क्षण (गणित)

For the physical concept, see Moment (physics).

गणित में, किसी फ़ंक्शन के क्षण (गणित) किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आकार से संबंधित कुछ मात्रात्मक माप होते हैं। यदि फ़ंक्शन द्रव्यमान घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, तो शून्यवां क्षण कुल द्रव्यमान है, पहला क्षण (कुल द्रव्यमान द्वारा सामान्यीकृत) द्रव्यमान का केंद्र है, और दूसरा क्षण जड़ता का क्षण है। यदि फ़ंक्शन एक संभाव्यता वितरण है, तो पहला क्षण अपेक्षित मूल्य है, दूसरा केंद्रीय क्षण विचरण है, तीसरा मानकीकृत क्षण तिरछापन है, और चौथा मानकीकृत क्षण कुकुदता है। गणितीय अवधारणा भौतिकी में क्षण (भौतिकी) की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

एक बंधे हुए सेट पर द्रव्यमान या संभाव्यता के वितरण के लिए, सभी क्षणों का संग्रह (सभी आदेशों से)। 0 को ∞) वितरण को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है (हॉसडॉर्फ क्षण समस्या)। यह बात असीमित अंतरालों (हैमबर्गर क्षण समस्या) पर सच नहीं है।

उन्नीसवीं सदी के मध्य में, पफनुटी चेबीशेव यादृच्छिक चर के क्षणों के संदर्भ में व्यवस्थित रूप से सोचने वाले पहले व्यक्ति बने।

क्षणों का महत्व

n-वितरण का वां कच्चा क्षण (अर्थात, शून्य के बारे में क्षण) द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\mu '_{n}=\langle x^{n}\rangle$$

कहाँ

$$\langle f(x)\rangle ={\begin{cases}\sum f(x)P(x),&{\text{discrete distribution}}\\\int f(x)P(x)dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}$$

n}-मूल्य c के बारे में एक वास्तविक चर के वास्तविक संख्या-मूल्य वाले निरंतर फ़ंक्शन f(x) का वां क्षण अभिन्न है

$$\mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$$

वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के क्षणों की तुलना में यादृच्छिक चर के लिए क्षणों को अधिक सामान्य तरीके से परिभाषित करना संभव है - मीट्रिक रिक्त स्थान में #केंद्रीय क्षण देखें। किसी फ़ंक्शन का क्षण, बिना अधिक स्पष्टीकरण के, आमतौर पर c = 0 के साथ उपरोक्त अभिव्यक्ति को संदर्भित करता है। दूसरे और उच्च क्षणों के लिए, केंद्रीय क्षण (माध्य के बारे में क्षण, सी माध्य है) का उपयोग आमतौर पर शून्य के बारे में क्षणों के बजाय किया जाता है, क्योंकि वे वितरण के आकार के बारे में स्पष्ट जानकारी प्रदान करते हैं।

अन्य क्षणों को भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, nशून्य के बारे में व्युत्क्रम क्षण है $\operatorname {E} \left[X^{-n}\right]$ और यह n-शून्य के बारे में वां लघुगणकीय क्षण है $\operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].$

n}-संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के शून्य के बारे में वां क्षण f(x) का अपेक्षित मान है Xn और इसे कच्चा क्षण या अपरिष्कृत क्षण कहा जाता है। इसके मतलब के बारे में क्षण μ केन्द्रीय क्षण कहलाते हैं; ये अनुवाद (ज्यामिति) से स्वतंत्र रूप से फ़ंक्शन के आकार का वर्णन करते हैं।

यदि f एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है, तो उपरोक्त अभिन्न का मान कहा जाता है n-संभाव्यता वितरण का वां क्षण। अधिक सामान्यतः, यदि F किसी संभाव्यता वितरण का संचयी वितरण फलन है, जिसमें घनत्व फलन नहीं हो सकता है, तो n-संभाव्यता वितरण का वां क्षण रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल द्वारा दिया गया है

$$\mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)$$

जहां X एक यादृच्छिक चर है जिसका संचयी वितरण F है, और E अपेक्षा संचालिका या माध्य है। कब

$$\operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty$$

कहा जाता है कि वह क्षण अस्तित्व में नहीं है। यदि n-किसी भी बिंदु के बारे में वां क्षण मौजूद है, इसलिए भी (n − 1)-हर बिंदु के बारे में वां क्षण (और इस प्रकार, सभी निचले क्रम के क्षण)। किसी भी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का शून्यवाँ क्षण 1 है, क्योंकि किसी भी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के अंतर्गत क्षेत्र एक के बराबर होना चाहिए।

