व्रेथ गुणनफल

समूह सिद्धांत में, पुष्पांजलि उत्पाद अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद पर आधारित दो समूह (गणित) का एक विशेष संयोजन है। यह एक समूह की क्रिया (समूह सिद्धांत) द्वारा दूसरे समूह की कई प्रतियों पर बनता है, जो कुछ हद तक घातांक के अनुरूप होता है। पुष्पांजलि उत्पादों का उपयोग क्रमचय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है और समूहों के दिलचस्प उदाहरणों के निर्माण का एक तरीका भी प्रदान करता है।

दो समूह दिए $A$ और $H$ (कभी-कभी नीचे और ऊपर के रूप में जाना जाता है), पुष्पांजलि उत्पाद के दो रूप मौजूद हैं: अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद $A{\text{ Wr }}H$ और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद $A{\text{ wr }}H$. सामान्य रूप, द्वारा निरूपित $A{\text{ Wr}}_{\Omega }H$ या $A{\text{ wr}}_{\Omega }H$ क्रमशः इसकी आवश्यकता है $H$ कुछ सेट पर समूह क्रिया (गणित)। $\Omega$; जब अनिर्दिष्ट, आमतौर पर $\Omega =H$ (एक नियमित पुष्पांजलि उत्पाद), हालांकि एक अलग $\Omega$ कभी-कभी निहित होता है। दो भिन्नताएं कब मेल खाती हैं $A$, $H$, और $\Omega$ सभी परिमित हैं। या तो भिन्नता को भी निरूपित किया जाता है $A\wr H$ (LaTeX प्रतीक के लिए \wr के साथ) या A ≀ H (यूनिकोड U+2240)।

यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण है | परिमित अर्धसमूहों का क्रोहन-रोड्स संरचना सिद्धांत।

परिभाषा

होने देना $A$ एक समूह बनो और चलो $H$ एक सेट पर समूह समूह क्रिया (गणित) हो $\Omega$ (बाईं तरफ)। समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद $A^{\Omega }$ का $A$ साथ ही द्वारा अनुक्रमित $\Omega$ क्रमों का समुच्चय है ${\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }$ में $A$ द्वारा अनुक्रमित $\Omega$बिंदुवार गुणन द्वारा दिए गए समूह संचालन के साथ। की क्रिया $H$ पर $\Omega$ पर कार्रवाई के लिए बढ़ाया जा सकता है $A^{\Omega }$ रीइंडेक्सिंग द्वारा, अर्थात् परिभाषित करके

$h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }$

सभी के लिए $h\in H$ और सभी $(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }$.

फिर अप्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद $A{\text{ Wr}}_{\Omega }H$ का $A$ द्वारा $H$ अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है $A^{\Omega }\rtimes H$ की क्रिया के साथ $H$ पर $A^{\Omega }$ ऊपर दिया गया है। उपसमूह $A^{\Omega }$ का