विभेदक

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गणित में, बहुपद का विविक्तकर एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक सटीक रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विवेचक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद का विविक्तकर $ax^{2}+bx+c$ है

$b^{2}-4ac,$

वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। अगर $a\neq 0,$ यह विविक्तकर शून्य है यदि और केवल यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के मामले में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो यह सकारात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी जड़ें हैं तो यह नकारात्मक है। इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के मामले में, यदि बहुपद की तीन अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो विवेचक सकारात्मक होता है, और यदि इसकी एक वास्तविक जड़ और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म जड़ें होती हैं, तो नकारात्मक होता है।

अधिक आम तौर पर, एक बहुपद की सकारात्मक डिग्री के एक अविभाजित बहुपद का विवेचक शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विवेचक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विवेचक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विवेचक; द्विघात रूप का विवेचक; और अधिक आम तौर पर, एक सजातीय बहुपद के एक रूप (गणित) का विभेदक, या एक प्रक्षेपी अतिसतह (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

डिस्क्रिमिनेंट शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा गढ़ा गया था।

परिभाषा

होने देना

$A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

एक बहुपद की डिग्री का एक बहुपद हो n (इसका मतलब यह है $a_{n}\neq 0$), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या, अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं। का परिणाम है A और इसका औपचारिक व्युत्पन्न,

$A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},$ में बहुपद है $a_{0},\ldots ,a_{n}$ पूर्णांक गुणांक के साथ, जो सिल्वेस्टर मैट्रिक्स का निर्धारक है A और A′. सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं $a_{n}$ और $na_{n},$ और परिणामी इस प्रकार का एक गुणक है $a_{n}.$ इसलिए विवेचक - इसके चिह्न तक - के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है A और A' द्वारा $a_{n}$:

$\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$

ऐतिहासिक रूप से, इस चिन्ह को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विवेचक सकारात्मक होगा जब बहुपद की सभी जड़ें वास्तविक हों। द्वारा विभाजन $a_{n}$ यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक हैं, तो अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। बदलने से ऐसी समस्या से बचा जा सकता है $a_{n}$ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम में 1 से - निर्धारक की गणना करने से पहले। किसी भी मामले में, विवेचक एक बहुपद है $a_{0},\ldots ,a_{n}$ पूर्णांक गुणांक के साथ।

जड़ों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो यह होता है n जड़ें, $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$क्षेत्र के किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में, जरूरी नहीं कि सभी अलग-अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो जड़ों को जटिल संख्याओं के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां बीजगणित का मौलिक प्रमेय लागू होता है।)

जड़ों के संदर्भ में, विवेचक के बराबर है