Significance of moments (raw, central, normalised) and cumulants (raw, normalised), in connection with named properties of distributions

Moment ordinal	Moment			Cumulant
	Raw	Central	Standardized	Raw	Normalized
1	Mean	0	0	Mean	—
2	–	Variance	1	Variance	1
3	–	–	Skewness	–	Skewness
4	–	–	(Non-excess or historical) kurtosis	–	Excess kurtosis
5	–	–	Hyperskewness	–	–
6	–	–	Hypertailedness	–	–
7+	–	–	–	–	–

मानकीकृत क्षण

Main article: Standardized moment

सामान्यीकृत n-वाँ केन्द्रीय क्षण या मानकीकृत क्षण है n-वें केंद्रीय क्षण से विभाजित σⁿ; सामान्यीकृत n-यादृच्छिक चर का केंद्रीय क्षण X है

$${\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}.$$

ये सामान्यीकृत केंद्रीय क्षण आयामहीन संख्या हैं, जो पैमाने के किसी भी रैखिक परिवर्तन से स्वतंत्र रूप से वितरण का प्रतिनिधित्व करते हैं।

एक विद्युत संकेत के लिए, पहला क्षण उसका डीसी स्तर है, और दूसरा क्षण उसकी औसत शक्ति का आनुपातिक है।

उल्लेखनीय क्षण

मतलब

Main article: Mean

पहला कच्चा क्षण माध्य है, जिसे आमतौर पर दर्शाया जाता है $\mu \equiv \operatorname {E} [X].$

भिन्नता

Main article: Variance

दूसरा केंद्रीय क्षण विचरण है। विचरण का धनात्मक वर्गमूल मानक विचलन है $\sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.$

तिरछापन

Main article: Skewness

तीसरा केंद्रीय क्षण वितरण की असंतुलितता का माप है; यदि परिभाषित किया जाए तो किसी भी सममित वितरण का तीसरा केंद्रीय क्षण शून्य होगा। सामान्यीकृत तीसरे केंद्रीय क्षण को अक्सर तिरछापन कहा जाता है γ. एक वितरण जो बाईं ओर तिरछा है (वितरण की पूंछ बाईं ओर लंबी है) में नकारात्मक तिरछापन होगा। एक वितरण जो दाईं ओर तिरछा है (वितरण की पूंछ दाईं ओर लंबी है), उसमें सकारात्मक तिरछापन होगा।

ऐसे वितरणों के लिए जो सामान्य वितरण से बहुत अधिक भिन्न नहीं हैं, माध्यिका कहीं निकट होगी μ − γσ/6; मोड (सांख्यिकी) के बारे में μ − γσ/2.

कर्टोसिस

Main article: Kurtosis

चौथा केंद्रीय क्षण वितरण की पूंछ के भारीपन का माप है। चूँकि यह चौथी शक्ति की अपेक्षा है, चौथा केंद्रीय क्षण, जहाँ परिभाषित किया गया है, हमेशा गैर-नकारात्मक होता है; और ख़राब संभाव्यता वितरण को छोड़कर, यह हमेशा सख्ती से सकारात्मक होता है। सामान्य वितरण का चौथा केंद्रीय क्षण है 3σ⁴.

कर्टोसिस κ को मानकीकृत चौथे केंद्रीय क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है। (समान रूप से, जैसा कि अगले भाग में है, अतिरिक्त कर्टोसिस चौथे संचयी को दूसरे क्यूम्युलेंट के वर्ग से विभाजित किया गया है।) यदि वितरण में भारी पूंछ हैं, तो कर्टोसिस उच्च होगा (कभी-कभी लेप्टोकर्टिक भी कहा जाता है); इसके विपरीत, हल्के-पूंछ वाले वितरण (उदाहरण के लिए, वर्दी जैसे बंधे हुए वितरण) में कम कर्टोसिस होता है (कभी-कभी इसे प्लैटीकर्टिक भी कहा जाता है)।

कर्टोसिस बिना किसी सीमा के सकारात्मक हो सकता है, लेकिन κ से बड़ा या बराबर होना चाहिए γ² + 1; समानता केवल बर्नौली वितरण के लिए है। असीमित तिरछा वितरण के लिए जो सामान्य से बहुत दूर नहीं है, κ के क्षेत्र में कहीं होता है γ² और 2γ².

