प्रचुर संख्या

भोजनालय की छड़ों के साथ, संख्या 12 की प्रचुरता का प्रदर्शन

संख्या सिद्धांत में, एक प्रचुर संख्या या अत्यधिक संख्या एक संख्या होती है जिसके लिए इसके उचित विभाजक का योग संख्या से अधिक होता है। पूर्णांक 12 पहली प्रचुर संख्या है। कुल 16 के लिए इसके उचित भाजक 1, 2, 3, 4 और 6 हैं। जिस राशि से योग संख्या से अधिक है वह बहुतायत है। उदाहरण के लिए, संख्या 12 में 4 की बहुतायत है।

परिभाषा

एक संख्या n जिसके लिए योग का भाजक विभाजक फलन|σ(n) > 2n, या, समकक्ष, उचित विभाजकों का योग (या विभाज्य योग) s(n) > n'

बहुतायत मूल्य है (गणित) σ(n) - 2n (या s(n) - n)।

उदाहरण

पहले 28 प्रचुर संख्याएँ हैं:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108 , 112, 114, 120, ... (sequence A005101 in the OEIS).

उदाहरण के लिए, 24 के उचित विभाजक 1, 2, 3, 4, 6, 8, और 12 हैं, जिनका योग 36 है। क्योंकि 36 24 से अधिक है, संख्या 24 प्रचुर मात्रा में है। इसकी बहुतायत 36 − 24 = 12 है।

गुण

• सबसे छोटी विषम प्रचुर संख्या 945 है।
• 2 या 3 से विभाज्य न होने वाली सबसे छोटी प्रचुर संख्या 5391411025 है जिसके विशिष्ट प्रमुख कारक 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं (sequence A047802 in the OEIS). 2005 में इयानुची द्वारा दिए गए एक एल्गोरिदम से पता चलता है कि पहले के अभाज्य संख्याओं से विभाजित न होने वाली सबसे छोटी प्रचुर मात्रा में संख्या कैसे प्राप्त करें। अगर $A(k)$ सबसे छोटी प्रचुर संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो पहले के अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है फिर सभी के लिए $\epsilon >0$ अपने पास

$(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }$ : पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए।

• एक पूर्ण संख्या का प्रत्येक गुणक (स्वयं पूर्ण संख्या को छोड़कर) प्रचुर मात्रा में होता है। उदाहरण के लिए, 6 से अधिक 6 का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में है क्योंकि $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.$
• प्रचुर संख्या का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में होता है। उदाहरण के लिए, 20 का प्रत्येक गुणक (स्वयं 20 सहित) प्रचुर मात्रा में है क्योंकि ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$
• फलस्वरूप, अपरिमित रूप से अनेक सम और विषम संख्याएँ प्रचुर संख्याएँ विद्यमान हैं।

होने देना $a(n)$ प्रचुर मात्रा में संख्या से अधिक न हो $n$. टुकड़ा $a(n)/n$ के लिए $n<10^{6}$ (साथ $n$ लॉग-स्केल्ड)

*इसके अलावा, प्रचुर मात्रा में संख्याओं के सेट में गैर-शून्य प्राकृतिक घनत्व होता है। मार्क डेलिग्लिस ने 1998 में दिखाया कि प्रचुर संख्या और पूर्ण संख्या के सेट का प्राकृतिक घनत्व 0.2474 और 0.2480 के बीच है।

• एक प्रचुर संख्या जो एक प्रचुर संख्या या पूर्ण संख्या का गुणक नहीं है (अर्थात इसके सभी उचित विभाजक कम हैं) एक आदिम प्रचुर संख्या कहलाती है
• एक बहुतायत संख्या जिसकी बहुतायत किसी भी कम संख्या से अधिक है, अत्यधिक प्रचुर संख्या कहलाती है, और जिसकी सापेक्ष बहुतायत (यानी s(n)/n ) किसी भी कम संख्या से अधिक होती है, उसे अतिप्रचुर संख्या कहा जाता है
• 20161 से बड़े प्रत्येक पूर्णांक को दो प्रचुर संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
• एक प्रचुर संख्या जो एक अर्धपूर्ण संख्या नहीं है, एक अजीब संख्या कहलाती है। प्रचुर मात्रा में 1 के साथ एक प्रचुर संख्या को अर्धपूर्ण संख्या कहा जाता है, हालांकि अभी तक कोई भी नहीं मिला है।
• प्रत्येक प्रचुर संख्या या तो एक पूर्ण संख्या या एक आदिम प्रचुर संख्या का गुणक है।

संबंधित अवधारणाएं

Euler diagram of abundant, primitive abundant, highly abundant, superabundant, colossally abundant, highly composite, superior highly composite, weird and perfect numbers under 100 in relation to deficient and composite numbers

वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या के बराबर होता है (जैसे 6 और 28) पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं, जबकि वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या से कम होता है, अपूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। संख्याओं का पहला ज्ञात वर्गीकरण कम, पूर्ण या प्रचुर मात्रा में निकोमाचस द्वारा अपने अंकगणित के परिचय (लगभग 100 ईस्वी) में किया गया था, जिसमें बहुत अधिक अंगों वाले विकृत जानवरों की तरह प्रचुर संख्या का वर्णन किया गया था।

n का 'बहुतायत सूचकांक' अनुपात σ(n)/n है। भिन्न संख्याएँ n₁, एन₂, ... (चाहे प्रचुर मात्रा में हो या नहीं) एक ही बहुतायत सूचकांक के साथ अनुकूल संख्याएं कहलाती हैं।

अनुक्रम (अ़_k) कम से कम संख्या n जैसे कि σ(n) > kn, जिसमें a₂ = 12 पहली प्रचुर संख्या से मेल खाता है, बहुत तेज़ी से बढ़ता है (sequence A134716 in the OEIS).

बहुतायत सूचकांक 3 से अधिक के साथ सबसे छोटा विषम पूर्णांक 1018976683725 = 3 है³ × 5² × 7² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29। अगर पी = (पी₁, ..., पी_n) प्राइम्स की एक सूची है, तो 'पी' को प्रचुर मात्रा में कहा जाता है यदि 'पी' में केवल प्राइम्स से बना कुछ पूर्णांक प्रचुर मात्रा में है। इसके लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि p का गुणनफल_i/(पी_i− 1) होना > 2।

संदर्भ

• Tattersall, James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl 1071.11002.

बाहरी संबंध

• The Prime Glossary: Abundant number
• Weisstein, Eric W. "Abundant Number". MathWorld.
• Abundant number at PlanetMath.