गति

This article is about linear momentum. It is not to be confused with angular momentum or moment (physics).

This article is about momentum in physics. For other uses, see गति (disambiguation).

Momentum
A pool break-off shot Momentum of a pool cue ball is transferred to the racked balls after collision.
सामान्य प्रतीक	p, p
Si   इकाई	kg⋅m/s
अन्य इकाइयां	slug⋅ft/s
संरक्षित?	Yes
आयाम	MLT−1

न्यूटोनियन यांत्रिकी में, रैखिक गति, अनुवाद संबंधी गति, या बस गति किसी वस्तु के द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है। यह एक यूक्लिडियन वेक्टर मात्रा है, जिसमें परिमाण और दिशा होती है। यदि m एक वस्तु का द्रव्यमान है और v उसका वेग है (एक सदिश राशि भी), तो वस्तु का संवेग p है : $\mathbf {p} =m\mathbf {v} .$ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (SI) में, संवेग के मापन की इकाई किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड (kg⋅m/s) है, जो न्यूटन-सेकंड के बराबर है।

न्यूटन के गति के नियम संवेग संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर करता है, लेकिन किसी भी जड़त्वीय फ्रेम में यह एक संरक्षित मात्रा है, जिसका अर्थ है कि यदि एक बंद प्रणाली बाहरी बलों से प्रभावित नहीं होती है, तो इसकी कुल रैखिक गति नहीं बदलती है। संवेग भी विशेष सापेक्षता (एक संशोधित सूत्र के साथ) और, एक संशोधित रूप में, बिजली का गतिविज्ञान , क्वांटम यांत्रिकी , क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता में संरक्षित है। यह स्थान और समय की मूलभूत समरूपताओं में से एक की अभिव्यक्ति है: अनुवाद संबंधी समरूपता ।

शास्त्रीय यांत्रिकी, लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के उन्नत फॉर्मूलेशन, किसी को समन्वय प्रणाली चुनने की अनुमति देते हैं जो समरूपता और बाधाओं को शामिल करते हैं। इन प्रणालियों में संरक्षित मात्रा 'सामान्यीकृत गति' है, और सामान्य तौर पर यह ऊपर परिभाषित 'गतिज' गति से अलग है। सामान्यीकृत गति की अवधारणा को क्वांटम यांत्रिकी में ले जाया जाता है, जहां यह एक तरंग फ़ंक्शन पर एक ऑपरेटर बन जाता है। संवेग और स्थिति संचालक हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत से संबंधित हैं।

निरंतर प्रणालियों जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, द्रव गतिकी और विकृत निकायों में, एक गति घनत्व को परिभाषित किया जा सकता है, और गति के संरक्षण का एक निरंतर संस्करण समीकरणों की ओर जाता है जैसे तरल पदार्थ के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण या विकृत ठोस के लिए कॉची गति समीकरण या तरल पदार्थ।

न्यूटोनियन

संवेग एक सदिश राशि है: इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। चूँकि संवेग की एक दिशा होती है, इसका उपयोग वस्तुओं के टकराने के बाद परिणामी दिशा और गति की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। नीचे, संवेग के मूल गुणों को एक आयाम में वर्णित किया गया है। सदिश समीकरण लगभग अदिश समीकरणों के समान होते हैं (मोमेंटम#मल्टीपल डाइमेंशन देखें)।

एकल कण

एक कण की गति को पारंपरिक रूप से अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है p. यह दो मात्राओं का गुणनफल है, कण का द्रव्यमान (अक्षर द्वारा निरूपित) m) और इसका वेग (v):

$p=mv.$

संवेग की इकाई द्रव्यमान और वेग की इकाइयों का गुणनफल है। SI इकाइयों में, यदि द्रव्यमान किलोग्राम में है और वेग मीटर प्रति सेकंड में है तो गति किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड (kg⋅m/s) में है। सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड प्रणाली में, यदि द्रव्यमान ग्राम में है और वेग सेंटीमीटर प्रति सेकंड में है, तो गति ग्राम सेंटीमीटर प्रति सेकंड (g⋅cm/s) में है।

सदिश होने के कारण संवेग का परिमाण और दिशा होती है। उदाहरण के लिए, 1 किलो मॉडल का हवाई जहाज, सीधी और समतल उड़ान में उत्तर की ओर 1 मीटर/सेकेंड की गति से यात्रा कर रहा है, इसकी गति जमीन के संदर्भ में मापी गई उत्तर की ओर 1 किलो मीटर/सेकेंड है।

कई कण

कणों के एक निकाय का संवेग उनके संवेग का सदिश योग होता है। यदि दो कणों का द्रव्यमान क्रमशः है m₁ तथा m₂, और वेग v₁ तथा v₂, कुल गति है

${\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}$

दो से अधिक कणों का संवेग निम्नलिखित के साथ अधिक सामान्य रूप से जोड़ा जा सकता है:

