उपसमुच्चय का संग्रह है X. किसी के लिए $x\in X:$

$$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))$$

स्पष्ट रूप से का एक उत्पाद है 0रेत 1एस। इस उत्पाद का मान ठीक उन्हीं पर 1 है $x\in X$ जो किसी भी सेट से संबंधित नहीं है $A_{k}$ और अन्यथा 0 है. वह है

$$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.$$

बायीं ओर उत्पाद का विस्तार करते हुए,

$$\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}$$

कहाँ $|F|$ की प्रमुखता है F. यह समावेश-बहिष्करण के सिद्धांत का एक रूप है।

जैसा कि पिछले उदाहरण से सुझाया गया है, संकेतक फ़ंक्शन साहचर्य में एक उपयोगी नोटेशनल डिवाइस है। नोटेशन का उपयोग अन्य स्थानों पर भी किया जाता है, उदाहरण के लिए संभाव्यता सिद्धांत में: यदि X संभाव्यता माप के साथ एक संभाव्यता स्थान है $\operatorname {P}$ और A तो फिर एक माप (गणित) है $\mathbf {1} _{A}$ एक यादृच्छिक चर बन जाता है जिसका अपेक्षित मान संभावना के बराबर होता है A:

$$\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).$$

इस पहचान का उपयोग मार्कोव की असमानता के सरल प्रमाण में किया जाता है।

कई मामलों में, जैसे कि ऑर्डर सिद्धांत, संकेतक फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है। इसे आमतौर पर सामान्यीकृत मोबियस फ़ंक्शन कहा जाता है, प्राथमिक संख्या सिद्धांत, मोबियस फ़ंक्शन में संकेतक फ़ंक्शन के व्युत्क्रम के सामान्यीकरण के रूप में। (शास्त्रीय पुनरावर्तन सिद्धांत में व्युत्क्रम के उपयोग के बारे में नीचे पैराग्राफ देखें।)

माध्य, प्रसरण और सहप्रसरण

एक संभाव्यता स्थान दिया गया है $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ साथ $A\in {\mathcal {F}},$ सूचक यादृच्छिक चर $\mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\mathbf {1} _{A}(\omega )=1$ अगर $\omega \in A,$ अन्यथा $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$

अर्थ

$\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ (फंडामेंटल ब्रिज भी कहा जाता है)।

विचरण

$\operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))$

सहप्रसरण

$\operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)$

पुनरावर्तन सिद्धांत में अभिलक्षणिक कार्य, गोडेल और क्लेन का प्रतिनिधित्व कार्य

कर्ट गोडेल ने अपने 1934 के पेपर में औपचारिक गणितीय प्रणालियों के अनिर्णीत प्रस्तावों पर प्रतिनिधित्व समारोह का वर्णन किया (¬ तार्किक उलटा इंगित करता है, यानी नहीं):

There shall correspond to each class or relation R a representing function $\phi (x_{1},\ldots x_{n})=0$ if $R(x_{1},\ldots x_{n})$ and $\phi (x_{1},\ldots x_{n})=1$ if $\neg R(x_{1},\ldots x_{n}).$

स्टीफन क्लेन एक फ़ंक्शन के रूप में आदिम पुनरावर्ती कार्यों के संदर्भ में समान परिभाषा प्रस्तुत करते हैं φ एक विधेय का P मान ग्रहण करता है 0 यदि विधेय सत्य है और 1 यदि विधेय गलत है। उदाहरण के लिए, क्योंकि विशिष्ट कार्यों का उत्पाद $\phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0$ जब भी कोई एक फ़ंक्शन बराबर होता है 0, यह तार्किक OR: IF की भूमिका निभाता है $\phi _{1}=0$ या $\phi _{2}=0$ या या $\phi _{n}=0$ फिर उनका उत्पाद है 0. आधुनिक पाठक को जो प्रतिनिधित्व करने वाले फ़ंक्शन के तार्किक व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है, यानी प्रतिनिधित्व करने वाला फ़ंक्शन है 0 जब फ़ंक्शन R सत्य या संतुष्ट है, क्लेन की तार्किक कार्यों OR, AND, और IMPLY की परिभाषा में उपयोगी भूमिका निभाता है। परिबद्ध- और असीमित- ऑपरेटर में और CASE फ़ंक्शन।