विचार करके असमानता को सिद्ध किया जा सकता है

$$\operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]$$

कहाँ T = (X − μ)/σ. यह एक वर्ग की अपेक्षा है, इसलिए यह सभी a के लिए गैर-नकारात्मक है; हालाँकि यह एक में एक द्विघात बहुपद भी है। इसका विवेचक गैर-सकारात्मक होना चाहिए, जो आवश्यक संबंध देता है।

उच्चतर क्षण

उच्च-क्रम के क्षण चौथे-क्रम के क्षणों से परे के क्षण हैं।

विचरण, तिरछापन और कर्टोसिस की तरह, ये उच्च-क्रम के आँकड़े हैं, जिनमें डेटा के गैर-रेखीय संयोजन शामिल हैं, और इनका उपयोग आगे के आकार मापदंडों के विवरण या अनुमान के लिए किया जा सकता है। क्षण जितना अधिक होगा, अनुमान लगाना उतना ही कठिन होगा, इस अर्थ में कि समान गुणवत्ता के अनुमान प्राप्त करने के लिए बड़े नमूनों की आवश्यकता होती है। यह उच्चतर आदेशों द्वारा उपभोग की गई स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री (सांख्यिकी) के कारण है। इसके अलावा, उनकी व्याख्या करना सूक्ष्म हो सकता है, अक्सर उन्हें निचले क्रम के क्षणों के संदर्भ में सबसे आसानी से समझा जा सकता है - भौतिकी में जर्क (भौतिकी) और जंज़ के उच्च-क्रम डेरिवेटिव की तुलना करें। उदाहरण के लिए, जिस प्रकार चौथे क्रम के क्षण (कर्टोसिस) की व्याख्या फैलाव में योगदान में कंधों की तुलना में पूंछों के सापेक्ष महत्व के रूप में की जा सकती है (फैलाव की एक निश्चित मात्रा के लिए, उच्च कर्टोसिस मोटी पूंछ से मेल खाती है, जबकि निचला कर्टोसिस व्यापक से मेल खाता है) कंधे), 5वें क्रम के क्षण की व्याख्या तिरछापन में योगदान के लिए केंद्र (मोड (सांख्यिकी) और कंधों) की तुलना में पूंछों के सापेक्ष महत्व को मापने के रूप में की जा सकती है (तिरछापन की एक निश्चित मात्रा के लिए, उच्चतर 5वां क्षण उच्चतर तिरछापन से मेल खाता है) पूंछ के भाग और मोड का थोड़ा तिरछापन, जबकि निचला 5वां क्षण कंधों में अधिक तिरछापन से मेल खाता है)।

मिश्रित क्षण

मिश्रित क्षण ऐसे क्षण होते हैं जिनमें अनेक चर शामिल होते हैं।

मूल्य $E[X^{k}]$ आदेश का क्षण कहा जाता है $k$ (क्षणों को गैर-अभिन्न के लिए भी परिभाषित किया गया है $k$). यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के क्षण $X_{1}...X_{n}$ समान रूप से परिभाषित हैं। किसी भी पूर्णांक के लिए $k_{i}\geq 0$, गणितीय अपेक्षा $E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]$ क्रम का मिश्रित क्षण कहलाता है $k$ (कहाँ $k=k_{1}+...+k_{n}$), और $E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]$ क्रम का केंद्रीय मिश्रित क्षण कहलाता है $k$. मिश्रित क्षण $E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]$ इसे सहप्रसरण कहा जाता है और यह यादृच्छिक चरों के बीच निर्भरता की बुनियादी विशेषताओं में से एक है।

कुछ उदाहरण सहप्रसरण, कोस्क्यूनेस और कोकर्टोसिस हैं। जबकि एक अद्वितीय सहप्रसरण है, कई सह-तिरछापन और सह-कुर्टोज़ भी हैं।