$p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.$

कणों की एक प्रणाली में द्रव्यमान का केंद्र होता है, जो उनकी स्थिति के भारित योग द्वारा निर्धारित होता है:

$r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.$

यदि एक या अधिक कण गतिमान हैं, तो निकाय के द्रव्यमान का केंद्र सामान्यत: भी गतिमान रहेगा (जब तक कि निकाय इसके चारों ओर शुद्ध घूर्णन में न हो)। यदि कणों का कुल द्रव्यमान है $m$, और द्रव्यमान का केंद्र वेग से घूम रहा है v_cm, प्रणाली की गति है:

$p=mv_{\text{cm}}.$

इसे यूलर के गति के नियम के रूप में जाना जाता है|यूलर का पहला नियम।

बल से संबंध

यदि शुद्ध बल F एक कण पर लगाया जाता है स्थिर होता है, और एक समय अंतराल के लिए लगाया जाता है Δt, कण की गति एक राशि से बदल जाती है

$\Delta p=F\Delta t\,.$

विभेदक रूप में, यह न्यूटन का दूसरा नियम है; किसी कण के संवेग में परिवर्तन की दर तात्कालिक बल के बराबर होती है F उस पर अभिनय,:$F={\frac {dp}{dt}}.$ यदि किसी कण द्वारा अनुभव किया गया शुद्ध बल समय के फलन के रूप में परिवर्तित होता है, F(t), गति में परिवर्तन (या आवेग (भौतिकी) J) समय के बीच t₁ तथा t₂ है

$\Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.$

आवेग को न्यूटन सेकंड (1 N⋅s = 1 किलो⋅m/s) या dyne सेकंड (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s) की SI व्युत्पन्न इकाई में मापा जाता है।

स्थिर द्रव्यमान की धारणा के तहत m, यह लिखने के बराबर है

$F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,$

इसलिए शुद्ध बल कण के द्रव्यमान के गुणा के त्वरण के बराबर होता है।

उदाहरण: 1 किलो द्रव्यमान का एक मॉडल हवाई जहाज 2 सेकंड में आराम से 6 मीटर/सेकेंड के वेग से उत्तर की ओर गति करता है। इस त्वरण को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक कुल बल उत्तर की ओर 3 न्यूटन (इकाई) है। उत्तर की ओर गति में परिवर्तन 6 किलोm/s है। संवेग परिवर्तन की दर उत्तर की ओर 3 (kg⋅m/s)/s है जो संख्यात्मक रूप से 3 न्यूटन के बराबर है।

संरक्षण

एक बंद प्रणाली में (जो अपने परिवेश के साथ किसी भी पदार्थ का आदान-प्रदान नहीं करता है और बाहरी बलों द्वारा कार्य नहीं किया जाता है) कुल गति स्थिर रहती है। यह तथ्य, जिसे संवेग के संरक्षण के नियम के रूप में जाना जाता है, न्यूटन के गति के नियमों द्वारा निहित है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि दो कण परस्पर क्रिया करते हैं। जैसा कि तीसरे नियम द्वारा समझाया गया है, उनके बीच बल परिमाण में समान हैं लेकिन दिशा में विपरीत हैं। यदि कणों की संख्या 1 और 2 है, तो दूसरा नियम कहता है कि F₁ = dp₁/dt तथा F₂ = dp₂/dt. इसलिए,

${\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},$

नकारात्मक संकेत के साथ यह दर्शाता है कि बल विरोध करते हैं। समान रूप से,

${\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.$

यदि कणों के वेग हैं u₁ तथा u₂ बातचीत से पहले, और बाद में वे हैं v₁ तथा v₂, फिर

$m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

यह नियम मानता है कि कणों के बीच बल कितना भी जटिल क्यों न हो। इसी तरह, यदि कई कण हैं, तो कणों के प्रत्येक जोड़े के बीच आदान-प्रदान का संवेग शून्य हो जाता है, इसलिए संवेग में कुल परिवर्तन शून्य होता है। यह संरक्षण कानून सभी इंटरैक्शन पर लागू होता है, जिसमें विस्फोटक बलों के कारण टकराव और अलगाव शामिल हैं।इसे उन स्थितियों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां न्यूटन के नियम लागू नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए सापेक्षता के सिद्धांत और शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में।

संदर्भ फ्रेम पर निर्भरता

गति एक मापने योग्य मात्रा है, और माप संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए: यदि 1000 किलो वजन का एक विमान 50 मीटर/सेकेंड की गति से हवा में उड़ रहा है, तो इसकी गति 50,000 किलोग्राम मीटर/सेकेंड की गणना की जा सकती है। अगर विमान 5 मीटर/सेकेंड की हेडविंड में उड़ रहा है तो पृथ्वी की सतह के सापेक्ष इसकी गति केवल 45 मीटर/सेकेंड है और इसकी गति की गणना 45,000 किलो मीटर/सेकेंड की जा सकती है। दोनों गणना समान रूप से सही हैं। संदर्भ के दोनों फ्रेमों में, संवेग में कोई भी परिवर्तन भौतिकी के प्रासंगिक नियमों के अनुरूप पाया जाएगा।

