पोंकारे समूह

For the Poincaré group (fundamental group) of a topological space, see Fundamental group.

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हेनरी पोंकारे

पोंकारे समूह, जिसका नाम हेनरी पोंकारे (1906) के नाम पर रखा गया, पहली बार हरमन मिन्कोव्स्की (1908) द्वारा परिभाषित किया गया था, जो मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के समूह (गणित) लोरेंत्ज़ परिवर्तन और समरूपता के रूप में था। यह दस-आयामी गैर-अबेलियन समूह|गैर-अबेलियन झूठ समूह है जो भौतिकी के सबसे बुनियादी बुनियादी सिद्धांतों की हमारी समझ में मॉडल के रूप में महत्वपूर्ण है।

सिंहावलोकन

ए मिन्कोवस्की स्पेस # लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन एंड सिमेट्री में यह गुण है कि घटना (सापेक्षता) के बीच के अंतराल को अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि सब कुछ दो घंटे के लिए स्थगित कर दिया गया था, जिसमें दो घटनाएं और से दूसरे में जाने के लिए आपके द्वारा लिया गया रास्ता शामिल है, तो आपके द्वारा अपने साथ ले जाने वाली स्टॉप-वॉच द्वारा रिकॉर्ड की गई घटनाओं के बीच का समय अंतराल समान होगा। या अगर हर चीज को पांच किलोमीटर पश्चिम की ओर खिसका दिया जाए, या 60 डिग्री को दाईं ओर मोड़ दिया जाए, तो भी आपको अंतराल में कोई बदलाव नहीं दिखाई देगा। यह पता चला है कि इस तरह के बदलाव से किसी वस्तु की उचित लंबाई भी अप्रभावित रहती है। समय या स्थान उत्क्रमण (एक प्रतिबिंब) भी इस समूह का आइसोमेट्री है।

मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में (यानी गुरुत्वाकर्षण के प्रभावों की अनदेखी), मिन्कोवस्की अंतरिक्ष की स्वतंत्रता की दस डिग्री हैं # लोरेंत्ज़ परिवर्तन और समरूपता, जिसे समय या स्थान के माध्यम से अनुवाद के रूप में माना जा सकता है (चार डिग्री, प्रति आयाम एक); विमान के माध्यम से प्रतिबिंब (तीन डिग्री, इस विमान के उन्मुखीकरण में स्वतंत्रता); या तीन स्थानिक दिशाओं (तीन डिग्री) में से किसी में लोरेंत्ज़ परिवर्तन। परिवर्तनों की संरचना पोंकारे समूह का संचालन है, अनुचित रोटेशन के साथ # अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री के रूप में प्रतिबिंबों की समान संख्या की संरचना के रूप में उत्पादित किया जा रहा है।

शास्त्रीय भौतिकी में, गैलिलियन समूह तुलनीय दस-पैरामीटर समूह है जो निरपेक्ष समय और स्थान पर कार्य करता है। बूस्ट के बजाय, यह संदर्भ के सह-चलती फ्रेम को जोड़ने के लिए कतरनी मैपिंग की सुविधा देता है।

पॉइनकेयर समरूपता

पोंकारे समरूपता विशेष सापेक्षता की पूर्ण समरूपता है। इसमें शामिल है:

• अनुवाद (भौतिकी) (विस्थापन) समय और स्थान (पी) में, अंतरिक्ष-समय पर अनुवादों के एबेलियन लाइ समूह का गठन;

अंतरिक्ष में * घूर्णन, त्रि-आयामी घुमावों (जे) के गैर-अबेलियन झूठ समूह का गठन;

• लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन, दो समान रूप से गतिमान निकायों (के) को जोड़ने वाले ट्रांसफ़ॉर्मेशन।

अंतिम दो समरूपताएँ, J और K, मिलकर लोरेंत्ज़ समूह बनाते हैं (लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस भी देखें); अनुवाद समूह और लोरेंत्ज़ समूह के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद तब पोंकारे समूह का उत्पादन करते हैं। ऑब्जेक्ट जो इस समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं, तब कहा जाता है कि पॉइंकेयर इनवेरिएंस या रिलेटिविस्टिक इनवेरिएंस के अधिकारी हैं।

नोथेर के प्रमेय द्वारा पोइनकेयर समरूपता से जुड़े 10 जनरेटर (चार दिक्-समय आयामों में), 10 संरक्षण नियमों का अर्थ है: 1 ऊर्जा के लिए, 3 संवेग के लिए, 3 कोणीय संवेग के लिए और 3 द्रव्यमान के केंद्र के वेग के लिए।

पॉइनकेयर समूह

पोंकारे समूह मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम आइसोमेट्री का समूह है। यह दस-आयामी कॉम्पैक्ट जगह लाइ समूह है। अनुवाद (ज्यामिति) का एबेलियन समूह सामान्य उपसमूह है, जबकि लोरेंत्ज़ समूह भी उपसमूह है, समूह क्रिया (गणित) #ऑर्बिट्स और मूल के स्टेबलाइजर्स। Poincare group स्वयं affine समूह का न्यूनतम उपसमूह है जिसमें सभी अनुवाद और लोरेंत्ज़ रूपांतरण शामिल हैं। अधिक सटीक रूप से, यह अनुवादों और लोरेंत्ज़ समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है,

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,$

समूह गुणन के साथ

$(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)$.

इसे रखने का अन्य तरीका यह है कि पॉइनकेयर समूह लोरेंत्ज़ समूह का सदिश समूह प्रतिनिधित्व द्वारा इसका समूह विस्तार है; इसे कभी-कभी, अनौपचारिक रूप से, अमानवीय लोरेंत्ज़ समूह के रूप में डब किया जाता है। बदले में, इसे डी सिटर ग्रुप SO(4,1) ~ Sp(2,2) के समूह संकुचन के रूप में भी प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि सिटर स्पेस द्वारा अनंत तक जाता है।

इसकी सकारात्मक ऊर्जा एकात्मक अलघुकरणीय लाइ समूह का प्रतिनिधित्व द्रव्यमान (गैर-नकारात्मक संख्या) और स्पिन (भौतिकी) (पूर्णांक या आधा पूर्णांक) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है और क्वांटम यांत्रिकी में कणों से जुड़ा होता है (विग्नर का वर्गीकरण देखें)।

एर्लांगेन कार्यक्रम के अनुसार, मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष की ज्यामिति को पोंकारे समूह द्वारा परिभाषित किया गया है: मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष को समूह के लिए सजातीय स्थान माना जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, पोंकारे समूह का सार्वभौमिक आवरण

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),$

जिसे दोहरे आवरण से पहचाना जा सकता है

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),$

अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि का प्रतिनिधित्व $\operatorname {SO} (1,3)$ स्पिन 1/2 वाले क्षेत्रों का वर्णन करने में सक्षम नहीं हैं; यानी फरमिओन्स । यहाँ $\operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )$ कॉम्प्लेक्स का समूह है $2\times 2$ इकाई निर्धारक के साथ मेट्रिसेस, स्पिन समूह के लिए आइसोमोर्फिक#अनिश्चित हस्ताक्षर | लोरेंट्ज़-सिग्नेचर स्पिन समूह $\operatorname {Spin} (1,3)$.