फ़ज़ी सेट सिद्धांत में विशेषता फ़ंक्शन

शास्त्रीय गणित में, सेट के विशिष्ट कार्य केवल मान लेते हैं 1 (सदस्य) या 0 (गैर-सदस्य)। फ़ज़ी सेट सिद्धांत में, वास्तविक इकाई अंतराल में मान लेने के लिए विशिष्ट कार्यों को सामान्यीकृत किया जाता है [0, 1], या अधिक सामान्यतः, कुछ सार्वभौमिक बीजगणित या संरचना (गणितीय तर्क) में (आमतौर पर कम से कम आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट या जाली (ऑर्डर) होना आवश्यक है)। ऐसे सामान्यीकृत विशिष्ट कार्यों को आमतौर पर सदस्यता फ़ंक्शन (गणित) कहा जाता है, और संबंधित सेटों को फ़ज़ी सेट कहा जाता है। फ़ज़ी सेट कई वास्तविक दुनिया विधेय (गणित) जैसे लंबा, गर्म, आदि में देखी गई सत्य की सदस्यता की डिग्री में क्रमिक परिवर्तन का मॉडल बनाते हैं।

सूचक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न

Main article: Laplacian of the indicator

एक विशेष संकेतक फ़ंक्शन हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है

$$H(x):=\mathbf {1} _{x>0}$$

हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन का वितरणात्मक व्युत्पन्न डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के बराबर है, यानी।

$${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)$$

और इसी तरह का वितरणात्मक व्युत्पन्न

$$G(x):=\mathbf {1} _{x<0}$$

है

$${\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)$$

इस प्रकार हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को सकारात्मक अर्ध-रेखा द्वारा दिए गए डोमेन की सीमा पर आवक सामान्य व्युत्पन्न के रूप में देखा जा सकता है। उच्च आयामों में, व्युत्पन्न स्वाभाविक रूप से आंतरिक सामान्य व्युत्पन्न के लिए सामान्यीकृत होता है, जबकि हेविसाइड चरण फ़ंक्शन स्वाभाविक रूप से कुछ डोमेन के संकेतक फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत होता है D. की सतह D द्वारा निरूपित किया जाएगा S. आगे बढ़ते हुए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि सूचक#डिराक सतह डेल्टा फ़ंक्शन का लाप्लासियन एक 'सतह डेल्टा फ़ंक्शन' को जन्म देता है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया जा सकता है $\delta _{S}(\mathbf {x} )$:

$$\delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}$$

कहाँ n सतह का बाहरी सामान्य (ज्यामिति) है S. इस 'सतह डेल्टा फ़ंक्शन' में निम्नलिखित गुण हैं:

$$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .$$

फ़ंक्शन सेट करके f एक के बराबर, यह इस प्रकार है कि सूचक#डिराक सतह डेल्टा फ़ंक्शन का लाप्लासियन सतह क्षेत्र के संख्यात्मक मान से एकीकृत होता है S.

यह भी देखें

• डिराक माप
• सूचक का लाप्लासियन
• डिराक डेल्टा
• विस्तार (विधेय तर्क)
• मुक्त चर और बाध्य चर
• हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन
• पहचान समारोह
• इवरसन ब्रैकेट
• क्रोनकर डेल्टा , एक फ़ंक्शन जिसे समानता (गणित) के संकेतक के रूप में देखा जा सकता है
• मैकाले कोष्ठक
• मल्टीसेट
• सदस्यता समारोह (गणित)
• सरल कार्य
• डमी वैरिएबल (सांख्यिकी)
• सांख्यिकीय वर्गीकरण
• शून्य-एक हानि फ़ंक्शन

स्रोत

• Folland, G.B. (1999). वास्तविक विश्लेषण: आधुनिक तकनीकें और उनके अनुप्रयोग (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). "Section 5.2: Indicator random variables". एल्गोरिदम का परिचय (Second ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3.
• Davis, Martin, ed. (1965). अनिर्णीत. New York, NY: Raven Press Books.
• Kleene, Stephen (1971) [1952]. मेटामैथेमेटिक्स का परिचय (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company.
• Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). कम्प्यूटेबिलिटी और तर्क. Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
• Goguen, Joseph (1967). "एल-फजी सेट". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 18 (1): 145–174. doi:10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl:10338.dmlcz/103980.

श्रेणी:माप सिद्धांत श्रेणी:अभिन्न कलन श्रेणी:वास्तविक विश्लेषण श्रेणी:गणितीय तर्क श्रेणी:सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ श्रेणी:संभावना सिद्धांत श्रेणी:कार्यों के प्रकार