मान लीजिए x संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में एक स्थिति है। संदर्भ के दूसरे फ्रेम के दृष्टिकोण से, एक स्थिर गति से आगे बढ़ रहा है u दूसरे के सापेक्ष, स्थिति (एक प्राइमेड कोऑर्डिनेट द्वारा दर्शाई गई) समय के साथ बदलती है:

$x'=x-ut\,.$

इसे गैलीलियन परिवर्तन कहा जाता है।

यदि कोई कण गति से चल रहा है dx/dt = v संदर्भ के पहले फ्रेम में, दूसरे में, यह गति से आगे बढ़ रहा है

$v'={\frac {dx'}{dt}}=v-u\,.$

तब से u नहीं बदलता है, दूसरा संदर्भ फ्रेम भी एक जड़त्वीय फ्रेम है और त्वरण समान हैं:

$a'={\frac {dv'}{dt}}=a\,.$

इस प्रकार, दोनों संदर्भ फ़्रेमों में संवेग संरक्षित है। इसके अलावा, जब तक बल का एक ही रूप है, दोनों फ्रेम में, न्यूटन का दूसरा नियम अपरिवर्तित रहता है। न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण जैसे बल, जो केवल वस्तुओं के बीच अदिश दूरी पर निर्भर करते हैं, इस मानदंड को पूरा करते हैं। संदर्भ फ्रेम की इस स्वतंत्रता को न्यूटनियन सापेक्षता या गैलीलियन इनवेरिएंस कहा जाता है। संदर्भ फ्रेम में परिवर्तन, अक्सर, गति की गणना को सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, दो कणों की टक्कर में, एक संदर्भ फ्रेम चुना जा सकता है, जहां, एक कण आराम से शुरू होता है। एक और, आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला संदर्भ फ्रेम, मास फ्रेम का केंद्र है - वह जो द्रव्यमान के केंद्र के साथ आगे बढ़ रहा है। इस फ्रेम में, कुल गति शून्य है।

टकराव के लिए आवेदन

यदि दो कण, प्रत्येक ज्ञात संवेग, आपस में टकराते हैं और आपस में मिलते हैं, तो संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग संवेग के संवेग को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। यदि टक्कर का परिणाम यह है कि दो कण अलग हो जाते हैं, तो प्रत्येक कण की गति को निर्धारित करने के लिए कानून पर्याप्त नहीं है। यदि टक्कर के बाद एक कण का संवेग ज्ञात हो, तो दूसरे कण का संवेग ज्ञात करने के लिए नियम का प्रयोग किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से यदि टक्कर के बाद संयुक्त गतिज ऊर्जा ज्ञात हो, तो टक्कर के बाद प्रत्येक कण की गति को निर्धारित करने के लिए कानून का उपयोग किया जा सकता है। गतिज ऊर्जा आमतौर पर संरक्षित नहीं होती है। यदि इसे संरक्षित किया जाता है, तो टकराव को लोचदार टक्कर कहा जाता है; यदि नहीं, तो यह एक बेलोचदार टक्कर है।

लोचदार टकराव

Main article: Elastic collision

File:Elastischer stoß.gif

समान द्रव्यमान की लोचदार टक्कर

File:Elastischer stoß3.gif

असमान द्रव्यमानों की लोचदार टक्कर

लोचदार टक्कर वह है जिसमें कोई गतिज ऊर्जा ऊष्मा या ऊर्जा के किसी अन्य रूप में परिवर्तित नहीं होती है। पूरी तरह से लोचदार टकराव तब हो सकता है जब वस्तुएं एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करती हैं, उदाहरण के लिए परमाणु या परमाणु बिखरने में जहां विद्युत प्रतिकर्षण वस्तुओं को अलग रखता है। एक ग्रह के चारों ओर एक उपग्रह की गुरुत्वाकर्षण सहायता को पूरी तरह से लोचदार टक्कर के रूप में भी देखा जा सकता है। दो पूल बिलियर्ड्स गेंदों के बीच टकराव उनकी उच्च कठोरता के कारण लगभग पूरी तरह से लोचदार टकराव का एक अच्छा उदाहरण है, लेकिन जब शरीर संपर्क में आते हैं तो हमेशा कुछ अपव्यय होता है। दो निकायों के बीच एक सिर पर लोचदार टकराव को एक आयाम में वेगों द्वारा, निकायों से गुजरने वाली रेखा के साथ दर्शाया जा सकता है। यदि वेग हैं u₁ तथा u₂ टक्कर से पहले और v₁ तथा v₂ इसके बाद, संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण को व्यक्त करने वाले समीकरण हैं:

$\begin{array}{rl}{m}_1{u}_1+m_2{u}_2& \end{array}$