क्षणों के गुण

केंद्र का परिवर्तन

तब से

$$(x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}$$

कहाँ ${\textstyle {\binom {n}{i}}}$ द्विपद गुणांक है, इसका तात्पर्य यह है कि b के बारे में क्षणों की गणना a के बारे में क्षणों से की जा सकती है:

$$E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}.$$

फ़ंक्शन के कनवल्शन का क्षण

Main article: Convolution

एक संकल्प का क्षण ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$ पढ़ता

$$\mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]$$

कहाँ $\mu _{n}[\,\cdot \,]$ को दर्शाता है $n$कोष्ठक में दिए गए फ़ंक्शन का -वाँ क्षण। यह पहचान क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य के लिए कनवल्शन प्रमेय का अनुसरण करती है और किसी उत्पाद के विभेदीकरण (गणित) के लिए श्रृंखला नियम को लागू करती है।

संचयी

Main article: Cumulant

पहला कच्चा क्षण और दूसरा और तीसरा असामान्य केंद्रीय क्षण इस अर्थ में योगात्मक हैं कि यदि X और Y सांख्यिकीय स्वतंत्रता यादृच्छिक चर हैं तो

$${\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}$$

(ये उन चरों के लिए भी मान्य हो सकते हैं जो स्वतंत्रता की तुलना में कमजोर स्थितियों को संतुष्ट करते हैं। पहला हमेशा कायम रहता है; यदि दूसरा कायम रहता है, तो चर को सहसंबंध कहा जाता है)।

वास्तव में, ये पहले तीन क्यूमुलेंट हैं और सभी क्यूमुलेंट इस additivity संपत्ति को साझा करते हैं।

नमूना क्षण

सभी के लिए, द k-किसी जनसंख्या के कच्चे क्षण का अनुमान इसका उपयोग करके लगाया जा सकता है k-वां कच्चा नमूना क्षण

$${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$$

एक नमूने पर लागू किया गया X₁, ..., X_nजनसंख्या से लिया गया।

यह दिखाया जा सकता है कि कच्चे नमूने के क्षण का अपेक्षित मूल्य बराबर है k-किसी भी नमूना आकार के लिए जनसंख्या का वां कच्चा क्षण, यदि वह क्षण मौजूद है n. इस प्रकार यह एक निष्पक्ष अनुमानक है। यह केंद्रीय क्षणों की स्थिति के विपरीत है, जिनकी गणना नमूना माध्य का उपयोग करके स्वतंत्रता की एक डिग्री का उपयोग करती है। इसलिए उदाहरण के लिए जनसंख्या विचरण (दूसरा केंद्रीय क्षण) का एक निष्पक्ष अनुमान दिया गया है

$${\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}$$

जिसमें पिछला हर n को स्वतंत्रता की कोटियों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया है n − 1, और किसमें ${\bar {X}}$ नमूना माध्य को संदर्भित करता है। जनसंख्या क्षण का यह अनुमान एक कारक द्वारा असमायोजित देखे गए नमूना क्षण से अधिक है ${\tfrac {n}{n-1}},$ और इसे समायोजित नमूना विचरण या कभी-कभी केवल नमूना विचरण के रूप में जाना जाता है।

क्षणों की समस्या

Main article: Moment problem

किसी संभाव्यता वितरण को उसके क्षणों के अनुक्रम से निर्धारित करने की समस्याओं को क्षणों की समस्या कहा जाता है। ऐसी समस्याओं पर सबसे पहले पी.एल. ने चर्चा की थी। चेबीशेव (1874) सीमा प्रमेय पर शोध के संबंध में। क्रम में कि एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण $X$ अपने क्षणों द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए $\alpha _{k}=EX^{k}$ उदाहरण के लिए, यह पर्याप्त है कि कार्लेमैन की शर्त पूरी हो:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty$$

एक समान परिणाम यादृच्छिक वैक्टर के क्षणों के लिए भी लागू होता है। क्षणों की समस्या अनुक्रमों के लक्षण वर्णन की तलाश करती है ${{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }$यह किसी फलन f के सभी क्षणों के अनुक्रम हैं $\alpha _{k}(n)$ जिनमें से परिमित हैं, और प्रत्येक पूर्णांक के लिए $k\geq 1$ होने देना

$$\alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,$$

कहाँ $\alpha _{k}$ परिमित है. फिर एक क्रम है ${\mu _{n}}'$ जो कमजोर रूप से एक वितरण फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है $\mu$ रखना $\alpha _{k}$ इसके क्षणों के रूप में. यदि क्षण निर्धारित करते हैं $\mu$ विशिष्ट रूप से, फिर क्रम ${\mu _{n}}'$ कमजोर रूप से अभिसरण करता है $\mu$.

आंशिक क्षण

आंशिक क्षणों को कभी-कभी एकतरफा क्षण भी कहा जाता है। n}-संदर्भ बिंदु r के संबंध में निचले और ऊपरी आंशिक क्षणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$\mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,$$

$$\mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$$

यदि अभिन्न फलन अभिसरण नहीं करता है, तो आंशिक क्षण मौजूद नहीं है।

आंशिक क्षणों को घात 1/n तक बढ़ाकर सामान्यीकृत किया जाता है। उल्टा संभावित अनुपात को पहले क्रम के ऊपरी आंशिक क्षण और सामान्यीकृत दूसरे क्रम के निचले आंशिक क्षण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उनका उपयोग कुछ वित्तीय मेट्रिक्स की परिभाषा में किया गया है, जैसे सॉर्टिनो अनुपात, क्योंकि वे पूरी तरह से ऊपर या नीचे पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

मीट्रिक रिक्त स्थान में केंद्रीय क्षण

होने देना (M, d) एक मीट्रिक स्थान बनें, और B(M) को बोरेल सिग्मा बीजगणित होने दें|बोरेल σ-एम पर बीजगणित, सिग्मा बीजगणित|σ-एम के डी-खुला सेट द्वारा उत्पन्न बीजगणित। (तकनीकी कारणों से, यह मान लेना भी सुविधाजनक है कि एम मीट्रिक (गणित) डी के संबंध में एक अलग करने योग्य स्थान है।) मान लीजिए 1 ≤ p ≤ ∞.

p-माप का वां केंद्रीय क्षण μ किसी दिए गए बिंदु के बारे में मापने योग्य स्थान (एम, बी(एम)) पर x₀ ∈ M को परिभाषित किया गया है

$$\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).$$

μ को 'परिमित' कहा जाता है p-वाँ केंद्रीय क्षण यदि p-का केंद्रीय क्षण μ एक्स के बारे में₀ कुछ के लिए सीमित है x₀ ∈ M.

उपायों के लिए यह शब्दावली सामान्य तरीके से यादृच्छिक चर को आगे बढ़ाती है: यदि (Ω, Σ, P) एक संभाव्यता स्थान है और X : Ω → M एक यादृच्छिक चर है, तोp-X का केंद्रीय क्षण x₀ ∈ M को परिभाषित किया गया है

$$\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],$$

और एक्स के पास 'परिमित' है p-वाँ केंद्रीय क्षण यदि p-एक्स के बारे में एक्स का केंद्रीय क्षण₀ कुछ के लिए सीमित है x₀ ∈ M.

यह भी देखें

• ऊर्जा (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• तथ्यात्मक क्षण
• सामान्यीकृत माध्य
• छवि क्षण
• एल-पल
• क्षणों की विधि (संभावना सिद्धांत)
• क्षणों की विधि (सांख्यिकी)
• क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य#क्षणों की गणना|क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य
• क्षण माप
• द्वितीय क्षण विधि
• मानकीकृत क्षण
• स्थिर क्षण समस्या
• यादृच्छिक चर के कार्यों के क्षणों के लिए टेलर विस्तार

संदर्भ

• Text was copied from Moment at the Encyclopedia of Mathematics, which is released under a Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 (Unported) (CC-BY-SA 3.0) license and the GNU Free Documentation License.

अग्रिम पठन

• Spanos, Aris (1999). Probability Theory and Statistical Inference. New York: Cambridge University Press. pp. 109–130. ISBN 0-521-42408-9.
• Walker, Helen M. (1929). Studies in the history of statistical method, with special reference to certain educational problems. Baltimore, Williams & Wilkins Co. p. 71.

बाहरी संबंध

• "Moment", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Moments at Mathworld